wykŁad 5 optyka falowa oscylacje i fale
DESCRIPTION
WYKŁAD 5 OPTYKA FALOWA OSCYLACJE I FALE. PLAN WYKŁADU. Oscylacj e (drgania) harmoniczne Fale płaskie Równanie falowe Odbicie fal Fale kuliste Fale walcowe PODSUMOWANIE. Przykłady oscylacji (drgań) harmonicznych. drganie liniowe punktu materialnego. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
WYKŁAD 5
OPTYKA FALOWA
OSCYLACJE I FALE
PLAN WYKŁADU
Oscylacje (drgania) harmoniczne
Fale płaskie
Równanie falowe
Odbicie fal
Fale kuliste
Fale walcowe
PODSUMOWANIE
Przykłady oscylacji (drgań) harmonicznych
)tcos(xx 0 drganie liniowe punktu materialnego
Przykłady oscylacji (drgań) harmonicznych
)tcos(xx 0 drganie liniowe punktu materialnego
)tcos(pp 0 oscylacja wielkości skalarnej p
Przykłady oscylacji (drgań) harmonicznych
)tcos(xx 0 drganie liniowe punktu materialnego
)tcos(pp 0 oscylacja wielkości skalarnej p
)tcos(rr 0 trójwymiarowa oscylacja punktu materialnego
Przykłady oscylacji (drgań) harmonicznych
)tcos(xx 0 drganie liniowe punktu materialnego
)tcos(pp 0 oscylacja wielkości skalarnej p
)tcos(rr 0 trójwymiarowa oscylacja punktu materialnego
)tcos(EE 00 oscylacja harmoniczna
wielkości wektorowej
Przykłady oscylacji (drgań) harmonicznych
)tcos(xx 0 drganie liniowe punktu materialnego
)tcos(pp 0 oscylacja wielkości skalarnej p
)tcos(rr 0 trójwymiarowa oscylacja punktu materialnego
)tcos(EE 00 oscylacja harmoniczna
wielkości wektorowej
amplituda, częstość kątowa, faza – argument funkcji cos, faza początkowa
RÓWNOŚĆ EULERA
gdzie sinicosei 1i
RÓWNOŚĆ EULERA
gdzie sinicosei 1i
i0
0
0
0
ezz
Cizln
idz
dz
izddsinicosiz
dcosisinzdz
sinicoszz
RÓWNOŚĆ EULERA
gdzie sinicosei 1i
i0
0
0
0
ezz
Cizln
idz
dz
izddsinicosiz
dcosisinzdz
sinicoszz
Składanie oscylacji
21 xxx tcosxx 01 )t( cosxx 002
2tcoscosx2
2
1cost2
2
1cosx2x
)t( costcosxxxx
000
000
0021
Składanie oscylacji w zapisie zespolonym
21 xxx tcosxx 01 )t( cosxx 002
zRex
00 iti0
ti0
ti021 e1exexexzzz
2/ cos2eeeee1 02/i2/i2/i2/ii 00000
2/ti0021
0ex2/ cos2zzz
Trójwymiarowe harmoniczne drganiapunktu materialnego
,tcosax 11 ,tcosay 22 33 tcosaz
Trójwymiarowe harmoniczne drganiapunktu materialnego
,tcosax 11 ,tcosay 22 33 tcosaz
ctcosabtcosaatcosar 332211
Trójwymiarowe harmoniczne drganiapunktu materialnego
,tcosax 11 ,tcosay 22 33 tcosaz
ctcosabtcosaatcosar 332211
tii3
i2
i1z eceabeaaear 321
Trójwymiarowe harmoniczne drganiapunktu materialnego
,tcosax 11 ,tcosay 22 33 tcosaz
ctcosabtcosaatcosar 332211
tii3
i2
i1z eceabeaaear 321
tiz eBiAr
Trójwymiarowe harmoniczne drganiapunktu materialnego
,tcosax 11 ,tcosay 22 33 tcosaz
ctcosabtcosaatcosar 332211
tii3
i2
i1z eceabeaaear 321
tiz eBiAr
csinabsinaasinaB
ccosabcosaacosaA
332211
332211
Trójwymiarowe harmoniczne drganiapunktu materialnego
,tcosax 11 ,tcosay 22 33 tcosaz
ctcosabtcosaatcosar 332211
tii3
i2
i1z eceabeaaear 321
tiz eBiAr
csinabsinaasinaB
ccosabcosaacosaA
332211
332211
tsinBtcosAr
tsinBtcosAr
tsinBtcosAr
tsinBtcosA
tsinBtcosA
tsinBtcosAr
tsinBtcosA
tsinBtcosA
BABA
AAtsin
ABAB
BBtcos
tsinBtcosAr
tsinBtcosA
tsinBtcosA
BABA
AAtsin
ABAB
BBtcos
1BABA
BB
BABA
AA22
tsinBtcosAr
tsinBtcosA
tsinBtcosA
BABA
AAtsin
ABAB
BBtcos
1BABA
BB
BABA
AA22
dcxybyax 22 krzywa stożkowa, elipsa
tsinBtcosAr
tsinBtcosAr
tsinBtcosAr
)tcos(B)tsin(Adt
rdv
tsinBtcosAr
)tcos(B)tsin(Adt
rdv
elipsa wpisana w równoległobok zbudowany na wektorach A i B, A i B - osie sprzężone elipsy
OSCYLACJE A FALE
fali dla - t),r( =
oscylacji dla - (t) =
Jednowymiarowe fale bieżące
profil zaburzenia przesuwa się w przestrzeni z prędkością v
Jednowymiarowe fale bieżące
profil zaburzenia przesuwa się w przestrzeni z prędkością v
vtx'x
Jednowymiarowe fale bieżące
profil zaburzenia przesuwa się w przestrzeni z prędkością v
vtx'x )f(x' = vt)-f(x = t)(x, =
Jednowymiarowe fale bieżące
profil zaburzenia przesuwa się w przestrzeni z prędkością v
vtx'x )f(x' = vt)-f(x = t)(x, =
'xf - profil zaburzenia
Jednowymiarowe fale bieżące
profil zaburzenia przesuwa się w przestrzeni z prędkością v
vtxg'xg
vtxf'xf
Jednowymiarowe fale bieżące
fala bieżąca w kierunku +x
fala bieżąca w kierunku -x
vtxg'xg
vtxf'xf
Jednowymiarowe fale bieżące
fala bieżąca w kierunku +x
fala bieżąca w kierunku -x
W czasie Δt profil przesunie się o odległość Δx
vtxg'xg
vtxf'xf
Jednowymiarowe fale bieżące
tvx vtx
fala bieżąca w kierunku +x
fala bieżąca w kierunku -x
W czasie Δt profil przesunie się o odległość Δx
vtxg'xg
vtxf'xf
Jednowymiarowe fale bieżące
ttvxxfvtxg'xg
ttvxxfvtxf'xf
tvx vtx
fala bieżąca w kierunku +x
fala bieżąca w kierunku -x
W czasie Δt profil przesunie się o odległość Δx
Jednowymiarowe fale bieżące
Zmiany w czasie i przestrzeni zaburzenia wielkości fizycznej ψ, rozchodzącego się z prędkością
v w kierunku +x („odwrócony” profil)
Jednowymiarowe fale bieżąceharmoniczne
kvtkxcos = )vtx(kcos = )cos(kx' = )f(x' 000
Jednowymiarowe fale bieżąceharmoniczne
, pewna długość charakterystyczna
kvtkxcos = )vtx(kcos = )cos(kx' = )f(x' 000
2k
Jednowymiarowe fale bieżąceharmoniczne
, pewna długość charakterystyczna
kvtkxcos = )vtx(kcos = )cos(kx' = )f(x' 000
2k
kvtkxcoskvtxxkcos
Z warunku okresowości, dla odpowiedniego Δx:
Jednowymiarowe fale bieżąceharmoniczne
, pewna długość charakterystyczna
kvtkxcos = )vtx(kcos = )cos(kx' = )f(x' 000
2k
kvtkxcoskvtxxkcos
Z warunku okresowości, dla odpowiedniego Δx:
;2kvtkxkvtxxk
Jednowymiarowe fale bieżąceharmoniczne
, pewna długość charakterystyczna
kvtkxcos = )vtx(kcos = )cos(kx' = )f(x' 000
2k
kvtkxcoskvtxxkcos
Z warunku okresowości, dla odpowiedniego Δx:
;2xk ;2kvtkxkvtxxk
Jednowymiarowe fale bieżąceharmoniczne
, pewna długość charakterystyczna
kvtkxcos = )vtx(kcos = )cos(kx' = )f(x' 000
2k
kvtkxcoskvtxxkcos
Z warunku okresowości, dla odpowiedniego Δx:
;2xk ;2kvtkxkvtxxk x
2k
Jednowymiarowe fale bieżąceharmoniczne
, pewna długość charakterystyczna
kvtkxcos = )vtx(kcos = )cos(kx' = )f(x' 000
2k
kvtkxcoskvtxxkcos
Z warunku okresowości, dla odpowiedniego Δx:
;2xk ;2kvtkxkvtxxk x
2k
x
Jednowymiarowe fale bieżąceharmoniczne
T2
v1
2v2
kv
Jednowymiarowe fale bieżąceharmoniczne
T2
v1
2v2
kv
tkxcos = )vtx(kcos 00
Jednowymiarowe fale bieżąceharmoniczne
T2
v1
2v2
kv
tkxcos = )vtx(kcos 00
,t,xfTt,xf t,xfTt,xf
Jednowymiarowe fale bieżąceharmoniczne
T2
v1
2v2
kv
tkxcos = )vtx(kcos 00
,t,xfTt,xf t,xfTt,xf
vkT
Jednowymiarowe fale bieżąceharmoniczne
T2
v1
2v2
kv
tkxcos = )vtx(kcos 00
,t,xfTt,xf t,xfTt,xf
vkT
)tkx(i00z
0
e = t)-isin(kx + )tkxcos( =
)tkxcos( =
trk tkx
Płaskie harmoniczne fale bieżącew przestrzeni trójwymiarowej
uogólnienie postaci fazy
trk tkx
t - rk =
Płaskie harmoniczne fale bieżącew przestrzeni trójwymiarowej
uogólnienie postaci fazy
narzucając warunek stałej fazy otrzymamy równanie wiążące wektor falowy k, wektor położenia r i czas t
trk tkx
t - rk =
const = t = zkykxk = rk zyx
Płaskie harmoniczne fale bieżącew przestrzeni trójwymiarowej
uogólnienie postaci fazy
narzucając warunek stałej fazy otrzymamy równanie wiążące wektor falowy k, wektor położenia r i czas t
trk tkx
t - rk =
const = t = zkykxk = rk zyx
Płaskie harmoniczne fale bieżącew przestrzeni trójwymiarowej
uogólnienie postaci fazy
narzucając warunek stałej fazy otrzymamy równanie wiążące wektor falowy k, wektor położenia r i czas t
płaszczyzna stałej fazy
Równanie – zbiór rozwiązań to będzie zbiór punktów…
0t zkykxk zyx
Płaskie harmoniczne fale bieżącew przestrzeni trójwymiarowej
0t zkykxk zyx
0DCzByAx
Płaskie harmoniczne fale bieżącew przestrzeni trójwymiarowej
równanie płaszczyzny; A, B, C składowe wektora normalnego
0t zkykxk zyx
0DCzByAx
Płaskie harmoniczne fale bieżącew przestrzeni trójwymiarowej
222 CBA
DR
odległość p-zny od
początku układu współrz.
równanie płaszczyzny; A, B, C składowe wektora normalnego
0t zkykxk zyx
0DCzByAx
Płaskie harmoniczne fale bieżącew przestrzeni trójwymiarowej
222 CBA
DR
vtrtk
r = k
tR 00
odległość p-zny od początku układu współrz.
równanie płaszczyzny; A, B, C składowe wektora normalnego
0t zkykxk zyx
0DCzByAx
Płaskie harmoniczne fale bieżącew przestrzeni trójwymiarowej
222 CBA
DR
vtrtk
r = k
tR 00
odległość p-zny od początku układu współrz.
p-zna oddala się od początku układu współrz.
równanie płaszczyzny; A, B, C składowe wektora normalnego
Fale płaskie nieharmoniczne w przestrzeni trójwymiarowej
vt-z+y+xk
= tk
zkk
yk
kx
kk
k = trk = zyx
Fale płaskie nieharmoniczne w przestrzeni trójwymiarowej
vt-z+y+xk
= tk
zkk
yk
kx
kk
k = trk = zyx
vtzyx
argument funkcji kształtu dla fali nieharmonicznej:
Fale płaskie nieharmoniczne w przestrzeni trójwymiarowej
vt-z+y+xk
= tk
zkk
yk
kx
kk
k = trk = zyx
vtzyx
argument funkcji kształtu dla fali nieharmonicznej:
0 ,0 ,1 dla mamy vtx jak poprzednio
RÓWNANIE FALOWE
Niech zaburzenie wielkości fizycznej ψ rozchodzi się w postaci fali płaskiej:
vt)-z+y+xf( = )t,r(
RÓWNANIE FALOWE
Niech zaburzenie wielkości fizycznej ψ rozchodzi się w postaci fali płaskiej:
Pokażemy że zaburzenie to jest rozwiązaniem równania falowego:
vt)-z+y+xf( = )t,r(
2
2
2 tv
1 =
RÓWNANIE FALOWE
Niech zaburzenie wielkości fizycznej ψ rozchodzi się w postaci fali płaskiej:
Pokażemy że zaburzenie to jest rozwiązaniem równania falowego:
vt)-z+y+xf( = )t,r(
2
2
2 tv
1 =
2
2
22
2
2
2
2
2
t
)t,r(
v
1 =
z
)t,r(
y
)t,r(
x
)t,r(
Ogólne rozwiązanie równania falowego
)vtzyx(f = x
,)vtzyx(f = x
,,22
2
,
Ogólne rozwiązanie równania falowego
)vtzyx(f = x
,)vtzyx(f = x
,,22
2
,
)vtzyx(f(-v) = t
; )vtzyx(f(-v) = t
,,22
2
,
Ogólne rozwiązanie równania falowego
)tzyx(f = zyx
,,2
2
2
2
2
2
)tzyx(f =
)tzyx(fvv
1=
tv
1
,,
,,222
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
t
)t,r(
v
1 =
z
)t,r(
y
)t,r(
x
)t,r(
Zasada superpozycji
vtzyxf1 vtz'y'x'f2
Jeśli dwie funkcje:
są rozwiązaniami równania falowego, to jest nim także dowolna kombinacja liniowa tych
funkcji:
vtz'y'x'fCvtzyxfC
t,z,y,xF
2211
ODBICIE FAL na granicy dwóch ośrodków
Fala padająca f(x+vt), fala odbita g(x-vt)
Ponieważ dla 0x i „sztywnej” ściany „wychylenie” równe jest zero
0vt0gvt0f mamy zatem
co oznacza, że: yfyg
vtxfvtxg czyli:
co pozwala znaleźć profil fali odbitej dla dowolnego x i t
możemy zatem wprowadzić fale „wirtualne” w obszarze „ściany”. Fale te stają się „rzeczywiste” gdy
występują w obszarze „przed ścianą”
FALE KULISTE
Powierzchnie stałej fazy kuliste, źródło fali w początku układu współrzędnych
FALE KULISTE
Powierzchnie stałej fazy kuliste, źródło fali w początku układu współrzędnych
vtr Argument funkcji profilu:
vtzyx 222 czyli:
FALE KULISTE
Powierzchnie stałej fazy kuliste, źródło fali w początku układu współrzędnych
vtr Argument funkcji profilu:
vtzyx 222 czyli:
a nie: vtx
FALE KULISTE
Powierzchnie stałej fazy kuliste, źródło fali w początku układu współrzędnych
vtr Argument funkcji profilu:
vtzyx 222 czyli:
a nie: vtx
czy też: vtzyx
FALE KULISTE
Sprawdzimy czy funkcja:
będzie spełniać równanie falowe:
t,r
2
2
22
t
)t,r(
v
1 = )t,r(
FALE KULISTE
Sprawdzimy czy funkcja:
będzie spełniać równanie falowe:
oraz czy jej argument będzie postaci:
t,r
2
2
22
t
)t,r(
v
1 = )t,r(
vtr
FALE KULISTE
Sprawdzimy czy funkcja:
będzie spełniać równanie falowe:
oraz czy jej argument będzie postaci:
t,r
2
2
22
t
)t,r(
v
1 = )t,r(
vtr
Zaczynamy od laplasjanu (lewej strony równania). Liczymy pochodne względem x, y i z. Dla x mamy:
FALE KULISTE
Sprawdzimy czy funkcja:
będzie spełniać równanie falowe:
oraz czy jej argument będzie postaci:
t,r
2
2
22
t
)t,r(
v
1 = )t,r(
vtr
2
22
2
2
2
2
rrx
+ rr
x1
r1 =
x ,
rrx
= xr
r =
x
Zaczynamy od laplasjanu (lewej strony równania). Liczymy pochodne względem x, y i z. Dla x mamy:
rr2
r =
rr
zyx3
r1 +
r = 2
2
2
222
2
22
Sumując trzy pochodne po x, y i z otrzymamy:
rr2
r =
rr
zyx3
r1 +
r = 2
2
2
222
2
22
Sumując trzy pochodne po x, y i z otrzymamy:
rrr
12
2
co jest równoważne:
rr2
r =
rr
zyx3
r1 +
r = 2
2
2
222
2
22
Sumując trzy pochodne po x, y i z otrzymamy:
rrr
12
2
co jest równoważne:
gdyż:
rr2
r =
rr
r2
r1 =
= r
rrr
1 = r
rr1
2
2
2
2
2
2
Zatem równanie falowe: 2
2
22
t
)t,r(
v
1 = )t,r(
będzie spełnione gdy:
2
2
22
2
tv
1 = r
rr1
Zatem równanie falowe: 2
2
22
t
)t,r(
v
1 = )t,r(
będzie spełnione gdy:
2
2
22
2
tv
1 = r
rr1
rtv
1 = r
r 2
2
22
2
czyli gdy będzie spełnione następujące równanie, przypominające równanie dla fali płaskiej:
Zatem równanie falowe: 2
2
22
t
)t,r(
v
1 = )t,r(
będzie spełnione gdy:
2
2
22
2
tv
1 = r
rr1
rtv
1 = r
r 2
2
22
2
czyli gdy będzie spełnione następujące równanie, przypominające równanie dla fali płaskiej:
A to równanie będzie spełnione gdy:
vt+rg = r lub vt-rf = r
r
vt+rg = )t,r( lub
rvt-rf
= )t,r(
czyli gdy:
r
vt+rg = )t,r( lub
rvt-rf
= )t,r(
czyli gdy:
Fala rozbieżna, emitowana ze źródła i fala zbieżna, np. po przejściu przez soczewkę skupiającą.
r
vt+rg = )t,r( lub
rvt-rf
= )t,r(
czyli gdy:
Fala rozbieżna, emitowana ze źródła i fala zbieżna, np. po przejściu przez soczewkę skupiającą.
)tkrcos(r
= t,r 0
W szczególności kulista fala rozbieżna, harmoniczna, będzie opisana wyrażeniem:
r
vt+rg = )t,r( lub
rvt-rf
= )t,r(
czyli gdy:
Fala rozbieżna, emitowana ze źródła i fala zbieżna, np. po przejściu przez soczewkę skupiającą.
)tkrcos(r
= t,r 0
W szczególności kulista fala rozbieżna, harmoniczna, będzie opisana wyrażeniem:
)tkr(i0 er
= t,r lub:
FALE WALCOWEoś z jest osią walca
t,rt,r 22 yxr gdzie
FALE WALCOWEoś z jest osią walca
t,rt,r 22 yxr gdzie
2
2
2
22
2
2
r
x1
rr1
rrx
= rx
rx =
xr
rx =
x
FALE WALCOWEoś z jest osią walca
t,rt,r 22 yxr gdzie
2
2
2
22
2
2
r
x1
rr1
rrx
= rx
rx =
xr
rx =
x
rr1
r =
yx = 2
2
2
2
2
22
rrr
12
2
Pokażemy, że dla dużych r prawa strona jest równa:
rrr
12
2
Pokażemy, że dla dużych r prawa strona jest równa:
2
2
2
2
2
rrr21
r4
1r2r
1 =
= r
rr2
1rr
1 = r
rr1
rrr
12
2
Pokażemy, że dla dużych r prawa strona jest równa:
2
2
2
2
2
rrr21
r4
1r2r
1 =
= r
rr2
1rr
1 = r
rr1
22
2
r4
1rr
1
r =
no i jest tak rzeczywiście gdy pominiemy wyraz z r2.
2
2
22
22
tv
1 = r
rr1
=
Równanie falowe będzie spełnione gdy:
2
2
22
22
tv
1 = r
rr1
=
Równanie falowe będzie spełnione gdy:
,rtv
1 = r
r 2
2
22
2
Po przemnożeniu przez r otrzymamy:
jednowymiarowe równanie falowe.
2
2
22
22
tv
1 = r
rr1
=
Równanie falowe będzie spełnione gdy:
,rtv
1 = r
r 2
2
22
2
Po przemnożeniu przez r otrzymamy:
jednowymiarowe równanie falowe.
Równanie to będzie spełnione gdy:
vt)+g(r = r lub vt)-f(r = r
rvt)+g(r
= t)(r, lub rvt)-f(r
= )t,r(
Czyli gdy:
rvt)+g(r
= t)(r, lub rvt)-f(r
= )t,r(
Czyli gdy:
)tkrcos(r
= )t,r( 0
)tkr(i0 er
= )t,r(
Dla walcowej fali harmonicznej i rozbieżnej:
PODSUMOWANIE
Dla oscylacji i fal harmonicznych wprowadzamy zapis zespolony. Część rzeczywista przedstawia
realną fizyczną oscylację lub falę, urojona nie ma znaczenia fizycznego.
Reprezentacja zespolona płaskiej fali harmonicznej opisującej zmienną w czasie i przestrzeni wektorową
wielkość fizyczną ma postać:
trkieBiA
BiA
gdziejest zespoloną amplitudą, k wektorem falowym, ω częstością kątową
PODSUMOWANIE
Wektory A i B wyznaczają równoległobok, w który wpisana jest elipsa polaryzacji, kierunek wektora wyznacza kierunek
rozchodzenia się fali, a jego wartość (liczba falowa k) związana jest z długością fali.
Częstość kątowa ω związana jest z okresem T. Stosunek prędkości kątowej ω i liczby
falowej k odpowiada prędkości rozchodzenia się fali.
PODSUMOWANIE
Równanie falowe dla przypadku jednowymiarowego (płaska fala rozchodząca
się wzdłuż osi x) ma postać:
Jedyny warunek, jaki musi spełnić funkcja ψ jest taki, by jej argument był postaci:
lub
2
2
22
2
tv
1
x
vtx vtx
PODSUMOWANIE
Argument funkcji opisującej trójwymiarową falę płaską opisany jest wyrażeniem:
gdzie α, β, γ to cosinusy kierunkowe a v prędkość rozchodzenia się fali.
vtzyx
Dla fali harmonicznej cosinusy kierunkowe określone są przez składowe wektora
falowego i argument funkcji przyjmuje postać:
trk
PODSUMOWANIE
Amplituda trójwymiarowej fali płaskiej nie zależy od r, fali kulistej maleje z r a fali
walcowej z pierwiastkiem z r, gdzie r jest odległością od źródła.
Jednowymiarowa fala padająca na “sztywną” granicę ulega odbiciu, zmieniając
znak “wychylenia”.