SVEUČILIŠTE JOSIPA JURAJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET

Sveučilišni studij

UTJECAJ MJERNE NESIGURNOSTI NAPONA NA

MJERNU NESIGURNOST KARAKTERISTIKE

NELINEARNE ZAVOJNICE

Završni rad

Anto Topić

Osijek, 2014.

1

Obrazac Z1P - Obrazac za ocjenu završnog rada na preddiplomskom studiju

Osijek,

Odboru za završne i diplomske ispite

Prijedlog ocjene završnog rada

Ime i prezime studenta: Anto Topić

Studij, smjer: Sveučilišni preddiplomski studij elektrotehnike

Mat. br. studenta, godina upisa: 3436

Mentor: Izv. prof. dr. sc. Kruno Miličević, dipl. ing.

Sumentor: -

Naslov završnog rada: UTJECAJ MJERNE NESIGURNOSTI NAPONA NA MJERNU NESIGURNOST KARAKTERISTIKE NELINEARNE ZAVOJNICE

Primarna znanstvena grana rada: Elektrotehnika

Sekundarna znanstvena grana (ili polje) rada:

Energetika

Predložena ocjena završnog rada:

Kratko obrazloženje ocjene prema Kriterijima za ocjenjivanje završnih i diplomskih radova:

Primjena znanja stečenih na fakultetu: Postignuti rezultati u odnosu na složenost zadatka: Jasnoća pismenog izražavanja: Razina samostalnosti:

Potpis sumentora: Potpis mentora:

Dostaviti:

1. Studentska služba

Potpis predsjednika Odbora:

_______________________

Dostaviti:

1. Studentska služba

2

IZJAVA O ORIGINALNOSTI RADA

Osijek,

Ime i prezime studenta: Anto Topić

Studij : Sveučilišni preddiplomski studij elektrotehnike

Mat. br. studenta, godina upisa: 3436 , 2011.

Ovom izjavom izjavljujem da je rad pod nazivom: UTJECAJ MJERNE NESIGURNOSTI NAPONA NA MJERNU NESIGURNOST KARAKTERISTIKE NELINEARNE

ZAVOJNICE

izrađen pod vodstvom mentora

Izv. prof. dr. sc. Kruno Miličević, dipl. ing.

i sumentora

moj vlastiti rad i prema mom najboljem znanju ne sadrži prethodno objavljene ili neobjavljene pisane materijale drugih osoba, osim onih koji su izričito priznati navođenjem literature i drugih izvora informacija. Izjavljujem da je intelektualni sadržaj navedenog rada proizvod mog vlastitog rada, osim u onom dijelu za koji mi je bila potrebna pomoć mentora, sumentora i drugih osoba, a što je izričito navedeno u radu.

Potpis studenta:

Sadržaj

1 UVOD .............................................................................................................................................. 1

1.1 Zadatak završnog rada ............................................................................................................. 1

2 MJERNA NESIGURNOST U ELEKTROTEHNICI .................................................................................... 2

2.1 Standardna nesigurnost vrste A ............................................................................................... 4

2.2 Standardna nesigurnost vrste B ............................................................................................... 4

2.3 Složena standardna nesigurnost .............................................................................................. 6

2.4 Određivanje proširene nesigurnosti ......................................................................................... 7

2.5 Određivanje obuhvatnog faktora ....................................................................................... 7

2.6 Središnji granični teorem ......................................................................................................... 8

2.7 Iskazivanje rezultata ................................................................................................................ 8

3 ZAVOJNICA ...................................................................................................................................... 9

3.1 Zavojnica ................................................................................................................................. 9

3.2 Nelinearna zavojnica...............................................................................................................10

3.3 Modeliranje zavojnice.............................................................................................................11

3 METODE.........................................................................................................................................15

3.1 GUM .......................................................................................................................................15

3.2 Monte Carlo simulacija ...........................................................................................................17

4 RAČUNANJE MJERNE NESIGURNOSTI GUM METODOM ..................................................................19

5 ZAKLJUČAK .....................................................................................................................................26

LITERATURA .......................................................................................................................................27

SAŽETAK ............................................................................................................................................28

ABSTRACT ..........................................................................................................................................28

ŽIVOTOPIS ..........................................................................................................................................29

1

1 UVOD

Nesigurnost rezultata mjerenja odražava nedostatak točnog poznavanja vrijednosti mjerene

veličine. Mjerni rezultat nakon korekcije je za priznate sustavne učinke još uvijek samo procjena

vrijednosti mjerene veličine zbog nesigurnosti koje proizlaze iz slučajnih učinaka i od

nesavršenih korekcija rezultata za sustavne učinke. Mjerna nesigurnost može se odrediti na

različite načine. Široko upotrebljavana i prihvaćena metoda jest “GUM metoda” koju

preporučuje ISO.

1.1 Zadatak završnog rada

U ovom radu opisan je postupak mjerenja utjecaja mjerne nesigurnosti struje na mjernu

nesigurnost karakteristike nelinearne zavojnice.

2

2 MJERNA NESIGURNOST U ELEKTROTEHNICI

U životu nam se svakodnevno postavlja problem mjerenja nečega. Mjerenje je bitna sastavnica

svake grane djelatnosti (primarne, sekundarne, tercijarne te kvartarne). Posebnu ulogu ima u

grani sekundarne djelatnosti u područjima građevinarstva, industrije, rudarstva, brodogradnje,

proizvodnog obrtništva te naposlijetku i energetike. Mjerenje u energetici obuhvaća mjerenje

temperature, napona, struje, električne energije, snage, frekvencije itd. Prije svega treba definirati

mjerenje te označiti njegove najbitnije značajke. Dakle, mjerenje je eksperimentalno određivanje

prave vrijednosti mjerene veličine određenom točnošću. Iz ovoga možemo iščitati kako ni jedno

mjerenje nije u potpunosti točno, odnosno da postoje određena odstupanja izmjerene vrijednosti

od prave vrijednosti mjerene veličine. Sam rezultat mjerenja (mjerni rezultat) ne mora nužno biti

brojčani (numerički), a tip mjere može biti imenovanje, poredak, interval, brojenje ili metrika

(koristi se u SI sustavu). Zbog nemogućnosti da se za bilo koje mjerenje u prirodi dadne potpuno

točan rezultat, uvodimo nesigurnost u cijelu priču. Ta mjerna nesigurnost je zapravo brojčani

iskaz kvalitete mjernog rezultata. Iskazuje se standardnom devijacijom (standardna mjerna

nesigurnost, u) ili višekratnikom standardne devijacije (proširena mjerna nesigurnost, U). Ona

određuje raspon vrijednosti unutar kojega očekujemo da se nalazi prava vrijednost mjerene

veličine. Izmjerena vrijednost i mjerna nesigurnost zajedno čine cjelokupni mjerni rezultat.

Razlozi, tj. uzroci odstupanja najbolje procjene mjerene veličine od prave vrijednosti su

mnogobrojni. Ta odstupanja mogu biti slučajna ili sustavna (sistematska). Neka od mogućih

izvora nesigurnost u mjerenju su [7]:

a) Nepotpuna definicija mjerene veličine

b) Nesavršene realizacije definicije mjerene veličine

c) Nereprezentativno uzorkovanje – mjereni uzorak ne predstavlja nužno definiranu

mjerenu veličinu

d) Nedovoljno poznavanje učinaka okolišnih uvjeta na mjerenje ili sl.

e) Osobna pristranost u čitanju analognih instrumenata

f) Konačna rezolucija instrumenta ili prag diskriminacije

g) Neprecizne vrijednosti mjernih etalona i referentnih materijala

h) Neprecizne vrijednosti konstanti i drugih parametara dobivenih iz vanjskih izvora, a koje

se koriste u algoritmu „smanjenje podataka“

i) Aproksimacije i pretpostavke koje se koriste metodama mjerenja i procedurama

j) Varijacije u ponavljanim opažanjima mjerene veličine pod naizgled identičnim uvjetima

3

S obzirom na metode procjenjivanja komponenti mjerne nesigurnosti, njene sastavnice

nesigurnosti razvrstavaju se u dvije kategorije [8]:

a) Sastavnica nesigurnosti vrste „A“ – računa se statističkom metodom

b) Sastavnica nesigurnosti vrste „B“ – računa se na drugi način

Ostale mjerne nesigurnosti su [8]:

a) Složena standardna nesigurnost; - standardna nesigurnost rezultata, koji ovise o

više veličina, računata kako korijen iz sume varijanci, ali vodeći računa o utjecaju

pojedine veličine na mjerni rezultat

b) Proširena nesigurnost ( - veličina koja definira interval oko rezultata za koji se

očekuje da sadrži veći dio razdiobe vrijednosti koje bi razumno mogle opisati mjerenu

veličinu (razina pouzdanosti intervala)

c) Obuhvatni faktor ( - numerički faktor kojim se množi složena standardna nesigurnost

kako bi se iskazala proširena nesigurnost; obično

Mjerene veličine posebne su veličine podvrgnute mjerenju. Mjerena veličina Y najčešće se ne

mjeri izravno, već je određena sa N ostalih veličina [8]:

(2-1)

Ulazne veličine možemo promatrati također kao mjerene veličine koje ovise o nekim drugim

veličinama, zbog čega funkcija f rijetko kad može biti eksplicitno (potpuno) zapisana. U većini

slučajeva će to biti analitički izraz, ali to također može biti skupina takvih izraza koji obuhvaćaju

ispravke i faktore ispravka zbog sustavnih djelovanja, što dovodi do složenijeg odnosa koji se ne

može opisati jednom eksplicitno definiranom funkcijom. Sama funkcija se može odrediti

pokusom ili može postojati kao neki programski algoritam, ili biti sastavljena od toga dvoga.

Ulazne veličine se mogu razvrstati u dva razreda prema načinu na koji se određuje vrijednost

veličine i njezina nesigurnost:

a) Veličine čija se procjena i njoj pridružena mjerna nesigurnost određuju izravno

mjerenjem.

b) Veličine čija se procjena i njoj pridružena mjerna nesigurnost unose u mjerenje iz

vanjskih izvora.

Standardne nesigurnosti u( mogu biti vrste A ili vrste B.

4

2.1 Standardna nesigurnost vrste A

Standardna nesigurnost vrste A se računa statističkom metodom. U tom slučaju je standardna

nesigurnost eksperimentalno standardno odstupanje srednje vrijednosti koje se dobiva

uprosječenjem ili odgovarajućom regresijskom analizom [7].

Statistički pojmovi koji se odnose na računanje su [8]:

- Funkcija gustoće vjerojatnosti

- Očekivanje µ :

(2-3)

- Standardno odstupanje :

(2-4)

- Varijanca:

(2-5)

Najbolja moguća procjena očekivanja za veličinu koja se mijenja slučajno, određena na

temelju n nezavisnih opažanja dobivenih pod jednakim uvjetima, je aritmetička sredina :

(2-6)

Eksperimentalna varijanca opažanja, koja procjenjuju varijancu razdiobe od q, jednaka je:

(2-7)

Pritom pozitivni korijen ove varijance, , jest eksperimentalno standardno odstupanje.

Najbolja procjena standardne nesigurnosti vrste A računa se kao pozitivni korijen varijance [8]:

(2-8)

2.2 Standardna nesigurnost vrste B

Procjenjuje se na temelju svih raspoloživih informacija o mogućim varijacijama koje su npr

[8]:

- prijašnji mjerni podaci

- iskustvo ili opće ponašanje ili svojstva materijala ili uređaja

- podaci proizvođača mjernog uređaja

- podaci o umjeravanju ili ostali dokumenti

- nesigurnosti pridružene podacima iz priručnika

5

Vrlo čest slučaj su a priori razdiobe, kod kojih je vjerojatnost 100% da leži unutar granica i

, a 0% izvan granica; uz uvjet slijedi [8]:

Pravokutna razdioba:

(2-9)

(2-10)

Sl. 2.1. Pravokutna razdioba [8]

Trokutasta razdioba:

(2-11)

(2-12)

Sl. 2.2. Trokutasta razdioba [8]

6

Za mjerne instrumente proizvođači redovito iskazuju granice unutar kojih se sigurno nalazi prava

vrijednost mjerene veličine. Za analogne instrumente određene su razredom točnosti [8]:

(od gornje granice mjernog opsega) (2-13)

- Razredi točnosti (r.t.) za analogne instrumente su: 0.05 ; 0.1 ; 0.2 ; 0.5 ; 1 ; 1.5 ; 2.5 ; 5

- Npr., instrument razreda točnosti 0.5 na mjernom opsegu 2V neće griješiti više od

(2-14)

Za digitalne instrumente definira se zasebno (za svaki tip instrumenta, mjerno područje, mjerni

opseg, i dr.) – npr. uz očitanje (reading) 1.5468 V na mjernom opsegu (range) 2V i razlučivanje

od znamenaka (digits) to može biti definirano kao [8]:

(2-15)

(2-16)

(2-17)

(2-18)

(2-19)

(2-20)

2.3 Složena standardna nesigurnost

Za nezavisne ulazne veličine složena standardna nesigurnost je pozitivni drugi korijen složene

varijance:

(2-21)

Parcijalne derivacije ∂ /∂ nazivaju se i koeficijenti osjetljivosti (sensivity coefficients).

Ako je

tj k d e r di o produktu ul znih veličin t d e rel tivn

ložen v rij nc z pi uje k o:

(2-22)

Ako je jednak +1 ili - rel tivn ložen ne igurno t jedn k je korijenu iz ume

kvadrata pojedinih relativnih standardnih nesigurnosti [8].

7

2.4 Određivanje proširene nesigurnosti

U nekim komercij lnim indu trij kim i upr vlj čkim primjen ma, ili kad se odnosi na

zdr vlje ili z štitu r di e proširenom ne igurnošću expanded uncertainty):

(2-23)

gdje je k obuhvatni faktor (coverage factor). Tada se mjerni rezultat iskazuje kao:

(2-24)

Općenito, faktor , što ovisi o razdiobi veličine y. Vrlo često zadovoljava aproksimacija

normalnom razdiobom, kod koje je za razina pouzdanosti približno 95%, a za

približno 99% [8].

2.5 Određivanje obuhvatnog faktora

Određivanje faktora , kojim se definira interval koji odgovara traženoj razini pouzdanosti P

(coverage probability, level of confidence), zahtijeva detaljno poznavanje razdiobe vjerojatnosti

određene mjernim rezultatom i njegovom složenom standardnom nesigurnošću [8].

Tab. 2.1. Normalna razdioba [8]

1 1,645 1,96 2 2,576 3

P 68,27% 90% 95% 95,45% 99% 99,73%

Tab. 2.2 Pravokutna razdioba [8]

1 1,65 1,71

P 57,74% 95% 99% 100%

Uz poznate razdiobe ulaznih veličina (čak i ako one nisu normalne), te ako je mjerena

veličina Y linearna funkcija, tj.

, (2-25)

tada se njegova razdioba vjerojatnosti računa kao konvolucija tih pojedinih razdioba; ako to nije

slučaj, onda treba primijeniti neke druge metode. Ako su sve opisane normalnom razdiobom,

tada je rezultirajuća konvolucijska razdioba veličine Y opet normalna razdioba [8].

8

2.6 Središnji granični teorem

Ako je

(2-26)

središnji granični teorem (central limit theorem) kazuje da će razdioba od Y biti približno

normalna, s očekivanjem:

2(-27)

i varijancom:

(2-28)

ako su nezavisni i ako je puno veće od bilo kojeg pojedinačnog doprinosa za

veličinu koja ne slijedi normalnu razdiobu [8].

Praktična posljedica ovog teorema:

- Ako u ne prevladava neka sastavnica tipa A, koja se temelji na samo nekoliko

opažanja, ili sastavnica tipa B prema pravokutnoj razdiobi, tada je za računanje proširene

nesigurnosti opravdano prvo približenje uporaba vrijednosti iz

normalne razdiobe za obuhvatni faktor za razinu pouzdanosti P [8].

2.7 Iskazivanje rezultata

Rezultat se iskazuje na sljedeće načine [8]:

1. m g uz u m mg; ovakav zapis je preporučljiv

2. m g ; broj u zagradi označuje u m u odnosu na zadnje znamenke

iskazanog rezultata

3. m g ; broj u zagradi je u m iskazana istom jedinicom kao i

rezultat

4. m g ; ovaj oblik je poželjno izbjegavatu jer se on rabi za

iskazivanje rezultata sa visokom razinom pouzdanosti

9

3 ZAVOJNICA

3.1 Zavojnica

Zavojnica je pasivna električna komponenta sposobna za spremanje energije u magnetskom

polju preko osobine koja se naziva induktivnost, tj. zavojnica ima određeni električni

induktivitet. To znači da se zavojnica u većoj ili manjoj mjeri odupire promjeni električne struje

kroz sebe. Ova osobina, zajedno s mogućnošću obrazovanja oscilatornih kola u sprezi sa

kondenzatorima, čini je čestom komponentom u skoro svim električnim uređajima. Induktivitet

se izražava u henryjima (H), nazvanim po američkom fizičaru Josephu Henryju, a najčešće se

upotrebljava jedinica milihenri (mH). Zavojnica se odupire promjeni struje koja kada protiče

kroz nju inducira električni napon koji je proporcionalan brzini promjene te struje. Odnos

između trenutnog napona na zavojnici sa induktivitetom i vremenski promjenljive struje

koja prolazi kroz nju je dana sa [5][6]:

(3-1)

Spremljena energija u magnetskom polju zavojnice se računa kao:

(3-2)

Ova jednakost vrijedi samo ako nije došlo do zasićenja magnetskog toka kroz zavojnicu.

Zavojnica može biti namotana na feromagnetskom materijalu, transformatorskim limovima, a

ponekad i dijamagnetskom materijalu, ili izvedena kao zračna zavojnica. Postoje fiksne i

zavojnice sa promjenljivim induktivitetom. Redovito se sastoji od žice koja je namotana

jednostavno ili unakrsno u jednom ili više slojeva. Nosač ili tijelo zavojnice izrađuje se od

impregniranog papira, drveta, sintetičkog ili sličnog materijala. Najčešće ima oblik

šupljeg valjka. Vodič od kojega je napravljena zavojnica najčešće je bakreni, izoliran lakom,

rjeđe pamukom ili svilom. Kod zavojnica, predviđenih za vrlo visoke frekvencije upotrebljava se

posrebrena bakrena žica ili cijev. Samo specijalne zavojnice za ultrakratke valove su bez tijela.

Vodič tada mora biti mehanički dovoljno krut da zadrži svoj oblik. Za razliku od otpornika i

kondenzatora, zavojnice se veoma teško nalaze kao već gotov proizvod u trgovinama, jer

svojstva zavojnice ovise o konkretnoj primjeni. Karakteristike zavojnica ovise o sljedećim

parametrima, to su:D - srednji promjer zavojnice, l - dužina zavojnice, d – promjer zavojnice, N -

broj namota žice i a - razmak između svakog namota [5][6].

Relacija koja povezuje te parametre sa induktivitetom zavojnice je:

(3-3)

10

3.2 Nelinearna zavojnica

Nelinearna zavojnica realizira se ili kao namot transformatora sa željeznom jezgrom u praznom

hodu ili kao namot reaktora sa željeznom jezgrom bez zračnog raspora. Problemi na koje

nailazimo prilikom modeliranja nelinearne zavojnice su zasićenje, histereza i vrtložne struje [1].

Gubici zbog histereze nastaju zbog razlike u količini energije koja se uloži da bi se jezgra

magnetizirala i količine energije koja se dobije nazad njenom demagnetizacijom. Gubitak

energije jednak je površini unutar krivulje histereze materijala od kojeg je jezgra napravljena.

Najčešće se koriste dinamo limovi. Pri frekvenciji od 50Hz jezgra u svakoj sekundi prođe 50

ciklusa koji odgovaraju krivulji histereze (magnetiziranje-demagnetizacija-magnetiziranje u

suprotnom smjeru-demagnetizacija). Gubici zbog histereze rastu s povećanjem frekvencije i

magnetske indukcije odnosno napona napajanja [9].

Sl. 3.1 Petlja histereze [10]

Na slici 3.1 imamo 3 primjera petlje histereze. Površina petlje je proporcionalna gubicima,

odnosno petlja s najvećom površinom predstavlja najveće gubitke u zavojnici i obratno.

Gubici zbog vrtložnih struja nastaju zbog električne vodljivosti magnetske jezgre. Ako se

promatra poprečni presjek pune jezgre, može se zamisliti beskonačno mnogo kratko spojenih

vodljivih petlji koje obuhvaćaju promjenljivi magnetski tok što prolazi jezgrom transformatora.

U svakoj od njih se prema tome inducira napon, i budući da su petlje zatvorene, napon potjera

struju. Takve struje se zbog svoga oblika nazivaju vrtložnim strujama. Kada prolaze kroz jezgru,

vrtložne struje je zagrijavaju i stvaraju gubitke. Gubici zbog vrtložnih struja mogu se smanjiti

tako da se jezgra radi od dinamo-limova koji su međusobno električki izolirani i sprječavaju

nastajanje petlji koje bi obuhvaćale velike površine i prema tome imale veliki inducirani napon, a

onda i vrtložnu struju. Što su tanji limovi, gubici zbog vrtložnih struja su manji. Gubici zbog

vrtložnih struja ovise o magnetskoj indukciji (naponu) i frekvenciji, a ne ovise o opterećenju

(struji) transformatora [9].

11

3.3 Modeliranje zavojnice

Karakteristike zavojnice dobivene su mjerenjem efektivne vrijednosti struje zavojnice kao

funkcije efektivne vrijednosti napona zavojnice, i gubitaka u zavojnici kao funkcije efektivne

vrijednosti napona zavojnice. Te karakteristike transformiraju se u trenutne karakteristike

nelinearne zavojnice u obliku nelinearnog induktiviteta, što predstavlja učinak zasićenja, u

paraleli s nelinearnim otporom, što predstavlja gubitke u zavojnici. Trenutne karakteristike

sastoje se od vršnih vrijednosti struje kroz otpornik, struje induktiviteta, napona i toka na

induktivitetu. Nesigurnosti karakteristika su definirane kroz nesigurnosti vršnih vrijednosti.

Izrazi za nesigurnost trenutnih karakteristika izvedeni su i izračunavaju se na primjeru koji

pokazuje značajnu ovisnost nesigurnosti trenutnih karakteristika na nesigurnost izmjerenih

efektivne vrijednosti struje, efektivne vrijednosti napona i gubitaka u zavojnici [1].

U ovom radu nelinearna zavojnica opisuje namote transformatora sa željeznom jezgrom ili

namote reaktora sa željeznom jezgrom bez zračnog raspora. Poteškoća pri modeliranju

nelinearne zavojnice leži u zasićenju, histerezi i vrtložnim strujama. Najuobičajeniji model je

definiran na nelinearnoj, ne jednoznačnoj ovisnosti između trenutnih vrijednosti struje svitka i

toka svitka [1].

Bitno je zadržati teoretske osnove i pripadajuća mjerenja potrebna za modeliranje što

jednostavnijima kako bi se omogućila široka praktična primjena modela [1].

Za izgradnju modela nelinearne zavojnice moramo se osloniti na rezultate standardnih mjerenja

koje provodi proizvođač primjenom promjenljivog sinusoidalnog napona na zavojnicu, a pri

tome mjeri efektivnu vrijednost struje kroz zavojnicu I, gubitke u zavojnici P i efektivnu

vrijednost napona na zavojnici U. Rezultati standardnih mjerenja zatim su prikazani u obliku

dvije karakteristike [1]: efektivna vrijednost struje kroz zavojnicu kao funkcija efektivne

vrijednosti napona na zavojnici I(U) (slika 3.2) i gubitke u svitku kao funkcija efektivne

vrijednosti napona na zavojnici P(U) (slika 3.3).

12

Sl. 3.2. Primjer karakteristike I(U) [1]

Sl. 3.3. Primjer karakteristike P(U) [1]

Najčešće korištenu metodu pretvaranja tih karakteristika u trenutne karakteristike su uveli Neves

i Dommel, a primjenjena je u EMTP(Electromagnetic Transients Program). Prema toj metodi,

nelinearna zavojnica je modelirana kao nelinearni induktivitet, što predstavlja efekt zasićenja, u

paraleli s nelinearnim otporom, što predstavlja gubitke u zavojnici (slika 3.4.). Pri tome se otpor

namota zanemaruje (što znači da su gubici samo u željeznoj jezgri u vidu histereze) [1].

13

Sl. 3.4. Model nelinearne zavojnice [1]

Karakteristika otpora i induktiviteta se definira kao linearna karakteristika sastavljena iz dijelova,

tj. N parova vršnih vrijednosti induktiviteta struje i toka, te N parova vršnih vrijednosti otpora

napona i otpora struje, odnosno [1]:

(3-4)

(3-5)

N je broj izmjerenih efektivnih vrijednosti napona na zavojnici U, efektivnih vrijednosti struje

kroz zavojnicu I, i gubitaka na zavojnici P: (U1, I1, P1), (U2, I2, P2), ..., (UN, IN, PN) [1].

Sl. 3.5. Primjer karakteristike [1]

14

Sl. 3.6. Primjer karakteristike [1]

Budući da nema mjerenja bez slučajnih pogrešaka, karakteristike prikazane na slikama 3.5. i 3.6.

kao mjerni rezultat ne bi trebao biti shvaćen jednoznačno.

Prema tome, način računanja karakteristika povećava utjecaj mjerne nesigurnosti, tj. slučajne

greške, ali i pogreške općenito. Naime, karakteristika nelinearnog otpornika izračunata je

iz mjerenih parova (P, U), a njena pogreška ovisi o pogreškama izmjerenih vrijednosti.

Karakteristika nelinearne prigušnice računa se od parova ( , U). Time se srednje

kvadratna vrijednost struje induktiviteta izračunava pomoću izmjerene srednje kvadratne

vrijednosti struje kroz zavojnicu I i srednje kvadratne vrijednosti struje kroz otpornik , koja se

određuje pomoću izračunatih karakteristika nelinearnog otpora . Prema tome, pogreška

izračunate karakteristike nelinearne prigušnice obuhvaća pogreške izračunate

karakteristike uključujući i pogreške izmjerenih vrijednosti P, I, U [1].

15

4 METODE

4.1 GUM

Mjerna nesigurnost može se odrediti na različite načine. Široko upotrebljavana i prihvaćena

metoda, npr. metoda koju su prihvatila akreditacijska tijela, jest “GUM metoda” koju

preporučuje ISO, a koja je opisana u Uputama za iskazivanje mjerne nesigurnosti.

Bitne točke GUM metode i filozofija na kojoj se ta metoda temelji dani su u nastavku.

Primjer [4]:

Mjerni se rezultat iskazuje u potvrdi u obliku:

(4-1)

pri čemu se nesigurnost U ne daje s više od dvije važne znamenke, a y se na odgovarajući način

zaokružuje na isti broj znamenaka, u ovome primjeru na sedam znamenaka.

Otpor se mjeri ommetrom s očitanjem od , pri čemu mjerilo otpora u skladu sa

specifikacijama proizvođača ima nesigurnost od ; u potvrdi je naveden rezultat:

(4-2)

Faktor pokrivanja jednak je k = 2. Nesigurnost navedena u mjernome rezultatu obično je

povećana nesigurnost izračunata množenjem sastavljene standardne nesigurnosti brojčanim

faktorom pokrivanja, često k = 2, koji odgovara odsječku s razinom povjerenja od približno 95%.

Filozofija nesigurnosti prema GUM-u [4]:

1) Mjerna veličina X, čija vrijednost nije točno poznata, smatra se stohastičkom varijablom

(varijabla sa slučajnom vrijednosti) s funkcijom vjerojatnosti.

2) Mjerni rezultat x procjena je očekivane vrijednosti E(X).

3) Standardna nesigurnost jednaka je drugomu korijenu procjene varijancije .

4) Određivanje A vrste - očekivanje i varijancija procjenjuju se statističkom obradbom

opetovanih (ponavljanih i obnavljanih) mjerenja.

5) Određivanje B vrste - očekivanje i varijancija procjenjuju se drugim metodama. Najčešće se

upotrebljava metoda da se na temelju iskustva ili drugih podataka pretpostavi razdioba

vjerojatnosti, npr. pravokutna razdioba.

16

GUM metoda - utemeljena na filozofiji GUM-a [4]:

1) Utvrditi sve važne sastavnice mjerne nesigurnosti - Postoje mnogi izvori koji mogu

pridonijeti mjernoj nesigurnosti. Primjenjuje se model stvarnoga mjernog procesa kako bi se

identificirali izvori (u matematičkome modelu je to upotreba mjerne veličine).

2) Izračunati standardnu nesigurnost svake sastavnice mjerne nesigurnosti - Svaka sastavnica

mjerne nesigurnosti izražava se na temelju standardne nesigurnosti koja se određuje iz

određivanja nesigurnosti tipa A ili tipa B.

3) Načelo izračunavanja sastavljene nesigurnosti:

Sastavljena nesigurnost izračunava se sastavljanjem pojedinačnih sastavnica nesigurnosti u

skladu sa zakonom prijenosa nesigurnosti.

U praksi:

- Za zbroj ili razliku sastavnica, sastavljena nesigurnost izračunava se kao drugi

korijen zbroja kvadrata standardnih sastavnica nesigurnosti.

(4-3)

gdje mjerena veličina, a p i q su komponente nesigurnosti.

- Za umnožak ili količnik sastavnica, primjenjuje se isto pravilo “zbroj/razlika” za

relativne standardne nesigurnosti sastavnica.

4) Izračunati povećanu nesigurnost:

Pomnožite sastavljenu nesigurnost s faktorom pokrivanja k.

(4-4)

5) Iskazati mjerni rezultat u obliku:

(4-5)

GUM metoda (engl. The Guide to Expression of Uncertainty in Measurement) je izvorno

objavljena u suradnji sedam međunarodnih organizacija. Sedam organizacija su BIPM (engl.

International Bureau of Weights and Measures), IEC (engl. International Electrotechnical

Commission), IFCC (engl. International Federation of Clinical Chemistry), ISO (engl.

International Organisation for Standardization), IUPAC (engl. International Union of Pure and

Applied Chemistry), IUPAP (engl. International Union of Pure and Applied Physics) i OIML

(engl. International Organisation of Legal Metrology) [2].

Jednadžba modela izražava postupak mjerenja i rezultat kroz matematički izraz. Izraz opisuje

ovisnost izlazne veličine o ulaznim veličinama. U većini slučajeva bavimo se s analitičkim

izrazom. Jednadžba modela može biti skupina takvih izraza koji uključuju ispravke. Na taj način

17

se može doći na više kompliciranih odnosa, koji se ne moraju se izraziti u samo jednoj funkciji.

Označimo li izlaznu veličinu s Y, a ulazne veličine s X uz odgovarajuće indekse, tada, u općem

slučaju, jednadžba modela ima oblik:

(4-6)

Primjer jednadžbe modela za mjerenje električne snage:

Ako uzmemo za primjer električni otpornik. Otpor je ovisan o temperaturi. Pretpostavimo da

postoji linearni temperaturni koeficijent α, koji opisuje ovisnost otpora o temperaturi. Napon

se nanosi na otpornik. Otpornik ima referentnu vrijednost na fiksnoj temperaturi .

Električna snaga onda se može zapisati:

t

(4-7)

Uz korištenje poznatih fizičkih odnosa, uspostavljena je jednadžba modela i opisujuje proces

mjerenja električne snage. Treba imati na umu da će drugačiji postupci i drugačija oprema za

mjerenje snage dovesti do različitih jednadžbi modela.

4.2 Monte Carlo simulacija

Kako bi se prevladale teškoće u nekim područjima GUM metode, preporučuje se korištenje

Monte Carlo simulacije kao alternativa za ocjenu mjerne nesigurnosti. Monte Carlo simulacija

teoretski koristi informacije o ulazu koji utječe na nesigurnost svojom razdiobom vjerojatnosti,

generirajući slučajne vrijednosti od tih razdioba, a time i dobiva distribuciju rezultata u teoriji.

Monte Carlo koristi razdiobu vjerojatnosti ulaznih varijabli, umjesto njihove razlike, kao što se

koristi u GUM metodi. Ova metoda definira funkciju gustoće vjerojatnosti za svaki ulaz, koja se

potom koristi zajedno s koeficijentima osjetljivosti da se dobije varijabla utjecaja Y. Mjerna

nesigurnost se određuje prema željenom intervalu pokrivenosti (obično 95%).

Osnovni koraci kod provedbe Monte Carlo metode su [3]:

a) odabir broja iteracija

b) uzorkovanje funkcije gustoće vjerojatnosti i vrednovanje modela

c) slaganje vrijednosti modela u strogo rastući red

d) procjena srednje vrijednosti izlazne veličine

e) procjena odgovarajućeg intervala pokrivenosti (coverage interval)

18

Uvjeti za primjenu Monte Carlo metode su sljedeći [3]:

a) f je neprekinuta funkcija s obzirom na elemente iz skupa u okolici najboljih procjena

,

b) funkcija razdiobe od je kontinuirana i strogo rastuća,

c) funkcija gustoće vjerojatnosti od je

- neprekinuta na intervalu gdje je funkcija gustoće vjerojatnosti pozitivna,

- unimodalna (ima jedan ekstrem),

- strogo rastuća (ili nula) lijevo od ekstrema i strogo padajuća (ili nula) desno od

ekstrema,

d) postoje matematičko očekivanje i varijanca ,

e) dovoljno velik broj iteracija M.

Monte Carlo simulacija ne zahtijeva izračun koeficijenata osjetljivosti putem parcijalnih

derivacija, što može biti jedan od čimbenika koji komplicira korištenje GUM metode. Još jedna

prednost je to što je moguće dobiti asimetričnu razdiobu vjerojatnosti. Monte Carlo se može

koristiti nezavisno za izračun nesigurnosti, ali se također može koristiti i za provjeru izračuna

dobivenih iz GUM metode.

Pri uporabi ove metode treba obratiti pozornost na vrstu slučajno generiranih algoritama i

veličinu slučajnih brojeva. Takvi čimbenici mogu izravno utjecati na kvalitetu rezultata

simulacije.

19

5 RAČUNANJE MJERNE NESIGURNOSTI GUM METODOM

Apsolutna i postotna standardna nesigurnost vršne vrijednosti struje otpora i vršne vrijednosti

struje induktiviteta se računaju, koristeći sljedeće jednadžbe [1]:

(5-1)

(5-2)

=

∙100% (5-3)

=

∙100% (5-4)

U primjeru su uzeti sljedeći postotci vrijednosti nesigurnosti napona: 0,5%, 1,0%, 1,5%, dok su

vrijednosti nesigurnosti struje i snage kroz čitav primjer 0,5%.

Karakteristike nelinearne zavojnice izmjerene su pokusom u laboratoriju i prikazane u tablici

5.1.

Tablica 5.2 prikazuje izračunate vrijednosti karakteritike.

Tab 5.1. Vrijednosti rezultata mjerenja za n=17

k , V , A , W

1 0,1402 0,0440 0,0039 2 0,2855 0,0727 0,0149

3 0,4146 0,0949 0,0308

4 0,5438 0,1189 0,0519

5 0,6699 0,1507 0,0779

6 0,8021 0,2114 0,1128

7 0,8286 0,2312 0,1218

8 0,8792 0,2856 0,1415

9 0,9138 0,3433 0,1558

10 0,9571 0,4762 0,1827

11 0,9836 0,7427 0,2149

12 1,0288 1,4469 0,2687

13 1,0607 2,9952 0,3403

14 1,0761 4,0149 0,3761

15 1,0976 6,6097 0,4657

16 1,1174 9,5728 0,5910

17 1,1503 17,7254 1,0746

20

Karakteristike zavojnice prikazane u tablici 5.1 dobivene su mjerenjem efektivne vrijednosti

struje zavojnice kao funkcije efektivne vrijednosti napona zavojnice, i gubitaka u zavojnici kao

funkcije efektivne vrijednosti napona zavojnice.

Kao što je spomenuto ranije, metodu pretvaranja tih karakteristika u trenutne karakteristike su

uveli Neves i Dommel, a primjenjena je u EMTP (Electromagnetic Transients Program).

Trenutne karakteristike sastoje se od vršnih vrijednosti struje kroz otpornik, struje induktiviteta,

napona i toka na induktivitetu.

Tab 5.2. Izračunate vrijednosti karakteristike za n=17

k , A , A , A , A

1 5.91 0.007 0.019 0.009

2 12.03 0.013 0.038 0.012

3 17.48 0.020 0.056 0.013

4 22.92 0.025 0.073 0.018

5 28.24 0.030 0.090 0.028

6 33.81 0.038 0.108 0.052

7 34.93 0.041 0.111 0.062

8 37.07 0.046 0.118 0.087

9 38.52 0.049 0.123 0.117

10 40.35 0.061 0.128 0.184

11 41.46 0.084 0.132 0.362

12 43.37 0.095 0.138 0.681

13 44.72 0.145 0.142 1.620

14 45.37 0.150 0.144 2.110

15 46.27 0.222 0.147 3.660

16 47.11 0.304 0.150 5.029

17 48.49 0.679 0.154 9.300

21

Sl. 5.1. ) karakteristika

Za ) karakteristiku, krivulju „Original“ iz slike 5.1. dobijemo na način da vrijednosti iz

tablice 5.1. postavimo na apscisu, a vrijednosti na ordinatu.

Ako se uzme za primjer točka 12 ( ), apsolutna vrijednost nesigurnosti za

iznosi 0,0076 A, što znači da se za tu vrijednost mjerne nesigurnosti stvarna

vrijednost nalazi u rasponu od 0,0874 A do 0,1026 A.

22

Tab 5.3. Apsolutne nesigurnosti za )

0,5 % 1 % 1,5 %

0,00005 0,00008 0,00012

0,00014 0,00024 0,00035

0,00029 0,00051 0,00074

0,00046 0,00081 0,0012

0,00065 0,0012 0,0017

0,00088 0,0016 0,0023

0,0026 0,0048 0,0071

0,0023 0,0044 0,0064

0,0030 0,0056 0,0082

0,0036 0,0069 0,0102

0,0079 0,0155 0,0232

0,0076 0,0148 0,0221

0,0135 0,0267 0,0400

0,0249 0,0494 0,0740

0,0325 0,0646 0,0968

0,0524 0,1045 0,1566

0,0863 0,1723 0,2583

Na slici 5.2. nalazi se 7 krivulja: krivulja „Original“, 3 krivulje koje predstavljalju „+“

nesigurnost i 3 krivulje koje predstavljaju „-“ nesigurnost. Krivulje koje predstavljaju

nesigurnosti raspoređene su vrlo gusto na slici 5.2. pa su teško vidljive (izgedaju kao jedna

krivulja). U tablici 5.4. vidi se da su krivulje zapravo samo vrlo gusto raspoređene na slici (npr.

za točku u kojoj je = 0.028 A, apsolutne nesigurnosti su 0.00082, 0.000907 i 0.0010 A.

23

Sl. 5.2. ) karakteristika

Tab 5.4. Apsolutne nesigurnosti za )

0,5 % 1 % 1,5 %

0,000087 0,000103 0,000124

0,00023 0,000264 0,000315

0,00049 0,000588 0,000726

0,00072 0,000868 0,0011

0,00082 0,000907 0,0010

0,00087 0,000916 0,000994

0,0027 0,0043 0,0062

0,0028 0,0049 0,0071

0,0051 0,0096 0,0142

0,0076 0,0147 0,0219

0,0242 0,0480 0,0719

0,0334 0,0662 0,0991

0,1024 0,2040 0,3058

0,2786 0,5559 0,8334

0,3845 0,7674 1,1506

0,5818 1,1609 1,7406

0,6993 1,3935 2,0889

24

Tablice 5.5 i 5.6 pokazuju postotne nesigurnosti vršnih vrijednosti struje otpora i struje

induktiviteta, i , izračunate pomoću jednadžbi (5-3) i (5-4). Cjeloviti

proračuni i konačni rezultati su preopsežni za rad, pa je za izračune korišten programski jezik

visoke razine - MATLAB.

Tab 5.5. Postotne nesigurnosti za )

0,5 % 1 % 1,5 %

0.71 1.14 1.71

1.08 1.85 2.69

1.45 2.55 3.70

1.84 3.24 4.80

2.17 4.00 5.67

2.32 4.21 6.05

6.34 11.70 17.32

5.00 9.57 13.91

6.12 11.43 16.73

5.90 11.31 16.72

9.40 18.45 27.62

8.00 15.58 23.26

9.31 18.41 27.59

16.60 32.93 49.33

14.64 29.10 38.04

17.24 34.38 51.51

12.71 25.38 38.04

Možemo primjetiti u tablici 5.5 kako je najveća postotna nesigurnost izmjerena za vršnu

vrijednost struje i iznosi 51.51% odnosno A.

25

Tab 5.6. Postotne nesigurnosti za )

0,5 % 1 % 1,5 %

0.97 1.14 1.37

1.92 2.20 2.63

3.77 4.52 5.58

4.00 4.82 6.11

2.93 3.24 3.57

1.67 1.76 1.91

4.35 6.94 10.00

3.22 5.63 8.16

4.36 8.21 12.14

4.13 7.99 11.90

6.69 13.26 19.86

4.90 9.72 14.55

6.32 12.59 18.88

13.20 26.35 39.50

10.51 20.97 31.44

11.57 23.08 34.61

7.52 14.98 22.46

U tablici 5.6 se pak se najveća nesigurnost pojavljuje kod vršne vrijednosti struje

i iznosi 39.5% odnosno A.

26

6 ZAKLJUČAK

Najčešći model nelinearne zavojnice je definiran nelinearnom ne jednoznačnom ovisnosti

između trenutne vrijednosti struje svitka i toka svitka, koji može biti predstavljen kao nelinearni

induktivitet, što predstavlja efekt zasićenja, paralelno s nelinearnim otporom, što predstavlja

gubitak u zavojnici. Za izgradnju modela nelinearne zavojnice, treba se osloniti na rezultate

standardnih mjerenja provedenih od strane proizvođača i predstavljenih u obliku dvije

karakteristike: efektivna struja svitka u ovisnosti o efektivnom naponu zavojnice, , i

gubitaka u zavojnici u ovisnosti od efektivne vrijednosti napona zavojnice, . Smanjenje

broja mjerenja smanjuje nesigurnosti karakteristike, ali također u isto vrijeme smanjuje glatkoću

karakteristika [1].

Buduća istraživanja će se baviti primjenom numeričkih metoda kako bi se pojednostavile

analitičke metode prezentirane u radu. Pri tome, linearnost funkcija će se provjeriti kako bi se

potvrdila primjenjivost Taylorovog reda za izračun mjerne nesigurnosti. Nadalje, utjecaj broja

mjerenja na mjernu nesigurnosti i sustavne pogreške će se detaljnije istražiti.

27

LITERATURA

[1] K. Milicevic, I. Biondic, D. Vulin: „Measurement uncertainty of the instantaneous

characteristics of nonlinear coil“, Elektrotehnički fakultet u Osijeku, Sveučilište u

Osijeku, 31000 Osijek, Hrvatska

[2] Danish Technological Institute: "Guide to the Expression of Uncertainty in

Measurement", 2005. Dostupno na:

http://www.gum.dk/e-gumfaq-publishers/GUMpublishers.html

[3] I. Tolić, „Pregled područja vezano uz načine izračuna mjerne nesigurnosti te njihove

prednosti i nedostatci“ 22.04.2014.

[4] P. Howarth, F. Redgrave, „Metrology in short, 3rd edition“, July 2008. Prijevod M.

Molnar, „Mjeriteljstvo ukratko, 3. izdanje“, Listopad 2010.

[5] „Zavojnica“. Dostupno na:

http://sh.wikipedia.org/wiki/Zavojnica

[6] „Električna zavojnica“. Dostupno na:

http://hr.wikipedia.org/wiki/Električna_zavojnica

[7] Svijet kvalitete, Umjeravanje, „Mjerna nesigurnost“, Listopad 2013. Dostupno na:

http://www.svijet-kvalitete.com/index.php/umjeravanje/1533-mjerna-nesigurnost

[8] D. Ilić, „Mjerna nesigurnost“, Zavod za osnove elektrotehnike i elektrotehnička mjerenja,

Fakultet elektrotehnike i računarstva, Sveučilište u Zagrebu, Zagreb 2013. Dostupno na:

http://www.fer.unizg.hr/_download/repository/TM-tema-4-13.pdf

[9] D. Vučetić, „Brodski električni uređaji“, 2012. Dostupno na:

http://www.pfri.uniri.hr/~vucetic/BEU_BS_2012.pdf

[10] Leksikografski zavod Miroslav Krleža, Hrvatska enciklopedija, „Histereza“, 2013.

Dostupno na:

http://www.enciklopedija.hr/Natuknica.aspx?ID=25742

28

SAŽETAK

Rad prikazuje utjecaj mjerne nesigurnosti napona na mjernu nesigurnost karakteristike

nelinearne zavojnice. Karakteristike nelinearne zavojnice izmjerene su pokusom u laboratoriju.

Izmjerene karakteristike unešene su u programski jezik visoke razine (MATLAB) u obliku

matrice 17x3. Pomoću programa su izračunate mjerne nesigurnosti za vrijednosti nesigurnosti

struje od 0,5%, 1,0% i 1,5%. Nakon toga rezultati su prikazani tablično i grafički.

Ključne riječi: Mjerna nesigurnost, nelinearna zavojnica, MATLAB, karakteristika

ABSTRACT

The paper provides the influence of measurement uncertainty of current to measurement

uncertainty characteristics of nonlinear coil. Characteristics of nonlinear coils were measured

experimentally in the laboratory. Measured characteristics were incorporated in a high level

language (MATLAB) in the form of a matrix 17x3. With MATLAB the calculated measurement

uncertainty for the value of the current uncertainty of 0.5%, 1.0% and 1.5%. After that, the

results are presented in tables and graphs.

Key words: Measurement uncertainty, nonlinear coil, MATLAB, characteristics

29

ŽIVOTOPIS