บทที่ 0 บทน า introduction)¸• วอย าง 0.1.3...

◙ 321211 Linear Algebra I

____________________________________________________________________________________________________________________

0. Introduction System of Linear Equations and Matrices ◙ W.T.Math.KKU 1

บทท 0 บทน า ( Introduction)

ในบทนจะกลาวถงบทนยาม และ ทฤษฏบทพนฐานทส าคญเกยวกบ ระบบสมการเชงเสน และ เมทรกซ โดยจะเนนเฉพาะบทนยามและทฤษฏบทบททส าคญโดยไมมการพสจนและอาจยกตวอยางในประเดนทเหนวามความส าคญในการหาขอสรป เพอจะไดน าไปอางองไดอยางชดเจนในบทตอไป ในแตละหวขอมแบบฝกหดเพอฝกทกษะและเสรมความเขาใจในเนอหา

0.1 ระบบสมการเชงเสน (System of Linear Equations) ในหวขอนจะกลาวถงระบบสมการเชงเสนโดยจะเนนสรปถงลกษณะเบองตนเกยวกบการมผลเฉลย และ การไมมของผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน การหาผลเฉลยเชงตวเลขของระบบสมการเชงเสนเปนเครองมอทางคณตศาสตรหนงทน าไปใชใน สาขาวชาตางๆเชน คณตศาสตร วทยาศาสตร วศวกรรมศาสตร มนษยศาสตร สงคมศาสตร และสาขาอนๆทตวปญหาสามารถแปลงมาเปนตวแบบเชงคณตศาสตรทเรยกวา ระบบสมการเชงเสน (System of linear equations) โดยทวไปจะพจารณาสมการเชงเสนทม n ตวแปรอาจเขยนในรป

1 1 2 2 3 3 ... n na x a x a x a x b (1.1) เมอ n , b , ia , ix เปน ตวแปร (Variable) เมอ 1,2,3,...,i n และ ผลเฉลย (Solution) ของสมการ (1.1) หมายถงคาของตวแปร n ตวทเมอแทนคาลงในสมาการ (1.1) แลวท าใหสมการดงกลาวเปนจรง สมการเชงเสนทม 2 ตวแปรใน 2 ในทางเรขาคณตสามารถแทนดวยเสนตรง และสมการเชงเสนทม 3 ตวแปรใน 3 ในทางเรขาคณตสามารถแทนดวยระนาบ พจารณาระบบสมการเชงเสนทม m สมการ และ n ตวแปร ในรป

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

..................................... ...

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

(1.2)

เมอ n , ib , ija และ jx เปน ตวแปร (Variable) เมอ 1,2,3,...,i m และ 1,2,3,...,j n ผลเฉลยของระบบสมการ (1.2) หมายถงคาของตวแปร n ตวทท าใหสมการเปนจรงทง m สมการและโดยทวไปแลวระบบสมการอาจจะม หรอไมมผลเฉลยกได หมายเหต 0.1.1 ลกษณะของระบบสมการเชงเสนชนดพเศษ

1) ระบบสมการ (1.2) ทมเงอนไขวา 1 2 ... 0mb b b จะเรยกวา ระบบสมการเอกพนธ (Homogeneous System)


____________________________________________________________________________________________________________________


2) ในระบบสมการเอกพนธ จะเหนวา 1 2 ... 0nx x x เปนผลเฉลยชดหนง เสมอ จะเรยกผลเฉลยนวา ผลเฉลยชด (Trivial Solution) ผลเฉลยอนๆทมตวแปรบางตวไมเปนศนย จะเรยกวา ผลเฉลยไมชด (Nontrivial Solution)

พจารณาระบบสมการเชงเสนทม r สมการ และ n ตวแปร

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

... ... ... ... ... ... ...

...

n n

n n

r r rn n r

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

(1.3)

ระบบสมการ (1.2) และ (1.3) จะเรยกวา เปนระบบสมการท สมมล (Equivalent ) กน กตอเมอ ระบบสมการทงสองมผลเฉลยทเหมอนกน ในเบองตนสามารถหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนดวยการด าเนนการขนมลฐาน 3 วธ ทยงคงท าใหระบบสมการสมมลกนอยตลอดเวลา ซงเรยกวา วธการก าจดตวแปร (Elimination method) ดงน

1) การสลบสมการท i กบสมการท j 2) การคณสมการท i ดวยคาคงททไมเปนศนย 3) การแทนสมการท i โดยการน าคาคงท c คณสมการท j แลวน ามาบวกกบสมการท i

ดงตวอยางตอไปน ตวอยาง 0.1.1 จงหาผลเฉลยของ

3 3

2 8

x y

x y

(1.4)

วธท ำ ก าหนดสมการ (1) และ (2) ดงน

3 3 (1)

2 8 (2)

x y

x y

น าคาคงท 2 คณสมการ (1) จะไดระบบสมการทยงสมมลกบระบบสมการเดมคอ

2 6 6 (3)

2 8 (4)

x y

x y

น าคาคงท 1 คณสมสมการท (4) แลวน าไปบวกสมการ (3) จะได

7 14 (5)y

น าคาคงท 1

7 คณสมการ (5) จะได 2y

แทนคา 2y แทนในสมการ (1) จะได 3x ดงนนผลเฉลยของระบบสมการ (1.4) คอ 3x และ 2y ■


____________________________________________________________________________________________________________________


ขอสงเกต ลกษณะการมเพยงหนงผลเฉลย สามารถเปรยบเทยบไดกบ ขอเทจจรงทางเรขาคณตทวาเสนตรงสองเสนทไมขนานกนจะตดกนไดเพยงหนงจดเทานน ตวอยาง 0.1.2 จงหาผลเฉลยของ

3 7

2 6 7

x y

x y

(1.5)


3 7 (1)

2 6 7 (2)

x y

x y


2 6 14 (3)

2 6 7 (4)

x y

x y

จะเหนไดชดวา ไมวาจะแทนคา ตวแปรดวยจ านวนจรงใดๆกตาม ไมสามารถทจะท าใหสมการ (3) และ สมการ (4) เปนจรงทงสองสมการได แสดงวา ระบบสมการ (1.5) ไมมผลเฉลย ■ ขอสงเกต ลกษณะการไมมผลเฉลย สามารถเปรยบเทยบไดกบ ขอเทจจรงทางเรขาคณตทวาเสนตรงสองเสนทขนานกนจะไมตดกน ตวอยาง 0.1.3 จงหาผลเฉลยของ

3 6

2 6 12

x y

x y

(1.6)


3 6 (1)

2 6 12 (2)

x y

x y


2 6 12 (3)

2 6 12 (4)

x y

x y

ดงนนถาก าหนด x p เมอ p จะไดวา 2 12 6

6 3

p py

แสดงวาระบบสมการ (1.6) มจ านวนผลเฉลยมากเปนอนนต ■ ขอสงเกต ลกษณะการมผลเฉลยมากเปนอนนต สามารถเปรยบเทยบไดกบ ขอเทจจรงทางเรขาคณตทวาเสนตรงสองเสนททบกน จะมจดรวมกนเปนจ านวนอนนต หมายเหต 0.1.2 ในกรณทวไป ผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนทม m สมการ และ n ตวแปรจะเปนไปเพยงกรณใดกรณหนง ใน 3 กรณดงตอไปนเทานน 1) การมเพยงหนงผลเฉลย

2) การไมมผลเฉลย 3) การมผลเฉลยเปนอนนต


____________________________________________________________________________________________________________________


การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนอาจท าไดสะดวก และมประสทธภาพสงขน โดยการประยกตใชเมทรกซดงจะกลาวสรปในหวขอตอไปน

แบบฝกหด 0.1 ● ในขอ 1-7 จงแกระบบสมการเชงเสนโดยใชวธการก าจดตวไมทราบคา (Elimination method) 1. 2 3 2x y 2 0x 2. 4 0x

3 2 3x y 3. 3 2 4x y

2 4

3 3x y

4. 3 2 2 2x y z 3 3x y z 2 2x y z 5. 2 2 2 3x y z

5 1x z 3 2 3 3x y z 6. 1 2 33 4 3 0x x x

1 2 33 4 3 4x x x 7. 1 2 3 42 2 3x x x x

1 2 3 42 2 3x x x x ●ในขอ 8-9 จงแกสมการหาคาของ ,x y และ z ทอยในรปของ ,a b และ c 8. 2x y a 3 2x y b 9. 3 3x y z a x z b ● ในขอ 10-12 จงใหขอจ ากดคา ,a b และ c ทท าใหระบบสมการเชงเสนมผลเฉลย 10. 2x y a 2 4 2x y 11. 2x y a 2x y b


____________________________________________________________________________________________________________________


12. 2 4x y z a 2x y z b 3 3x y z c ●ในขอ 13-14 จงหาคาของ a ทท าใหระบบสมการเชงเสนไมมผลเฉลย 13. 2x y

2 3x ay 14. 2x y 3 3x y a ●ในขอ 15-16 จงหาสมการพาราโบลา 2y ax bx c ซงผานจดสามจดทก าหนด และหาจดยอดของสมการพาราโบลานน 15. 0,0.25 , 1, 1.75 , 1,4.25 16. 0.5, 3.25 , 1,2 , 2.3,2.91 17. จงหาจดตดของเสนตรง 1, 6 5 3x y x y และ 12 5 39x y พรอมวาดกราฟอยางคราวๆ 18. จงยกตวอยางระบบสมการเชงเสนขนาด 2 2 ทซง

(a) มผลเฉลยเพยงหนงเดยว (b) มผลเฉลยเปนจ านวนอนนต (c) ไมมผลเฉลย

0.2 เมทรกซ (Matrix)

กระบวนการหาผลเฉลยของระบบสมการ (1.2) โดยวธการก าจดตวแปร จะเหนวาสงทมการเปลยนแปลง กคอสมประสทธของตวแปร และตวเลขทอยดานขวาของสมการเทานน โดยไมมความจ าเปนในการเขยนตวแปรเลย ซงเปนแนวคดเบองตนในการน า เมทรกซ (Matrix) มาประยกตใชในการแกระบบสมการาเชงเสนไดอยางสะดวก และ มประสทธภาพกวาเดม ดงจะไดศกษาในหวขอตอไปน บทนยาม 0.2.1 ให m และ n เปนจ านวนเตมบวก เมทรกซ A ของจ านวนจรงทม m แถว (Row) และ ม nหลก (Column) หมายถงการจดเรยงจ านวนใหอยในรปสเหลยมผนผา และเขยนแทนดวย

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

(1.7)

หรออาจเขยนแทนดวย ij m n

A a

(1.8)


____________________________________________________________________________________________________________________


เมอ ija เปนสมาชกในแถวท i และ หลกท j และ m เปนจ านวนแถว n เปนจ านวนหลก และเรยก m n วาขนาดของเมทรกซ □

1. หมายเหต 0.2.1 เมทรกซลกษณะพเศษทส าคญ

1) ถา m n จะเรยกเมทรกซ ij n nA a

วา เมทรกซจตรส (Square matrix) และเรยก

สมาชก 11 22, ,..., nna a a วา สมาชกในแนว ทแยงมมหลก (Main Diagonal) 2) ถา 0, 1,2,..., , 1,2,...,ija i m j n จะเรยกเมทรกซ ij m n

A a

วา เมทรกซศนย (Zero

matrix) อาจเขยนแทนดวย 0m n

A

หรอ A= 0 ในการศกษาระบบคณตศาสตรใดๆกตาม หลงจากทรจกสมาชกของระบบนนแลว สงส าคญตอมากคอศกษาการเทากนของสมาชกในระบบนน และในระบบเมทรกซมบทนยามดงน บทนยาม 0.2.2 ให ij m n

A a

และ ij m nB b

เมทรกซ A เทากบ เมทรกซ B เขยนแทนดวย A= B ถา

, 1,2,...,ij ija b i m และ 1,2,...,j n □

การนยามการด าเนนการในระบบคณตศาสตรใดอาจนยามไดมากมาย แตในพนฐานนยมน ามาศกษาเฉพาะการด าเนนการทส าคญทมประโยชนในการน าไปประยกตเพอแกปญหาจรงเทานน บทนยามเกยวกบการด าเนนการของเมทรกซ ทส าคญมดงตอไปน บทนยาม 0.2.3 ให ij m n

A a

และ ij m nB b

ผลบวกเชงเมทรกซ (Matrix addition) ของ A และ B

เขยนแทนดวย A B ก าหนดโดย ij m n

A+ B c

(1.9)

เมอ , 1,2,...,ij ij ijc a b i m และ 1,2,...,j n □ ตวอยาง 0.2.1 จงหา A B เมอก าหนด

3 2 5

4 1 3A

และ

4 2 3

0 5 3B

วธท า เนองจากเมทรกซทงสองมขนาดเหมอนกน จงสามารถหาผลบวกไดตามบทนยามดงน

3 ( 4) 2 2 5 ( 3) 1 0 2

4 0 1 ( 5) 3 3 4 4 0A B

■

บทนยาม0.2.4 ให ij m nA a

และ r เปนสเกลาร ผลคณเชงสเกลาร (Scalar Multiplication) ของ r และ

A เขยนแทนดวย rA ก าหนดโดย ij m n

rA c

(1.10)

เมอ , 1,2,...,ij ijc ra i m และ 1,2,...,j n □ หมายเหต 0.2.2 จากบทนยามการบวก และ การคณดวยสเกลาร สามารถนยามการลบไดดงน


____________________________________________________________________________________________________________________


1) ให A และ B เปนเมทรกซใดๆ 1r จะไดวา ( 1)B = B และสามารถนยามการลบเมทรกซไดวา ( )A B= A+ B

2) ถา A เปนเมทรกซใดๆจะไดวา ( ) ( )A+ A A + A= 0 และเรยก A วาตวผกผนการบวกของ A ตวอยาง 0.2.2 จงหา 2A- B เมอก าหนด

3 2 5

4 1 3A

และ 4 2 3

0 5 3B

วธท า เนองจากเมทรกซทงสองมขนาดเหมอนกน จงสามารถหาผลบวกไดตามบทนยามคอ

2(3) ( 4) 2( 2) 2 2(5) ( 3) 10 6 132

2(4) 0 2(1) ( 5) 2( 3) 3 8 7 9A B

■

บทนยาม 0.2.5 ให ij m pA a

และ ij p n

B b

ผลคณเชงเมทรกซ (Matrix Multiplication) A และ B

เขยนแทนดวย AB ก าหนดโดย ij m n

AB c

(1.11)

เมอ 1

p

ij ik kj

k

c a b

โดยท 1,2,...,i m และ 1,2,...,j n □

หมายเหต 0.2.3 จากบทนยามการคณ เมอพจารณาจากการแจกแจงสมาชกตามแผนผง จะเหนวา จ านวนหลกของตวตงจะเทากบจ านวนแถวของตวคณ นนคอสามารถเอาแตละแถวของตวตง ประกบกบแตละหลกของตวคณไดพอด

11 12 1

21 22 2

1 2

1 2

...

...

...

...

p

p

i i ip

m m mp

a a a

a a a

a a a

a a a

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

... ...

... ...

... ...

j n

j n

p p pj pn

b b b b

b b b b

b b b b

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

... ...

... ...

... ...

... ...

j n

j n

i i ij in

m m mj mn

c c c c

c c c c

c c c c

c c c c

ตวอยาง 0.2.3 ให 1 2 2 1

1 3 0 1A B

จงหา AB และ BA

วธท า เนองจากจ านวนหลกของ A เทากบจ านวนแถวของ B จงหา AB ไดตามบทนยามคอ

1(2) 2(1) 1(0) 2(1)

1(2) 3(1) 1(0) 3(1)AB

4 2

1 3


____________________________________________________________________________________________________________________


และเนองจากจ านวนหลกของ B เทากบจ านวนแถวของ A จงหา BA ไดตามบทนยามคอ

2(1) 0( 1) 2(2) 0(3)

1(1) 1( 1) 1(2) 1(3)BA

2 4

0 5

■

ขอสงเกต การด าเนนการสวนใหญทเรยนในระดบมธยมศกษา จะมสมบตสลบท ในตวอยางน สามารถหา AB และ BA ไดแต AB BA แสดงวา การคณเมทรกซไมมสมบตสลบท

ในการหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนโดยวธการก าจดตวแปรทกลาวในหวขอ 0.1 จะสามารถท าไดสะดวกยงขนโดยการแปลงระบบสมการใหอยในรปเมทรกซ ดงจะกลาวในหวขอตอไปน พจารณาระบบสมการเชงเสน

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

..................................... ...

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

(1.12)

ก าหนด เมทรกซ A , X และ B ดงตอไปน

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

...

...

... ... ... ... ... ...

...

n

n

m m mn n m

a a a x b

a a a x bA X B

a a a x b

ระบบสมการ (1.12) สามารถเขยนในรปของเมทรกซคอ AX = B (1.13)

เรยกเมทรกซ A วา เมทรกซสมประสทธ ( Coeficient matrix ) เรยกเมทรกซ X วา เมทรกซตวแปร ( Variable matrix ) เรยกเมทรกซ B วา เมทรกซคาคงตว( Constant matrix ) และ เรยก เมทรกซ :A B โดยท

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

... :

... ::

... ... ... ... : ...

... :

n

n

m m mn m

a a a b

a a a bA B

a a a b

(1.14)

วา เมทรกซแตงเตม (Augmented matrix) อาจเขยนระบบสมการ (1.12) ในอกรปแบบทจะน าไปใชประโยชนตอไปในลกษณะทตางกนดงตอไปดงน


____________________________________________________________________________________________________________________


1

11

21

1 ...

m

a

ax

a

12 1 1

22 2 2

2

2

...... ... ...

n

n

n

m mn m

a a b

a a bx x

a a b

(1.15)

บทนยาม 0.2.6 เมทรกซสลบเปลยน( Transpose of a matrix ) ให ij m nA a

เมทรกซสลบเปลยนของ A

เขยนแทนดวย TA โดยท T T

ij n mA a

โดยท T

ij jia a โดยท 1,2,...,i m และ 1,2,...,j n □

ตวอยาง 0.2.7 ก าหนดให 2 3 8

1 0 5A

จงหา TA

วธท า 2 1

3 0

8 5

TA

■

วธการหาผลเฉลยโดยอาศยแมทรกซแตงเตม โดยอาศยการประยกตเกยวกบการด าเนนการขนมลฐานในวธการก าจดตวแปร จะกลาวในหวขอ 0.3 ตอไป

แบบฝกหด 0.2 ●ในขอ 1-4 ใชเมตรกซตอไปน

2 3

4 1A

, 1 3

2 5B

, 1 1

5 2C

1. จงหา A B และ B A 2. จงหา AB และ BA 3. จงหา A B C และ A B C 4. จงหา AB C และ A BC ● ในขอ 5 และ 6 ใชเมตรกซตอไปน

3 3 3

1 0 2

0 2 3

A

1 3 3

2 5 2

1 2 4

B

5 3 9

3 10 6

2 2 11

C

5. จงหา A B C และ 2A B 6. จงแสดงวา 2 0A B C


____________________________________________________________________________________________________________________


●ในขอ 7 และ 8 ใชเมตรกซตอไปน

3 1

2 4A

2 0

1 2B

7. จงหา AB และ BA 8. จงแสดงวา 3 3AB A B 9. ก าหนดให

1 2

1 2A

, 1 3

2 1B

, 7 5

1 2C

จงแสดงวา AB AC และ B C 10. จงหาเมตรกซ A และ B ทซง 0AB แต 0BA 11. ก าหนดให

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A

จงหาเมตรกซ 20A 12. จงหาเมตรกซขนาด 2 2 ทงหมดทสอดคลองกบ 0tAA 13. ถา A เปนเมตรกซขนาด m n จงแสดงวา tAA และ tA A เปน defined matrix และเมตรกซสมมาตร ●ในขอ 14-17 จงเขยนเมตรกซแตงเตมของระบบสมการเชงเสนและไมตองแกระบบสมการ 14. 2 3 5x y 3x y 15. 2 4x z 4 2x y z 4 1x y z 16. 1 32 4x x

1 2 34 2x x x 17. 1 2 3 42 4 2 2 2x x x x

1 2 3 44 2 3 2 2x x x x 1 2 3 43 3 3 4x x x x ●ในขอ 18-23 จงเขยนระบบสมการเชงเสนจากเมทรกซแตงเตมทก าหนด

18.

1 0 0 1

0 1 0 1/ 2

0 0 1 0

19.

1 0 2 3

0 1 1 2

0 0 0 0


____________________________________________________________________________________________________________________


20.

1 2 0 3

0 0 1 2

0 0 0 0

21.

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

22.

1 0 2 5 3

0 1 1 2 2

23.

1 0 0 3 1

0 1 0 1 7

0 0 1 2 4 / 5

0.3 สมบตของเมทรกซ หวขอนจะกลาวถงสมบตทส าคญของเมทรกซทเปนพนฐานส าคญในการน าไปอางอง และน าไปประยกตใชในบทตางๆ การพสจนทฤษฏบทพนฐานเหลานสามารถศกษาไดจากเอกสารอางอง ทฤษฏบท 0.3.1 ให A,B และ C เปนเมทรกซขนาด m n จะไดวา

(ก) A+B= B+ A (ข) A+(B+C)=(A+B)+C (ค) มเมทรกซศนย 0 ซง

A+0=0+ A= A (ง) ส าหรบแตละเมทรกซ A จะม A ซง

A+0=0+ A=0 ทฤษฏบท 0.3.2 ให A,B และ C เปนเมทรกซทหาผลคณได จะไดวา

(ก) ( ) ( )AB C A BC (ข) A+B C = AC+BC (ค) C A+B = CA+CB

ทฤษฏบท0.3.3 ให r และ s เปนสเกลาร A และ B เปนเมทรกซ จะไดวา (ก) r sA = rs A (ข) r+s A = rA+sA (ค) r A+B = rA+rB (ง) A rB = r AB = rA B


____________________________________________________________________________________________________________________


ทฤษฏบท0.3.4 ให r เปนสเกลาร A และ B เปนเมทรกซ จะไดวา

(ก) T

TA A (ข)

T T TA+ B = A + B (ค)

T T TAB = B A (ง)

T TrA = rA

หมายเหต 0.3.1 สมบตตอไปนเปนความแตกตางอยางชดเจนของระบบจ านวนจรง กบ ระบบเทรกซ 1. ถา AB 0 แลว สรปไมไดวา A 0 หรอ B 0

ตวอยางเชน ให 1 2 4 6

2 4 2 3A B

จะเหนวา 0A และ 0B แต 0AB 2. ถา AB AC และ A 0 แลว สรปไมไดวา B C

ตวอยางเชน 1 2 2 1

2 4 3 2A B

และ

2 7

5 1C

จะเหนวา 8 5

16 10AB AC

แต B C

เมทรกซชนดพเศษ ให ij n n

A a

เปนเมทรกซจตรสใดๆ

1. เมทรกซจตรส ij n nA a

จะเรยกวา เมทรกซทแยงมม (Diagonal Matrix) ถา 0,ija i j

2. เมทรกซทแยงมม จะเรยกวา เมทรกซสเกลาร(Scalar Matrix) ถาสมาชกในแนวทแยงมมหลกทกตวมคาเทากน

3. เมทรกซสเกลาร จะเรยกวา เมทรกซเอกลกษณ (Identity matrix) ถา 1, 1,2,...,iia i n นยมเขยนแทนดวย nI

หมายเหต 0.3.2 (ก) ถา ij n n

A a

แลว nAI A และ nI A A

(ข) ถา A เปนเมทรกซสเกลารแลว ,nA rI r (ค) ให ij n n

A a

เปนเมทรกซจตรส ก าหนดบทนยามของ pA โดย

...PA A A A A P ตว

เมอ p I และ 0

nA I

และจากบทนยามดงกลาวสรปไดวา

( )

p q p q

p q pq

A A A

A A


____________________________________________________________________________________________________________________


อยางไรกตาม ( )p p pAB A B (ง) เมทรกซจตรส ij n n

A a

จะเรยกวา เมทรกซเชงสามเหลยมดานบน (Upper triangular matrix)

ถา 0,ija i j จะเรยกวา เมทรกซเชงสามเหลยมดานลาง (Lower Triangular matrix) ถา 0,ija i j

ตวอยางเชน ถา 5 2 8

0 3 7

0 0 4

A

จะเรยก A วา เมทรกซเชงสามเหลยมดานบน

3 0 0

4 0 0

2 5 7

B

จะเรยก B วา เมทรกซเชงสามเหลยมดานลาง

ขอสงเกต เมทรกซสเกลารเปนทงเมทรกซเชงสามหลยมดานบนและดานลาง บทนยาม0.3.7 เมทรกซ A จะเรยกวา เมทรกซสมมาตร (Symmetric Matrix) ถา TA A □

ตวอยางเชน ให 2 3 4

3 7 5

4 5 3

A

ท าให 2 3 4

3 7 5

4 5 3

TA

จะเหนวา TA A ดงนน A เปน เมทรกซสมมาตร บทนยาม0.3.8 เมทรกซ A จะเรยกวา เมทรกซกงสมมาตร ( Skew symmetric matrix) ถา TA A □

ตวอยางเชน ให 0 5 8

5 0 6

8 6 0

A

ท าให 0 5 8

5 0 6

8 6 0

TA

และ 0 5 8

5 0 6

8 6 0

A

จะเหนวา TA A ดงนน A เปน เมทรกซกงสมมาตร บทนยาม0.3.9 เมทรกซจตรส ij n n

A a

จะเรยกวา เมทรกซไมเอกฐาน (Nonsingular matrix or Invertible

matrix) ถามเมทรกซ B ซงท าให nAB BA I และเขยนแทนดวย 1B A □ ทฤษฏบท0.3.10 ถา A เมทรกซไมเอกฐาน แลวจะมเพยงตวผกผนเพยงตวเดยวเทานน

ในการหาตวผกผนของเมทรกซทมขนาดใหญเปนเรองส าคญในการประยกต และเปนกระบวนการทตองใชเวลามาก ในบทตอไปจะเนนการหาตวผกผนทมประสทธภาพโดยละเอยด ทฤษฏบท 0.3.11 ถา A และ B เปนเมทรกซไมเอกฐาน แลว AB จะเปนเมทรกซไมเอกฐาน ดวย และ โดยเฉพาะอยางยง 1 1 1( )AB B A

บทแทรก 0.3.12 ถา 1 2, , ..., nA A A เปนเมทรกซไมเอกฐาน แลว 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1( ... ) ...n n nA A A A A A A

ทฤษฏบท 0.3.13 ถา A เปนเมทรกซไมเอกฐาน แลว 1 1( )A A ทฤษฏบท0.3.14 ถา A เปนเมทรกซไมเอกฐานแลว TA เปนเมทรกซไมเอกฐาน และ 1 1( ) ( )T TA A


____________________________________________________________________________________________________________________


ทฤษฏบท0.3.15 ถา A เปนเมทรกซไมเอกฐาน แลวผลเฉลยของระบบสมการ AX B คอ 1X A B บทนยาม0.3.10 เมทรกซ ij m n

A a

จะเรยกวา เมทรกซขนบนไดลดรป (Reduced echelon matrix) ถาม

สมบตครบทง 4 ขอดงตอไปน (1) ทกแถวทประกอบดวย 0 ทงหมดจะอยแถวลางของเมทรกซ (2) โดยการพจารณาจากซายไปขวา สมาชกตวแรกทไมเปนศนย จะตองมคาเปน 1 และเรยกวา

สมาชกน า (Leading Entry) (3) ถาแถวท i และ 1i เปนแถวทไมเปนศนยทงหมดทอยตอเนองกน แลวสมาชกน าของแถวท

1i จะอยทางขวาของแถวท i ส าหรบ 1,2,..., 1i m (4) ถาหลกใดไมเปนสมาชกน าแลว สมาชกทเหลอในหลกนนจะตองเปน 0 ทงหมด □

หมายเหต 0.3.3 ถาเมทรกซ A สอดคลองเฉพาะ ขอ 1 ถง ขอ 3 จะเรยกเมทรกซ A วาอยในรป เมทรกซขนบนได (Echelon matrix) การด าเนนการเพอจดเมทรกซใดๆใหเปนเมทรกซขนบนไดลดรป สามารถท าไดโดยอาศยบทนยามตอไปน บทนยาม 0.3.11 การด าเนนการตามแถวขนมลฐาน (Elementary row operation) หมายถงการด าเนนการตามขอใดขอหนงตอไปน

(1) การสลบทแถวท i กบแถวท j เขยนแทนดวย i jR R และเรยกวา การด าเนนการตามแถวแบบท 1 (Type I operation )

(2) การคณแถวท i ดวย 0c เขยนแทนดวย i iR cR และเรยกวา การด าเนนการตามแถวแบบท 2 (Type Π operation )

(3) การคณแถวท i ดวย 0c แลวน าไปบวกกบแถวท j เขยนแทนดวย j i jR cR R และเรยกวา การด าเนนการตามแถวแบบท 3 (Type Ш operation ) □

หมายเหต 0.3.4 การด าเนนการตามหลกขอมลฐาน (Elementary column operation) สามารถนยามไดในลกษณะเดยวกน โดยการเปลยนค าวา แถว เปนค าวา หลก

2. ขอสงเกต การด าเนนการดงกลาวตามแถวขนมลฐานจ าลองมาจากการหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน ดงนนถาด าเนนการบนเมทรกซแตงเตมจะเปนการหาผลเฉลยของระบบสมการนน

3. บทนยาม0.3.12 เมทรกซ A จะเรยกวา สมมลเชงแถว (Row Equivalent) กบเมทรกซ B เขยนแทนดวย

R

A B ถา B เกดจากการด าเนนการตามแถวขนมลฐานดวยจ านวนครงทจ ากดของ A


____________________________________________________________________________________________________________________


หมายเหต 0.3.5 การสมมลเชงหลก (Column Equivalent) เขยนแทนดวยC

A B สามาถนยามไดในท านองเดยวกน โดยการเปลยนค าวา แถว เปนค าวา หลก ทฤษฏบท0.3.16 ถา ij m n

A a

เปนเมทรกซทไมใชเปนเมทรกซศนย แลวจะม B ทเปนเมทรกซ

ขนบนไดละรป โดยท R

A B

ตวอยาง 0.3.1 ให 2 1 1 8

1 2 3 9

3 0 1 3

A

จงหา B ทเปนเมทรกซขนบนไดละรป โดยท R

A B

วธท า

2 1 1 8

1 2 3 9

3 0 1 3

A

1 2R R

1 2 3 9

2 1 1 8

3 0 1 3

21

2R R

1 2 3 9

0 5 5 10

0 6 10 24

2

1

5R

1 2 3 9

0 1 1 2

0 6 10 24

2 36R R

1 2 3 9

0 1 1 2

0 0 4 12

3

1

4R

1 2 3 9

0 1 1 2

0 0 1 3

ดงนน 1 2 3 9

0 1 1 2

0 0 1 3

B

เปนเมทรกซขนบนไดละรป โดยท R

A B ตามตองการ ■

หมายเหต 0.3.6 ในระบบสมการใด การจดเมทรทซแตงเตมใหเปนเมทรกซขนบนไดลดรป จะเปนการหาผลเฉลยของระบบสมการนน ดงทฤษฏบทตอไปน ทฤษฏบท0.3.17 ให AX B และ CX D เปนระบบสมการเชงเสน 2 ระบบ ทม m สมการ และ ม n

ตวแปร ถาเมทรกซแตงเตม : :R

A B C D แลวระบบสมการทงสองจะสมมลกน หมายเหต 0.3.7 ในการหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน AX B โดยอาศยเมทรกซแตงเตม จนท า

ให : :R

A B C D จะเรยกการหาผลเฉลยดงกลาวตามลกษณะของ :C D ดงน (1) ถา :C D เปนเมทรกซขนบนได จะเรยกกระบวนการดงกลาววา การก าจดแบบเกาส

(Gaussian Elimination) กระบวนการนจะเสรจสน เมอมการแทนคาตวแปรยอนกลบ (Back substitution)

(2) ถา :C D เปนเมทรกซขนบนไดลดรป จะเรยกกระบวนการดงกลาววา การก าจดแบบเกาส-ชอรดอง (Gaussian-Jordan Elimination) กระบวนการนจะรผลเฉลยโดยตรงจาก เมทรกซแตงเตม


____________________________________________________________________________________________________________________


หมายเหต 0.3.8 ในการประยกตจรงจะเปนการแกระบบสมการเชงเสนทมขนาดใหญมาก และ ตองใชเวลาในการค านวณมาก ในบทตอไปจะพจารณาจ านวณครงในการค านวณ เพอเปรยบเทยบกบวธทไดรบความนยามมากอยางเชน วธแยกตวประกอบแบบแอลย (LU-Factorization) ทฤษฏบท0.3.18 ระบบสมการเชงเสนแบบเอกพนธทม m สมการ และม n ตวแปร ถา m n แลว ระบบดงกลาวจะมผลเฉลยไมชด (Non-trivial solution) บทนยาม0.3.13 ให I เปนเมทรกซเอกลกษณใดๆ เมทรกซมลฐาน (Elementary matrix) หมายถงเมทรกซทเกดจากการด าเนนการตามแถว(หลก)ขนมลฐานอยางใดอยางหนงเพยงอยางเดยวของ I เขยนแทนดวย E และ

kE แทนเมทรกซมลฐานในการด าเนนการครงท k ของ I □ ตวอยางเชน ในเมทรกซขนาด 3 3

1

0 1 0

1 0 0

0 0 1

E

, 2

1 0 0

0 2 0

0 0 1

E

, 3

1 2 0

0 1 0

0 0 1

E

, …

ทฤษฏบท0.3.18 ถา เมทรกซ B เกดจากการด าเนนการตามแถว(หลก)ขนมลฐานของเมทรกซ A ชนดใดชนดหนง แลว B EA (หรอ B AE ) เมอ E เปนเมทรกซมลฐานชนดเดยวกนทด าเนนการกบ I

ตวอยางเชน 222 5 3 2 5 3

1 1 4 2 2 8

RA B

ให 1 0

0 2E

จะเหนวา 1 0 2 5 3 2 5 3

0 2 1 1 4 2 2 8E

ทฤษฏบท0.3.19 ถา R

A B (หรอ C

A B ) แลว 1 2 1...k kB E E E E A (หรอ 1 2 1... k kB AE E E E ) เมอ 1,2,...,iE i k เปนเมทรกซมลฐาน

ทฤษฏบท0.3.20 ถา E เมทรกซมลฐานใดๆ แลว E เปนเมทรกซไมเอกฐาน และ 1E จะเปนเมทรกซมลฐานชนดเดยวกน

ตวอยางเชน 1 0 0

0 2 0

0 0 1

E

จะไดวา 1

1 0 0

10 0

2

0 0 1

E

เพราะวา

1 0 0 1 0 01 0 0 1 0 0 1 0 0

1 10 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0

2 20 0 1 0 0 1 0 0 1

0 0 1 0 0 1

ทฤษฏบท0.3.21 ถา ij n nA a

และ AX 0 เปนระบบสมการเชงเสนแบบ เอกพนธทมเฉพาะ ผลเฉลยชด

เทานน แลว R

nA I


____________________________________________________________________________________________________________________


ทฤษฏบท0.3.22 A เปนเมทรกซไมเอกฐาน กตอเมอ A เปนผลคณของเมทรกซมลฐาน ทฤษฏ

บท0.3.23 A เปนเมทรกซไมเอกฐาน กตอเมอ R

nA I คาทเกยวของกบเมทรกซจตรสทส าคญออยางหนงคอคาตวก าหนด (Determinant) คานจะเปนตวชวดในหลายๆอยางตวอยางเชน การเปนเมทรกซเอกฐาน การมผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน ดงจะไดศกษาดงตอไปน บทนยาม0.3.14 ให 1,2,...,S n จะเรยกการจดล าดบของสมาชกใน S วา การเรยงสบเปลยน(permutation) และให

nS เปนเซตของการเรยงสบเปลยน ทงหมดใน S หมายเหต 0.3.9

(1) ถา 1,2,...,S n แลว nn S n ! (2) ให 1 2... n nj j j S ถาม r sj j ซง rj อยหนา sj จะเรยกวาม 1 ตวผกผน (inversion)

ถาจ านวนของตวผกผนเปนจ านวนค จะเรยกวา การเรยงสบเปลยนค (Odd permutation) ถาจ านวนของตวผกผนเปนจ านวนค จะเรยกวา การเรยงสบเปลยนค (Even permutation) และ ถา 1,2,...,S n เมอ 2n จะ

ไดวามการเรยงสบเปลยนค และ การเรยงสบเปลยนคอยางละเทากน คอ !

2

n

บทนยาม0.3.15 ให ij n nA a

เปนเมทรกซจตรสขนาด n n คา ตวก าหนด (Determinant) ของ A เขยน

แทนดวย det A หรอ A โดยท

1 21 2det ...nj j njA a a a

ทก 1 2... nj j j ทเปนการเรยงสบเปลยนใดๆใน nS โดยมเครองหมาย + เมอเปนการเรยงสบเปลยนค และมเครองหมาย – เมอเปนการเรยงสบเปลยนค หมายเหต 0.3.10 ส าหรบเมทรกซขนาด 2 2 และ 3 3 มการหาคาตวก าหนดดงน

(1) ถา 11 12

21 22

a aA

a a

แลว 11 12

11 22 12 21

21 22

deta a

A A a a a aa a

(2) ถา 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

แลว 11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

det

a a a a a

A A a a a a a

a a a a a

ทฤษฏบท0.3.24 ถา A เปนเมทรกซจตรสแลว det( A )=det( det det( )TA A ) ทฤษฏบท0.3.25 ถาเมทรกซ B เกดจากการสลบกนของสองแถวของเมทรกซ A (หรอสลบหลกสองหลก) แลว det detB A ทฤษฏบท0.3.26 ถาสองแถว(หรอสองหลก)ของเมทรกซ A ใดๆเทากน แลว det 0A ทฤษฏบท0.3.27 ถาเมทรกซ A ใดๆมสมาชกในแถว (หรอหลก) เปนศนยทงหมด แลว det 0A


____________________________________________________________________________________________________________________


ทฤษฏบท0.3.28 ถาเมทรกซ B เกดจากการคณแถว(หลก)ใดๆหลกหนงของ A ดวยจ านวนจรง c แลว det detB c A ทฤษฏบท0.3.29 ถาเมทรกซ B เกดจากการคณแถวใดแถวหนงของ A แลวน าไปบวกกบอกแถวหนงของ A แลว det detB A ทฤษฏบท0.3.30 ให

ijA a เปนเมทรกซเชงสามเหลยมดานบน (Upper triangular matrix) หรอเมทรกซเชงสามเหลยมดานลาง (Lower triangular matrix) แลว 11 22 33det ... nnA a a a a ทฤษฏบท0.3.31 ถา E เปนเมทรกซมลฐาน (Elementary matrix) แลว det det detEA E A และ det det detAE A E ทฤษฏบท0.3.32 A เปน non singular กตอเมอ det 0A ทฤษฏบท0.3.33 ถา ij n n

A a

แลว rankA=n กตอเมอ det 0A

ทฤษฏบท0.3.34 ถา ij n nA a

แลวระบบสมการ AX 0 จะมผลเฉลยไมเปนศนย กตอเมอ det 0A

ทฤษฏบท0.3.35 ให ij n n

A a

, ij n nB b

แลว det det detAB A B

ทฤษฏบท0.3.36 ถา A เปนเมทรกซไมเอกฐาน แลว

1 1det

detA

A

ทฤษฏบท0.3.37 ระบบสมการเชงเสนแบบเอกพนธ AX 0 จะม ผลเฉลยไมเปนศนย กตอเมอ A เปนเมทรกซเอกพนธ ทฤษฏบท0.3.37 ระบบสมการเชงเสนแบบเอกพนธ AX 0 จะม ผลเฉลยไมเปนศนย กตอเมอ det 0A จากสมบตทพบในทฤษฏบทตางตามทกลาวมา จะเหนวาเมทรกซสมประสทธ A มความเกยวของกบระบบสมการเชงเสน ตามหมายเหตดงตอไปน หมายเหต 0.3.11 ขอความตอไปนสมมลกน

(1) A เปนเมทรกซไมเอกพนธ (2) det 0A (3) AX 0 มเฉพาะผลเฉลยชดเทานน

(4) R

nA I (5) AX B , 0B มเพยงผลเฉลยเดยว (6) A เปนผลคณของเมทรกซมลฐาน


____________________________________________________________________________________________________________________


หมายเหตดงกลาว น าไปสการหาตวผกผนของเมทรกซ A โดยใชการด าเนนการเบองตนแบบแถวขนมลฐาน โดยพจารณาจากการท A เปนเมทรกซไมเอกฐาน ดงนน A เปนผลคณของเมทรกซมลฐาน สมมตวา

1 2... kA E E E จะไดวา 1 1 1 1 1

1 2 1...kA E E E E พจารณาการด าเนนการตามแถวขนมลฐานของ : nA I จะพบวา

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 1 2 1 1 2 1( ... ) : ... : ... :k k n k k k k nE E E E A I E E E E A E E E E I A

แสดงวาถา : [ : ]R

n nA I I B แลว 1A B การหาตวผกผนของเมทรกซทมขนาดใหญจะตองใชเวลาในการค านวณมาก ดงนนในทางประยกตจะตองมการพฒนาในการหาตวผกผนใหมประสทธภาพ โดยจะกลาวในบทตอไป

แบบฝกหด 0.3 ● ในขอ 1-5 ก าหนดให A เปนเมตรกซ จงหา 1A หรอแสดงใหเหนวาไมม 1A และถาม 1A จงตรวจสอบวา 1AA I

1.

1 2

3 1

2.

2 4

2 4

3.

0 1 1

0 1 1

1 2 1

4.

3 3 1

0 0 1

2 2 1

5.

3 3 1

0 0 1

2 2 1

6. ก าหนดให

2 1

3 4A

1 2

1 3B

จงพสจนวา AB A สามารถเขยนอยในรป A B I และ AB B สามารถเขยนอยในรป A I B 7. จงหาคาของ ส าหรบเมตรกซ

1 0

1 3 1

2 1 1

ซงไมมอนเวอรส

8. ก าหนดให


____________________________________________________________________________________________________________________


1 0

1 1 1

2 0 1

A

(a) จงหาคาของ ส าหรบเมตรกซ A ซงมอนเวอรส (b) จากคาในขอ (a) จงหาอนเวอรสของ A

9. จงหาเมตรกซ A และ B ขนาด 2 2 ซงไมมอนเวอรสแต A B มอนเวอรส 10. พจารณาอนเวอรสของผลคณของเมทรกซ

(a) ถา ,A B และC เปนเมตรกซขนาด n n และมอนเวอรส จงแสดงวา

1 1 1 1ABC C B A

(b) ใชวธอปนยเชงคณตศาสตร (Mathematic induction) เพอแสดงวาส าหรบทกจ านวนเตมบวก k ถา

1 2, , , kA A A เปนเมตรกซขนาด n n ทมอนเวอรสแลว

1 1 1 1

1 2 1 1k k kA A A A A A

●ในขอ 11-13 จงหาเมตรกซ A และเวกเตอร x และ b ซงระบบสมการเชงเสนสามารถเขยนเปน A x b 11. 2 3 1x y 2 4x y 12. 2 3 1x y z 2 1x y z 3 2 2 3x y z 13. 1 2 3 44 3 2 3 1x x x x

1 2 33 3 3 4x x x 1 2 3 42 3 4 4 3x x x x ● ในขอ 14-16 ก าหนดใหเมตรกซ A และเวกเตอร x และ b จงเขยนสมการ A x b เปนระบบสมการเชงเสน

14.

2 5

2 1A

x

y

x 3

2

b

15.

0 2 0

2 1 1

3 1 2

A

x

y

z

x 3

1

1

b

16.

2 5 5 3

3 1 2 4A

1

2

3

4

x

x

x

x

x 0

2

b

●ในขอ 17-18 ใชขอมลทก าหนดใหเพอแกระบบสมการเชงเสน A x b

17.

1

2 0 1

4 1 4

1 2 4

A

1

4

1

b


____________________________________________________________________________________________________________________


18.

1

3 2 0 3

1 2 2 3

0 1 2 3

1 0 3 1

A

2

3

2

3

b

●ในขอ 19-20 จงแกระบบสมการเชงเสนโดยการหาอนเวอรสของเมตรกซสมประสทธ 19. 4 2x y 3 2 3x y 20. 1x z 3 3 1x y z 3 2 1x y z 21. ก าหนดให

1 4

3 12

2 8

A

จงหาผลเฉลยทเปนนอนทรเวยล (nontrivial solution) ของระบบสมการ A x 0 22. จงหาเมตรกซ A ขนาด 3 3 ทเปนเมตรกซทไมเปนศนย (nonzero) ซงเวกเตอร

1

1

1

เปนผลเฉลยของ A x 0

●ในขอ 23-24 ค านวณหาคาดเทอรมแนนทของเมตรกซโดยแสดงวธหาอยางละเอยด

23. 2 40 10

0 3 12

0 0 4

24. 1 0 0 0

3 1 0 0

4 2 2 0

1 1 6 5

25. ใชเมตรกซ A เพอตอบค าถามตอไปน

2 0 1

3 1 4

4 1 2

A

(a) จงหาคาดเทอรมแนนทของเมตรกซโดยการใชสมาชกตามแถวท 1 (b) จงหาคาดเทอรมแนนทของเมตรกซโดยการใชสมาชกตามแถวท 2 (c) จงหาคาดเทอรมแนนทของเมตรกซโดยการใชสมาชกตามหลกท 2 (d) สลบแถวท 1 และ 3 ของเมตรกซและหาคาดเทอรมแนนท (e) คณแถวท 1 ของเมตรกซในขอ (d) ดวย 2 และหาคาดเทอรทแนนทของเมตรกซใหมนและใชคาทหา

ไดนเพอหาคาดเทอรมแนนทของเมตรกซเดม


____________________________________________________________________________________________________________________


●ในขอ 26-30 จงหาคาดเทอรมแนนทของเมตรกซ ถาเมตรกซใดมอนเวอรสจงค านวณหาอนเวอรสของเมตรกซนนๆ

26. 5 6

8 7

27. 1 1

11 5

28. 1 4

1 4

29. 5 5 4

1 3 5

3 1 3

30. 3 4 5

1 1 4

1 3 4

31. จงหาคา x เมอก าหนดให

2 2

det 2 1 1 0

0 0 5

x x

32. จงตอบค าถามเกยวกบระบบสมการเชงเสนตอไปน

2 3x y z

2 3 1x y z

2 2 2 2x y z (a) จงเขยนสมประสทธของระบบสมการในรปของเมตรกซ A (b) จงหา det A (c) ระบบสมการมผลเฉลยเพยงผลเฉลยเดยว (unique solution)หรอไมจงอธบาย (d) จงหาผลเฉลยทงหมดของระบบสมการ

33. จงหาสมการพาราโบลาทเขยนในรป 2 0Cy Dx Ey F ซงผานจด 2, 2 , 3,2 และ 4, 3 พรอมทงวาดกราฟพาราโบลาอยางคราวๆ

บทที่ 0 บทน า introduction)¸• วอย าง 0.1.3...

Documents