›екция 03.pdf · 1 Л Е К Ц И Я 3 Лекция 3. ... скорость роста...

ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭМ ◄ 1 ►

Л Е К Ц И Я 3

Лекция 3. Бесконечно малые (б.м.) и бесконечно большие (б.б.) последовательности и их свойства. Теорема о схо-димости монотонной ограниченной последовательности. Число «е». Неопределенные выражения. Числовые последо-вательности в экономике

◀Определение▶ Ч.п. { }nx называется бесконечно малой (б.м.) ‹ lim 0nnx

. По определе-

нию это означает:

0 ( ) : ( ) (0)nN N n N x U или, что то же, 0n nx x .

◆Примеры: следующие ч.п. являются бесконечно малыми: 1 ln

, ,!

nn n n

nx x x en n

(пояс-

нения см. далее в тексте) и др.

◀Определение▶ Ч.п. { }nx называется бесконечно большой (б.б.) ‹ 0 N

( ) : ( ) ( )nN n N x U или, что то же, nx .

Напомним, что окрестностью несобственного символа ¶ ( 0 ) числовой оси яв-

ляется множество ее точек вида:

При этом пишут:

(3.1) lim nnx

Если б.б., начиная с некоторого номера n , принимает только положительные или

только отрицательные значения, то пишут

(3.2) lim nnx

( 0 N ( ) : ( ) ( )nN n N x U или, что то же, nx ), или

Uε( • ) : ε – ε

x

Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ◄ 2 ►

Л Е К Ц И Я 3

(3.3) lim nnx

( 0 N ( ) : ( ) ( )nN n N x U или, что то же, nx ).

(Вспомните, как определяются окрестности несобственных символов ч.о. , ).

Ясно, что (3.2) fl (3.1), (3.3) fl (3.1), но не наоборот!

Действительно, пусть ( 1) , { } { 1 , 2 , 3 , 4 , }nn nx n x . Видим: начиная с неко-

торого номера, все члены этой ч.п. произвольно велики по модулю, то есть ,nx n .

Однако ни (3.2), ни (3.3) места не имеют, т.к. знаки членов ч.п. чередуются.

◆Примеры: следующие ч.п. являются бесконечно большими:

, ln , 2005nn n nx n x n x e и др.

◆Замечание

Бесконечно большие числовые последовательности не относят к числу сходящихся,

но иногда говорят о них, как об имеющих «бесконечный предел» (в отличие от сходящихся,

то есть имеющих пределом конечное действительное число).

СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

10. Сходимость некоторой ч.п. равносильна тому, что разность этой ч.п. и ее предела есть

бесконечно малая ч.п., то есть lim ,nnx a a

n nx a б.м.

Действительно, пусть lim nnx a

. Поскольку предел константы равен ей самой, то

limn

a a

. Тогда на основании свойств арифметических операций со сходящимися число-

выми последовательностями lim( ) lim limn nn n nx a x a

0a a , так что последователь-

ность ( )nx a бесконечно малая. Пусть, наоборот, ( )nx a бесконечно малая ч.п., т.е

lim( ) 0nnx a

. Учтем теперь опять, что lim

na a

и в силу того, что ( )n nx x a a , мо-

жем вновь утверждать: lim lim( ) lim 0n nn n nx x a a a a

.

Доказанное означает, что для любой сходящейся последовательности { }nx , имеющей

пределом число a , справедливо равенство n nx a , где n – бесконечно малая ч.п.

(коротко: бесконечно малая).


Л Е К Ц И Я 3

20. Если ,n nx y – б.м., то ( )n nx y тоже б.м. Действительно, существование пределов (рав-

ных нулю) у ч.п. ,n nx y влечет его существование и у их суммы, а также равенство

lim( ) lim limn n n nn n nx y x y

0 0 0 , то есть ( )n nx y б.м., что и требовалось доказать.

Доказанное утверждение остается верным и для любого фиксированного числа сла-

гаемых.

◆Пример: 1 1 1

lim lim lim1 1 0n n n

nn n n n

: число бесконечно малых слагаемых в

сумме слева не является фиксированным, а зависит от n (оно равно n ) и растет с ростом n .

Именно поэтому здесь не может вызвать удивления то, что сумма бесконечно малых не яв-

ляется бесконечно малой – свойство 20. «не работает».

Легко видеть, что если ,n nx y – б.м., то и их произведение n nx y также является б.м.

Это же верно для произведения любого фиксированного числа б.м. (докажите самостоя-

тельно).

▲ Является ли частное двух б.м. также б.м.? Может ли это частное быть б.б.? Приведите

примеры.

30. Пусть nx б.м., а ny ограниченная ч.п. (знак фигурных скобок при обозначении число-

вых последовательностей часто опускают). Тогда их произведение – б.м.

Действительно, ограниченность ny означает, что 0 : ,nM y M n . Задав

произвольно 0 , подберем ( ) : nN N n N x M

. Для членов ч.п. n nx y с указан-

ными номерами n будет выполнено неравенство 0n n n nx y x y MM

. Но это

и означает что 0 ,n nx y n , то есть что произведение бесконечно малой и ограниченной

числовых последовательностей есть бесконечно малая числовая последовательность.

◆Пример: sin

lim 0 ,n

nn

т.к. 1

lim 0 ,n n

а sin 1 ,n то есть sin n ограниченная ч.п..

▲ Существует ли lim sinn

n

?

Пусть $ lim sinn

n a

. Тогда на основании свойств сходящихся ч.п. можем утверждать, что одновре-

менно существуют и тоже равны a пределы limsin( 1)n

n

, lim sin( 1)n

n

. После применения формул триго-

нометрии можем утверждать, что это означает:


Л Е К Ц И Я 3

lim(sin cos1 sin1 cos )

lim(sin cos1 sin1 cos )n

n

n n a

n n a

.

Поскольку по предположению $ lim sinn

n a

, а cos1 – постоянное число, то существует предел

lim(sin cos1)n

n

, равный cos1a . Это повлечет в свою очередь существование предела второго слагаемого в

первом из уравнений системы, поскольку существуют пределы первого слагаемого и суммы (их разность дает

второе слагаемое). Отсюда последует $ lim cosn

n

в силу того, что sin1 0 . Обозначим этот последний пре-

дел через b . Тогда записанная выше система равносильна следующей: cos1 sin1

cos1 sin1

a b aa b a

, откуда после

сложения уравнений найдем (cos1 1) 0a 0a , т.к. cos1 1 . Тогда, как легко заметить, будет и

0b (вновь из-за sin1 0 ).

Итак, получится: lim sin 0

lim cos 0n

n

n

n

2 2 2 2lim(sin cos ) 0 0 0

nn n

, что невозможно, по-

скольку 2 2sin cos 1n n и потому 2 2lim(sin cos ) 1n

n n

.

Обнаруженное противоречие доказывает, что lim sinn

n

.

40. Из всех стационарных ч.п. бесконечно малой является лишь та, для которой

0 ,nx n (докажите самостоятельно).

СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

10. Ч.п. nx – б.б. ‹ ч.п. 1

nx – б.м. ( 0nx ).

Действительно, пусть nx – б.б. Докажем, что 1

nx – б.м. По определению бесконечно

большой ч.п. nx , начиная с некоторого номера, будет произвольно велик. Но это означает,

что величина 1 1 1

0n n nx x x

станет настолько близка к нулю, насколько захотим.

Именно, 1

0 ( ) : ( ) 0n

N N n Nx

. Но это по определению как раз и озна-


Л Е К Ц И Я 3

чает, что 1

lim 0n

nx , то есть

1

nx – б.м. (В обратную сторону докажите утверждение само-

стоятельно).

20. Если nx ограниченная ч.п., а ny б.б., то n

n

xy

– б.м. (используйте доказанное в п.10. и

свойство 30. бесконечно малых).

30. Пусть ч.п. nx ограничена по модулю снизу положительным числом m , то есть

0nx m , а ч.п. ny – б.м., причем 0ny . Тогда ч.п. n

n

xy

– б.б.

Действительно, зададим произвольное положительное . Поскольку ny б.м., то для

любого взятого найдется такое число ( )N , что для всех номеров ( )n N будет выпол-

нено неравенство nmy

(наряду с величина m

также может принимать произвольные

положительные значения), а тогда /

n nn

n n

x xx my y m m

.

Тем самым получили: 0 ( ) :N ( ) n

n

xn N

y . Но это по определению

означает, что n

n

xy

при n , то есть n

n

xy

бесконечно большая ч.п., что и требова-

лось доказать.

Справедливы также следующие утверждения: (доказательства можно найти в фунда-

ментальных курсах математического анализа, см. список литературы)

40. Если lim ( )nnx

и ( ) ,ny c c n , где c const , то есть ny ограничена снизу

(сверху), то lim( ) ( )n nnx y

.

◆Пример: lim[ ( 1) ]n

nn

, т.к. lim

nn

, а ( 1) 1 ,n n .

50. Пусть lim ( )nnx

. Тогда, если начиная с некоторого n , выполняются неравенства

0 ( 0),ny c c c const , то lim( ) ( )n nnx y

.


Л Е К Ц И Я 3

nn

!n

, 1na a

, 0n

log , 1a n a

скорость роста при nÆ•

◆Пример: 1 / 2lim( log )n

ne n

, т.к. lim n

ne

(докажите!), а 1/ 2log n 1 0 , начиная с

2n (докажите!).

60. Пусть lim nnx

и для всех n , начиная с некоторого, 0ny c , c const . Тогда

lim( )n nnx y

.

◆Пример: 2 ( 1)

limsin

n

n

nn

, т.к. 2lim ( 1)n

nn

(докажите!), а

11

sin n , n , в силу

sin 1n . Заметим, что sin 0n , n (почему?).

Важно понимать различие между неограниченной и бесконечно большой ч.п. Так, ч.п.

(6) из Лекции 2: ( 1) 1{1, 2 , , 4 , }

3

n

nx n является неограниченной, т.к. она не ограничена

сверху. Однако эта ч.п. не является бесконечно большой, т.к. содержит сколь угодно малые

члены со сколь угодно большими номерами, тогда как в б.б. числовой последовательности

все члены, начиная с некоторого, превосходят по модулю любое наперед заданное положи-

тельное значение.

ШКАЛА РОСТА БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ Ч.П.

Бесконечно большие последовательности можно сравнивать по скорости роста с

увеличением номера n .

Некоторые часто встречающиеся на

практике б.б. сведены в представленную диа-

грамму. Понимать ее надо следующим образом:

отношение любых двух включенных в нее б.б.

имеет пределом 0, то есть является бесконечно

малой, если его числитель расположен в изо-

браженной шкале ниже знаменателя (то есть

скорость роста числителя меньше скорости рос-

та знаменателя). В противном случае такое от-

ношение есть бесконечно большая (числитель

растет при n быстрее знаменателя). Если

же числитель и знаменатель являются б.б. с


Л Е К Ц И Я 3

одинаковой скоростью роста, то пределом такого отношения будет некоторое действитель-

ное число, не равное нулю. Сделанное утверждение представляет собой теорему, которая

может быть доказана с привлечением некоторых дополнительных сведений о свойствах эле-

ментарных функций.

Нижеприведенные примеры поясняют сказанное.

◆Примеры:

1). lim!

n

n

nn

.

2). 2

0,003

loglim 0n

nn

.

3). 1 ln

lim lim limn

n n nn n n

n n e

(т.к. ln

lim 0n

nn

) = 0 1e .

В последнем примере использована возможность при вычислении пределов менять

местами операции нахождения предела и вычисления элементарной функции (здесь – экспо-

ненты): ln ln

limlim n

n nn n

ne e

. Условия, при выполнении которых такая перестановка корректна,

обсуждаются в данном курсе далее в лекции о непрерывных функциях.

Среди теорем о пределах важную роль играет следующая

ТЕОРЕМА

Доказательство проведем для монотонно возрастающей и ограниченной сверху ч.п.

Без ограничения общности будем считать, что 1 ,n nx x n (в противном случае отбро-

сим конечное число ее начальных членов, если монотонный рост в ч.п. начинается не с пер-

вого члена (такое изменение, как известно, не влияет на ее сходимость и величину предела).

Заметим сперва, что монотонно возрастающая и ограниченная сверху ч.п. – ограничена.

Действительно, если 0 :M n nx M , то будет 1 2 3x x x M , так что полу-

чим 1 ,nm x x M n .

Монотонно возрастающая (убывающая) и ограниченная сверху (снизу) числовая

последовательность имеет предел.


Л Е К Ц И Я 3

ПРИНЦИП ТОЧКИ СГУЩЕНИЯ1

◀Определение▶ Точка 0x называется точкой сгущения некоторого числового множества,

если в любой окрестности 0x содержится бесконечно много чисел этого множества.

◆Пример: для ч.п. ( 1)nnx точками сгущения являются 01 1x и 02 1x .

1. Докажем вспомогательное утверждение, известное под названием принципа точки

сгущения, который формулируется следующим образом

Пусть, для начала, заданный промежуток числовой оси есть отрезок [0;1]. Разобьем

его на 10 равных частей точками 0,1;0, 2; 0,9 . Тогда по крайней мере один из этих десяти

частичных отрезков содержит бесконечно много заданных чисел (иначе на всем отрезке [0;1]

их было бы лишь конечное количество). Пусть этот отрезок примыкает справа к числу 10, a ,

где 1a одно из чисел 0 – 9. Далее, делим этот отрезок тоже на 10 равных частей и выбираем

тот из полученных отрезков, который содержит бесконечно много чисел нашего множества.

Пусть этот отрезок примыкает справа к числу 1 20, a a , где 2a также одно из чисел 0 – 9.

Этот процесс можно продолжить, в результате чего получим конечную или бесконечную де-

сятичную дробь 0 1 2 30 ,x a a a .

Далее, поскольку: ●

а). каждое из чисел 1 1 2 1 2 30 , ; 0 , ; 0 , ;a a a a a a отличается от 0x не более, чем на

0 ,1; 0 , 01; 0 , 001;соответственно (например, 0 10,x a 2 30, 0 0,1a a )

б). все эти числа не превосходят 0x :

1 Автором этого принципа является К.Вейерштрасс.

Если на конечном промежутке числовой оси задано бесконечное множество чисел,

то у этого множества имеется по крайней мере одна точка сгущения.

x … 0x 10, a 1 20,a a

1 2 30,a a a


Л Е К Ц И Я 3

в). к каждому из них примыкает справа отрезок длины 0 ,1; 0 , 01; 0 , 001; , содержащий

бесконечно много чисел заданного множества

● то в любой окрестности точки 0x оказываются все выделенные выше отрезки, как

только наше десятичное подразделение становится достаточно мелким.

К примеру, внутри 0,001 0( )U x окажется отрезок длиной 0,001, примыкающий справа к

числу 1 2 30,a a a , который содержит бесконечно много чисел нашего множества:

Тем самым доказано, что 0x – точка сгущения заданного числового множества. Для

произвольного отрезка [ , ]b b h аналогичное построение приводит к тому, что будет

0 1 2 30 ,x b h a a a .

2. Докажем теперь саму сформулированную выше теорему. Поскольку, как было от-

мечено выше, монотонно возрастающая и ограниченная сверху ч.п. { }nx ограничена, то есть

бесконечное множество ее членов лежит на конечном промежутке числовой оси, то в соот-

ветствии с принципом точки сгущения Вейерштрасса такая ч.п. имеет точку сгущения a . То-

гда ,nx a n . Действительно, если для какого-нибудь номера l окажется, что lx a , то

все оставшиеся члены ч.п. в силу монотонного роста 1 2l l lx x x выходили бы за ин-

тервал 1 1( , )l la x a x , который, будучи окрестностью точки a , содержал бы лишь ко-

нечное количество чисел множества { }nx . Это противоречило бы тому, что a – точка сгуще-

ния нашей ч.п.

Видим: справа от точки a нет элементов нашей ч.п. , а тогда там нет и других точек

сгущения. Но их не может быть и слева от точки a , т.к. для любой из таких точек сгущения

точка a была бы точкой сгущения ч.п. { }nx , лежащей справа, что невозможно по только что

доказанному.

отрезок длины 0,001, содержащий бесконечно много чисел данного множества

x 0x 1 2 30,a a a

x0 – 0,001 x0 + 0,001


Л Е К Ц И Я 3

Вывод: монотонно возрастающая и ограниченная сверху ч.п. имеет единственную

точку сгущения. Тогда вне любой ее окрестности имеется лишь конечное число членов ч.п.

{ }nx .

Действительно, если бы нашлась окрестность точки a , вне которой содержалось бы

бесконечно много членов данной ч.п., то это бесконечное числовое множество в силу огра-

ниченности (все его числа – это и числа ограниченной ч.п. { }nx ) само имело бы в соответст-

вии с принципом Вейерштрасса точку сгущения, очевидно, отличную от точки a . Стало

быть, у ч.п. { }nx было бы более одной точки сгущения, что невозможно.

Но это означает, что lim nnx a

, что и требовалось доказать.

Для монотонно убывающей и ограниченной снизу ч.п. доказательство аналогично.

Оно сохраняется также и для монотонно неубывающей (невозрастающей) и ограниченной

сверху (снизу) числовой последовательности.

ЧИСЛО «e»

Доказанная выше теорема широко используется в математическом анализе.

Рассмотрим, например, ч.п. с общим членом

(3.4) 1

1n

nxn

.

_____________________________________________________________________________

Сделаем предварительно несколько важных напоминаний:

1. Факториал

◀Определение▶ !n 1 2 3 ( 1)n n – читается «эн факториал» и означает произведе-

ние всех натуральных чисел от 1 до n .

◆Пример: 2! 1 2 2 , 5! 1 2 3 4 5 120 .

По определению принимают 0! 1 (смысл этого соглашения пояснен ниже).

2. Бином Ньютона – так принято называть формулу, при помощи которой сумма двух

слагаемых возводится в произвольную натуральную степень:


Л Е К Ц И Я 3

0

( 1)( 2) ( 1)!( ) ,

!( )! !

nn k n k k k

n nk

n n n n kna b C a b Ck n k k

, где

knC т.н. биномиальные коэффициенты; обозначение читается «цэ из эн по ка». Эти величи-

ны известны в математике также под названием «чисел сочетания из n элементов по k эле-

ментов», причем n , 0 ,1, 2 , ( 1) ,k n n .

◆Пример: 0 1 2 ( 1)! ! ! !1; ; ;

0!( 0)! ! 1!( 1)! 2!( 2)! 2n n nn nn n n nC C n C

n n n n

1 1 2 2( 1)! ! !;

( 1)!( 1)! ( 1)! ( 2)!( 2)! 2n nn n n n

n nn n nC n C C Cn n n n n n n

.

Применив формулу бинома для 1n , получим

1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 11 1 1 1( )a b C a b C a b C a C b a b , так что 0 1

1 1

1!1

0!(1 0)!C C

1! 1!1

1!(1 1)! 1!0!

, так что целесообразно принять указанное выше соглашение 0! 1 .

В дальнейшее используется следующий результат сравнения величин 12n и !n :

12 2 2 2 2 2n ( 1n раз)

! 1 2 3 4 ( 1)n n n

Сравниваемые величины представлены в виде произведений и расположены в двух

строках одна под другой таким образом, чтобы было видно, что каждый из множителей в

12n , начиная со второго, строго меньше каждого из множителей в !n , номер которого на

единицу больше. Это позволяет утверждать, что при 2n выполнено неравенство

1

1

1 1! 2

! 2n

nnn

.

_____________________________________________________________________________

Применив к ч.п. (3.4) формулу бинома Ньютона, получим

(3.5) 0 1 2 3

1 2 3( 1) ( 1)( 2)1 1 1 11 1 1 1 1

1! 2! 3!n n n n

nn n n n nnx

n n n n

11 0( 1)( 2) [ ( 2)] ( 1)( 2) [ ( 1)]1 1

1 1( 1)! !

n nn n n n n n n n n nn n n n


Л Е К Ц И Я 3

1 1 1 1 2 1 1 2 12 1 1 1 1 1 1

2! 3! !

nn n n n n n n

.

Видим: 2 ,nx n . Далее, т.к. при 2n выполнено неравенство 1

1 1

! 2 nn (см.

выше), то верна оценка членов ч.п. (3.4) сверху:

2 3 2 1

1 1 1 1 1 1 1 1 12 2

2! 3! ( 1)! ! 2 2 2 2 2n n nx

n n

(дополним эту сумму

положительными слагаемыми до суммы бесконечной убывающей геометрической прогрес-

сии) 1 1 1

1 1 1 3 3,12 4 12

nx n

.

Итак, в (3.4) 2 3nx , то есть { }nx ограниченная ч.п. Далее, из (3.5) следует, что

1

1 1 1 1 2 1 1 2 12 1 1 1 1 1 1

2! 1 3! 1 1 ! 1 1 1nnx

n n n n n n n

1 1 21 1 1

( 1)! 1 1 1 nn x

n n n n

, т.к каждое из n первых слагаемых не

меньше соответствующего слагаемого в nx , а последнее ( 1)n -е слагаемое в сумме для 1nx

положительно.

Следовательно, (3.4) – монотонно возрастающая ч.п. По теореме о пределе монотон-

ной ограниченной последовательности 1lim 1

n

n n

. Этот предел играет важную роль в ма-

тематике, являясь одной из так называемых мировых констант:

1lim 1 2, 718281828459045

n

ne

n

2

Иррациональное число e – т.н. основание натуральных логарифмов3.

2 Любопытно отметить, что 1828 (эта группа цифр фигурирует в десятичной записи числа e подряд 2 раза) – год

рождения великого русского писателя Л.Н.Толстого, что позволяет желающим запомнить значение данной ми-

ровой константы с довольно большим количеством десятичных знаков.

3 Проведите следующий компьютерный эксперимент: визуализируйте функцию (1 1/ )xy x в области 0x

и убедитесь, что горизонтальной асимптотой ее графика при x является прямая y e .


Л Е К Ц И Я 3

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

Пусть 0 , 0n nn nx y

, то есть ,n nx y бесконечно малые. Рассмотрим ч.п. { / }n nx y .

О ее пределе нельзя сказать «ничего определенного», т.к. теорема о пределе частного в рас-

сматриваемом случае неприменима. Ниже даны примеры всех мыслимых возможностей:

1). 21/ , 1/ /n n n n nx n y n x y n

, то есть { / }n nx y – б.б.

2). 21/ , 1/ / 1/ 0n n n n nx n y n x y n

, то есть { / }n nx y – б.м.

3). ( 1) 1/ , 1/ / ( 1)n nn n n nx n y n x y , то есть { / }n nx y не имеет предела

4). 2 / , 7 / / 2 / 7 2 / 7n n n n nx n y n x y

, то есть { / }n nx y имеет конечный пре-

дел.

Видим: в данной ситуации для нахождения предела частного { / }n nx y недостаточно

знать, что 0 ,n nx

0n n

y , а надо знать еще характер (скорость) стремления к нулю по-

следовательностей nx и ny .

◀Определение▶ Говорят, что выражение /n nx y при 0nx , 0ny представляет собой

неопределенность типа (0 / 0) «ноль делить на ноль».

Далее, при ,n nx y выражение /n nx y есть неопределенность типа

( / ) «бесконечность делить на бесконечность», а выражение n nx y – неопределенность

типа ( ) «бесконечность минус бесконечность».

При 0 ,n nx y выражение n nx y есть неопределенность типа (0 ) «ноль

умножить на бесконечность».

Показательно-степенное выражение , 0nyn nx x n порождает следующие неоп-

ределенности:

(1 ) «единица в степени бесконечность» при 1 ,n nx y

◆Пример: 1 1

1 , 1 ,n

n n nt x y nn n

;


Л Е К Ц И Я 3

0(0 ) «ноль в нулевой степени» при 0 , 0n nx y

◆Пример: 11/ (1/ ) , 1/ , 1/nnn n nt n n x n y n ;

0( ) «бесконечность в нулевой степени» при , 0n nx y

◆Пример: 1 , , 1/nnn n nt n n x n y n .

Раскрыть неопределенность – значит найти соответствующий предел или доказать,

что он не существует.

При раскрытии неопределенностей нельзя непосредственно воспользоваться арифме-

тическими свойствами пределов. Однако часто это можно сделать после некоторых тожде-

ственных преобразований данного неопределенного выражения.

Кроме этого, полезными оказываются следующие результаты (приведены здесь без

доказательства):

1. Пусть 1,nx n и lim 0nnx

. Тогда

lim 1 1,pnn

x p const

.

2. Показательно-степенное выражение exp , ln , 0,nbn n n n n na A A b a a n имеет пре-

дел (конечный или равный )

lim

lim

lim

nn

nn

nn

A L

A

A

.

Некоторые из случаев, которые могут при этом представиться:

● Если lim , 0 ,nna a a

lim nn

b b

, то lim lim( ln ) lnn n nn nA b a b a L

lim nbnn

a

lim exp exp lim exp( ln ) exp(ln )bn nn n

A A b a a

ba . В частности, если здесь

1a , то 0L и lim 1nbnn

a

.

● Если lim , 0 ; 1nna a a a

, lim nn

b

, то


Л Е К Ц И Я 3

, 0 1lim lim( ln )

, 1n n nn n

aA b a

a

exp( ) 0 , 0 1lim exp lim

exp( ) , 1nb

n nn n

aa A

a

4.

● Если lim , 0 ; 1nna a a a

, lim nn

b

, то

, 0 1lim lim( ln )

, 1n n nn n

aA b a

a

exp( ) , 0 1lim exp lim

exp( ) 0, 1nb

n nn n

aa A

a

.

● Если lim 0 0nna

(такой записью здесь желают подчеркнуть, что 0,na n ), то

lim(ln ) ln lim ln(0 0)n nn na a

5. Тогда в случае lim 0nn

b b

, где b или b ,

имеем lim lim( ln )n n nn nA b a

, а в случае lim 0nn

b b

, где b или b будет

lim lim( ln )n n nn nA b a

. В результате получаем

exp( ) 0, 0lim exp lim

exp( ) , 0nb

n nn n

ba A

b

.

В случае, когда lim nnA

, но не и не , в числовой последовательности nA

отыщется подпоследовательность 1 nA , имеющая предел , равно как и подпоследователь-

ность 2 nA , имеющая предел (докажите). Но тогда 1 1lim exp( ) exp lim( )n nn nA A

exp( ) и 2 2lim exp( ) exp lim( )n nn nA A

exp( ) 0 . Таким образом, последова-

тельность nbna не имеет предела в рассматриваемом случае.

Использованный выше прием т.н. экспоненциального преобразования показательно-

степенного выражения с последующим анализом показателя экспоненты (наиболее интере-

4 Символы exp( ) употребительны при обозначении пределов б.б. положительной последовательности

exp ,n n n nx A A

и б.м. последовательности exp ,n n n n

x A A

соответственно. С учетом этого

операции lim( )x

и exp( ) e остаются перестановочными и в случае, когда числовая последовательность

есть б.б положительная или б.б. отрицательная. Здесь формально можно считать, что область определения экспоненты содержит несобственные числа и (см. сноску на стр.17).

5 Запись ln(0 0) означает, что числовая последовательность lnn nx a есть отрицательная б.б. при

0 0n na

. Операции lim( )

x и ln( ) можно теперь считать перестановочными и при стремлении аргумента

логарифма справа к нулевому значению, которого нет в области определения логарифма (см. сноску на стр.17).


Л Е К Ц И Я 3

сен случай, когда lnn n nA b a представляет собой неопределенное выражение типа (0 ) )

весьма плодотворен и будет использоваться далее при раскрытии показательно-степенных

неопределенностей для функций непрерывного аргумента.

3. Один из частных случаев предыдущего пункта, когда lim 1nna

, lim nn

b

, выделим осо-

бо. Именно, если lim 0,nn 0 ;n a , то

1

lim(1 ) .n

bn

n

anx

a

a e

◆Пример: 22

2

7 3lim

1

n

n

n nn

●

Положим 22

2

7 3

1

n

nn nt

n

. Поскольку

2 2

2

2

7 31

7 3lim lim 1

11 1n n

n n n nn

n

, а

lim(2 )n

n

, то nt неопределенность типа (1 ) .

Имеем: 2

2

7 21

1

nnn

(

2

7 20 ,

1n

n nn

)

2 2

7 22

1 17 2

2

7 21

1

n nn nnn

n

. Далее, по

утверждению 3. при 1a будет

2 1

7 2

2

7 21

1

nn

n

n en

, а

2

7 22 14

1 n

n nn

, так что, применяя

2., окончательно получаем

● 14e .

4. Связь среднего арифметического, среднего геометрического и среднего гармониче-

ского положительных чисел

Пусть 1 2, , , 0na a a . Тогда справедлива система неравенств

1

1 11

1 1

n nnn

a a a aa a

n n


Л Е К Ц И Я 3

Входящие в эту систему выражения называются (справа налево): среднее арифмети-

ческое (сумма чисел, деленная на их количество), среднее геометрическое (корень степени,

равной количеству чисел, из их произведения) и среднее гармоническое (величина, обратная

среднему арифметическому обратных заданным числам величин). Равенства в системе реа-

лизуются одновременно и тогда и только тогда, когда 1 na a .

Указанная система неравенств часто используется вместе с теоремой «о двух мили-

ционерах» (см. Лекцию 2).

5. Операция вычисления предела перестановочна (говорят еще: коммутирует) с операцией

вычисления элементарной функции6 (об этом уже упоминалось выше).

◆Пример: Пусть lim / 2nnx

. Тогда lim(sin ) sin(lim ) sin( / 2) 1n nn n

x x

(использована

перестановочность lim sinn

с учетом того, что [sin( )]D x ).

Наряду с рассмотренным выше способом задания ч.п. при помощи формулы общего

члена, распространен и другой способ – при помощи т.н. рекуррентных формул, в которых

произвольный член ч.п. задается как функция некоторых предшествующих ее членов, а не

как явная функция номера n .

◆Примеры:

(3.6) 1). 1 1, ,n nx x d x a где d const , n .

Формула (3.6) задает последовательность чисел { , , 2 , }a a d a d – арифметиче-

скую прогрессию (÷) с первым членом a и разностью d .

(3.7) 2). 1 1, 0 , 0n nx x q x b q const , n .

Формула (3.7) порождает геометрическую прогрессию (∺) с первым членом b и зна-

менателем q : 2{ , , , }b bq bq

6 Строгая формулировка этого обстоятельства выглядит так: если все члены сходящейся ч.п. { }nx вместе с ее

пределом a лежат в области определения элементарной функции ( )f x , то lim ( ) lim ( )n nn nf x f x f a

.


Л Е К Ц И Я 3

(3.8) 3). 2 1 1 2, 3, 4 , ; 1n n nx x x n x x .

Эта формула определяет числовую последовательность

{1 ,1 , 2 , 3 , 5 , 8 ,13 , 21, } , в которой каждый член, начиная с 3-го, равен сумме двух пред-

шествующих ее членов. Эта ч.п. известна в математике как последовательность чисел Фибо-

наччи (Леонардо Пизанский, или Фибоначчи – итальянский богослов и математик XIII в.).

▲ Найдите формулы общего члена ч.п. (3.6) – (3.8).

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В ЭКОНОМИКЕ

Хороший пример использования ч.п. в экономике – динамика банковского вклада, где

роль натурального номера n играет количество временных отрезков, прошедших с момента

размещения вклада в банке. Если размер вклада по истечении n таких отрезков (лет, кварта-

лов, месяцев, дней) обозначить через 1nx , а первоначальный вклад – как 1x , то ч.п.

1 2{ , , }x x будет описывать изменение величины вклада с течением времени.

В частности, если банк начисляет т.н. сложный процент из расчета %p годовых, то

1 1 , 1 , 2 ,100n n

px x n

– аналог формулы (3.7). Отсюда следует

(3.9) 2

1 1 11 1 1100 100 100

n

n n np p px x x x

– размер вклада по истечении

n лет.

Пусть теперь проценты начисляются не 1 раз в год, а k раз по %pk

. Тогда получим (в

результате nk начислений за n лет)

(3.10) 1 1 1100

k n

npx x

k

Ясно, что в пределе k выплата процентов становится непрерывной (ежегодно –

1k ; ежеквартально – 4k ; ежемесячно – 12k ; ежедневно – 365k ; ежечасно –

8760k ; ... ; непрерывно – k ).


Л Е К Ц И Я 3

Если предел в (3.10) при k обозначить nx , то есть положить 1 1lim n nkx x

, то

найдем:

100 100 100100

1001 1 1 1 1lim lim 1 lim 1

100 100

pnk p kkn pn

p k p

n nk k k

p px x x x x ek k

.

Окончательно, формула

(3.11) 1001 1

pn

nx x e

описывает динамику банковского вклада в принятой выше схеме непрерывного начисления

процентов.

Видим: в соответствии с (3.11) вклад с течением времени растет ( 0p ) экспоненци-

ально. Экспоненциальный рост, как известно, является неограниченным: вклад становится

сколь угодно большим по прошествии достаточно большого времени.

▲ Сравните результаты (3.9) и (3.11) при 1 1 , 5% , 20x p n с целью выбрать банк для

наиболее выгодного размещения вклада. Оправдывается ли основанное на здравомыслии ут-

верждение, что при одинаковой годовой ставке именно схема непрерывного начисления

процентов (вклад растет «все время») оказывается наиболее выгодной? Проведите компью-

терный анализ ситуации.

Поскольку в (3.10) 1 1 ( 0) ,100

p p то 1100

n

n

p

, а тогда 1lim nnx

, то

есть бесконечное увеличение вклада с течением времени характерно и для закона (3.10).

Представим себе политика, который предлагает ограничить процент прироста, желая

воспрепятствовать неограниченному обогащению граждан.

Пусть в (3.9) /100p и с указанной целью предлагается сделать ставку банковского

процента зависящей от величины вклада: 0max

1 nxx

, где 0 max, x некоторые постоян-

ные. Тогда при 0nx процент максимален: 0 , а при maxnx x то есть по достижении

вкладом величины maxx , будет 0 , так что вклад перестанет расти. Получаем после под-

становки в первое равенство (3.9):


Л Е К Ц И Я 3

(3.12) 0 01 0 0

max 0 max

(1 ) 1 (1 ) 1 ,1

n nn n n n

x xx x x x

x x

где

0

0 max

1 , 11

nxx

. Введем теперь обозначение 0

0 max1n

nx

yx

. Тогда, умножив (3.12) на

0

0 max(1 )x

и обозначив еще 01 r , находим окончательно

(3.13) 1 (1 )n n ny r y y , где 0 1 , 1ny r .

Формула (3.13) называется логистическим законом изменения переменной y .

▲ Существует ли lim nny

в (3.13) и если да, то чему он равен?

Казалось бы, принятые меры приведут к стабилизации ny с ростом n и вклады будут

вести себя предсказуемо.

Оказывается, однако, что это так лишь для не очень больших значений параметра r . В

этом случае действительно $ lim nny

:

– точки удвоения периода

зона хаоса

значение ny при больших n 2-цикл 4-цикл

«Портрет» логистического закона (3.13)

2Y

1Y

r 4

зона существования

lim nny

r

O 1

0r

3

2/3


Л Е К Ц И Я 3

При увеличении r указанный предел пропадает. Именно, если этот параметр превы-

сит пороговое значения 0 3r , то величина ny , начиная с некоторого значения номера n ,

будет колебаться (!) последовательно между двумя значениями ( 1Y и 2Y на рисунке).

С дальнейшим ростом r таких значений становится вместо двух 4, 8 и т.д. в результа-

те так называемой бифуркации7 удвоения периода. Далее, при некотором критическом значе-

нии 4r r (для наглядности ось абсцисс растянута) характер изменения переменной ny

становится нерегулярным: она хаотически колеблется в пределах некоторого промежутка,

так что предсказать величину вклада оказывается невозможно.

Как бы это ни было удивительно, но приведенные выше довольно простые соображе-

ния, имеющие целью контроль денежных потоков в сфере банковских услуг, поставленной

цели воспрепятствования неограниченному обогащению населения не достигают, а могут,

наоборот, привести к полной хаотизации положения на рынке таких услуг. Соответствующая

математическая модель, основанная на логистическом уравнении (3.13), является предметом

исследований на переднем крае современной науки в бурно развивающейся ее отрасли, име-

нуемой теорией хаоса.

Один из наиболее поучительных выводов из рассмотренного примера (каким бы три-

виальным8 этот вывод ни казался на первый взгляд!) состоит в том что

7 Бифуркация – от «bifurcus» (лат., раздвоенный) – буквально некоторое удвоение, например, удвоение периода колебаний

банковского вклада, как в рассмотренном выше примере. В широком смысле бифуркация понимается как качественное из-

менение (перестройка, скачок, метаморфоза), возникающее в некоторой физической, социальной, экономической и т.п. сис-

теме по достижении параметрами, управляющими ее динамикой (поведением), определенных пороговых значений, что ве-

дет к потере этой системой устойчивости и возникновению в ней качественно новых форм движения. 8 Тривиальный – обыкновенный, лишенный свежести и оригинальности. Оригинальный – подлинный, неподдельный, впол-

не самостоятельный, чуждый подражательности, своеобразный.

Простые меры воздействия даже на не очень сложные системы

не всегда приводят к простым и предсказуемым последствиям

›екция 03.pdf · 1 Л Е К Ц И Я 3 Лекция 3. ... скорость роста...

Documents