Решение задач В4

ВекторыВекторы

Учитель математики: Семёнова Елена Юрьевна

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный

По правилу треугольника:

Найдём длину AD из п/у ∆AOD(т.к. ABCD – ромб, то АС ⊥ BDи ВО = ОD = 6, АО = ОС = 8)

O

Прототип задания B5 (№ 27717)Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора .

Ответ: 10.

Решение.

А

С

ВD

ADODAOBOAO

2222

ODAOADAD

ВОАО

10068 222 АD

10100 AD

По правилу треугольника:

Прототип задания B5 (27709)Две стороны прямоугольника ABCD равны 60 и 45. Найдите длину разности векторов  и   .

Ответ: 75.

ADAB

DAABADAB

А

С

В

D

22 ADABDBDB 60

45DBABDA

7556254560 22 DB

Решение.

Т.к. векторы ⊥ , то их скалярное произведение

Прототип задания B5 (27710)Две стороны прямоугольника ABCD равны 17 и 26. Найдите скалярное произведение векторов  и .

Ответ: 0.

ADAB

0ADABА

С

В

D

26

17ADAB

Решение.

Прототип задания B5 (27711)Две стороны прямоугольника равны 15 и 23. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину суммы векторов  и  .

Ответ: 15.

ВОAО

ADОDAОВОAО

А

С

В

D

23

15О

15АD

По правилу треугольника:

Решение.

Прототип задания B5 (27712)Две стороны прямоугольника равны 13 и 25. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину разности векторов  и  .

Ответ: 25.

ВОAО

AВОВAОВОAО

А

С

В

D

25

13О

25АВ

По правилу треугольника:

Решение.

Найдём длину из п/у ∆AOB(т.к. ABCD – ромб, то АС ⊥ BDи ВО = ОD = 27, АО = ОС = 36)

O

Прототип задания B5 (№ 27713)Диагонали ромба ABCD равны 54 и 72. Найдите длину вектора .

Ответ: 45.

Решение.

А

С

DB 22 OВAOAВАВ

222 OВAOAВ

АВ

453627 22 AВ

АВ

По правилу параллелограмма

O

Прототип задания B5 (№ 27714)Диагонали ромба ABCD равны 44 и 66. Найдите длину вектора .

Ответ: 66.

Решение.

А

С

DB

ADАВ

66AС

АСADАВ

Прототип задания B5 (27720)Стороны правильного треугольника ABC равны . Найдите длину вектора  .

Ответ: 135.

АСAВ

,2AОАМАСAВ

А

С

В 2

3

2

22 аа

аАО

По правилу параллелограмма:Решение.

345

М

О где АО – высота, медиана, биссектриса р/с ∆ АВС

5,672

345

2

3345

АО

135АМ

а

а

Прототип задания B5 (27722)Стороны правильного треугольника ABC равны 18. Найдите скалярное произведение векторов и   .

Ответ: 162.

АСAВ

,cos ААСAВАСAВ

А

С

В

По определению скалярного произведения, имеем:

Решение.

18

18

60cos1818АСAВ

1622

1324 АСAВ

60°

Координаты векторов и :

1) скалярное произведение:

2) длины векторов:

O

Прототип задания B5 (№ 00000)Даны векторы и .Найдите: 1) скалярное произведение; 2) длины векторов.

Решение.

x8

y 4;8;6;2 ba

22

22

21

21 ; yxbyxa

ba

a

b

2

4

6

ba

2121 yyxxba

404682)1 ba

.8048 22 b

;4062)2 22 a

Ответ: 1) 40; 2) √40; √80.

Координаты векторов и :

1) сумма координат вектора :

2) квадрат длины вектора:

O

Прототип задания B5 (№ 00000)Даны векторы и .Найдите: 1) сумму координат вектора ; 2) найдите квадрат длины вектора . Решение.

x8

y 4;8;6;2 ba

ba

a

b

2

4

6

ba

2121 yyxx

201010 Ответ: 1) 20; 2) 200.

ba

222

ухba

10;10ba

1) сумма векторов :ba

6;2a 4;8b

2001010)2 222

ba

ba

сумма координат вектора :ba

ba

Координаты векторов и :Найдём угол между ними через скалярное произведение:

O

Прототип задания B5 (№ 27735)Найдите угол между векторами  и . Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45.

Решение.

x8

y 4;8;6;2 ba

22

22

21

21

2121cosyxyx

yyxx

ba

baφ

ba

a

b

2

4

6

ba

8040

40

4862

46822222

2

1

240

40

3200

40 ⇒

45φ⇒