НОУ Ломоносова
TRANSCRIPT
Областная Интернет-конференциятворческих и исследовательских работ,
посвящённая 300-летию М.В. Ломоносова
для обучающихся образовательных учрежденийОмской области
Секция 2. Математика и информационные технологии
«Построение геометрических фракталов»
Михайлов Владислав Сергеевич
7 «А» класс, МОУ «Гимназия №159»
Научный руководитель
Мезрина Лилия Степановна,
учитель математики
МОУ «Гимназия №159»
Омск, 2011
Содержание.
1. Введение _______________________________________________________3
2. Теоретические сведения о фракталах _______________________________ 4
2.1. Определение и классификация фракталов _____________________ 4
2.2. Из истории фракталов ______________________________________5
2.3. Простейшие геометрические фракталы _______________________ 5
3. Исследовательская работа. Построение геометрических фракталов ______7
4. Заключение____________________________________________________ 10
5. Список литературы _____________________________________________ 11
6. Приложения А–Л _______________________________________________12
7. Мультимедийная презентация
PAGE \* MERGEFORMAT 18
Много в пространстве невидимых форм и неслышимых звуков,Много чудесных в нем есть сочетаний и слова и света,
Но передаст их лишь тот, кто умеет и видеть и слышать,Кто, уловив лишь рисунка черту, лишь созвучье, лишь слово,
Целое с ним вовлекает созданье в наш мир удивленный.(А. Толстой)
1. Введение.
В прошлом году на научно-практической конференции школьников я услышал о фракталах. Меня заинтересовала эта тема, и я решил познакомиться с ней поближе.
Цель данной работы – изучить тему «Фракталы» и научиться их строить.Задачи: 1. Ознакомиться с теорией фракталов. 2. Изучить геометрические фракталы. 3. Построить собственные фракталы.Исследовательская работа: построение геометрических фракталов.В процессе работы над темой использовал следующую литературу:
Мандельброт Б. «Фрактальная геометрия природы», Пайтген Х.-О. и Рихтер П. Х. «Красота фракталов», а также статьи из Интернет-источников.
Тема актуальна. Интерес к проблеме связан с возросшей ролью фракталов в информационных технологиях. Они используются не только в компьютерной графике, но и в других сферах деятельности.
Вы можете обнаружить их в лесах, столкнуться с ними на передовых рубежах медицинской науки, увидеть их в кино. Вы найдёте их везде, где есть беспроводная связь. Эти столь странные формы окружают вас повсюду: ветвящиеся и повторяющиеся, и называются они фракталы.
Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т.д. Попробуйте немного приблизить изображение горной гряды – вы снова увидите горы.
Многие природные системы настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как, к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии?
В биологии фракталы встречаются на каждом шагу, эти формы часто оказываются оптимальными, что подтверждается естественным отбором. Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной. Цветы и другие растения, турбулентные процессы, формирующие погоду, ритмы нашего сердца – это сама сущность жизни.
Но чтобы понять, как они устроены, раскрыть, наконец, один из удивительных секретов нашего главного дизайнера – природы, должен был появиться математик с новым взглядом на мир. Это был вызов устоявшимся вековым представлением о том, какие формы существуют в природе. Глаза внезапно открылись и люди увидели эти формы, которые всегда были вокруг, но которых раньше никто не замечал.
PAGE \* MERGEFORMAT 18
Вместе с тем сегодня фракталы еще не изучены до конца, хотя им находят все новое применение.
2. Теоретические сведения о фракталах.
2.1. Определение и классификация фракталов.
Существует большое число математических объектов называемых фракталами. Есть несколько определений фракталов. Вот самое простое:Фрактал (лат. fractus – дробленый, сломанный, разбитый) – сложная
геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть каждый фрагмент которой подобен всей фигуре целиком.
Простейшие фракталы, такие, как канторовская пыль, снежинки и ломаные Коха, ковер и губка Серпинского, кривые дракона, кривые Пеано и Гильберта и многие другие, обладают регулярной геометрически правильной структурой. Каждый фрагмент такого геометрически правильного фрактала в точности повторяет всю конструкцию в целом.
Фракталы с большой точностью описывают многие физические явления и природные образования: горы, облака, турбулентные течения, корни, ветви и листья деревьев, кровеносные сосуды, что далеко не соответствует простым геометрическим фигурам. Впервые фрактальную природу нашего мира подметил математик Бенуа Мандельброт: "Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, горы - не конусы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности".
Многие природные объекты похожи на фракталы: облака, деревья, растения, линии берегов. Их мы можем назвать природными фракталами, в отличие от математических фракталов, с которыми имеют дело учёные. Дерево, например, является неупорядоченным природным фракталом, который формируется во времени от более крупных элементов (ствол, толстые сучья) к более мелким (тонкие веточки). Гусиное перо – также природный фрактал, но только более упорядоченный, чем дерево. Молния, морозный узор на стекле, лист папоротника, капуста брокколи Романеско – это все тоже природные фракталы. В Приложении К и Приложении Л можно посмотреть на некоторые из них.
Фракталы можно классифицировать так: Геометрические фракталы: кривые Коха, Леви, Пеано, Гильберта, ломаная
дракона (фрактал Хартера-Хейтуэя), множество Кантора, треугольник и ковер Серпинского, дерево Пифагора
Алгебраические фракталы: множество Мандельброта, Жюлиа, бассейны (фракталы) Ньютона, биоморфы, треугольники Серпинского
Стохастические фракталы Рукотворные фракталы Природные фракталы Детерминированные фракталы Недетерминированные фракталы
PAGE \* MERGEFORMAT 18
В своей работе я рассмотрю геометрические фракталы. Фракталы этого класса самые наглядные.
2.2. Из истории фракталов.
Первые идеи фрактальной геометрии и примеры самоподобных множеств с необычными свойствами возникли в XIX веке.
В 1883 году Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками.
В 1890 году Джузеппе Пеано построил кривую, ставшую первой кривой в группе фракталов, называемых кривыми Пеано.
В 1904 году шведский математик Хельге фон Кох описал фрактальную кривую, которую называют Кривой Коха.
В 1915 году польским математиком Серпинским был предложен фрактал треугольник Серпинского.
В 1975 году Бенуа Мандельброт ввел термин «фрактал», который получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф).
2.3. Простейшие геометрические фракталы.
Так как же нам начертить фрактал?В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной,
называемой генератором. За один шаг (этот шаг называется итерацией) каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на всю ломаную-генератор целиком в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.
В своей работе я рассмотрел несколько известных геометрических фракталов.Канторово множество есть один из простейших фракталов. Оно
изображено в Приложении А. Из единичного отрезка удалим среднюю треть. Удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть. И так далее, удаляя средние трети у всех отрезков. Получаем так называемую Пыль Кантора.
Пеано в 1890 г. нарисовал особый вид линии, которую мы видим в Приложении Б. Для ее рисования он использовал следующий алгоритм.
На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длиной в 3 раза меньшей, чем длина исходной линии. Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности.
Этот фрактал плотно заполняет пространство, в котором находится.Кривая Коха – фрактальная кривая, показанная в Приложении В,
примечательна тем, что непрерывна. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д.
PAGE \* MERGEFORMAT 18
Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую, называемую снежинкой Коха, которую мы видим в Приложении В.
Кривая Леви в Приложении Г – фрактал, предложенный французским математиком П.Леви. Кривая получается, если взять половину квадрата вида /\, а затем каждую сторону заменить таким же фрагментом, и, повторяя эту операцию, в пределе получим кривую Леви.
Дракон Хартера, также известный как дракон Хартера-Хейтуэя, был впервые исследован физиками NASA. Его изображение – в Приложении Д. Он был описан в 1967 году Мартином Гарднером в колонке «Математические игры» журнала «Scientific American».
В Приложении Е показано построение этого фрактала. Берём отрезок, сгибаем его пополам. Затем многократно повторяем итерацию. Если после этого снова разогнуть получившуюся (сложенную) линию так, чтобы все углы были равны 90°, мы получим драконову ломаную.
Треугольник Серпинского, который видим в Приложении Ж, – фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора предложенный польским математиком Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского.
Равносторонний треугольник M0 делится прямыми, параллельными его сторонам, на четыре равных равносторонних треугольника. Из треугольника удаляется центральный треугольник. Получается множество M1, состоящее из трех оставшихся треугольников "первого ранга". Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество M2, состоящее из девяти равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность.
Ковёр Серпинского, изображенный в Приложении З – фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским. Известен также как квадрат Серпинского.
Квадрат делится прямыми, параллельными его сторонам, на 9 равных квадратов. Из квадрата удаляется центральный квадрат. Получается множество, состоящее из 8 оставшихся квадратов "первого ранга". Поступая точно так же с каждым из квадратов первого ранга, получим множество, состоящее из 64 квадратов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность.
Дерево Пифагора – разновидность фрактала, основанная на фигуре, известной как «Пифагоровы штаны». Деревья Пифагора можно увидеть в Приложении И.
Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему, построил фигуру, где на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты. В наш век эта фигура Пифагора выросла в целое дерево. Впервые дерево Пифагора построил А. Е. Босман (1891–1961) во время второй мировой войны, используя обычную чертёжную линейку.
Одним из свойств дерева Пифагора является то, что если площадь первого квадрата равна единице, то на каждом уровне сумма площадей квадратов тоже будет равна единице.
Если в классическом дереве Пифагора угол равен 45 градусам, то также можно построить и обобщённое дерево Пифагора при использовании других углов.
PAGE \* MERGEFORMAT 18
Такое дерево часто называют обдуваемое ветром дерево Пифагора. Если изображать только отрезки, соединяющие каким-либо образом выбранные «центры» треугольников, то получается обнаженное дерево Пифагора.
3. Исследовательская работа. Построение геометрических фракталов.
Меня заинтересовало: как можно самому построить такие фракталы?Я попробовал начертить свой фрактал. Первую идею воплотил вручную на
миллиметровой бумаге (рис. 1). Я разделил отрезок на три равные части и среднюю треть заменил на три
отрезка такой же длины в форме буквы «П». Далее повторил это действие еще несколько раз. Получил фрактал, который назвал «Уголок».
Этот процесс довольно трудоемкий и занимает много времени. Я решил поискать другой способ начертить фрактал: с помощью компьютерных программ. В Интернете нашел 6 программ. Перебрав их, остановился на «Java version of the Snowflake Fractal». Эта программа сама рисует фракталы по заданному генератору.
Сначала с её помощью я еще раз нарисовал свой фрактал «Уголок». Получилась точная копия ручной работы.
Рисунок 1 – Фрактал «Уголок».
Затем я построил еще несколько фракталов (рис. 2-7) и дал им названия, т.к. каждый из них был на что-то похож.
PAGE \* MERGEFORMAT 18
Рисунок 2 – Фрактал «Цветок»
Рисунок 3 – Фрактал «Корзинка»
PAGE \* MERGEFORMAT 18
Рисунок 4 – Фрактал «Грибок»
Рисунок 5 – Фрактал «Облако»
PAGE \* MERGEFORMAT 18
Рисунок 6 – Фрактал «Листок»
Рисунок 7 – Фрактал «Кустик»
4. Заключение.
В процессе работы я познакомился с такими объектами математики, как фракталы, изучил классические геометрические фракталы. Ознакомился с литературой, посвященной этой теме, со статьями из Интернет-источников. Освоил приемы и принципы построения геометрических фракталов и составил семь собственных. Научился работать в программе генерации геометрических фракталов «Snowflake». Узнал, в каких областях фракталы применяются.
Прогресс в компьютерных технологиях приводит к широкому использованию цифровых изображений. В связи с этим растет интерес к улучшению алгоритмов сжатия данных, представляющих изображения. Сжатие данных необходимо как для скорости передачи, так и эффективности хранения информации. Достоинства алгоритмов фрактального сжатия изображений – очень маленький размер упакованного файла и малое время восстановления картинки. Кроме многих видов коммерческого использования, технологии сжатия представляют также интерес в других областях, например, в военной для
PAGE \* MERGEFORMAT 18
обработки данных телеметрии или для архивного хранения данных об изображении местности для моделирования оборонительных действий.
Кроме этого, еще одно из наиболее мощных приложений фракталов – компьютерная графика: построение ландшафтов, деревьев, растений и генерирование фрактальных текстур. Склонность фракталов походить на горы, цветы и деревья эксплуатируется некоторыми графическими редакторами. Фракталы – область удивительного математического искусства, когда с помощью простейших формул и алгоритмов получаются картины необычайной красоты и сложности! В контурах построенных изображений нередко угадываются листья, деревья и цветы.
Современная физика и механика только-только начинают изучать поведение фрактальных объектов. И конечно же фракталы применяются непосредственно в самой математике. Их можно применять в различных математических задачах и метеорологических вычислениях.
Фрактальную теорию с математической точки зрения пытаются применить к финансовым рынкам. Фрактал шагнул в мир экономики, в том числе на фондовые рынки и валютный рынок Форекс.
Фрактальная наука еще очень молода, и ей предстоит большое будущее. Фракталы заставляют пересмотреть наши взгляды на геометрические свойства природных и искусственных объектов. Разрабатываемые на основе этих понятий теории открывают новые возможности в различных областях знаний, в том числе в информационных и коммуникационных технологиях.
Красота фракталов далеко не исчерпана и еще подарит нам немало шедевров – тех, которые услаждают глаз, и тех, которые доставляют истинное наслаждение разуму.
В будущем я бы хотел продолжить изучать и строить геометрические фракталы. Я бы очень хотел познакомиться с алгебраическими и стохастическими фракталами, понять формулы, с помощью которых они записываются. Пока у меня не хватает для этого знаний, но мне есть к чему стремиться.
5. Список литературы.
1. Мандельброт Б. – Фрактальная геометрия природы – М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
2. Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. – Красота фракталов – М.: «Мир», 1993.
3. http://www.masters.donntu.edu.ua/2006/fvti/avleeva/diss/index.htm – Авлеева А.Н. "Фрактальное сжатие изображений. Решение задач сжатия изображений с использованием систем итерированных функций"
4. http://re-tech.narod.ru/inf/sinergy/fractal_b.htm – Данилов Ю.А. «Красота фракталов».
5. http :// www . michurin . com . ru / fractal - app . shtml – Мичурин А.В. «Применение фракталов».
PAGE \* MERGEFORMAT 18
6. http://fractals.narod.ru/intro.htm – «Введение во фракталы».
7. http://fractals.chat.ru/ – «Вселенная фракталов».
8. http://fraktals.ucoz.ru/ – «Все о фракталах - Фракталы».
9.http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%BB – «Фрактал – Википедия».
10. http://www.shodor.org/master/fractal/software/Snowflake.html – «Snowflake Applet and Documentation».
PAGE \* MERGEFORMAT 18
Приложение А
Канторово множество
Приложение Б
PAGE \* MERGEFORMAT 18
Кривая Пеано
PAGE \* MERGEFORMAT 18
Приложение В
Кривая Коха и Снежинка Коха
PAGE \* MERGEFORMAT 18
Приложение Г
Кривая Леви
PAGE \* MERGEFORMAT 18
Приложение Д
Дракон Хартера
PAGE \* MERGEFORMAT 18
Приложение Е
Построение Дракона Хартера
PAGE \* MERGEFORMAT 18
Приложение Ж
Треугольник Серпинского
PAGE \* MERGEFORMAT 18
Приложение З
Ковёр Серпинского
Приложение И
Дерево Пифагора
PAGE \* MERGEFORMAT 18
Классическое дерево Пифагора
Обдуваемое ветром дерево Пифагора
Приложение К
Природные фракталы
PAGE \* MERGEFORMAT 18
Приложение Л
Природные фракталы
PAGE \* MERGEFORMAT 18
PAGE \* MERGEFORMAT 18