[ вычисление площадей плоских фигур - вычисление площади фигуры в полярной системе координат - вычисление объема тел - вычисление длины дуги - вычисление площади поверхности тела вращения – примеры ]

b

a

dxxfS )( S – площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции,

снизу осью абсцисс x , двумя прямыми x = a и x = b , параллельными оси ординат.

f(x)

x

a b

S

y

Пример: вычислить площадь фигуры, ограниченной косинусоидой и синусоидой

/4

y

xcos x

sin x

b

a

dxxgxfS )()(

2222

22

22

22

45

4xx

)cos(sin

S (cos sin )4

54

x x dx

-5/4

@ Найти площадь фигуры, ограниченной прямой, параболой и осью x

y

x

2 4

2xy

310

2

4x2

2x

x32

0

2x

32

dx2xxdxxS

233

2

0

4

2

)(

)(

xy Точки пересечения кривых : (0;0), (2;0), (4;2)

SS11

SS22

Первое решение :

0

Второе решение :

310

0

2

3y

y22y

dyy2yS322

0

2 )()(

@ Найти площадь эллипса с полуосями a и b y

x1

b

y

a

x2

2

2

2

dxxaab

4Sa

0

22

a

b

2

0

22

0

22 tdtab4tdtataaab

4S

coscos)sin(

ab

0

2

2t2

tab2dt2

t21ab4

2

0

)sin

()cos(

@ Найти площадь астроиды : 32

32

32

ayx

Используем уравнение астроиды в параметрической форме

2t0 tsinay

tcosax3

3

0 2 23 2 2 4 2

a 0 0

S 4 y(t )dx(t ) S 4 asin t a3 cos t ( sint )dt 12a sin t cos tdt

2

0

2

0

2222 dt2

t212

t41a3tdtt2a3

coscossinsin

2

0

22 a83

dtt2t4t2t41a43

)coscoscoscos(

sin y

cos x

222 yx

xy

tg

0

dl = d

2d

ds

d

b

a

21S ( )d

2

y

x0

M(x,y)

a )

b )

a

b

Найти площадь кардиоиды cos1

b

a

d21

S 2

2

0

2 d121

S )cos(

2

0

2 d2121

)coscos(

23

0

2

22

21

221 ))

sin(sin(

@

В общем случае для этих целей используются двойной или тройной интеграл. В частном случае, если известны площади параллельных сечений вдоль

выбранного направления, можно получить расчетную формулу для объема.

kkk xxSV )(

dxxSdV )(

b

a

dxxSV )(

SSxxkk

xxkk

0 kkkkkkkk x)mM(xmxMr

@ Найти объем цилиндрического отрезка с радиусом основания a и высотой h

a

h x

x S

z

y

ayx a

hyz 222,

2yz

S xaah

z 22

a2xah

xS22 )(

)(

ha32

0

a

3x

xaah

dxa2

xahV 2

32

a

a

22

)()(

x

y

kk2

k xxfV )(n n

2k k kmax x 0 max x 0

k 1 k 1n

V lim V lim f ( x ) x

b

a

2x dxxfV )(

d

c

2y dyyfV )(

)( xf

xxkk

SSxxkk

a b

kkk xxSV )(

Найти объем шара радиуса a

x

y 22 xay

a

a

222x dxxaV )(

a 32 2 2 3

a

ax 4( a x )dx 2 ( a x ) a

3 30

@

a- a

Найти объем тора с радиусами R = 2 и a = 1

x

@

dxx12x12V1

1

2222x })(){(R

a

tdtdx txdxx181

1

2 cos,sin

22

2

2 4

0

2

2t2

2t

16dtt8

)sin

(cos

R

a

x y

dx dy

0

)(tr

)()( trdtr

trd )(

ktzjtyitxtr )()()()(

ktdzjtdyitdxtrd )()()()(

222 dzdydxrddl

B

A

t

t

222

L

dttztytxdlL )()()()(

xfy tx )(,b

2

a

L 1 f dx

dz

B

A

2 2L d

)(

A

B

Плоская кривая

sin

cos

y

x

dtd

dtd

dtdy

dtd

dtd

dtdx

cossin

sincos

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

dx d d d dcos sin 2 sin cos

dt dt dt dt dt

dy d d d dsin cos 2 sin cos

dt dt dt dt dt

B B

A A

2t2 2 2

t

dL dt d

dt

2 2t t

dl x y dt

Площадь конического кольца

k

2kkkkkk

k x2

xxfxf1

2

xxfxf2A

)()()()(

x

y

n

1kk

n0

AAxmax

lim

b

a

2

dxdxdf

1xf2A )(

@ Найти площадь сферы радиуса a

b

a

2

dxdxdf

1xf2A )(

a

a

2

22

22 dxxa2

x21xa2A

a a22 2 2

2 2a a

x2 a x 1 dx 2 adx 4 a

a x

x

y

@ Найти силу давления воды на стенку шлюза в форме полукруга радиуса R, диаметр которого совпадает с поверхностью воды

O

R

R x

dx2r

gxp dxxR2rdx2ds 22

dxxRgx2gxdsdF 22

R

0

2222R

0

22 xRdxRgdxxRxg2F )(

323

22 gR32

R

0xR

3g2

)(