Системи лінійних рівнянь
DESCRIPTION
Системи лінійних рівнянь. Підготували студенти І курсу 6 групи Атаманенко Олена, Кучер Богдан, Мах Валерія. Лінійне рівняння – це рівняння, у якому невідомі величини мають перший степінь і між собою не перемножуються. Система лінійних рівнянь має вигляд:. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Системи лінійних рівнянь
Підготувалистуденти І курсу 6
групиАтаманенко Олена,Кучер Богдан, Мах Валерія
Лінійне рівняння – це рівняння, у якому невідомі величини мають перший степінь і між собою не перемножуються.
Система лінійних рівнянь має вигляд:
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...............
...
...
2211
22222121
11212111
Розв’язок системи – це множина дійсних чисел а1, а2,… аn, підстановка яких у систему замість невідомих х1, х2, …,хn, перетворює кожне рівняння системи у тотожність.
Система лінійних алгебраїчних рівнянь, що має хоча б один розв’язок називається сумісною, а система, що не має розв’язку називається несумісною.
Він визначається за формулою:
Метод Крамера – це спосіб розв’язання квадратних систем лінійних алгебраїчних рівнянь із ненульовим визначником основної матриці.
,
– допоміжний визначник, який одержують з основного визначника ∆ (A)шляхом – заміни його k-го стовпця стовпцем вільних членів системи
Метод було створено Габріелем Крамером у 1750.
деnkX kk ,,...2,1,
)(
k
Габріель Крамер
( 31 липня 1704 – 4 січня 1752) –
швейцарський математик, учень і друг Йоганна Бернулі, один з творців лінійної алгебри.
Правило Крамера. Якщо основний визначник неоднорідної системи n в лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими не дорівнює нулю, то ця система має єдиний розв’язок, який знаходять за формулами
Де - допоміжний визначник, який одержують з основного визначника Δ(A) шляхом – заміни його k-го стовпця стовпцем членів системи.
)(A
,,...,2,1,)(
nkA
x kk
k
Приклад. Розв’язуємо за правилом Крамара систему рівнянь
Розв’язання. Задана неоднорідна система 3 лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими. Основний визначник цієї системи
13
8
2
34
432
52
321
321
321
xxx
xxx
xxx
0314126010329
314
432
521
)(
A
Тому, згідно з правилом Крамара, задана система має єдиний розв’язок, який знайдемо за формулами
Спочатку знайдемо допоміжні визначники:
,,...,2,1,)(
nkA
x kk
,938481954010418
3113
438
522
1
,6252121601303224
3134
482
521
2
.318522446439
1314
832
221
3
Тепер за цією ж формулою знаходимо:
Отже, розв’язком цієї системи буде ( -3;2;1 )
,331
93
)(1
1
A
x ,231
62
)(2
2
A
x
.131
31
)(3
3
A
x
Матричний метод Якщо
позначити
....
,...
,
...
............
...
...
2
1
2
1
21
221
11211
22
nnnnnn
n
n
b
b
b
B
x
x
x
X
aaa
aaa
ааа
A
то згідно з правилом множення матриць та умовою рівності матриць одержимо запис системи лінійних алгебраїчних рівнянь
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...............
...
...
2211
22222121
11212111
у матричній формі: AX = B
Якщо матриця А квадратна порядку n і її визначник ∆ (A) не дорівнює нулю, тоді, існує обернена до А матриця А-1 , тому можна рівність АХ=В помножити на А-1 зліва. Одержимо А-1Х= А-1В.
За означенням оберненої матриці маємо:A-1A=E,
Тому А-1Х= А-1В прийме вигляд: ЕХ= A-1B.Але множення матриці-стовпця Х на матрицю Е не змінює Х, тобто ЕХ=Х. Таким чином, одержуємо формулу: Х=А-1В. за якою і знаходять розв’язок системи
матричним методом.
Отже, матричний метод можна застосувати у випадку, коли квадратна матриця А має не рівний нулю визначник.
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...............
...
...
2211
22222121
11212111
Для розв’язування неоднорідної системи з n невідомими матричним методом доцільно здійснювати такий порядок дій:
1)Записати основну матрицю системи А і знайти її визначник ∆(А).Якщо ∆(А)=0, то система розв’язку не має.
2)Якщо ∆(А)≠0, тоді знайти обернену матрицю А-1 до матриці А.
3)Помножити обернену матрицю А-1 на матрицю-стовпець вільних членів системи. Одержаний при цьому стовпець згідно з формулою Х=А-1В і буде розв’язком системи.
Приклад: знаходимо розвязок заданої системи матричним методом
Розв’язання .Основною матрицею заданої системи будуе матриця
2
1
1
2
2
321
31
321
xxx
xx
xxx
112
201
111
A
Визначник цієї матриці
Для запису оберненої матриці знайдемо алгебраїчні доповнення елементів матриці A:
62114
112
201
111
)(
A
1A
;211
2011
A
;011
1121
A
;220
1131
A
;312 A
;322 A
;332 A
;113 A;323 A
.133 A
Отже,
Тепер за формулою знаходимо розв’язок заданої системи:
.
131
333
202
6
11
A
BAX 1
1
1
1
6
6
6
6
1
21)1()3(11
23)1()3(1)3(
22)1(012
6
1
2
1
1
131
333
202
6
11BAX
ДЯКУЄМО ЗА УВАГУ !