Задачи на переливание Шапкина Светлана Игоревна 221 –...

ЗАДАЧИ НА ПЕРЕЛИВАНИЕ ШАПКИНА СВЕТЛАНА ИГОРЕВНА

221 – 947 - 946

Цель: Создание условий для развития познавательной творческой активности учащихся среднего школьного возраста при изучении математики.

Задачи: развивать познавательные интересы личности

(восприятие, воображение, память, мышление, внимание и др.);

формировать устойчивый интерес к предмету,

познавательную активность; формировать навыки самостоятельной работы и

потребности в исследовательской деятельности; развивать коммуникативные качества личности.

Задачи на переливание - это задачи, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости. Простейший прием решения задач этого класса состоит в переборе возможных вариантов.

Имеются шестилитровая банка сока и две пустые банки: трех- и четырехлитровая. Как налить 1 литр сока в трехлитровую банку?

ОТВЕТ:

Банки 6 литров 4 литров 3 литра

До переливания 6 0 0

После 1-го переливания 2 4 0




Двое должны разделить поровну 8 ведер кваса, находящегося в восьмиведерном бочонке. Но у них есть только два пустых бочонка, в один из которых входит 5 ведер, а в другой - 3 ведра. Спрашивается, как они могут разделить этот квас, пользуясь только этими тремя бочонками?

ОТВЕТ: РЕШЕНИЕ 1:

БочонкиВосьмиведер

ныйПятиведер

ныйТрехведер

ныйДо переливания 8 0 0








РЕШЕНИЕ 2:

БочонкиВосьмиведер

ныйПятиведер


ный









После 8-го переливания 4 4

Имеются три бочонка вместимостью 6 вёдер, 3 ведра и 7 вёдер. В первом и третьем содержится соответственно 4 и 6 ведёр кваса. Требуется, пользуясь только этими тремя бочонками, разделить квас поровну.


БочонкиШестиведе

рныйТрехведер

ныйСемиведер

ныйДо переливания 4 0 6






РЕШЕНИЕ 2:

БочонкиШестиведер


ныйСемиведер

ный







Три человека купили сосуд, полностью заполненный 24 унциями бальзама. Позже они приобрели три пустых сосуда объемом 5, 11 и 13 унций. Как они могли бы поделить бальзам на равные части используя эти четыре сосуда? Постарайтесь решить задачу за наименьшее количество переливаний.

ОТВЕТ:

Сосуды 24 унции 13 унций 11 унций 5 унций

До переливания 24 0 0 0

После 1-го переливания

8 0 115


8 11 05


8 13 30


8 8 35


8 8 80

Имеются трёхлитровая банка сока и две пустые банки: одна - литровая, другая - двухлитровая. Как разлить сок так, чтобы во всех трёх банках было по одному литру?


1) наполнить литровую банку,2) вылить её содержимое в двухлитровую банку,3) наполнить литровую банку из трёхлитровой банки.Теперь во всех банках будет по одному литру сока.

РЕШЕНИЕ 2:

1) наполнить двухлитровую банку,2) наполнить из неё литровую банку.Теперь во всех банках будет по одному литру сока.

В одном порту моряк пришел в лавку с пустым бочонком на пять галлонов и попросил лавочника налить туда четыре галлона отборного ямайского рома. К несчастью, единственным сосудом для измерения был старый оловянный кувшин на три галлона. Как лавочник сумел точно отмерить четыре галлона с помощью этих двух емкостей?

ОТВЕТ:

1) наполнил кувшин на три галлона и вылил из него ром в бочонок на пять галлонов;2) снова наполнил кувшин на три галлона и вылил ром в бочонок до тех пор, пока тот не наполнится целиком;3) в кувшине на три галлона остался один галлон; потом вылил ром из бочонка на пять галлонов обратно в большую бочку с ромом, а один галлон рома из кувшина вылил в бочонок моряка;4) снова наполнил ромом кувшин на три галлона и вылил его содержимое в бочонок; теперь в бочонке - четыре галлона рома.

К продавцу, студенту-математику, подрабатывющему летом торговлей у бочки с квасом, подходят два веселых приятеля и просят налить им по литру кваса каждому. Продавец замечает, что у него есть лишь две емкости, трехлитровая и пятилитровая, и он не может выполнить их просьбу. Приятели предлагают 100 долларов, если продавец сможет выполнить их заказ, причем выдать им порции продавец должен одновременно. После некоторого размышления, продавец сумел это сделать. Каким образом? Заметим, что при переливаниях квас не теряется и что полные емкости позволяют точно отмерять объемы 3 и 5 литров.

ОТВЕТ:

Предложенная сумма существенно превышает стоимость кваса в бочке, и последнюю можно использовать как дополнительную емкость, слив квас бесплатно зрителям в их личные емкости. Возможный порядок действий:а) отмеряем 7 литров следующим образом: (0,5)-(3,2)-(0,2)-(2,0)-(2,5). В этой записи первая цифра - количество кваса в трехлитровой емкости, вторая - в пятилитровой;б) опоражниваем бочку, сливая из нее остатки кваса, и заливаем в нее отмеренные 7 литров; действуем по схеме (третье число - количество кваса в бочке): (0,0,7)-(3,0,4)-(0,3,4)-(3,3,1)-(1,5,1)-(1,0,1)-(1,1,0).

Винодел обычно продает свое вино по 30 и по 50 литров и использует для этого кувшины только такого размера. Один из покупателей захотел купить 10 литров. Как винодел отмерил ему 10 литров пользуясь своими кувшинами?

ОТВЕТ:

Сначала он наполнил 30-литровый кувшин и вылил его содержимое в 50-литровый. Потом опять наполнил 30-литровый и долил до полного заполнения в 50-литровый. В результате у него в кувшине останется 10 литров.

Как из полного сосуда ёмкостью в 12 л отлить половину, пользуясь двумя пустыми сосудами ёмкостью в 8 и 5 л?

ОТВЕТ:

Сначала наливаете 8 литров в 8л., потом из 8л. наливаете полный 5л., в результате получается, что в 12л. - 4 литра, в 8л - 3литра, а в 5л. - 5 литров.Переливаете из 5л. в 12л. всю воду (или что там за жидкость), а из 8л. переливаете все 3 литра в 5л. В результате 9 литров в 12л, 0 литров в 8л., и 3 литра в 5л.Переливаете из 12л. 8 литров в пустой 8л.,и в 12 л. остается 1 литр.Из 8л. доливаете в 5л., пока 5л. не станет полным, (в 5л. было 3л., след. долили мы еще 2литра из 8л.) Тогда в 8л. как раз остается 6л.

Однажды Винни-Пух захотел полакомиться медом и пошел к пчелам в гости. По дороге нарвал букет цветов, чтобы подарить труженицам пчелкам. Пчелки очень обрадовались, увидев мишку с букетом цветов, и сказали: «У нас есть большая бочка с медом. Мы дадим тебе меда, если ты сможешь с помощью двух сосудов вместимостью 3 л и 5 л налить себе 4 л!» Винни-Пух долго думал, но все-таки смог решить задачку. Как он это сделал?


Ходы 1 2 3 4 5 6

5 л 5 2 2 - 5 4

3 л - 3 - 2 2 3

РЕШЕНИЕ 2:

Ходы 1 2 3 4 5 6 7 8

5 л - 3 3 5 - 1 1 4

3 л 3 - 3 1 1 - 3 -

Бэтмен и Человек-Паук никак не могли определить, кто из них самый главный супергерой. Что только они не делали: отжимались, бегали 100 метровку, подтягивались – то один победит, то другой. Так и не разрешив свой спор, отправились они к мудрецу. Мудрец подумал и сказал: «Самый главный супергерой – это не тот, кто сильнее, а тот, кто сообразительнее! Вот, кто решит первым задачу, тот и будет самым-самым! Слушайте: имеются два сосуда вместимостью 8 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из источника 7 л живой воды?» Помогите вашему любимому герою решить эту задачу.

ОТВЕТ:

Ходы 1 2 3 4 5 6 7

8 л - 5 5 8 - 2 7

5 л 5 - 5 2 2 5 -

Дядя Федор собрался ехать к родителям в гости и попросил у кота Матроскина 4 л простоквашинского молока. А у Матроскина только 2 пустых бидона: трехлитровый и пятилитровый. И восьмилитровое ведро, наполненное молоком. Как Матроскину отлить 4 литра молока с помощью имеющихся сосудов?

ОТВЕТ:

Ходы 1 2 3 4 5 6 7 8

8 л 8 3 3 6 6 1 1 4

3 л - - 3 - 2 2 3 -

5 л - 5 2 2 - 5 4 4

Губке Бобу срочно нужно налить из водопроводного крана 6 л воды. Но он имеет лишь два сосуда 5-литровый и 7-литровый. Как ему это сделать?

ОТВЕТ:

Ходы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

7 л 7 2 2 - 7 4 4 - 7 6

5 л - 5 - 2 2 5 - 4 4 5

Шрек решил сделать Фионе подарок на день рождения – приготовить суп, о котором она мечтала уже давно. Рецепт этого супа он нашел в поваренной книге, но возникла небольшая проблема: нужно налить в кастрюлю ровно 5 л воды. Но как это сделать, если у Шрека 7-литровое ведро и 3-литровая банка? Помогите своему любимому герою исполнить мечту Фионы.

ОТВЕТ:

Ходы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

7 л - 3 3 6 6 7 - 2 2 5

3 л 3 - 3 - 3 2 2 - 3 -

У Гарри Потера имеются двое песочных часов: на 7 минут и на 11 минут. Волшебное зелье должно варится 15 минут. Как сварить его Гарри Потеру, перевернув часы минимальное количество раз?

ОТВЕТ:

15 = (11 - 7) + 11. Нужно одновременно перевернуть часы, через 7 минут Гарри начинаем варить зелье. После 4 минут (песок в часах на 11 минут закончится) вновь перевернуть часы на 11 минут. Задача решена.

У Карлсона есть ведро варенья, оно вмещает 7 литров. У него есть 2 пустых ведерка - 4-литровое и 3-литровое. Помогите Карлсону отлить 1 литр варенья к чаю в меньшее (3-литровое) ведерко, оставив 6 литров в большом (7-литровом) ведре.

ОТВЕТ:

Ходы 1 2 3 4

7 л 7 3 3 6

4 л - 4 1 1

3 л - - 3 -

Летом Винни-Пух сделал запас меда на зиму и решил разделить его пополам, чтобы съесть половину до Нового Года, а другую половину - после Нового года. Весь мед находится в ведре, которое вмещает 6 литров, у него есть 2 пустые банки - 5-литровая и 1-литровая. Может ли он разделить мед так, как задумал?

ОТВЕТ:

Ходы 1 2 3 4 5 6

6 л 6 1 1 2 2 3

5 л - 5 4 4 3 3

1 л - - 1 - 1 -

У Белоснежки есть полное восьмилитровое ведро компота. Как ей отлить 4 л с помощью пустых трехлитровой банки и пятилитрового бидона?

ОТВЕТ:

Ходы 1 2 3 4 5 6 7 8 9

8 л 8 5 5 2 2 7 7 4 4

3 л - 3 - 3 1 1 - 3 -

5 л - - 3 3 5 - 1 1 4

Бидон емкостью 10 л наполнен парным молоком. Требуется перелить из этого бидона 5 л молока в семилитровый бидон, используя при этом трехлитровый бидон.

ОТВЕТ:

Бидон10

литровый7 литровый

3 литровый

До переливания 10 0 0После 1-го переливания 3 7 0После 2-го переливания 3 4 3После 3-го переливания 6 4 0После 4-го переливания 6 1 3После 5-го переливания 9 1 0После 6-го переливания 9 0 1После 7-го переливания 2 7 1После 8-го переливания 2 5 3

Хозяин имеет четыре бочки А, В, С и Д, причем бочки С и Д одинаковой вместимости. Пусть бочки А и В наполнены квасом, если содержимым бочки А наполнить бочку С, то в бочке А останется 1/5 ее содержимого, если же содержимым бочки В наполнить бочку Д, то в бочке В останется 1/9 ее содержимого. Пусть бочки С и Д наполнены квасом; чтобы наполнить бочки А и В, надо взять содержимое бочек С и Д и добавить еще 9 ведер кваса. Сколько ведер кваса вмещает каждая бочка?

ОТВЕТ:

Так как после наполнения бочки С в бочке А останется 1/5 ее содержимого, то вместимость бочки А равна 5/4 вместимости С. Так как после наполнения бочки Д в бочке В останется 1/9 ее содержимого, то вместимость В равна 9/8 вместимости Д. Так как вместимость бочек С и Д одинакова, то вместимость бочек А и В равна 5/4 + 9/8 = 19/8 = 2 + 3/8 вместимости бочки С. Из условия задачи следует, что 3/8 вместимости бочки С составляет 9/ 3/8 = 24 ведрам. Откуда получаем, что вместимость В равна 9/8*24 = 27 ведрам, вместимость А равна 5/4*24 = 30 ведрам, вместимость В равна 9/8*249 = 27 ведер.

Из ведра, содержащего 5 литров воды, отливают 1 литр, а затем в ведро вливают 1 литр сока. Перемешав все это, из ведра отливают 1 литр смеси, затем в ведро опять вливают 1 литр сока. Опять перемешивают, отливают 1 литр смеси и вливают 1 литр сока. Сколько в ведре после этого останется воды?

ОТВЕТ:

После первого переливания в ведре останется 4 литра воды. Отливая из ведра 1 литр смеси, мы каждый раз отливаем 1/5 часть содержащейся в смеси воды. Поэтому после второго переливания в ведре останется 4 – 1/5*4 = 16/5 литра воды. После третьего переливания в ведре останется 16/5-1/5*16/5 = 64/25 литров воды.

Из бочки, содержащей 100 литров сока, отливают 1 литр и вливают в нее затем 1 литр воды. Перемешав полученную смесь, из бочки отливают 1 литр смеси и опять вливают в нее 1 литр воды. Перемешав полученную смесь, из бочки опять отливают один литр смеси и вливают 1 литр воды, и так делают неоднократно. Можно ли в результате таких операций получить смесь, содержащую 50 литров воды и 50 литров сока?

ОТВЕТ:

После первого переливания в бочке останется 99 литров сока. Отливая из бочки 1 литр смеси, мы каждый раз отливаем 1/100 часть содержащегося в смеси сока. Поэтому после второго переливания в бочке останется 99- 99/100 = 99*(1-1/100) литров сока. После третьего переливания в ведре останется 99*(1-1/100)* (1-1/100) литров сока. После n переливаний количество множителей (1-1/100) станет (n – 1). Если бы после этого в бочке осталось 50 литров сока, то выполнялось бы равенство: 99*(1-1/100)^(n-1) = 50 или 99^n = 50*100^(n-1) Так как для любого натурального n левая часть равенства нечетна, а правая четная, получаем противоречие, доказывающее, что данное переливание невозможно.

Две группы альпинистов готовятся к восхождению. Для приготовления еды они используют примусы, которые заправляют бензином. В альплагере имеется 10-литровая канистра бензина. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литров. Как разлить бензин в два сосуда по 5 литров в каждом?

ОТВЕТ:

Примусы 10 литровый 7 литровый 2 литровый До переливания

10 0 0


3 7 0


3 5 2


5 5 0

Как разделить поровну между двумя семьями 12 литров хлебного кваса, находящегося в двенадцатилитровом сосуде, воспользовавшись для этого двумя пустыми сосудами: 8-литровым и 3-литровым?

ОТВЕТ:

Сосуды 12 литровый 8 литровый 3 литровый До переливания

12 0 0


9 0 3


9 3 0


6 3 3


6 6 0

У Карлсона есть ведро варенья, оно вмещает 7 литров. У него есть 2 пустых ведерка - 4-литровое и 3-литровое. Помогите Карлсону отлить 1 литр варенья к чаю в меньшее (3-литровое) ведерко, оставив 6 литров в большом (7-литровом) ведре.

ОТВЕТ:

Ведерко 7 литровое 4 литровое 3 литровое До переливания

7 0 0


3 4 0


3 1 3


6 1 0


6 0 1

Летом Винни Пух сделал запас меда на зиму и решил разделить его пополам, чтобы съесть половину до Нового Года, а другую половину - после Нового года . Весь мед находится в ведре, которое вмещает 6 литров, у него есть 2 пустые банки - 5-литровая и 1-литровая. Может ли он разделить мед так, как задумал?

ОТВЕТ:

Ведро 6 литровое 5 литровое литровое До переливания

6 0 0


1 5 0


1 4 1


2 4 0


2 3 1


3 3 0

На другой год Винни Пух запасся 10 литрами меда. Под руками у него два ведра - 7-литровое и 4-литровое. Как ему разделить мед пополам?

ОТВЕТ:

Ведро 10 литровое 7 литровое 4 литровое До переливания 10 0 0После 1-го переливания 6 0 4После 2-го переливания 6 4 0После 3-го переливания 2 4 4После 4-го переливания 2 7 1После 5-го переливания 9 0 1После 6-го переливания 9 1 0После 7-го переливания 5 1 4После 8-го переливания 5 5 0

Разбойники раздобыли 10 унций (1 унция - примерно 30 см3) золотого песка. У них имеется две пустые коробки, емкостью 6 и 4 унции. Как им разделить песок пополам? Если на одно пересыпание требуется 1 минута, то сколько времени они будут делить свою добычу?

ОТВЕТ:

Разделить пополам 10 унций, т.е. получить 5 и 5 унций с помощью коробок в 6 и 4 унций невозможно, т.к. невозможно получить нечетные числа путем вычитания и прибавления четных чисел к четному числу.

Некто имеет полный бочонок сока емкостью 12 пинт (пинта - 0,57 литра) и хочет подарить половину своему другу. Но у него нет сосуда в 6 пинт, а есть два сосуда в 8 пинт и 5 пинт. Каким образом можно налить 6 пинт в сосуд емкостью 8 пинт?

ОТВЕТ:

Бочонок 12 литровый

8 литровый

5 литровый

До переливания 12 0 0После 1-го переливания 4 8 0После 2-го переливания 4 3 5После 3-го переливания 9 3 0После 4-го переливания 9 0 3После 5-го переливания 1 8 3После 6-го переливания 1 6 5После 7-го переливания 6 6 0

Белоснежка ждет в гости гномов. Зима выдалась морозной и снежной, и Белоснежка не знает наверняка, сколько гномов решатся отправиться в далекое путешествие в гости, однако знает, что их будет не более 12. В ее хозяйстве есть кастрюлька на 12 чашек, она наполнена водой, и две пустых - на 9 чашек и на 5. Можно ли приготовить кофе для любого количества гостей, если угощать каждого одной чашкой напитка?

Разрешима ли предыдущая задача, если в хозяйстве у Белоснежки имеются кастрюлька с водой на 12 чашек и пустые кастрюльки на 9 и 7 чашек?

ОТВЕТ:

Для указанных объемов кастрюлек невозможно отмерить 6 чашек, т.е. невозможно разделить воду пополам.

Для путешествия по морю необходим запас пресной воды. В плавании вода расходуется со скоростью 1 бочка в сутки. В некоторый момент времени запас воды на берегу составлял 8 бочек, и вода находилась в баке, заполненном до краев. На яхте имеется такой же бак, объемом 8 бочек, но пустой. На сколько дней можно планировать путешествие, если с собой нельзя брать лишнюю воду, а в распоряжении имеется еще две пустых емкости объемом 3 и 6 бочек и их можно использовать для переливания воды?

ОТВЕТ:

До переливания 8 0 0После 1-го переливания 2 6 0После 2-го переливания 2 3 3После 3-го переливания 5 3 0После 4-го переливания 5 0 3После 5-го переливания 8 0 0

Путешествие может планироваться на 2, 3, 5 или 6 дней.

Трое ребят пришли к веселому молочнику за молоком с битонами 3, 4 и 5 литра и попросили налить каждому по 2 литра.У молочника есть 2 полных больших фляги по 50 литров каждая. Немного подумав, молочник легко справился с этим заданием.

ОТВЕТ:

Бидон 5 литровый

3 литровый

4 литровый

50 литр.

50 литр.

До переливания 0 0 0 50 50После 1-го переливания 0 3 4 46 47После 2-го переливания 5 0 2 46 47После 3-го переливания 2 3 2 46 47После 4-го переливания 0 3 2 46 49После 5-го переливания 3 0 2 46 49После 6-го переливания 5 0 2 44 49После 7-го переливания 2 3 2 44 49После 8-го переливания 2 2 2 44 50

В бочке 20 литров вина. Сосед просит налить ему 5 литров а сам пришел с ведрами на 7 и 13 литров. Нет проблем - сказал хозяин. Как он поступил?

ОТВЕТ:

Ведро 7 литровое

13 литровое

20 литровая

До переливания 0 0 20После 1-го переливания 0 13 7После 2-го переливания 7 6 7После 3-го переливания 0 6 14После 4-го переливания 6 0 14После 5-го переливания 6 13 1После 6-го переливания 7 12 1После 7-го переливания 0 12 8После 8-го переливания 7 5 8

Винодел обычно продает свое вино по 30 и по 50 литров и использует для этого кувшины только такого размера. Один из покупателей захотел купить 10 литров. Как винодел отмерил ему 10 литров пользуясь своими кувшинами?

ОТВЕТ:

Сначала он наполнил 30-литровый кувшин и вылил его содержимое в 50-литровый. Потом опять наполнил 30-литровый и долил до полного заполнения в 50-литровый. В результате у него в кувшине останется 10 литров.

Как, имея пятилитровое ведро и девятилитровую банку, набрать из реки ровно три литра воды?

ОТВЕТ:

Заполняем 9-литровую банку и заливаем из нее в 5-литровое ведро. В 9 литровой - 4 литра. Выливаем воду из 5-литровой и заливаем туда 4 литра из 9-литровой. Заполняем 9-литровую и выливаем оттуда 1 литр в 5-литровую. Выливаем воду из 5-литровой и заполняем 5-литровую из 9-литровой. В 9-литровой теперь 3 литра. Если 5 литров в ведре не нужно, их можно вылить.

Как из полного сосуда ёмкостью в 12 л отлить половину, пользуясь двумя пустыми сосудами ёмкостью в 8 и 5 л.

ОТВЕТ:

Сначала наливаете 8 литров в 8л., потом из 8л. наливаете полный 5л., в результате получается, что в 12л.-4 литра, в 8л-3литра, а в 5л.-5 литров.Переливаете из 5л. в 12л. всю воду (или что там за жидкость), а из 8л. переливаете все 3 литра в 5л. В результате 9 литров в 12л, 0 литров в 8л., и 3 литра в 5л.Переливаете из 12л. 8 литров в пустой 8л.,и в 12 л. остается 1 литр.Из 8л. доливаете в 5л., пока 5л. не станет полным, (в 5л. было 3л., след. долили мы еще 2литра из 8л.) Тогда в 8л. как раз остается 6л.

Имеются трёхлитровая банка сока и две пустые банки: одна - литровая, другая - двухлитровая. Как разлить сок так, чтобы во всех трёх банках было по одному литру?

ОТВЕТ:

Можно разлить сок так:1) наполнить литровую банку,2) вылить её содержимое в двухлитровую банку,3) наполнить литровую банку из трёхлитровой банки.Теперь во всех банках будет по одному литру сока. Однако можно разлить сок и так:1) наполнить двухлитровую банку,2) наполнить из неё литровую банку.Теперь во всех банках будет по одному литру сока.

Квас на двоих

Двое должны разделить поровну 8 вёдер кваса, находящегося в большом бочонке. Но у них есть ещё только два пустых бочонка, в один из которых входит 5 вёдер, а в другой - 3 ведра. Спрашивается, как они могут разделить этот квас, пользуясь только этими тремя бочонками? Решите задачу двумя способами.

ОТВЕТ:

Бочонок Большой 5 ведерный 3 ведерный До переливания 8 0 0После 1-го переливания 3 5 0После 2-го переливания 3 2 3После 3-го переливания 6 2 0После 4-го переливания 6 0 2После 5-го переливания 1 5 2После 6-го переливания 1 4 3После 7-го переливания 4 4 0

ЛИТЕРАТУРА:

Ф.Ф.Нагибин, Е.С.Канин Математическая шкатулка М.: Просвещение, 1988

Я.И.Перельман Занимательная геометрия М.: ГИФМЛ, 1959

В.Н.Русанов Математические олимпиады младших школьников М., Просвещение, 1990

Е.П.Коляда Развитие логического и алгоритмического мышления учащихся //Информатика и образование. 1996. N1.

И.Ф.Шарыгин Математический винегрет М., АГЕНТСТВО "ОРИОН", 1991

Задачи на переливание Шапкина Светлана Игоревна 221 –...

Documents