Комбінації геометричних тілКомбінації геометричних тіл

Приклади комбінації фігур

Можливі типи комбінацій геометричних тіл1. Многогранник і многогранник (призма вписана в піраміду,або піраміда вписана в призму, та інші) 2. Многогранник і тіло обертання(піраміда вписана в конус або циліндр або кулю; циліндр, вписаний в піраміду або призму; куля вписана або описана навколо піраміди та інші.)

3. Тіло обертання і тіло обертання(конус вписаний в циліндр, куля описана навколо циліндра,та інші.)

Описані навколо многогранників (призм) кулі1. Кулю називають описаною навколо многогранника, якщо всі вершини многогранника лежать на поверхні кулі(сфери). В цьому випадку многогранник називають вписаним в кулю.

О

А

В С

С1В1

А1

2. Центр кулі, описаної навколо многогранника, рівновіддалений від всіх його вершин. АО=ВО=ОВ1=….=Rкулі.

О1

О2

3. Центр кулі, описаної навколо прямої призми, лежить на середині висоти, яка з`єднує центри кіл, описаних навколо основ призми. H= О1О2 -висота призми, R- радіус кулі, r- радіус кола описаного навколооснови призми:

22

2

2rHR

R кулі

r

Описані навколо многогранників (призм) кулі(продовження)

DA

CB

A1

C1

D1

B1

1. Кулю можна описати навколо призми, тільки якщо вона пряма і її основа многокутник навколо якого можна описати коло.

О2. Центр кулі, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда,лежить в точці перетину діагоналей паралелепіпеда, а кожна його діагональ є діаметром описаної кулі.АС1=dкулі=2R

Кулю можна описати навколо призмиякщо в основі лежить прямокутник,квадрат.

Завдання: Розв`язання:

А

В С

С1В1

А1

R кулі

rО1

О2

О

2222

2 22

rRHrHR

3.Якщо n=6,то в основі призми правильний шестикутник.ВО1= а - як радіус описаного кола.

.3

22

2 aRH

.2

22

2 aRH

.2 22 aRH

4.Якщо n=3,то

Якщо n=4,то

Якщо n=6,то Відповідь: ,3

22

23

aRH ,2

22

24

aRH .2 226 aRH

1. Якщо n=3, то трикутник в основі призми рівносторонній.

ВО1= - як радіус описаного навколо

рівностороннього трикутника кола

3a

2. Якщо n=4,то в основі призми квадрат.

ВО1= - як радіус описаного навколо

квадрата кола.2a

Правильну n-кутну призму вписано у кулю радіуса R. Ребро основи призми дорівнює а. Знайдіть висоту призми, якщо: 1) n=3, 2) n=4,3) n=6.

С1В1

А1

А

В С

1.Кулю можна вписати в пряму призму,якщо її основи є многокутниками,описаними навколо кола, а висотапризми дорівнює діаметру кулі і діаметру цього кола.

Вписані в многогранники (призми) кулі

О1

О2

О

2. Центр кулі,вписаної в пряму призму,лежить на середині відрізка, якийз’єднує центри кіл, вписаних в основипризми.

R

r

3. Радіус кулі дорівнює радіусу кола,вписаного в основу призми, а діаметркулі дорівнює висоті призми.

4. R-радіус кулі, r- радіус кола,вписаного в основу призми, H = О1О2 - висота призми і діаметр кулі.

2HrR

Завдання:Знайдіть радіус кулі,вписаної в кубз ребром 6см.

Розв`язання:

6см

О1

О2

О

D

A

C

B1. Будуємо переріз куба.

D

A

C

B

6см

О1

О2

О

R

2. Радіус вписаної кулі дорівнюєрадіусу вписаного в квадрат АВСD кола: R=О1О2:2 = 6:2 = =3(см)

Відповідь: R=3см.

Описані навколо пірамід кулі

S

A

B

C

1. Кулю називають описаною навколо піраміди, якщо всі вершини піраміди лежать на поверхні кулі.

О1

О

2. О1 - центр кулі; АО1=Rкулі ; О - центр кола описаного навколо основи.

Rкулі

3. Центр кулі,описаної навколо довільної піраміди лежить на прямій,перпендикулярній площині основи, яка проходить через центр кола,описаного навколо основи, в точці перетину цієї прямої з площиною,яка перпендикулярна до бічного ребра і проходить через його середину.

М

ОО1 ┴ (АВС); М - середина SA; α ┴ SA(М α ); α перетинає ОО1 в точці О1.

4. Центр кулі може знаходитись:•в середині піраміди;•в площині основи;•поза пірамідою.

Описані навколо пірамід кулі (продовження)

S

A

B C

D

1. Якщо вершина піраміди проектується в центр кола описаного навколо основи, то центр описаної кулі лежить на прямій, яка містить висоту піраміди в точці перетину цієї прямої з серединним перпендикуляром до бічного ребра.

О1

Оr

R

M

SO - висота піраміди; О-центр кола описаного навколо основи піраміди;АО = r - радіус кола описаного навколо основи піраміди;М-середина ребра SА,МО1∩SА=О1-центр описаної кулі

S1

┐

2. Якщо центр описаної кулі лежить на висоті піраміди або на її продовженні, то при розв`язанні деяких задач можна продовжити висоту піраміди до перетину з кулею в точці S1 і з`єднати S1 з А. Тоді SS1 -діаметр кулі SAS1 - прямий, як вписаний кут, який спирається на діаметр.

Завдання:Доведіть, що центр кулі, описаної навколо правильної піраміди,лежить на її осі. Розв`язання:

А

О

1. Точка О-центр описаної кулі Опустимо перпендикуляр ОА з центра кулі на площину основи піраміди.

2. Нехай Х - довільна вершина основи піраміди.

Х

3. За теоремою Піфагора АХ2=ОХ2-ОА2=R2-OA2.Таким чином, АХ одне і те саме для будь-якої вершини основи піраміди. А це означає, що точка А є центром кола,описаного навколо основи піраміди. Отже центр кулі лежить на осі піраміди, що і потрібно було довести.

R

Вписана в піраміду куля1. Куля називається вписаною в піраміду, якщо всі грані піраміди дотикаються до кулі.

О1

К

ВА

С

S

О1 - центр кулі, К - точка дотику з гранню (SАС); О1К=r (радіус кулі), О1К ┴(SАС).

2. Якщо вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу, то центр вписаної кулі лежить на висоті піраміди, в точці перетину висоти з бісектрисою лінійного кута двогранного кута при основі піраміди.

О

SО - висота піраміди, О - центр кола,вписаного в основу піраміди, О1О=r.

M┐

┐

МО1 - бісектриса SМО.

SM ┴ ВС і ОМ ┴ ВС, тому SМО - лінійний кут двогранного кута при основі .ОМ - радіус кола,вписаного в основу піраміди.

Завдання:

Висота правильної чотирикутної піраміди 3см. Апофема утворює з площиною основи кут 60°.З найдіть радіус кулі вписаної в піраміду.

Розв`язання:

M┐┐

О1

S

О60º3. Із прямокутного трикутника

ОSM ОM=SOctg60°= (cм).3

4. Із прямокутного трикутника ОО1M ОО1=МOtg30°= 1(cм). Відповідь: r = 1см.

1. SO=H=6см - висота піраміди;О1- центр вписаної кулі; О1О = r -радіус вписаної кулі; SМО=60º.

2. МО1 - бісектриса SМО, тому О1МО=30º.

Циліндр, вписаний у кулю2. Основи циліндра рівновіддалені від центра кулі.

О2

О1

О

3. Ця комбінація тіл симетрична відносно будь-якої площини, що проходить через центр кулі паралельно твірним циліндра. 4. Переріз тіла такою площиною є прямокутник АВСD і описане навколо нього коло.

А

ВС

D

5. Прямокутник АВСD є осьовим перерізом циліндра, а описане коло – велике коло даної кулі.

О

А

СD

6. Діагональ АС є діаметром описаної кулі.

B

1. Куля називається описаною навколо циліндра,якщо основи циліндра є паралельними перерізами кулі.

7. Центр описаної кулі лежить на середині висоти циліндра, яка проходить через вісь циліндра: R2=(0,5H)2 + r2

AD= R-радіус куліDE=r-радіус циліндраH-висота циліндра Er

R

Завдання:У кулю вписано рівностороннійциліндр(висота циліндра дорівнює його діаметру). У скільки разів площа великого круга кулі більша за площу основи циліндра?

О1

О2

О

А

В

Розв`язання:

2. S осн.ц.=π rц2

1. АВ=О1О2=Нц=2rц

3. Із прямокутного рівнобедреного трикутника ОО1В ОВ=Rк= rц 2

4. Sк=π (rц ) 2 = 2π rц22

5. Sк: Sос.ц.=( 2π rц2):( π rц

2)=2

Відповідь: у 2 рази.

Циліндр, описаний навколо кулі

О

О1

О2

2. Точки дотику кулі і основ циліндра є центрами основ циліндра.

3. Площина проведена через центр кулі паралельно твірним циліндра, є площиною симетрії тіла.

5. Висота циліндра є діаметром кулі: Н циліндра = О1О2= dкулі

4. Осьовий переріз даного циліндра є квадрат.

rц

ОR

A

B

C

DD

CB

A

H

Rк

1. Куля називається вписаною в циліндр,якщо основи і всі твірні,які утворюють циліндр дотикаються кулі. Кулю можна вписати тільки в рівносторонній циліндр. Rкулі=rциліндра.

R

Конус, вписаний в кулю1. Вершина конуса S лежить на сфері.

S2. Комбінація є симетричною відносно площини, що містить вісь конуса . У такому перерізі маємо трикутник, вписаний у коло.

А В

О

S

4. Трикутник ASB рівнобедрений . Бічні сторони - твірні конуса, коло – велике коло описаної кулі. O1

5. Радіус кулі дорівнює радіусу кола , описаного навколо осьового перерізу конуса.

O1

C

3.Трикутник АОS-рівнобедренийКут АСО-прямийАС=СS, R-радіус кулі,r-радіус конуса,H-висота конуса,

R2=(H-R)2+r2r

H

Завдання:У рівносторонній циліндр вписано кулю радіуса R,а в неї вписано рівносторонній конус(осьовий переріз конуса – правильний трикутник). Знайдіть відношення площ бічних поверхонь циліндра і конуса.

Розв`язання:

О1

О2

О3

О

В

А

С

1. Будуємо осьовий переріз циліндра.

2rконуса

rконуса R

2. R- радіус описаного навколо рівностороннього трикутника із стороною 2rконуса

R = .32r

3. Sц =2πRH=4πR2= πr2

316

4. Sк=πrl=2πr2

5. Sц: Sк=8:3 Відповідь: 8:3.

Куля , вписана в конусS

O

2. Площина, яка містить вісь конуса, є площиною симетрії.3. Осьовий переріз комбінації є рівнобедрений трикутник, у який вписане коло.S

A B

O1

4. Трикутник – це осьовий переріз конуса, SA=SB - твірні конуса, АВ - діаметр основи конуса, коло - велике коло вписаної кулі. Радіус кулі дорівнює радіусу кола вписаного в трикутник ASB.

R

1.Кулю можна вписати в будь-який конус. Куля дотикається основи конуса в його центрі і бічної поверхні конуса по колу,що лежить в площині, паралельній основі конуса.

H

rO22 rH

rRH

R

R-радіус кулі,r-радіус конуса,H-висота конуса

Завдання: Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом α. Визначити радіус, висоту і твірну конуса, якщо радіус вписаної в нього кулі r. Обчислити, якщо r = 6см, α=60 °.

S

O

A B

Розв`язання:1. Будуємо осьовий переріз конуса.

A

B

О1О1

S

Oα

r┐

┐4. Із АSО( О=90°):Hц=SO=AO tgα = r tgα ctg 6( )2=18(cм);

2

SA=AO: cosα = rctg : cosα = 6 : = 12 (см) - твірна.

21

3

2 3 3

Відповідь:Rц =6 см,Hц=18см,SA=12 .3 3

2. У рівнобедреному ASBЦентр О1 вписаного колалежить на висоті SO. ОскількиО1О АВ, то О - точка дотикувписаної кулі до основи конуса. за умовою, О1О=r. Центром кола,вписаного в трикутник,є точка перетину його бісектрис. Тому, О1АО =

.2

2

3= rctg = 6ctg30° =6 (cм)

3. Із АО1О( О=90°): Rц= ОА = О1Оctg

2

Циліндр описаний навколо призми1. Циліндр називається описаним навколо призми,якщо його основи - круги, описані навколо основ призми,а твірні збігаються з ребрами призми.

2. Вісь циліндра співпадає з висотою призми.

Hц

R

3. Радіус циліндра дорівнює радіусу кола описаного навколо основи призми.

Завдання:У циліндр вписано правильну шестикутну призму. Знайдіть кут між діагоналлю її бічної грані і віссю циліндра, якщо радіус основи дорівнює висоті циліндра.

Розв`язання:1. Бічні грані призми - квадрати, оскільки сторона правильного шестикутника, вписаного у коло, дорівнює радіусу.

R

R

R

2. Бічні ребра призми паралельні осі циліндра, тому кут між діагоналлю грані і віссю циліндра дорівнює куту між діагоналлю і бічним ребром.Оскільки грані – квадрати, то цей кут дорівнює 45º. Відповідь: 45°.

Циліндр вписаний в призму

2. Циліндром, вписаним в призму, називається циліндр, основи якого -круги, вписані в основи призми, а бічна поверхня циліндра дотикається бічних граней призми.

3. Вісь циліндра співпадає з висотою призми.

Hц

r

4. Радіус циліндра дорівнює радіусу кола вписаного в основу призми.

1. Дотичною площиною до циліндра називається площина,яка проходить через твірну циліндра й перпендикулярна до площини осьового перерізу, що містить цю твірну. α ┴ β.

О1

О2

α

β

Піраміда вписана в конусS

1. Конус називається описаним навколо піраміди,якщо його основа - круг, описаний навколо основи піраміди,вершина співпадає з вершиною піраміди,а твірні збігаються з ребрами піраміди.

Н

О

2. Висоти конуса і піраміди збігаються на основі єдиності прямої, перпендикулярної до площини і проведеної через точку, яка не лежить у даній площині.R - радіус конуса, який дорівнює радіусу описаного навколо основи піраміди кола.

R

Завдання:Усі бічні ребра піраміди рівні Доведіть,що вона вписана у деякий конус.

Розв`язання:1. SO- перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину основи; SA- довжина бічного ребра.

А

2. Вершини основи віддалені від точки О на одну й ту ж відстань .22 OSSAR

3. Звідси випливає,що наша піраміда вписана в конус, вершина якого є вершиною піраміди, а основа - круг з центром О і радіусом R, що і потрібно було довести.

2. Радіус вписаного в основу піраміди кола (круга) перпендикулярний стороні многокутника, який лежить в основі піраміди, і є проекцією твірної конуса на площину основи.

Конус вписаний в пірамідуS

1. Конусом, вписаним в піраміду, називається конус, основа якого – круг, вписаний у многокутник основи піраміди, вершина співпадає з вершиною піраміди, бічна поверхня конуса дотикається бічних граней піраміди.

Дотичною площиною до конуса називається площина,яка проходить через твірну конуса і перпендикулярна до площини осьового перерізу, проведеного через цю твірну.

Н

Оr┐

Конус вписаний у циліндр

О1

О

1. Основа конуса збігається з нижньою основою циліндра, вершина конуса – центр верхньої основи циліндра.

2. Осі, висоти, радіуси циліндра і конуса збігаються.

R

Завдання:Знайти висоту описаного навколо конуса циліндра, якщо твірна конуса нахилена до площини основи під кутом 30º і дорівнює 8 см.

Розв`язання:

А

30º

1. В прямокутному трикутнику ∆ АОО1: кут О1АО дорівнює 30º, як кут між похилою та площиною основи.

8 см

2. Катет, який лежить проти кута в 30º вдвічі менше гіпотенузи. Тому висота циліндра дорівнює 8:2=4(см).

Відповідь: 4 см.

Об’єми тілДля простих тіл об’єм(V) - це додатна величина,числове значення якої має такі властивості:

V1 V2=1. Рівні тіла мають рівні об’єми.

V V1 V2=

+

2. Якщо тіло розбито на частини, які є простими тілами,то об’єм цього тіла дорівнює сумі об’ємів його частин.3. Об’єм куба,ребро якого дорівнює одиниці довжини, дорівнює одиниці. 1(мм,см,м..)

V=1 (мм3,см3,м3..)

Об’єм призми 1. Об’єм будь-якої призми дорівнює добутку площі основи та висоти.

Vпр=SоснH. Sосн

H

2. Для прямокутного паралелепіпеда V=abc, де a, b, c- його виміри.

ab

c

3. Для куба V=а3, де а- довжина ребра.

a

4.Для похилої призми об’єм можна обчислити як добуток площі перпендикулярного та довжини бічного ребра.

V=Ql. ┐l Q

Об’єм піраміди S

Н

О

1. Об’єм будь-якої піраміди дорівнює третині добутку площіїї основи та висоти: V= SоснH.31

2.Об’єми подібних тіл відносяться як куби їх відповідних лінійних розмірів.

Sосн

а1а2

V1

V2

V1:V2=(a1)3:(a2)3

Об’єми круглих тіл 1.Об’єм циліндра дорівнює добутку площі його основи та висоти.

Vц= SоснH Vц= πR2H.

2.Об’єм конуса дорівнює одній третині добутку площі його основи та висоти.

31Vц= SоснH Vц= πR2H.3

1Н

Sосн

3.Об’єм кулі

Vк= πR3.34

Н

R

Vкульового сегмента

=πH2(R- )3H

Vкульового сектора

= πR2H32

Тестові завдання1.Навколо кулі, радіусом 2см, описано куб. Знайти об`єм куба. а) 8см3 б)16см3 г) 128см3в) 64см3

2. Осьовим перерізом циліндра є прямокутник зі сторонами 6см і 4см. Більша сторона прямокутника є твірною циліндра.Знайти об`єм циліндра. б) 12πсм3 в) 48πсм3 г)12см3а) 24πсм3

3. Основою прямої призми є прямокутний трикутник з катетами 5см і 8см.Знайти об`єм призми, якщо її бічне ребро дорівнює 10см. а) 400см3 в) 130см3 г) 390см3б) 200см3

4. Прямокутний трикутник з катетами 3см і 4см обертається навколо більшого катета. Знайти об`єм тіла обертання. а) 48πсм3 в) 36πсм3 г) 15πсм3б) 12πсм3

5. Основою піраміди є ромб зі стороною 5см і висотою 4см.Знайти об`єм піраміди, якщо її висота дорівнює 9см. а) 90см3 б) 180см3 в) 54см3 г) 60см3

Тестові завдання6. Об’єм кулі дорівнює πсм3. Знайти її діаметр. а) 4см б) 1см г) смв) 2см

7. Прямокутник із стороною а і діагоналлю d обертається навколо даної сторони. Визначити об`єм тіла обертання. б) π(d2+a2)a в) πa2d г) πa2 см3а) π(d2-a2)a

8. Осьовим перерізом конуса є рівносторонній трикутник зі стороною а Визначити об`єм конуса. а) в) г) б)

9. Сторона основи правильної трикутної призми а, а бічне ребро . Визначити об`єм призми. а) в) г) б)

10. Основою піраміди є ромб з діагоналями d1 і d2.Знайти об`єм піраміди, якщо її висота дорівнює h. а) б) в)

34

34

22 ad

321 hdd

6)( 2

221 hdd

2)( 2

221 hdd г)

321 hdd

4833a

2433a

3

3a1633a

3l

123 2la

432la 32la

43 2la