1

Тригонометричні функціїТригонометричні функції

Доробки до уроків виконалаЗджанська Галина Олександрівна, вчитель вищої категоріїЖвирківської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів.

2

ПригадаємоПригадаємоУ геометрії термін “кут” вживають для позначення двох понять:

1) геометричної фігури, утвореної двома променями із спільним початком (00<α≤1800);

2) величини, що характеризує міру відхилення одного променя від іншого , або кута повороту (-∞<α<+∞). Якщо розгорнутий кут розділити на 180 рівних частин і одну частину прийняти за одиницю вимірювання, то ця одиниця буде називатися градусомградусом..Градус (1Градус (100) ) – це 1/180 частина

розгорнутого кута. 1800

О

3

Радіанне вимірювання Радіанне вимірювання.кутів.кутів

У математиці, астрономії, фізиці використовують радіанну мірурадіанну міру вимірювання кутів. Перше видання яке містило термін “радіан”, вийшло в 1873 р в Англії.“Радіан” походить від латинського radianradian (спиця, промінь).

4

Цецікаво Цецікаво .Існують різні системи вимірювання кутів

Градусне вимірюванняГрадусне вимірювання і його частини (мінути, секунди) виникло в Стародавньому Вавилоні задовго до нової ери. Жерці вважали, що свій денний шлях Сонце проходить за 180 “кроків”, і, отже, один “крок” дорівнює 1/180 розгорнутого кута.В геометрії як одиницю вимірювання кутів використовують прямий кут (dd). Якщоα=300, в одиницях прямого кута позначають так α=⅓ d.В астрономії за одиницю вимірювання кутів взято кутову годинукутову годину. Це величина кута, який становить 1/6 частину прямого.В техніці за одиницю вимірювання кутів взято повний обертповний оберт.В артилерії кути вимірюють в “поділках кутоміра“поділках кутоміра”. Велика поділка – це 1/60 частина повного оберту, мала поділка – 1/100 частини великої поділки (28-32, що означає 28 великих і 32 малих поділок кутоміра).Моряки вимірюють кути в румбах. румбах. Ця одинця дорівнює 1/16 частині величини розгорнутого кута.В картографії в деяких країнах за одиницю вимірювання кутів взято град.(град.(gg) ) 1g дорівнює 1/200 частині величини розгорнутого кута (α=5g)

5

Радіанне вимірювання кутів Радіанне вимірювання кутівКут 1 радіан – це такий центральний кут, довжина дуги якого дорівнює радіусу кола.1800=π радіан; 1 радіан = ≈ 570;

10= рад ≈ 0,01745радα0- градусна міра кута, а – радіанна

0180

О

R)1рад R0180

180а

180

аФормули переходу відградусної до радіанної міри і навпаки

6

ПоміркуйПоміркуйВизначити радіанну міру кута 1080.

Визначити градусну міру кута 2,3рад

53

180108

а

13214,31803,2

7

Виконай самостійно Виконай самостійноПодай в радіанній мірі величини кутів

360, 600, 2700, 2160.Подай в градусній мірі величини кутів

π/12; π/8; 3π/4; -π/9.

Перевір себе

π/5; π/3; 3π/2; 6π/5.

150; 22,50; 1350; -200.

8

ОсобливостіОсобливостіВ радіанній системі не введено позначення одиниці вимірювання. Під знаком тригонометричної функції записують тільки числове значення величини кута. Cos π/6; sin2.Одиниця вимірювання радіанної міри міститься у розгорнутому куті не ціле число разів, а ірраціональне: π ≈ 3,14.Для малих кутів, виміряних у радіанах виконуються наближені рівності sinα≈α, tgα≈α.При радіанному вимірюванні кутів спрощується ряд формул .Довжина дуги Площа сектора rarl

180

2360

22 arrS

9

, , , Синус косинус тангенс котангенс, , , Синус косинус тангенс котангенс ““Тригонометрія”Тригонометрія” (від грецьких слів “тригонон” – трикутник і “метріо” - вимірюю) означає

“вимірювання трикутників”. Виникнення тригонометрії пов'язане з розвитком астрономії, зародилась

та розвивалась у Вавилоні, Єгипті, Китаї, Індії та інших древніх країнах.

Древньогрецькі вчені склали перші тригонометричні таблиці довжин хорд, що відповідають різним центральним кутам кола постійного радіуса, які вони використовували для розв'язування трикутників. Перші таблиці було складено давньогрецьким математиком Гіппархом з Нікеї (ІІ ст. до н.е.).Астроном-математик був засновником математичної географії, склав зірковий каталог, досить точно визначив відстань від Землі до Місяця і ввів географічні координати (широту і довготу), використовуючи складені ним тригонометричні таблиці хорд.

Гіппарх

10

Синус і косинус зустрічаються в Індійських астрономічних викладах вже з IV-V ст. СинусСинус “ардхаджива”, тобто половина хорди (“джива” – хорда, тятива луку), Це слово було викривлено арабами в “джайб”, що по арабські означає пазуха, опуклість. Слово “джайб” було переведено у XII ст. на латинь відповідним словом “sinussinus”. КосинусКосинус індійці називали “котиджива”, тобто синус залишку (до чверті кола). Від перестановки цих слів і скорочення одного із них (co-sinus) утворився термін “косинус”.У IX-X ст. вчені країн ісламу (ал-Хабаш, ал-Баттані, Абул-Вафа та ін.) ввели нові тригонометричні величини: тангенстангенс (розв´язування задач на визначення довжини тіні) і котангенс,котангенс, секанс і косеканссеканс і косеканс. Латинське слово tangens означає дотичний (відрізок дотичної), sekans – січний (відрізок січної). Терміни “котангенс” і “косеканс” були утворені за аналогією з терміном “косинус”.

11

Тригонометричні функції числового Тригонометричні функції числового аргументу аргументу

Визначення кутів за допомогою прямокутного трикутника.

Косинусом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини гіпотенузи:

Синусом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи:

Тангенсом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета:

Котангенсом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини протилежного катета:

12

Визначення Визначення тригонометричних функцій тригонометричних функцій

на одиничному колі на одиничному колі

α

x

y Pα(x;y)Синусом числа α називають ординату точки Рα одиничного кола, в яку переходить початкова точка Р 0(1;0) при повороті навколо центра кола на кут α радіанів. Його позначають sinα

Косинусом числа α називають абсцису точки Р α

одиничного кола, в яку переходить початкова точка Р α (1;0) при повороті навколо центра кола на кут α

радіанів. Його позначають cosα .

13

Визначення Визначення тригонометричних функцій тригонометричних функцій

на одиничному колі на одиничному колі• Тангенсом кутаТангенсом кута називають відношення ординати точки Pα(x;y) до її абсциси.

• Котангенсом кутаКотангенсом кута називають відношення абсциси точки Pα(x;y) до її ординати.

xytg

αx

y Pα(x;y)

yxctg

Тангенсом числа α називають відношення sinα до cosα позначають tgα Котангенсом числа α називається відношення cosα до sinα позначають ctgα .

14

Лінії тригонометричних функцій для Лінії тригонометричних функцій для підрахунку кутів та їх знаків в різних підрахунку кутів та їх знаків в різних

чвертях кола чвертях кола

0

x

y cos

B

0

x

y1D

A

tg

2D

0

x

yA

ctg2E 1E

Е1АЕ 2 – лінія котангенса

D1AD2 – лінія тангенса

Лінія косинусів – проекція ОВ рухомого радіуса на горизонтальний діаметр.

Лінія синусів – проекція ОА рухомого радіуса на вертикальний діаметр (відповідно до знака).

0

x

y

Asinα

15

Необхідно знати Необхідно знатиПри зростанні При зростанні αα від 0 від 000 до 90 до 9000 –

синус кута зростає від 0 до1, косинус спадає від 1 до 0, тангенс…При зростанні При зростанні αα від 90 від 9000 до 180 до 1800 0

синус кута спадає від 1 до 0, косинус спадає від 0 до -1, тангенс…

При зростанні При зростанні αα від 180 від 18000 до 270 до 27000 синус кута спадає від 0 до -1, косинус зростає від -

1 до 0, тангенс…

При зростанні При зростанні αα від 270 від 27000 до 360 до 36000 синус кута зростає від -1 до 0, косинус зростає від

0 до 1, тангенс..

16

Виконуємо разом Виконуємо разомПобудувати на одиничному колі точки Рα, на які відображається точка Р0 при повороті на α радіан, якщо: 1) α= π/12; 2) α=2,5; 3) α=3; 4) α=5π/6.Визначити знаки sinα, cosα, tgα, ctgα якщо α = 0,3; α = 12 π/7; α = -13 π/6.Порівняти : sin1 і sin2; cos2 і cos2,5;

tg π/6 і tg, π/4; ctg π/3 і ctg π/3,2.

17

Перевір себе Визначити

:знак виразуSin1000Cos2100

Ctg1350 + Tg1450

Sin400 - Sin2100

Sin(-430 0)Tg(-2100)

:Отримали

< 0< 0> 0> 0

18

Основні співвідношення між Основні співвідношення між тригонометричними функціями тригонометричними функціями

.одного аргументу .одного аргументу 2222 sin1cos;cos1sin1cossin

22

22

sin11

cos11

ctg

tg

,

1sincos;

cossin

ctgtgctgtg

19

Це цікавоНайбільшими досягненнями грецька тригонометрія зобов’язана Клавдію Птоломею. Його відомий тракат “Мегісте”.Гіпотенузу прямокутного трикутника, яка дорівнює діаметру кола, він записував на основі теореми Піфагора. В сучасному трактуванніCos2 α + Sin2 α =1

20

Усні вправиЧи можуть бути справедлими одночасно рівності:Tgx=3/4 i Cosх=3/5;Tgx=√3 i Sinx=-1/2;Sinx=2/5 i Cosx=4/5

21

Виконати завдання Виконати завдання :Спростити вираз

1+sin2α – cos2α ;

1 – ctgα*sinα*cosα; (1 – cosα)*tg 2 α*(1 – cosα).

Знайти значення всіх тригонометричних функцій аргументу α, якщо sinα= -0,8 і

1800≤ ≤α 2700

Довести тотожність (Ctg2α – cos2α)* tg2α = cos2α

22

.Формули зведення .Формули зведенняЯкщо кут α відкладається від вертикального діаметра одиничного кола ( ), то назва даної функції змінюється на кофункцію ;Якщо кут α відкладається від горизонтального діаметра одиничного кола ( ), то назва функції не змінюється.2. Перед новою функцією записується той знак, який мала функція, що зводилася за умови, що кут α гострий.

23

Приведіть до тригонометричних функцій

числа αSin(π\2+α);Cos(3π/2+α);Tg(π - α);Ctg(3π/2 - α);Sin(π+α).

24

ОбчислитиSin 3000 =sin (3600 - 600)=-sin600

Tg3π/4 = tg(π –π/4) = Cos 1150 = Ctg 7π/4 =

25

Щоб учні легше запам’ятали значення тригонометричних функцій для деяких кутів, доцільно використовувати модель тригонометра (Рис.). Його використання дає змогу не зазубрювати таблицю значень тригонометричних функцій від 0 до 2π, «кола» знаків тригонометричних функцій і формул зведень.

26

Спростити вираз Спростити вираз

1+sin 2 (270 0 – α) + cos 2 (90 0 – α)

sin (360 0 - α) + cos (90 0 + α)

tg( 3π/2 + α) + ctg (π – α) ctg(5π/2 +α)

sin (π/2 + α) - cos (π + α) + tg( π + α)+

+ ctg (3π/2 – α)

27

Періодичність функцій Періодичність функційТ Т називається періодомперіодом функції f(x), якщо для довільного х з області визначення виконується рівність f(x) = f(x + T).f(x) = f(x + T).

Дану функцію називають періодичною.періодичною. Очевидно, що Т і –Т є періодами

(найменшими). Також є періодами числа виду n*T. f(x + 3T) = f((x + 2T) + T) = f(x + 2T) =

= f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).

Y(x)=f(kx+b) T*=T/lkl

28

Тригонометричні функціїперіодичні

Період синуса і косинуса є будь-яке число виду 2πn, n єZ,

Тангенса та котангенса є будь-яке число виду 2πn, nєZ.

sin(2π+α)=sin α cos(2π + α) =cos α tg( π +α)=tgα ctg(π +α)=ctg α

Періодичними бувають не лише тригонометричні функції.

Наприклад, функція f(x) = {x} є періодичною з періодом Т = 1.

29

Знайти найменший додатній період функцій

52cos xy

23sin xy

3xtgy

xy sin

хy 4cos

30

’ .Розв язуємо разом’ .Розв язуємо разом№1. Звести до однойменних

функцій гострого кута:) cos1827°=cos(360°*5+27°)= а =cos

27°;) tg 978°=tg(180°*5+78°)=б

=tg78°;)   sin (–800°) = в)   ctg 1305° =г

№2. Обчислити значення :тригонометричних функцій

)   cos 1125° = а)  cos (–315°) = б) tg(-17в π/3) =

Перевір себе1. )sin (–3*360°+280°)=вsin280°;

)ctg (7*180°+45°) = ctg45°;г2 ) а cos (3 * 360° + 45°) =

cos 45° = √2/2;

)cos (–360° + 45°) = cos б45°= √2/2;

)√3В

31

Функція y = sin x Побудова графікафункції

2

2

23

3

32

6

65

23

67

611

34

35 2

32

6

3

32

Властивості і графік y=sinx1. - (-∞;+∞).Область визначення проміжок2. – [-1;1].Область значень проміжок3. Функція непарна sin(-x)=-sinx, ( графік функції симетричний

)відносно початку координат4. =2 .Функція періодична з періодом Т П5. Функція зростає при xє[- /2+2 nП П ; /2+2 nП П ], n Z.є6. Функція спадає при xє[ /2+2 nП П ;3 /2+2 nП П ], n Z.є7. ( /2+2 n;1), Функція має максимум уточках П П

(- /2+2 n;-1), n Z. мінімум уточках П П є8. Проміжки знакосталості: sin x > 0, якщо х є(2Пn; П + 2Пn), n Zє

sin x < 0, якщо x (є П+ 2Пn; 2П+ 2Пn), n Zє - Графіком функції є крива синусоїда

y

1

-1

2 2

23

2

2 23

0 x

33

Побудова графікафункціїy = cos x

Графік функції у=cosx отримаємо шляхом перенесення графіка функції у=sinx вліво на π/2 (sin (x + π/2) = cos x) y

1

-1

2 2

23

2

2 23

0 x

34

y

1

-1

2 2

23

2

2 23

0 x

Властивостіфункціїy=cos :х1. - (-∞;+∞).Область визначення проміжок

2. – [-1;1].Область значень проміжок3. Функція парна cos(-x)=cosx, ( графік функції симетричний

відносно осіOY)4. =2 (Функція періодична з періодом Т П cos (x + 2П) = cos x).5. Функція зростає при xє[- +2 nП П ;2 nП ], n Z.є6. Функція спадає при xє[2 nП ; +2 nП П ], n Z.є7. (2 n;Функція має максимум уточках П 1),

( +2 n;мінімум уточках П П -1), n Z. є8. Проміжки знакосталості: cos x > 0, якщо х є (-П/2 + 2Пn; П/2 + 2Пn),

cos x < 0, якщо x є (П/2 + 2Пn; 3П/2 + 2Пn), nєZ

- Графіком функції є крива косинусоїда

35

Властивостіфункціїy=tgх1. Область визначення – всі дійсні числа, крім точок х=П/2+Пn,

nєZ.2. Область значень – проміжок (-∞;+∞).3. Функція непарна tg(-х)=-tgх (графік функції симетричний відносно початку координат)4. Функція періодична з періодом Т= П ( tg(x+π)=tgx).5. Нулі функції – точки (Пn;0), nєZ.6.Функція зростає на всій області визначення. 7.Проміжки знакосталості Tg x > 0, якщо х є (Пn; П/2 + Пn), nєZ

Tgх < 0, якщо х є (-П/2+Пn;Пn), n є Z.8. Функція не має екстремумів. 9. Графіком функції є крива – тангенсоїда

232

23

У

Х22

0

2

36

Властивостіфункціїy=ctgх1. Область визначення – всі дійсні числа, крім точок х=Пn,

nєZ.2. Область значень – проміжок (-∞;+∞).3. Функція непарна ctg(-х)=-ctgх (графік функції симетричний відносно початку координат )4. Функція періодична з періодом Т= П ( сtg(x+π)=сtgx).5. Нулі функції – точки (π\2+Пn;0), nєZ.6. Функція спадає на всій області визначення. 7.Проміжки знакосталості ctg х >0, якщо x ( nє П ; /2+ n), n Z.П П є

ctg х < 0, якщо x ( /2+ nє П П ; + n), n Z.П П є8. Функція не має екстремумів.

9. Графіком функції є крива - котангенсоїда

0

y

x2

2

23

2

23 2

37

Користуючись властивостями функцій порівняйте числа:

1. tg 150 і tg 1400

Розв’язанняОскільки tg 1400= tg (1800 - 400)=- tg 400 і tg 150 >- tg 400 .

, Отже tg 150 > tg 1400.2. сtg (-1,2 π) і сtg (-0,1π) 3. sin2 і sin54. сos70° і сos290°5. сos340° і sin250°

38

Перетворення графіків функцій

1. Для побудови графіка функції y = y = f(x)f(x)±± а а необхідно виконати паралельне

перенесення графіка функції y =y = f(x) f(x) вздовж осі OY на а ( ).одиниць вгору вниз

2. Для побудови графіка функції y =y = f(xf(x±±а)а) необхідно виконати паралельне

перенесення графіка функції y =y = f(x)f(x) вздовж осі OX на а одиниць вліво

( ).вправо

39

Побудувати графік функції y = tg x -1

2

232

23

У

Х2

2

0

1

-1

40

Перетворення графіків функцій

• Графік функції y = k f(x) f(x) можна дістати з графіка функції y = f(x)f(x) за допомогою розтягу

його в k разів від осі OX, якщо k>1, і за допомогою стиснення в k разів до осі OX, якщо

0<k<1• Графік функції y = f(f( k x) можна дістати з

графіка функції y = за допомогою стиснення його в k разів до осі OY, якщо k>1, і за

допомогою розтягу в k разів від осі OY, якщо0<k<1

41

y

1

-1

2 2

23

2

2 23

0 x

Побудувати графік функції y=2 sin x

42

Перетворення графіків функцій

5. Для побудови графіка функції y =| f(x)f(x) | необхідно побудувати графік функції y =

f(x)f(x) x≥0, xпри а для <0 , побудувати графік який буде симетричний для вже

побудованого графіка відносно осі OХ Для побудови графіка функції y = f f |(x)(x) |

необхідно побудувати графік функції y = f(x)f(x) x≥0, xпри а для <0 , побудувати графік

який буде симетричний для вже побудованого графіка відносно осі OУ

43

y

1

-1

2 2

23

2

2 23

0 x

Побудувати графік функції y = | sin x |

44

Перетворення графіків функцій

• Для побудови графіка функції y = - y = - f(x)f(x) необхідно графік функції

y = y = f(x)f(x) відобразити симетрично OX.відносно осі

• Для побудови графіка функції y = y = f(-x)f(-x) необхідно графік функції y = y = f(x)f(x) відобразити симетрично

Oвідносно осі Y.

45

Побудувати графік функції y = - сos x

y

1

-1

2 2

23

2

2 23

0 x

46

2

232

23

У

Х2

2

0

Побудувати графік функції y = сtg (x - /4)

4

4

3

47

Запиши функцію Графік функція y=сtgx паралельно

перенесли на 4 одиниці вниз вздовж осі Oy і на π/4 одиниці

вліво вздовж осі Ox. Отримали :наступний графік функції

4-)4πtg(xy с

48

Гармонічні коливання , У природі і техніці повсякденномужитті

часто доводиться спостерігати коливальні. рухи , Наприклад рух маятника

, годинника коливання струни музичного, інструмента коливання води від кинутого

в неї предмета та ін До найпростіших коливальних рухів

належать . гармонічні коливання . гармонічні коливання Такі коливання можна описати за допомогою

тригонометричних функцій( математичноюмоделлю таких коливань є

)тригонометричні функції певного виду

49

Гармонічні коливання - це ...

Гармонічними коливаннями  називаються    , періодичні коливання фізичної величини які

відбуваються згідно із законом  = у у = у у00 cos ( t + ω φ cos ( t + ω φ00).). де t — , час

y0 — , це найбільше значення яке приймає величина y  , під час коливань яке називають

 амплітудою коливань,  — ω  циклічна частота  ,коливаньt + ω φ0  —фаза  ,коливань φ0 називают

початковою фазою.

50

Уявлення про коливання…

Математичний маятник.\

Вільні коливання

Графіки координати x(t), швидкості υ(t) і прискоренняa(t) тіла, яке гармонічно коливається.

Найпростішою електричною

системою,яка викрнує вільні

коливання є послідовний

RLC-контур

51

Приклади застосування

Гармонічні коливання дуже розповсюджені . в природі й техніці До них належать малі

    , коливання підвішеного на пружині тягаря   , малі коливання маятника коливання в

, молекулах якими зумовлене  , поглинання інфрачервоних променів   , різноманітні коливання в електротехніці

наприклад,     . у коливальному контурі та інші

52

Практичне застосування Практичне застосування тригонометричних тригонометричних

функційфункцій

Медицина

Телеграф

Будівництво

Фізика

Техніка

Астрономія…

Проекція на лощину гвинтової лінії свердла

також буде синусоїдою.

53

Що саме ти не вивчив би, -Що саме ти не вивчив би, -Ти навчаєшся для себе.Ти навчаєшся для себе.

Гай ПетронійГай Петроній