Γ 関数と b 関数 - 九州大学(kyushu university)snii/advancedcalculus/...Γ 関数とb...
TRANSCRIPT
Γ 関数と B(ベータ)関数
. – p.1/13
Γ 関数と B 関数[定義]
Γ (s) =
∫
∞
0
xs−1e−xdx (s > 0)
を Γ 関数とよぶ。
性質
特に
. – p.2/13
Γ 関数と B 関数[定義]
Γ (s) =
∫
∞
0
xs−1e−xdx (s > 0)
を Γ 関数とよぶ。[性質]
特に
. – p.2/13
Γ 関数と B 関数[定義]
Γ (s) =
∫
∞
0
xs−1e−xdx (s > 0)
を Γ 関数とよぶ。[性質]
• Γ (1) = 1 ∵ Γ (1) =
∫
∞
0
e−xdx = 1
特に
. – p.2/13
Γ 関数と B 関数[定義]
Γ (s) =
∫
∞
0
xs−1e−xdx (s > 0)
を Γ 関数とよぶ。[性質]
• Γ (1) = 1 ∵ Γ (1) =
∫
∞
0
e−xdx = 1
• Γ (s + 1) = sΓ (s) 特に Γ (n) = (n − 1)!
. – p.2/13
Γ 関数と B 関数[定義]
Γ (s) =
∫
∞
0
xs−1e−xdx (s > 0)
を Γ 関数とよぶ。[性質]
• Γ (1) = 1 ∵ Γ (1) =
∫
∞
0
e−xdx = 1
• Γ (s + 1) = sΓ (s) 特に Γ (n) = (n − 1)!
∵ Γ (s + 1) =
∫
∞
0
xse−xdx
. – p.2/13
Γ 関数と B 関数[定義]
Γ (s) =
∫
∞
0
xs−1e−xdx (s > 0)
を Γ 関数とよぶ。[性質]
• Γ (1) = 1 ∵ Γ (1) =
∫
∞
0
e−xdx = 1
• Γ (s + 1) = sΓ (s) 特に Γ (n) = (n − 1)!
∵ Γ (s + 1) =
∫
∞
0
xse−xdx
=[
−xse−x]
∞
0+ s
∫
∞
0
xs−1e−xdx = sΓ (s)
. – p.2/13
Γ 関数と B 関数[性質続き]
• Γ(
12
)
=√
π
において と置換すると
スターリングの公式
. – p.3/13
Γ 関数と B 関数[性質続き]
• Γ(
12
)
=√
π
∵ Γ
(
1
2
)
=
∫
∞
0
x−1
2 e−xdxにおいて x = t2 と置換すると
スターリングの公式
. – p.3/13
Γ 関数と B 関数[性質続き]
• Γ(
12
)
=√
π
∵ Γ
(
1
2
)
=
∫
∞
0
x−1
2 e−xdxにおいて x = t2 と置換すると
= 2
∫
∞
0
e−t2dt
スターリングの公式
. – p.3/13
Γ 関数と B 関数[性質続き]
• Γ(
12
)
=√
π
∵ Γ
(
1
2
)
=
∫
∞
0
x−1
2 e−xdxにおいて x = t2 と置換すると
= 2
∫
∞
0
e−t2dt
=√
π
スターリングの公式
. – p.3/13
Γ 関数と B 関数[性質続き]
• Γ(
12
)
=√
π
∵ Γ
(
1
2
)
=
∫
∞
0
x−1
2 e−xdxにおいて x = t2 と置換すると
= 2
∫
∞
0
e−t2dt
=√
π
[スターリングの公式]
lims→+∞
Γ (s + 1)√
2πs(s+1)/2e−s= 1
. – p.3/13
Γ 関数と B 関数[定義]
B(p, q) =
∫ 1
0
xp−1(1 − x)q−1dx (p, q > 0)
を B(ベータ)関数とよぶ。
性質 とおく。
. – p.4/13
Γ 関数と B 関数[定義]
B(p, q) =
∫ 1
0
xp−1(1 − x)q−1dx (p, q > 0)
を B(ベータ)関数とよぶ。[性質]
とおく。
. – p.4/13
Γ 関数と B 関数[定義]
B(p, q) =
∫ 1
0
xp−1(1 − x)q−1dx (p, q > 0)
を B(ベータ)関数とよぶ。[性質]
• B(p, q) = 2
∫ π
2
0
cos2p−1θ sin2q−1θdθ (x = cos2 θ とおく。)
. – p.4/13
Γ 関数と B 関数[定義]
B(p, q) =
∫ 1
0
xp−1(1 − x)q−1dx (p, q > 0)
を B(ベータ)関数とよぶ。[性質]
• B(p, q) = 2
∫ π
2
0
cos2p−1θ sin2q−1θdθ (x = cos2 θ とおく。)
• B(p, q) =Γ (p)Γ (q)
Γ (p + q)
. – p.4/13
Γ 関数と B 関数[定義]
B(p, q) =
∫ 1
0
xp−1(1 − x)q−1dx (p, q > 0)
を B(ベータ)関数とよぶ。[性質]
• B(p, q) = 2
∫ π
2
0
cos2p−1θ sin2q−1θdθ (x = cos2 θ とおく。)
• B(p, q) =Γ (p)Γ (q)
Γ (p + q)
∵ Γ(s)=2
∫
∞
0
e−t2t2s−1dt
. – p.4/13
Γ 関数と B 関数[定義]
B(p, q) =
∫ 1
0
xp−1(1 − x)q−1dx (p, q > 0)
を B(ベータ)関数とよぶ。[性質]
• B(p, q) = 2
∫ π
2
0
cos2p−1θ sin2q−1θdθ (x = cos2 θ とおく。)
• B(p, q) =Γ (p)Γ (q)
Γ (p + q)
∵ Γ(s)=2
∫
∞
0
e−t2t2s−1dt ∴ Γ(p)Γ(q)=4
∫
∞
0
∫
∞
0
e−(x2+y2)x2p−1y2q−1dxdy
. – p.4/13
Γ 関数と B 関数[定義]
B(p, q) =
∫ 1
0
xp−1(1 − x)q−1dx (p, q > 0)
を B(ベータ)関数とよぶ。[性質]
• B(p, q) = 2
∫ π
2
0
cos2p−1θ sin2q−1θdθ (x = cos2 θ とおく。)
• B(p, q) =Γ (p)Γ (q)
Γ (p + q)
∵ Γ(s)=2
∫
∞
0
e−t2t2s−1dt ∴ Γ(p)Γ(q)=4
∫
∞
0
∫
∞
0
e−(x2+y2)x2p−1y2q−1dxdy
=
∫
∞
0
2e−r2
r2(p+q)−1dr
∫ π
2
0
2 cos2p−1 θ sin2q−1 θdθ
. – p.4/13
Γ 関数と B 関数[定義]
B(p, q) =
∫ 1
0
xp−1(1 − x)q−1dx (p, q > 0)
を B(ベータ)関数とよぶ。[性質]
• B(p, q) = 2
∫ π
2
0
cos2p−1θ sin2q−1θdθ (x = cos2 θ とおく。)
• B(p, q) =Γ (p)Γ (q)
Γ (p + q)
∵ Γ(s)=2
∫
∞
0
e−t2t2s−1dt ∴ Γ(p)Γ(q)=4
∫
∞
0
∫
∞
0
e−(x2+y2)x2p−1y2q−1dxdy
=
∫
∞
0
2e−r2
r2(p+q)−1dr
∫ π
2
0
2 cos2p−1 θ sin2q−1 θdθ = Γ(p + q)B(p, q)
. – p.4/13
Γ 関数と B 関数[例題]
自然数 nについて、定積分
I(n) =
∫ π
2
0
sinnx dx
を Γ 関数を使って表し、値を求めよ。
解答例
. – p.5/13
Γ 関数と B 関数[例題]
自然数 nについて、定積分
I(n) =
∫ π
2
0
sinnx dx
を Γ 関数を使って表し、値を求めよ。[解答例]
I(n) =1
2B
(
1
2,n + 1
2
)
. – p.5/13
Γ 関数と B 関数[例題]
自然数 nについて、定積分
I(n) =
∫ π
2
0
sinnx dx
を Γ 関数を使って表し、値を求めよ。[解答例]
I(n) =1
2B
(
1
2,n + 1
2
)
=Γ
(
12
)
Γ(
n+12
)
2Γ(
n2
+ 1) =
√π
2·
Γ(
n+12
)
Γ(
n2
+ 1)
. – p.5/13
Γ 関数と B 関数これより
I(2n) =
√π
2·Γ
(
n + 12
)
Γ (n + 1)
. – p.6/13
Γ 関数と B 関数これより
I(2n) =
√π
2·Γ
(
n + 12
)
Γ (n + 1)
=
√π
2 · n!
(
n −1
2
) (
n −3
2
)
· · ·
(
n −1
2− (n − 1)
)
Γ
(
1
2
)
. – p.6/13
Γ 関数と B 関数これより
I(2n) =
√π
2·Γ
(
n + 12
)
Γ (n + 1)
=
√π
2 · n!
(
n −1
2
) (
n −3
2
)
· · ·
(
n −1
2− (n − 1)
)
Γ
(
1
2
)
=π
2 · n!·
1
2n(2n − 1)(2n − 3) · · · 3 · 1
. – p.6/13
Γ 関数と B 関数これより
I(2n) =
√π
2·Γ
(
n + 12
)
Γ (n + 1)
=
√π
2 · n!
(
n −1
2
) (
n −3
2
)
· · ·
(
n −1
2− (n − 1)
)
Γ
(
1
2
)
=π
2 · n!·
1
2n(2n − 1)(2n − 3) · · · 3 · 1
=π
2·(2n − 1)!!
(2n)!!
. – p.6/13
Γ 関数と B 関数I(2n + 1) =
√π
2·
Γ (n + 1)
Γ(
n + 1 + 12
)
. – p.7/13
Γ 関数と B 関数I(2n + 1) =
√π
2·
Γ (n + 1)
Γ(
n + 1 + 12
)
=
√π
2·
n!(
n + 12
) (
n − 12
) (
n − 32
)
· · ·(
n + 12− n
)
Γ(
12
)
. – p.7/13
Γ 関数と B 関数I(2n + 1) =
√π
2·
Γ (n + 1)
Γ(
n + 1 + 12
)
=
√π
2·
n!(
n + 12
) (
n − 12
) (
n − 32
)
· · ·(
n + 12− n
)
Γ(
12
)
=1
2·
2n+1n!
(2n + 1)(2n − 1)(2n − 3) · · · 3 · 1
. – p.7/13
Γ 関数と B 関数I(2n + 1) =
√π
2·
Γ (n + 1)
Γ(
n + 1 + 12
)
=
√π
2·
n!(
n + 12
) (
n − 12
) (
n − 32
)
· · ·(
n + 12− n
)
Γ(
12
)
=1
2·
2n+1n!
(2n + 1)(2n − 1)(2n − 3) · · · 3 · 1
=(2n)!!
(2n + 1)!!
. – p.7/13
Γ 関数と B 関数[練習問題1]
自然数 nについて、定積分∫ 1
−1
(1 − x2)ndx
を Γ 関数を使って表し、値を求めよ。
解答例と置換すると
. – p.8/13
Γ 関数と B 関数[練習問題1]
自然数 nについて、定積分∫ 1
−1
(1 − x2)ndx
を Γ 関数を使って表し、値を求めよ。[解答例]
t =x + 1
2と置換すると
. – p.8/13
Γ 関数と B 関数[練習問題1]
自然数 nについて、定積分∫ 1
−1
(1 − x2)ndx
を Γ 関数を使って表し、値を求めよ。[解答例]
t =x + 1
2と置換すると∫ 1
−1
(1 − x2)ndx = 22n+1
∫ 1
0
tn(1 − t)ndt
. – p.8/13
Γ 関数と B 関数[練習問題1]
自然数 nについて、定積分∫ 1
−1
(1 − x2)ndx
を Γ 関数を使って表し、値を求めよ。[解答例]
t =x + 1
2と置換すると∫ 1
−1
(1 − x2)ndx = 22n+1
∫ 1
0
tn(1 − t)ndt
= 22n+1B(n + 1, n + 1)
. – p.8/13
Γ 関数と B 関数= 22n+1 (Γ (n + 1))2
Γ (2n + 2)
. – p.9/13
Γ 関数と B 関数= 22n+1 (Γ (n + 1))2
Γ (2n + 2)
= 2 ·(2nn!)2
(2n + 1)!
. – p.9/13
Γ 関数と B 関数= 22n+1 (Γ (n + 1))2
Γ (2n + 2)
= 2 ·(2nn!)2
(2n + 1)!
= 2·(2n(2n − 2) · · · 2)2
(2n + 1)2n(2n − 1)(2n − 2) · · · 2 · 1
. – p.9/13
Γ 関数と B 関数= 22n+1 (Γ (n + 1))2
Γ (2n + 2)
= 2 ·(2nn!)2
(2n + 1)!
= 2·(2n(2n − 2) · · · 2)2
(2n + 1)2n(2n − 1)(2n − 2) · · · 2 · 1
= 2(2n)!!
(2n + 1)!!
. – p.9/13
Γ 関数と B 関数[練習問題2]
自然数 m,nで m < 2n− 1を満たすものについて、広義積分∫ +∞
0
xm
(1 + x2)ndx
を Γ 関数を使って表し、値を求めよ。
解答例と置換すると
. – p.10/13
Γ 関数と B 関数[練習問題2]
自然数 m,nで m < 2n− 1を満たすものについて、広義積分∫ +∞
0
xm
(1 + x2)ndx
を Γ 関数を使って表し、値を求めよ。[解答例]
x = tan θ と置換すると
. – p.10/13
Γ 関数と B 関数[練習問題2]
自然数 m,nで m < 2n− 1を満たすものについて、広義積分∫ +∞
0
xm
(1 + x2)ndx
を Γ 関数を使って表し、値を求めよ。[解答例]
x = tan θ と置換すると∫ +∞
0
xm
(1 + x2)ndx =
∫ π
2
0
cos2n−m−2 θ sinm θdθ
. – p.10/13
Γ 関数と B 関数[練習問題2]
自然数 m,nで m < 2n− 1を満たすものについて、広義積分∫ +∞
0
xm
(1 + x2)ndx
を Γ 関数を使って表し、値を求めよ。[解答例]
x = tan θ と置換すると∫ +∞
0
xm
(1 + x2)ndx =
∫ π
2
0
cos2n−m−2 θ sinm θdθ
=1
2B
(
2n − m − 1
2,m + 1
2
)
. – p.10/13
Γ 関数と B 関数m = 2m′ のとき
=π
2n·(2n − 2m′ − 3)!!(2m′ − 1)!!
(n − 1)!
のとき
. – p.11/13
Γ 関数と B 関数m = 2m′ のとき
=π
2n·(2n − 2m′ − 3)!!(2m′ − 1)!!
(n − 1)!
m = 2m′ + 1のとき
=1
2n−1·(2n − 2m′ − 4)!!(2m′)!!
(n − 1)!
. – p.11/13
誤差関数[定義]
erf(x) =2√
π
∫ x
0
e−t2dt
を誤差関数 (error function)とよぶ。
練習問題より とおく
なので
. – p.12/13
誤差関数[定義]
erf(x) =2√
π
∫ x
0
e−t2dt
を誤差関数 (error function)とよぶ。
練習問題より √π = Γ (1
2) = 2
∫
∞
0
e−t2dt ( x = t2 とおく)
なので erf(+∞) = 1
. – p.12/13
宿題
一年生の時の微分積分の教科書の該当箇所 (第5章)の練習問題。
. – p.13/13