ルジャンドル関数とルジャンドル陪関数update:2017 June 05, presented by Sho K. NAKAMURA

母関数 (generating function)による関数定義

x, yの関数 f(x, y)を yについて展開すると、一般に

f(x, y) =∑

gn(x)yn (1)

のように書くことができる。そして (1)式のように、yn の係数として gn(x)という関数が定義される。このようなとき、f(x, y)を関数列 {gn(x)}の母関数という。

Legendre polynomial

母関数展開

1√1 − 2zω + ω2

=∞∑

n=0

Pn(z)ωn (2)

によって定義される Pn(z)を Legendreの多項式と呼ぶ。X ≡ 2zω − ω2と置いて左辺をX = 0の周りで Taylor展開すると

1√1 − X

= 1 +12X +

12!

12

32X2 +

13!

12

32

52X3 + · · · + 1

m!(2m)!2mm!

12m

Xm + · · · =∞∑

m=0

1m!

(2m)!2mm!

12m

Xm (3)

一方、

Xm = (2zω − ω2)m =m∑

`=0

`Cm−`(2zω)`(−ω2)m−` =m∑

`=0

(−1)m−`m!`!(m − `)!

(2z)`ω2m−` (4)

より、これを代入。

1√1 − 2zω + ω2

=∞∑

m=0

1m!

(2m)!2mm!

12m

m∑`=0

(−1)m−`m!`!(m − `)!

(2z)`ω2m−` =∞∑

m=0

m∑`=0

(2m)!2mm!

12m−`

(−1)m−`

`!(m − `)!z`ω2m−` (5)

ここで n = 2m − `, ` = n − 2kというパラメータを定義して、`,mを消去することを考える。すると

n = k + m (6)

であり、さらに `についての総和をとる範囲が

0 ≤ ` ≤ m =⇒ 0 ≤ n − 2k ≤ n − k =⇒︸︷︷︸+2k

2k ≤ n ≤ n + k (7)

1

のように変形される。これより、kに対して n ≥ 2k, k ≥ 0という条件を得る。

... 1√1 − 2zω + ω2

=∞∑

n=0

[n/2]∑k=0

(2n − 2k)!2n−k(n − k)!

12k

(−1)k

(n − 2k)!k!zn−2kωn =

∞∑n=0

[n/2]∑k=0

(2n − 2k)!2n(n − k)!

(−1)k

(n − 2k)!k!zn−2kωn (8)

途中の [n/2]は n/2を越えない整数を表す記号である。

... Pn(z) =12n

[n/2]∑k=0

(−1)k(2n − 2k)!k!(n − k)!(n − 2k)!

zn−2k (9)

Pn(z)の別の表し方を見ていこう。

(z2 − 1)n =n∑

k=0

kCn−k(−1)kz2(n−k) =n∑

k=0

n!k!(n − k)!

(−1)kz2(n−k)

=⇒ dn

dzn(z2 − 1)n =

n∑k=0

n!k!(n − k)!

(−1)k dn

dznz2(n−k)

=[n/2]∑k=0

n!k!(n − k)!

(−1)k 1(2n − 2k)(2n − 2k − 1) · · · (2n − 2k − n + 1)

z2(n−k)−n

=[n/2]∑k=0

n!k!(n − k)!

(−1)k (2n − 2k)!(2n − 2k − n)!

zn−2k = n![n/2]∑k=0

(−1)k(2n − 2k)!k!(n − k)!(n − 2k)!

zn−2k (10)

(9)式と比較すると

Pn(z) =1

2nn!dn

dzn(z2 − 1)n (11)

と表現できることがわかる。これを Rodriguesの公式と呼ぶ。留数定理より、関数 f(z)の n解微分を f (n)(z)とすると

f (n)(z) =n!2πi

∮C

f(t)(t − z)n+1

dt (12)

ただし C は点 zを正方向に 1回転する積分路である。これに f(z) =(z2 − 1)n

2nn!を代入。(11)式より

Pn(z) =1

2n2πi

∮C

(t2 − 1)n

(t − z)n+1dt (13)

これを Schlafliの公式と呼ぶ。(2)式の両辺を ωで微分すると

z − ω

(1 − 2zω + ω2)−3/2=

∞∑n=1

nPn(z)ωn−1 =∞∑

n=0

nPn(z)ωn−1 − 0 · P0ω−1 =

∞∑n=0

nPn(z)ωn−1 (14)

=⇒ z − ω√1 − 2zω + ω2

=∞∑

n=0

nPn(z)(1 − 2zω + ω2)ωn−1 (15)

2

∞∑n=0

nPn(z)ωn−1 =∞∑

n=0

(n + 1)Pn+1(z)ωn (16)

∞∑n=0

nPn(z)2zωn = 2z∞∑

n=0

nPn(z)ωn (17)

∞∑n=0

nPn(z)ωn+1 =∞∑

n=1

(n − 1)Pn−1(z)ωn (18)

また右辺は (2)式より

(z − ω)∞∑

n=0

Pn(z)ωn = z∞∑

n=0

Pn(z)ωn −∞∑

n=0

Pn(z)ωn+1 = z∞∑

n=0

Pn(z)ωn −∞∑

n=1

Pn−1(z)ωn (19)

以上より、

z

∞∑n=0

Pn(z)ωn −∞∑

n=1

Pn−1(z)ωn =∞∑

n=0

{(n + 1)Pn+1(z) − 2znPn(z)}ωn +∞∑

n=1

(n − 1)Pn−1(z)ωn (20)

ωn の係数を比較することにより漸化式

(n + 1)Pn+1 − (2n + 1)zPn + nPn−1 = 0 (n ≥ 1) (21)

を得る。さらに式の両辺を zで微分すると

(2) =⇒︸︷︷︸両辺 z 微分

ω

(1 − 2zω + ω2)3/2=

∞∑n=0

P ′nωn (22)

この式に両辺 z/ωを掛けたもの

z

(1 − 2zω + ω2)3/2=

∞∑n=0

zP ′nωn−1 =

∞∑n=0

zP ′n+1ω

n ( ... P ′0(z) = 0) (23)

辺々引き算すると

z − ω

(1 − 2zω + ω2)−3/2=

∞∑n=0

(zP ′n+1 − P ′

n)ωn (24)

(14), (25) =⇒∞∑

n=0

(n + 1)Pn+1(z)ωn =∞∑

n=0

(zP ′n+1 − P ′

n)ωn =⇒ (n + 1)Pn+1 = zP ′n+1 − P ′

n (25)

という微分漸化式を得る。その他にルジャンドル多項式が満たす漸化式をいくつか証明しておこう。

3

(21) =⇒︸︷︷︸両辺 z 微分

(n + 1)P ′n+1 − (2n + 1)(Pn + zP ′

n) + nP ′n−1 = (n + 1)(P ′

n+1 − zP ′n) − n (zP ′

n − P ′n−1)︸ ︷︷ ︸

(25) の n→n−1

−(2n + 1)Pn

= (n + 1)(P ′n+1 − zP ′

n) − n2Pn − (2n + 1)Pn = (n + 1)(P ′n+1 − zP ′

n) − (n + 1)2Pn = 0

... P ′n+1 − zP ′

n − (n + 1)Pn = 0 (26)

(26) =⇒︸︷︷︸左辺第 2 項に (25) の n→n−1

P ′n+1 − nPn − P ′

n−1 − (n + 1)Pn = P ′n+1 − P ′

n−1 − (2n + 1)Pn = 0 (27)

(26) =⇒︸︷︷︸n→n−1

P ′n − zP ′

n−1 − nPn−1 =︸︷︷︸(25) の n→n−1

P ′n − z(zP ′

n − nPn) − nPn−1 = (1 − z2)P ′n + nzPn − nPn−1 = 0 (28)

また (2)式において z → −zと置き換えると

1√1 + 2zω + ω2

=∞∑

n=0

Pn(−z)ωn (29)

同様に (2)式において ω → −ωと置き換えると

1√1 + 2zω + ω2

=∞∑

n=0

Pn(z)(−1)nωn (30)

二つの式より

Pn(−z) = (−1)nPn(z) (31)

という関係式を導くこともできる。ルジャンドル多項式がルジャンドルの微分方程式の解になっていることを示そう。f(z) ≡ (z2 − 1)n とおくと

f ′ = 2zn(z2 − 1)n−1 =2zn

z2 − 1f

f ′′ = 2n(z2 − 1)n−1 + 4z2n(n − 1)(z2 − 1)n−2 =2n

z2 − 1f +

2z(n − 1)z2 − 1

f ′ =⇒ (z2 − 1)f ′′ − 2nf − 2z(n − 1)f ′ = 0 (32)

得られた式の両辺を dn/dzn 微分する。

dn

dzn{(z2 − 1)f ′′} =

n∑k=0

nCk

{dk

dzk(z2 − 1)

}{dn−k

dzn−kf ′′

}= (z2 − 1)

dn

dznf ′′ + 2zn

dn−1

dzn−1f ′′ + 2

n(n − 1)2!

dn−2

dzn−2f ′′

= (z2 − 1)dn

dznf ′′ + 2zn

dn

dznf ′ + n(n − 1)

dn

dznf (33)

dn

dzn{zf ′} =

n∑k=0

nCk

{dk

dzkz

}{dn−k

dzn−kf ′

}= z

dn

dznf ′ + n

dn−1

dzn−1f ′ = z

dn

dznf ′ + n

dn

dznf (34)

4

... (z2 − 1)dn

dznf ′′ + 2zn

dn

dznf ′ + n(n − 1)

dn

dznf − 2n

dn

dznf − 2(n − 1)z

dn

dznf ′ − 2n(n − 1)

dn

dznf

= (z2 − 1)d2

dz2f (n) + 2z

d

dzf (n) − n(n + 1)f (n) = 0 (35)

ここで (11)式より、両辺を 2nn!で割れば

(1 − z2)d2

dz2Pn(z) − 2z

d

dzPn(z) + n(n + 1)Pn(z) = 0 (36)

となる。これをルジャンドルの微分方程式と呼び、ルジャンドル多項式はこの微分方程式の解になっている。ルジャンドル多項式の直交性を証明しよう。そのためにはまず次を考える。

∫ 1

−1

zmPn(z)dz =︸︷︷︸(11)

12nn!

∫ 1

−1

zm dn

dzn(z2 − 1)n dz =

12nn!

{[zm dn−1

dzn−1(z2 − 1)n

]1

−1

−∫ 1

−1

mzm−1 dn−1

dzn−1(z2 − 1)n dz

}

= − m

2nn!

∫ 1

−1

zm−1 dn−1

dzn−1(z2 − 1)n dz (37)

[· · ·]部分は z2 − 1が必ず 1つ残るため、z = ±1で必ず 0となる。この作業を k回 (k ≤ n,m)回繰り返すことによって

∫ 1

−1

zmPn(z)dz =(−1)km!

(m − k)!2nn!

∫ 1

−1

zm−k dn−k

dzn−k(z2 − 1)n dz (38)

( i )n > mのとき、この作業を k = mまで行うことにより

∫ 1

−1

zmPn(z)dz =(−1)mm!

2nn!

∫ 1

−1

dn−m

dzn−m(z2 − 1)n dz =

(−1)mm!2nn!

[dn−m−1

dzn−m−1(z2 − 1)n

]1

−1

= 0 (39)

( ii )m > nのとき、この作業を k = nまで行う。

∫ 1

−1

zmPn(z)dz =(−1)nm!

(m − n)!2nn!

∫ 1

−1

zm−n(z2 − 1)n dz

=(−1)nm!

(m − n)!2nn!

{[zm−n+1

m − n + 1(z2 − 1)n

]1

−1

−∫ 1

−1

2nzm−n+2

m − n + 1(z2 − 1)n−1 dz

}

=(−1)nm!

(m − n)!2nn!−2n

m − n + 1

∫ 1

−1

zm−n+2(z2 − 1)n−1 dz

=(−1)nm!

(m − n)!2nn!−2n

m − n + 1

{[zm−n+3

m − n + 3(z2 − 1)n−1

]1

−1

−∫ 1

−1

2(n − 1)zm−n+4

m − n + 3(z2 − 1)n−2 dz

}

= · · ·

=(−1)nm!

(m − n)!2nn!(−2)nn!

(m − n + 1)(m − n + 3) · · · (m − n + 2n + 1)

∫ 1

−1

zm−n+2n dz

=m!

(m − n)!(m − n − 1)(m − n − 3) · · · 1

(m − n + 2n + 1) · · · (m − n + 1)(m − n − 1) · · · 1

∫ 1

−1

zm−n+2n dz

5

=

0 (m − n = odd)

2m!(m − n)!

(m − n − 1)(m − n − 3) · · · 1(m − n + 2n + 1) · · · (m − n + 1)(m − n − 1) · · · 1

(m − n = even)(40)

よって上式はm > nかつm − n = 0orevenのときのみ値をもつ。の Pm(x)は xのm次多項式であるため、m 6= nであれば Pm(x), Pn(x)はどちらかは必ず他方より小さな次数の多項式となる。上式はm,nを入れ替えても成り立つ式なので

∫ 1

−1

Pm(z)Pn(z) dz = 0 (m 6= n) (41)

がどのようなm,nでも成立する。Pn(z)の最高次の項の係数は (9)式より (2n)!/(2nn!2)、それ以外の項は積分値が 0となるので

∫ 1

−1

Pm(x)Pn(x) dz =(2n)!2nn!2

2n!(2n + 1)(2n − 1) · · · 1

δmn =(2n)!2nn!

2(2n + 1)(2n − 1) · · · 1

δmn

=2n(2n − 1)(2n − 2) · · · 3 · 2 · 1

2n(2n − 2) · · · 4 · 22

(2n + 1)(2n − 1) · · · 3 · 1δmn =

22n + 1

δmn (42)

が導かれる。これがルジャンドル多項式の直交性である。

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

P0

P1P2

P3

P4

P5

P

P6

fig 1: 参考までに、legendre polynomial。

6

Associated Legendre functions

mが整数、−1 < x < 1のとき、

Pmn (z) = (1 − z2)m/2 dmPn(z)

dzm(43)

で定義される関数をルジャンドル陪関数と呼ぶ。(36)式をm階微分を考える。

dm

dzm{zPn(z)} =

dm−1

dzm−1

{Pn(z) + z

d

dzPn(z)

}=

dm−2

dzm−2

{d

dzPn(z) +

d

dzPn(z) + z

d2

dz2Pn(z)

}

=dm−2

dzm−2

{2

d

dzPn(z) + z

d2

dz2Pn(z)

}= · · · = m

dm−1

dzm−1Pn(z) + z

dm

dzmPn(z)

dm

dzm{z2Pn(z)} =

dm−1

dzm−1

{2zPn(z) + z2 d

dzPn(z)

}=

m∑`=1

dm−`

dzm−`

{2z

d`−1

dz`−1Pn(z)

}+ z2 dm

dzmPn(z)

=m∑

`=1

{2(m − `)

dm−2

dzm−2Pn(z) + 2z

dm−1

dzm−1Pn(z)

}+ z2 dm

dzmPn(z)

= m(m − 1)dm−2

dzm−2Pn(z) + 2mz

dm−1

dzm−1Pn(z) + z2 dm

dzmPn(z)

などより

dm+2

dzm+2Pn(z) − m(m − 1)

dm

dzmPn(z) − 2mz

dm+1

dzm+1Pn(z) − z2 dm+2

dzm+2Pn(z)

−2mdm

dzmPn(z) − 2z

dm+1

dzm+1Pn(z) + n(n + 1)

dm

dzmPn(z)

=dm+2

dzm+2Pn(z) − m(m + 1)

dm

dzmPn(z) − 2(m + 1)z

dm+1

dzm+1Pn(z) − z2 dm+2

dzm+2Pn(z) + n(n + 1)

dm

dzmPn(z)

= (1 − z2)dm+2

dzm+2Pn(z) − 2(m + 1)z

dm+1

dzm+1Pn(z) + {n(n + 1) − m(m + 1)} dm

dzmPn(z) = 0 (44)

さらに v = (1 − z2)m/2 dm

dzmPn(z) = (1 − z2)m/2P (m)

n とすると

dv

dz= −mz(1 − z2)m/2−1P (m)

n + (1 − z2)m/2 dP(m)n

dz= − mz

1 − z2v + (1 − z2)m/2 dP

(m)n

dz=⇒ (1 − z2)m/2 dP

(m)n

dz=

dv

dz+

mz

1 − z2v

d2v

dz2= −m(1 − z2) − mz(−2z)

(1 − z2)2v − mz

1 − z2

dv

dz− mz(1 − z2)m/2−1 dP

(m)n

dz+ (1 − z2)m/2 d2P

(m)n

dz2

= −m + mz2

(1 − z2)2v − mz

1 − z2

dv

dz− mz

1 − z2

(dv

dz+

mz

1 − z2v

)+ (1 − z2)m/2 d2P

(m)n

dz2

= −m + mz2(1 + m)(1 − z2)2

v − 2mz

1 − z2

dv

dz+ (1 − z2)m/2 d2P

(m)n

dz2

=⇒ (1 − z2)m/2 d2P(m)n

dz2=

d2v

dz2+

m + mz2(1 + m)(1 − z2)2

v +2mz

1 − z2

dv

dz

7

より

(44) × (1 − z2)m/2 =⇒ (1 − z2)d2v

dz2+

m + mz2 + m2z2

1 − z2v + 2mz

dv

dz

−2(m + 1)zdv

dz− 2(m + 1)mz2

1 − z2v + {n(n + 1) − m(m + 1)}v = 0

=⇒ (1 − z2)d2v

dz2− m2

1 − z2v − 2z

dv

dz+ n(n + 1)v = (1 − z2)

d2v

dz2− 2z

dv

dz+

{n(n + 1)v − m2

1 − z2

}v = 0 (45)

よって Pmn (z) = (1 − z2)m/2P (m)

n = (1 − z2)m/2 dmPn

dzmは微分方程式 (45)式を満たす。

次にルジャンドル陪関数の直交性を示す。

∫ 1

−1

Pm` Pm

n dz =∫ 1

−1

(1 − z2)m dmP`

dzm

dmPn

dzmdz =

[(1 − z2)m dm−1P`

dzm−1

dmPn

dzm

]1

−1︸ ︷︷ ︸=0

−∫ 1

−1

dm−1P`

dzm−1

{(1 − z2)m dmPn

dzm

}dz

ここで (44)式をm → m − 1としたものに両辺 (1 − z2)m−1 をかけると

(1 − z2)m d

dz

dmPn

dzm− 2m(1 − z2)m−1z

dmPn

dzm+ {n(n + 1) − m(m − 1)}(1 − z2)m−1 dm−1Pn

dzm−1

=d

dz

{(1 − z2)m−1 dm−1Pn

dzm−1

}+ {n(n + 1) − m(m − 1)}(1 − z2)m−1 dm−1Pn

dzm−1= 0 (46)

より

∫ 1

−1

Pm` Pm

n dz = {n(n + 1) − m(m − 1)}∫ 1

−1

(1 − z2)m−1 dm−1Pn

dzm−1

dm−1P`

dzm−1dz

= (n − m + 1)(n + m)∫ 1

−1

(1 − z2)m−1 dm−1Pn

dzm−1

dm−1P`

dzm−1dz

Pn, P`のm階微分を変形してm− 1階微分に書き換えたときに、積分の前に係数 (n−m + 1)(n + m)が出てきているので、Pn, P`のm−1階微分の式をm−2階微分の式に書き直したときには (n−(m−1)+1)(n+(m−1)) = (n−m+2)(n+m−1)が係数として新たに出てくる。

...∫ 1

−1

Pm` Pm

n dz = (n − m + 1)(n + m)∫ 1

−1

(1 − z2)m−1 dm−1Pn

dzm−1

dm−1P`

dzm−1dz

= (n − m + 1)(n − m + 2)(n + m)(n + m − 1)∫ 1

−1

(1 − z2)m−2 dm−2Pn

dzm−2

dm−2P`

dzm−2dz

= · · ·

= (n − m + 1)(n − m + 2) · · · (n − m + (m − 1))(n − m + m)(n + m)(n + m − 1) · · · (n + 1)∫ 1

−1

PnP` dz

= (n − m + 1)(n − m + 2) · · · (n − 1)n(n + m)(n + m − 1) · · · (n + 1)∫ 1

−1

PnP` dz

= (n + m) · · ·n(n − 1) · · · (n − m + 1)∫ 1

−1

PnP` dz =(n + m)!(n − m)!

∫ 1

−1

PnP` dz =︸︷︷︸(42)

22n + 1

(n + m)!(n − m)!

δ`n (47)

8

よってルジャンドル陪関数の直交性が示された。また、(31)式より

Pmn (−z) = (1 − z2)m/2 dm

d(−z)mPn(−z) = (1 − z2)m/2(−1)m dm

dz(−1)nPn(z) = (−1)m+nPm

n (z) (48)

Bibliography

[1] 田島 一郎, 近藤 次郎, ”改訂演習工科の数学 4 複素関数”, 培風館

[2] 中山 恒義, ”裳華房フィジックスライブラリー 物理数学 II”, 裳華房

[3] 福山 英敏, 小形 正男, ”基礎物理学シリーズ 3 物理数学 I”, 朝倉書店

[4] 東北大学理学部物理学科, 宇宙地球物理学科 波動論 (担当教官：柴田尚和) 授業プリント

9