北数教 第 91 回数学教育実践研究会 平成 26 年 11 月 29 日（土）

アスティ４５

- 1 -

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

m 2

n 4

ベータ関数とガンマ関数を視覚化する

自然数から正の実数そして複素数へ拡張する

松本睦郎（札幌北高等学校）

センター試験で良く利用される「ロクブンのイチ」と呼ばれる公式

න െݔ) െߚ)(ߙ ൌݔ(ݔ1

6െߚ) ଷ(ߙ

ఉ

ఈ

は、ベータ関数の仲間である。ベータ関数とガンマ関数と呼ばれる特殊関数を視覚化してみる。

Episode１ベータ関数の定義

ǡ 自然数

)ܤ ǡ ) ൌ න (ͳെ (ݐ ଵݐ�ଵ�ݐଵ

とするとき、

)ܤ ǡ ) =( െ ͳ)! (െ ͳ)!

( െ ͳ)!

Proof

部分積分法により

)ܤ ǡ ) = (ͳെ (ݐ ଵ ×ݐ

൨

ଵ

+ െ ͳ

න (ͳെ (ݐ ଶݐݐଵ

B( ǡ ) = െ ͳ

B( െ ͳǡ ͳ)

以下同様にして、この操作を繰り返す。

B( ǡ )

=( െ ͳ)( െ )ʹ( െ )͵⋯1

( ͳ)( )ʹ⋯ ( െ )ʹͳǡ)ܤ� െ ͳ)

B(ͳǡ െ ͳ) ൌ න ݐ ାଶݐൌ1

െ ͳ

ଵ

)ܤ ǡ )

=(െ ͳ)! ( െ ͳ)( െ )ʹ⋯1

( െ ͳ)( െ )ʹ⋯ ( )(െ ͳ)!

=( െ ͳ)! (െ ͳ)!

( െ ͳ)!

■

ǡ を正の実数に拡張すると、 ǡ を２変数関数

とする曲面が見られる。（↓）

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アスティ４５

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4 2 2 4

10

5

5

10

0 2 4 6 8 10 12 140

1

2

3

4

5

Episode2 ガンマ関数の定義

α > 0 に対して

Γ(ߙ) ൌ න ݔఈଵ௫ݔஶ

α = 4（↑） α = 10（↓）

例題 1

Table[Gamma[n],{n,1,7}]

{1,1,2,6,24,120,720}

定理

（ⅰ）Γ(ߙ)はα＞０で収束する。

（ⅱ）α＞０として、Γ(ߙ ͳ) ൌ (ߙ)Ȟߙ

（ⅲ）Γ( ͳ) ൌ Ǩ

例題２ αを有理数、負の有理数へと拡張する。

Ȟ൬െ1

2൰ൌ െ ߨʹ√ Ȟ൬

1

2൰ൌ ߨ√

αを負の実数（α≠－1,－2,－3,…）に拡張すると

y = Γ(ߙ)グラフは（↓）となる。

更に、αを複素数へ拡張してみる。（実数部↓）

Γ(ݏ (ݐ = ∫ ௦ݔ ଵା௧ሺ௦ା௧ሻݔஶ

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アスティ４５

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（虚数部↓）

（|Γ(ݏ （↓|(ݐ

Episode4 ベータ関数とガンマ関数の関係

定理

B(ߙǡߚ) =(ߚ)߁(ߙ)߁

ߙ)߁ (ߚ

２変数関数α，βを実数として、ベータ関数のグ

ラフを作製する。

α，βを複素数へ拡張してみる。β = −3.1として

グラフを作製した。（実数部↓）

（虚数部↓）

松本睦郎（札幌北高等学校）