Федеральное агентство по образованию

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК)

О.В.Исакова

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ

УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

Рекомендовано УМО по образованию в области геодезии и фотограмметрии в

качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению 120100 «Геодезия» и 120200 «Фотограмметрия и дистанционное зондирование».

2

Составитель – О.В.Исакова

Редактор – Г.А.Суворченкова

Расчётные задания и методические рекомендации для студентов по

самостоятельному изучению раздела высшей математики «Аналитическая

геометрия».– М.: Изд. МИИГАиК, 2011.

Данные методические указания к решению задач по аналитической

геометрии и расчётные индивидуальные задания написаны в соответствии с

утверждённой программой курса «Высшая математика», рекомендованы

кафедрой высшей математики, утверждены к изданию редакционно-

издательской комиссией геодезического факультета.

В методических указаниях содержаться 30 вариантов индивидуальных

расчётных заданий. Приводятся необходимые теоретические сведения,

проводится разбор решения типовых заданий, что позволяет студентам

самостоятельно работать над практическим материалом курса

«Аналитическая геометрия».

Рецензенты: доцент кафедры высшей математики А.О.Тимохина, ГСУВПО МГУПП

доцент кафедры высшей математики Л.А.Сайкова, МосГУГиК

Московский Государственный Университет геодезии и картографии, 2011

3

1. РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО РАЗДЕЛУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

I. Решить задачи по теме «Прямая на плоскости»:

1. Написать уравнение прямой, проходящей через точки А и B.

2. Через точку С провести прямую, параллельную прямой АВ.

3. Найти расстояние от точки К(7, -8) до прямой АВ.

4. Даны вершины треугольника А, B, С. Найти:

а) длины сторон;

б) уравнения сторон;

в) уравнение высоты BD;

г) уравнение медианы AF;

д) длину медианы AF;

е) уравнение биссектрисы CE;

ж) площадь треугольника ABC;

з) угол С.

5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку Р(4, 3) и через

точку пересечения прямых АВ и ВС.

6. Найти ординату точки М, лежащей на прямой, проходящей через точки

А и B, если абсцисса точки М: х=3.

7. Написать уравнение прямой, проходящую через точку пересечения

прямых АВ и 042 yx и параллельной прямой 0132 yx .

Для выполнения расчётной работы из таблицы надо выбрать точки в

соответствии с номером своего варианта.

№ варианта А B C

1 (-1, 4) (3, 0) (-1, 2)

2 (-2, 0) (4, -2) (-1,-3)

3 (1, 3) (-2, -2) (-2, 0)

4 (-2, 1) (-1,-1) (-1, 4)

5 (1,-2) (3, -1) (-2, 3)

6 (4, 3) (0,-4) (2,-2)

7 (4, 1) (2, 4) (0,-4)

8 (-3, 2) (1,-4) (-2, 3)

9 (0, 4) (-4, 3) (-4, 1)

10 (-2, 2) (3, 3) (4,-3)

11 (2, -3) (1, 4) (-2, 1)

12 (4, 1) (-2, 5) (1,-2)

13 (0,-2) (0, 3) (-1, 3)

14 (3, 1) (1, 5) (2, 0)

15 (1,-2) (2, 5) (1,-4)

16 (-2, 4) (2, 2) (0, 3)

17 (-4, 2) (3,-1) (2,-2)

4

18 (5,-1) (1,-2) (2, 2)

19 (3,-1) (3, 1) (1, 1)

20 (2, 2) (0,-2) (-3, 1)

21 (2, 5) (-4, 2) (0, 4)

22 (1, 5) (-2, 4) (4,-2)

23 (0, 3) (4, 1) (3,-4)

24 (-2, 5) (2,-3) (-1, 4)

25 (1, 4) (-2, 2) (-3, 3)

26 (3, 3) (0, 4) (1,-4)

27 (-4, 3) (-3, 2) (5,-2)

28 (1,-4) (4, 1) (3, 0)

29 (2, 4) (4, 3) (5,-1)

30 (0, -4) (1,-2) (5,-2)

II. Решить задачи по теме «Прямая и плоскость в пространстве»:

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C.

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку D,

параллельно плоскости ABC.

3. Найти угол между плоскостями ABC и BDF.

4. При каком значении параметра угол между плоскостями 08 zх

и BDF будет равен 60 .

5. Написать канонические и параметрические уравнения прямой,

проходящей через точки A и B.

6. Найти проекцию точки Е на плоскость ABC.

7. Написать канонические и параметрические уравнения прямой,

заданной пересечением плоскостей ABC и BDF.

8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А и

перпендикулярной прямой, полученной в задаче №7 .

9. Найти расстояние от точки А до прямой, проходящей через точки B и

D.

10. Найти расстояние от точки А до плоскости BDF.

11. При каком α прямая DЕ параллельна плоскости 012 zyx .

12. Найти угол между прямой AB и плоскостью BDF.

13. Найти угол между прямыми AB и BD.

14. Найти при каких α и β прямая

1

2

12

zyx перпендикулярна

плоскости ABC.

15. Найти проекцию точки Е на прямую BD.

16. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямые AB и СD.

17. Найти расстояние между прямыми AB и DЕ.

5

Для выполнения расчётной работы из таблицы надо выбрать точки в

соответствии с номером своего варианта.

№ варианта А B C D E

1 (-3, 2, 1) (1, 2, 0) (1, 0, 4) (1, -1, 3) (3, 0, 1)

2 (2, 1, -3) (1, -2, -1) (4, 3, 1) (1, -3, 1) (-1, 1, 1)

3 (1, 2, -3) (1, 5, -1) (-2, 2, 1) (-2, 4, -1) (-1, 4, 0)

4 (1, 2, 2) (1, 5, 1) (1, 3, 1) (2, -1, -2) (3, 0, 1)

5 (1, 2, 4) (-1, -1, 3) (3, 2, 1) (2, 5, 2) (-2, 1, 1)

6 (-2, 3, 2) (-1, 1, 2) (0, 2, 1) (-2, 1, 2) (2, -1, 1)

7 (3, -1, 4) (2, 3, 1) (-1, 2, 3) (1, 2, 2) (1, -1, 2)

8 (-1, 2, -3) (1, 3, -2) (-1, 3, 0) (1, -3, -1) (1, 1, 1)

9 (2, -1, 1) (-2, 1, 0) (-4, 1, -1) (1, -4, 2) (-2, 1, 3)

10 (1, -2, -3) (-1, 1, 2) (-3, 2, 0) (2, -5, 1) (2, 0, 1)

11 (-3, 2, 0) (0, 4, 1) (-1, 4, 1) (-1, 1, 1) (3, 1, 0)

12 (1, 2, 1) (-1, 3, 1) (1, 4, -2) (0, -2, 2) (3, 1, -1)

13 (-3, 0, 1) (1, 1, 2) (-1, 2, 4) (-1, -2, 2) (4, 1, 1)

14 (-1, 3, -2) (4, 3, 1) (-4, 3, 1) (1, 2, 2) (1, 3, -2)

15 (-3, 4, 2) (-2, 2, 1) (-3, 2, 1) (0, 3, 1) (1, -1, 2)

16 (2, 1, -1) (1, 0, 1) (4, 3, -1) (1, -3, 2) (-2, 1, 0)

17 (-2, 3, 1) (2, 2, 0) (-1, 1, 2) (1, 1, 0) (3, -1, -1)

18 (1, 2, 3) (-2, 1, 2) (2, 2, 2) (2, -2, 0) (1, -3, 2)

19 (-2, 2, -3) (-3, 1, 1) (-4, 4, 1) (1, -1, -3) (2, 3, 1)

20 (1, -2, 3) (2, -5, 1) (-3, -1, 2) (1, -3, -1) (2, 0, -2)

21 (2, 4, -1) (1, 2, 1) (-1, 3, -1) (1, 3, -1) (4, 1, 0)

22 (2, 1, -1) (3, 2, 1) (1, 1, 1) (3, -1, 1) (-2, 0, 1)

23 (-3, 0, 4) (-1, 1, 1) (-2, 1, 3) (1, 2, 2) (-1, 1, 2)

24 (-1, 2, -3) (3, 2, 1) (4, 2, 0) (0, 3, 1) (1, -1, -1)

25 (-2, 0, 3) (1, 2, 1) (-2, 3, 1) (-2, -3, 3) (2, -1, 0)

26 (-2, -3, 1) (-1, -2, 3) (-4, -2, 2) (0, 3, -1) (2, 1, -3)

27 (1, 0, -3) (5, 1, 1) (-2, 1, 1) (1, 3, 1) (4, 4, 0)

28 (-1, 2, 3) (1, 1, 4) (1, 3, 4) (1, 3, 4) (-4, 0, 3)

29 (-3, 2, 1) (-2, 1, 3) (1, 3, 2) (1, -1, 2) (4, 2, 1)

30 (2, 3, -1) (3, 1, 1) (-3, 0, 1) (-1, 1, 1) (-4, 1, 2)

III. Решить задачи по теме «Кривые второго порядка»:

Привести уравнение, выбранное из таблицы в соответствии с номером

своего варианта, к каноническому виду, определить все характеристики

кривой и построить её график.

6

№

варианта Уравнение кривой №

варианта Уравнение кривой

1 0100364094 22 yxyx 16 03212834 22 yxyx

2 01276454169 22 yxyx 17 0144622 yxyx

3 012522 yxyx 18 03284 22 yxyx

4 03679032169 22 yxхy 19 019389049 22 yxyx

5 01561022 yxyx 20 0151141022 yxyx

6 01615464916 22 yxyx 21 09183095 22 yxyx

7 0116832 22 yxyx 22 0144222 yxyx

8 0204222 yxyx 23 03281243 22 yxyx

9 01991864916 22 yxyx 24 02422 хyx

10 0426122 yxx 25 011181649 22 yxхy

11 0284100322516 22 yxyx 26 0461032 yxy

12 0256162 yxy 27 04981849 22 yxyx

13 03673290169 22 yxyx 28 052422 yxyx

14 01996418916 22 yxхy 29 091896916 22 yxyx

15 09301859 22 yxyx 30 08442 yxx

2. РАЗБОР ТИПОВЫХ ЗАДАЧ.

Прямая на плоскости.

Задача 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точки )3;1( A и

)1;5(B .

Решение.

Уравнение прямой, проходящей через точки );( 111 yxM и );( 222 yxM :

12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

Тогда уравнение прямой АВ:

31

3

15

1

yx

4

3

4

1

yx 31 yx 04 yx .

Ответ: 04 yx .

7

Задача 2. Даны вершины треугольника )2;4(),6;2(),0;2(: CBAABC .

Написать уравнение высоты BD.

Решение.

Высота BD – прямая, проходящая через точку В

перпендикулярно прямой АС.

Уравнение прямой АС:

24

2

02

0

xy

6

2

2

xy 23 xy 023 yx

3

2

3

1 xy .

Уравнение прямой, проходящей через точку );( 000 yxM перпендикулярно

прямой bkxy : )(1

00 xxk

yy .

Тогда уравнение высоты BD: )2(36 xy => 636 xy <=>

0123 yx .

Ответ: 0123 yx .

Задача 3. Найти расстояние между параллельными прямыми

1: 0632 yx и 2: 02564 yx .

Решение.

Две прямые 0111 CyBxA и 0222 CyBxA параллельны, если

их векторы нормалей );( 111 BAN и );( 222 BAN коллинеарны, т.е. 2

1

2

1

B

B

A

A

(если это отношение ещё равно 2

1

C

C, то прямые совпадают).

1 2, т.к. 25

6

6

3

4

2

.

Легко подобрать точку, лежащую, например, на 1:

Пусть 0y 062 x 3x )0;3(1M 1.

8

Расстояние от точки );( 000 yxM до прямой 0 CByAx вычисляется по

формуле 22

00

0 )(BA

CByAxMd

.

В задаче 2

13

52

13

3616

250634)( 1

Md - расстояние от точки

1M до

прямой 2. Оно совпадает с расстоянием между 1и 2.

Ответ: 2

13d .

Задача 4. Найти проекцию М точки )12;8(P на прямую, проходящую

через точки )3;2( A и )1;5(B .

Решение.

Проекция М точки Р на прямую АВ является

точкой пересечения перпендикулярной к АВ

прямой РМ с прямой АВ.

Уравнение АВ: 31

3

25

2

yx

4

3

7

2

yx

21784 yx 1374 yx 7

13

7

4 xy .

Прямая, перпендикулярная АВ и проходящая через Р, имеет вид:

)8(4

712 xy 567484 xy 010447 yx

Найдем точку М пересечения прямых АВ и РМ, то есть решим систему:

10447

1374

yx

yx

Умножим первое уравнение на 4, второе на 7 и сложим:

78065728524916 xxx

12x => 5y . Координаты точки )5;12(M .

9

Ответ: )5;12(M .

Задача 5. Написать уравнение биссектрисы угла А в треугольнике АВС,

вершины которого А(2; 1), В(-2; 4) и С(10; 7).

Решение.

Уравнение АВ: 14

1

22

2

yx

3

1

4

2

yx )1(4)2(3 ух

4463 yx 01043 yx

Уравнение АС: 17

1

210

2

yx

6

1

8

2

yx )1(8)2(6 ух

88126 yx 0486 yx 0243 yx

Биссектриса – это есть геометрическое место точек, равноудалённых от

сторон угла. Поэтому приравниваем расстояния от точки М (х, у) до прямых

АВ и АС.

169

1043 ух

169

243

ух

Учитывая, что отклонения точек В и С от биссектрисы должны быть разных

знаков, получим

5

243

5

1043

yхуx 2431043 ухух 0126 х

2х

Ответ: х = 2.

Задача 6. Через точку А(2;-3) провести прямую, параллельную прямой,

проходящей через точки В(3;-4) и С(-3; 4).

Решение.

Уравнение ВС: 44

4

33

3

yx

8

4

6

3

yx

)4(6)3(8 ух 246248 yx 068 yx 034 yx

10

У параллельной прямой коэффициенты при х и у должны быть такие же, а

свободный член неизвестен, т.е.

034 Dyx

Подставим координаты точки А(2;-3):

0)3(324 D 1D

Тогда искомая прямая имеет вид

0134 yx

Ответ: 4х +3у +1 = 0.

Прямая и плоскость в пространстве.

Задача 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки

)0;2;1(1M , )1;1;2(2M , )1;0;3(3M .

Решение.

Возьмём точку );;( zyxM . Векторы

21ММ , 31 ММ и ММ1 компланарны,

следовательно, их смешанное произведение

равно 0.

0),,( 31211 ММММММ ,

=> 0

122

111

21

zyx

<=>

.03

00)2()1(

ух

zyx

Ответ: .03 ух

Задача 2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Р(1; -1; 2)

перпендикулярно вектору AB , если )0;4;2( A , )1;2;1( B .

zyxММ

ММ

ММ

;2;1

1;2;2

1;1;1

1

31

21

11

Решение.

Вектор AB , перпендикулярный исходной плоскости, берем в

качестве вектора нормали 1;2;1 ABN .

Тогда уравнение плоскости с заданным вектором нормали );;( CBAN ,

проходящей через точку );;( 0000 zyxM :

0)()()( 000 zzCyyBxxA .

Искомая плоскость:

.012

02221

0)2()1(2)1(

zyx

zyx

zyx

Ответ: x - 2y - z - 1 = 0 .

Задача 3. Пересекает ли плоскость 015325 zyx отрезок АВ, концы

которого )4;2;3(A и )6;2;5(B ?

Решение.

Если плоскость пересекает отрезок, то отклонения точек концов

отрезка должны быть разных знаков; если не пересекает, то знаки

отклонений должны быть одинаковые.

От общего уравнения перейдем к нормальному уравнению плоскости:

015325 zyx

3894253;2;5 NN

Для получения нормального уравнения обе части общего уравнения

умножаем на нормирующий множитель 38

11

N , причем

Csgnsgn , т.е. на 38

1 .

12

038

18

38

1518425

38

156

38

32

38

2)5(

38

5)(

038

16

38

1512415

38

154

38

32

38

23

38

5)(

038

15

38

3

38

2

38

5

B

A

zyx

Ответ: плоскость пересекает отрезок АВ.

Задача 4. Найти объем пирамиды и площади треугольников, отсекаемых

плоскостью 024643 zyx от координатных осей.

Решение.

От общего уравнения плоскости 024643 zyx перейдем к

уравнению плоскости в отрезках:

1468

124

6

24

4

24

324643

zyx

zyxzyx

Тогда Vпир. = 324686

1 (кв.ед.)

.1246

2

1

;16482

1

;24682

1

yoz

xoz

xoy

S

S

S

Ответ: Vпир. = 32;

.12;16;24 yozxozxoy SSS

Задача 5. Написать уравнение плоскости , параллельной оси ОХ и

проходящей через точки )3;1;0(1M и )5;4;2(2M .

Решение.

13

Если плоскость параллельна какой-либо прямой, то она параллельна

направляющему вектору этой прямой.

Направляющий вектор оси ОХ это )0;0;1(i

. Вектор )2;3;2(21 MM . Таким

образом, можно взять точку );;( zyxM и вектор MM1 (или MM 2 )

соответственно. Тогда векторы i , 21MM и MM1 компланарны и

0

232

001

31

zyx

0732 zy .

Ответ: π: 2у – 3z + 7 = 0.

Задача 6. Написать уравнение плоскости , параллельной плоскости

0543 zyx и проходящей через точку )2;2;1( P .

Решение.

Две плоскости 01111 DzCyBxA и 02222 DzCyBxA

параллельны, если векторы 1N и 2N - коллинеарны, т.е. 2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A (если

ещё =2

1

D

D, то плоскости совпадают).

Тогда уравнение искомой плоскости : 043 Dzyx . Для

определения D подставим в уравнение координаты точки P .

1308230)2(42)1(3 DDD

Следовательно, 01343 zyx .

Ответ: : 01343 zyx .

Задача 7. Найти расстояние между параллельными плоскостями

012:1 zyx и 01224:2 zyx .

14

Решение.

Подберём произвольным образом точку, принадлежащую плоскости 1 .

Пусть )1;2;1(1M 1 , то есть если подставить ее координаты в

00011212:1 .

Формула расстояния от точки );;( 0000 zyxM до плоскости

0 DCzByAx :

22200 )()(

CBA

DCzByAxMMd

Тогда расстояние от 1M до 2 :

62

3

24

3

24

3

4416

1244

)2(2)4(

1122214)(

2221

Md .

Ответ: 62

3d .

Задача 8. Найти угол между двумя плоскостями 015325:1 zyx и

03:2 zx .

Решение.

Векторы нормалей 3;2;51 N и 1;0;32 N .

Угол между плоскостями понимается как острый угол, тогда:

95

6arccos

95

6

5192

12

1038

12

199425

3015cos

21

21

NN

NN

.

Ответ: .95

6arccos

15

Задача 9. Найти канонические и параметрические уравнения прямой,

проходящей через точки )3;2;1(1 M и )5;2;3(2 M .

Решение.

Канонические уравнения прямой, проходящей через две точки:

12

1

12

1

12

1

zz

zz

yy

yy

xx

xx

.

В нашем случае: 8

3

0

2

4

1

35

3

22

2

13

1

zyxzyx.

Параметрические уравнения:

tz

ty

tx

8

3

0

2

4

1

38

2

14

tz

y

tx

Ответ:

8

3

0

2

4

1

zyx

,

38

2

14

tz

y

tx

.

Задача 10. Написать канонические и параметрические уравнения прямой:

04523

0432

zyx

zyx.

Решение.

Направляющий вектор искомой прямой 21 NNS .

kji

kji

S 8144

523

321

.

16

Точка на прямой выбирается произвольным образом. Пусть, например,

0z , тогда

0423

042

yx

yx. Сложив уравнения, получим

12084 yxx . Получим точку (2; -1; 0).

Тогда канонические уравнения

47

1

2

2

8

0

14

1

4

2 zyxzyx

.

Параметрические уравнения

tz

ty

tx

4

7

1

2

2

tz

ty

tx

4

17

22

Ответ: 47

1

2

2 zyx

,

tz

ty

tx

4

17

22

.

Задача 11. Найти угол между прямыми

32

53:

xz

xy и

1:

z

xy.

Решение.

Запишем общие уравнения прямых в виде:

032

053:

zx

yx и

01

0:

z

yx.

ji

kji

Skji

kji

S

100

01123

102

013 21

Угол между прямыми – это острый угол между их направляющими

векторами.

17

7

72

7

2

214

4

11491

02)1(3)1(1cos

21

21

SS

SS

Ответ: .

7

72arccos

Задача 12. Через точку )3;2;1( P провести прямую, параллельную прямой

42

2

12

tz

ty

tx

.

Решение.

У параллельных прямых направляющие векторы коллинеарны.

Тогда )2;1;2(S направляющий вектор искомой прямой.

Ответ: Канонические уравнения искомой прямой: 2

3

1

2

2

1

zyx.

Задача 13. Найти угол между прямой

053

032:

yx

zyx и плоскостью

01236: zyx .

Решение.

Острый угол φ между прямой и плоскостью – это дополнительный угол к

углу между направляющим вектором прямой S и вектором нормали N , то

есть

2

. Тогда

cos)2

cos(sin .

NS

NS

cossin

Замечание: модуль в формуле позволяет определить

как острый угол.

Найдем направляющий вектор прямой

18

kji

kji

NNS 73

031

11221 .

Вектор нормали плоскости )2;3;6( N . Тогда

59

59

597

7

4959

14318

49364919

721363sin

.

Ответ:

.59

59arcsin

Задача 14. Провести прямую через точку )3;2;1( A перпендикулярно

плоскости 0423 zyx .

Решение.

У перпендикулярной прямой направляющий

вектор )1;2;3( NS равен вектору нормали

плоскости. Тогда канонические уравнения

прямой 1

3

2

2

3

1:

zyxAM .

Ответ: .1

3

2

2

3

1

zyx

Задача 15. Найти проекцию точки )1;3;4( A на плоскость 032: zyx .

Решение.

Проекцией точки А на плоскость

будет точка пересечения прямой AM с

плоскостью , AM .

У перпендикулярной прямой направляющий

вектор S равен вектору нормали N

плоскости. )1;2;1( NS . Тогда

канонические уравнения прямой AM :

19

)(1

1

2

3

1

4t

zyx

или в параметрическом виде:

1

32

4

tz

ty

tx

.

Подставим zyx ,, в уравнение плоскости 032 zyx и найдём значение

t , общее для прямой и плоскости.

1066

03164403)1()32(24

tt

tttttt.

Подставим найденное 1t в параметрические уравнения и найдем точку

пересечения прямой AM с плоскостью : {

011

)0;1;5(132

541

z

My

x

Ответ: М(5;-1; 0).

Задача 16. Написать уравнение плоскости , проходящей через точку

)4;1;2( A и перпендикулярной прямой 1

4

3

1

2

1

zyx.

Решение.

Вектор нормали искомой плоскости равен направляющему вектору

прямой, то есть )1;3;2( SN .

Тогда уравнение искомой плоскости:

0)()()( 000 zzCyyBxxA , т.е.

0332

043342

0)4()1(3)2(2

zyx

zyx

zyx

Ответ: : 0332 zyx .

Задача 17. Найти расстояние от точки )4;2;1( B до прямой

20

2

4

4

3

1

1:

zyx.

Решение.

Прямая и точка А лежат в одной плоскости. На

прямой заданы ее направляющий вектор )2;4;1(S и

точка )4;3;1(A .

Можно найти вектор )0;5;2( AB . Тогда расстояние

от точки В до прямой является высотой

треугольника, т.е. S

ABSd

21416113410

241

052 Skji

kji

ABS

Тогда 7

95

21

285

21

16916100

d .

Ответ: .

7

95d

Задача 18. Найти расстояние между параллельными прямыми

1

5

1

1

2

2:

zyx и 2

2

2

3

4

1:

zyx.

Решение.

Направляющие векторы прямых и :

2;2;4

1;1;2

2

1

S

S21 || SS прямые

параллельны или совпадают.

21

Точки на прямых )5;1;2(1A ,

)2;3;1(2A так как 2A

),1

52

2

13

2

21(

то и параллельны. Параллельные прямые

лежат в одной плоскости.

Тогда расстояние между параллельными прямыми равно длине

перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую,

например, из точки )5;1;2(1 A , т.е. 1

121

S

SAAd

.

Тогда )3;4;1(21 AA

6

155

6

155

114

812549957

341

112121

dkji

kji

SAA .

Ответ:

.6

155d

Задача 19. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми

1

5

2

1

1

2:

zyx и

2

1

4

3

1

1:

zyx.

Решение.

На каждой прямой уравнения задают

направляющие векторы )2;4;1();1;2;1( 21 SS

и точки )1;3;1(),5;1;2( 21 AA . Если прямые

скрещиваются, то векторы 2112 ,, SSAA не лежат в одной плоскости и тогда их

смешанное произведение не равно нулю. Если прямые пересекаются, то

смешанное произведение равно нулю. Найдём ),6;4;3(12 AA тогда

22

081281212424

643

241

121

),,( 1221

AASS

Следовательно, прямые скрещиваются.

Расстояние между прямыми – высота параллелепипеда, построенного на

векторах 1221 ,, AASS , т.е.

21

1221 ),,(

SS

AASSd

kji

kji

SS 20

241

12121

Итак, 5

58

5

8

41

8

d .

Ответ:

.5

58d

Кривые второго порядка.

Задача 1. Привести уравнение 09183095 22 yxyx к каноническому

виду, найти фокусы, эксцентриситет и построить кривую.

Решение.

Выделим полные квадраты относительно х и у:

Это эллипс; центр эллипса (3;-1), полуоси 5,3 ba .

15

)1(

9

)3(

45)1(9)3(5

099)1(945)3(5

09)112(9)996(5

09189)305(

22

22

22

22

22

yx

yx

yx

yyxx

yyxx

23

Параметры эллипса: фокус: 25922 baс .

Эксцентриситет: 13

2

a

c . Фокусы )1;5(),1;1( 21 FF .

Задача 2. Привести уравнение 02183045 22 yxyx к каноническому

виду, найти фокусы, эксцентриситет, асимптоты и построить кривую.

Решение.

Выделим полный квадрат относительно х и у:

15

)1(

4

)3(

20)1(4)3(5

0214)1(445)3(5

021)112(4)996(5

021)84()305(

22

22

22

22

22

yx

yx

ух

yyxx

yyxx

Это гипербола с центром (-3;1),

5,2 ba .

Фокусы: 34522 abс

)1;6(),1;0( 21 FF

24

Эксцентриситет: 12

3

a

c .

Задача 3. Привести уравнение 014122 2 yxy к каноническому виду,

найти характеристики и построить кривую.

Решение.

Выделяем полный квадрат только относительно у:

014122 2 yxy

)4(2

1)3(

4)3(2

1418)3(2

14)996(2

14122

2

2

2

2

2

xy

xy

xy

xyy

xyy

Это парабола с вершиной в точке (-4; 3). Параметр 4

1p .

23

076

014122

0

2,1

2

2

y

yy

yy

x

Задача 4. Привести уравнение 026222 yxyx к каноническому

виду, изобразить кривую.

Решение.

25

Выделим полный квадрат относительно х и у: 026222 yxyx

8)3()1(

029)3(1)1(

02)996()112(

22

22

22

yx

yx

yyxx

Окружность радиуса 22 с центром в

точке )3;1( .

26

3. Литература.

1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. –

М.: Айрис пресс, 2004.

2. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. Учебное

пособие для ВТУЗ-ов. – СПб.: Профессия, 2002.

3. Данко П.Е., Попов Ф.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в

упражнениях и задачах. В 2-х ч.Ч. 1. – М.: Высшая школа, 1986.

4. Ефимов А.В., Демидович Б.П. Сборник задач по математике для

ВТУЗ-ов. –М.: Наука, 1981.

Содержание.

1. Расчётные задания………………………………………………………….

2. Разбор типовых задач………………………………………………………

3. Литература…………………………………………………………………..

Составитель – О.В.Исакова

Редактор – Г.А.Суворченкова