01.12.2009, 06- logik als grundlage des semantic web
DESCRIPTION
In dieser 'Semantic Web' Vorlesung wird die Logik als Grundlage des Semantic Web adressiert. Themen sind dabei:- Logik- Aussagenlogik- Prädikatenlogik- Normalisierung- ResolutionTRANSCRIPT
Vorlesung
Dr. Harald Sack
Hasso-Plattner-Institut für Softwaresystemtechnik
Universität Potsdam
Wintersemester 2009/10
Semantic Web
Blog zur Vorlesung: http://sewe0910.blogspot.com/Die nichtkommerzielle Vervielfältigung, Verbreitung und Bearbeitung dieser Folien ist zulässig (Lizenzbestimmungen CC-BY-NC).
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
1. Einführung
2. Semantic Web BasisarchitekturDie Sprachen des Semantic Web - Teil 1
3. Wissensrepräsentation und LogikDie Sprachen des Semantic Web - Teil 2
4. Ontology Engineering
5. Semantic Web Applications
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Semantic Web - Vorlesungsinhalt
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Semantic Web Architektur3
URI / IRI
XML / XSDData Interchange: RDF
RDFS
Ontology: OWL Rule: RIF
Query:SPARQL
Proof
Unifying Logic
Cry
pto
Trust
Interface & Application
3. Wissensrepräsentation und Logik
Ontology-Level
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41.12.2009 – Vorlesung Nr. 61 2 3 4 5 7 8 9 1110 12
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3. Wissensrepräsentation und LogikDie Sprachen des Semantic Web - Teil 2
3.1.Ontologien in der Philosophie und der Informatik
3.2.Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
3.3.RDFS-Semantik
3.4.Beschreibungslogiken
3.5.OWL und OWL-Semantik
3.6.Regeln mit RIF/SWRL
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Semantic Web - Vorlesungsinhalt
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3. Wissensrepräsentation und Logik3.1 Ontologien in Philosophie und Informatik
Logik zur Formalisierungontologischer Modelle
3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
3.2.1 Logik Grundlagen
3.2.2 Modelltheoretische Semantik
3.2.3 Normalformen
3.2.4 Resolution
3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
A friend of Einstein‘s, Kurt Gödel found a hole in the center of Mathematics...
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Logik – Grundlagen■ nur knappe und informelle Wiederholung
□ siehe Bachelorstudium Mathematik I, etc.
■ im Weiteren Verlauf wird ein solides Verständnis der Grundlagen der Logik vorausgesetzt, daher bitte selbstständig wiederholen
□ siehe auch
U. Schöning: Logik für Informatiker, Spektrum Akademischer Verlag, 5. Aufl. 2000.
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Logik – Grundlagen■Wortherkunft: λογος =[griech.] Wort, Lehre, Rede,...
■ Definition (für unsere Vorlesung):Logik ist die Lehre vom formal korrekten Schließen.
■Warum „formale Logik“?--> Automatisierbarkeit!
■ Konstruktion einer „Rechenmaschine“ für Logik
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Logik – Grundlagen
"... omnes humanas ratiocinationes ad calculum aliqvem characteristicum qvalis in Algebra combinatoriave arte et numeris habetur, revocandi, qvo non tantum certa arte inventio humana promoveri posset, sed et controversiae multae tolli, certum ab incerto distingvi, et ipsi gradus probabilitatum aestimari, dum disputantium alter alteri dicere posset: calculemus."
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
aus einem Brief an Ph. J. Spencer, Juli 1687
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Logik – Grundlagen
„alle menschlichen Schlussfolgerungen müssten auf irgendeine mit Zeichen arbeitende Rechnungsart zurückgeführt werden, wie es sie in der Algebra und Kombinatorik und mit den Zahlen gibt, wodurch nicht nur mit einer unzweifelhaften Kunst die menschliche Erfindungsgabe gefördert werden könnte, sondern auch viele Streitigkeiten beendet werden könnten, das Sichere vom Unsicheren unterschieden und selbst die Grade der Wahrscheinlichkeiten abgeschätzt werden könnten, da ja der eine der im Disput Streitenden zum anderen sagen könnte: Lasst uns doch nachrechnen!“
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
aus einem Brief an Ph. J. Spencer, Juli 1687
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Logik – Grundlagen■ Syntax: Zeichen ohne Bedeutung
definiert Regeln, wie zulässige Zeichenfolgen gebildet werden dürfen
■ Semantik: Bedeutung der Syntax definiert Regeln, wie die Bedeutung von komplexen Zeichenfolgen aus der Bedeutung von atomaren Zeichenfolgen abgeleitet werden kann
If (i<0) then display (“negatives Guthaben!“)
Zuweisung vonBedeutung
Syntax
Bedeutung, z.B. ‘die reale Welt‘
Gebe die Meldung “negatives Guthaben!“ aus,wenn der Kontostand i unter 0 Euro sinkt.
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Was ist Semantik■ Bsp.: Programmiersprachen
Berechnung der Fakultät
Syntax
Intendierte Semantik
€
f : n → n!formale Semantik
Verhalten des Programmsbei der Ausführung
Prozedurale Semantik
FUNCTION f(n:natural):natural;BEGIN IF n=0 THEN f:=1 ELSE f:=n*f(n-1);END;
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Was ist Semantik■ Modelltheoretische Semantik
■ Modelltheoretische Semantik nimmt die semantische Interpretation künstlicher und natürlicher Sprachen dadurch vor, indem sie „Bedeutung mit genau definierter Interpretation in einem Modell gleichsetzt“
■ = formale Interpretation in einem Modell
■ z.B. modelltheoretische Semantik für Aussagenlogik
■ Zuweisung von Wahrheitswerten „wahr“ und „falsch“ zu Prädikatsymbolen und
■ Beschreibung der Junktoren durch Wahrheitswertetafeln
Alfred Tarski(1901-1983)
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Wie funktioniert Logik?■ Jede Logik L:=(S,⊨) besteht aus einer Menge von
Sätzen S und einer Schlussfolgerungsrelation ⊨
■ Sei Φ ⊆ S und φ ∈ S :
■ „ φ ist eine logische Konsequenz von Φ“ oder„aus den Sätzen von Φ folgt der Satz φ“
■ Gilt für 2 Sätze φ,ψ ∈ S sowohl {φ} ⊨ ψ als auch {ψ} ⊨ φ, Dann sind die Sätze φ und ψ logisch äquivalent
Φ ⊨ φ
φ≡ψ
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Aussagenlogik (Propositional Logic)■ Bereits in der griechischen Antike legen Philosophen
der Stoa die Grundlagen für die Aussagenlogik
■ Chryssipos von Soli beschreibt im 3. Jhd. v. Chr.in seiner „grammatikalischen Logik“ eine erste vollständige Junktorenlogik
■ George Boole beschreibt die heutige Aussagenlogik 1854 in seinem Werk„An Investigation of the Laws of Thought“
Chryssipos von Soli(281-208 v. Chr.)
George Boole(1815-1864)
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Aussagenlogik (Propositional Logic)
■ Erzeugungsregeln für Sätze:
■ alle atomaren Propositionen sind Sätze (p,q,...)
■ ist φ ein Satz, dann auch ¬φ
■ sind φ und ψ Sätze, dann auch φ∧ψ, φ∨ψ, φ→ψ, φ↔ψ
■ Präzedenzen: ¬ vor ∧,∨ vor →, ↔
Junktor Name Intuitive Bedeutung
⌐ Negation „nicht“
∧ Konjunktion „und“
⋁ Disjunktion „oder“
→ Implikation „wenn – dann“
↔ Äquivalenz „genau dann, wenn“
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Aussagenlogik (Propositional Logic)
• Formulierung von Sachverhalten
Einfache Aussagen Modellierung
Die Sonne ist grün g
Es regnet r
Die Straße wird nass n
Zusammengesetzte Aussagen Modellierung
Wenn es regnet, dann wird die Straße nass r n
Wenn es regnet und die Straße nicht nass wird, dann ist die Sonne grün (r ∧ ⌐n) g
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Prädikatenlogik erster Stufe (First Order Logic, FOL)■ Erste Ansätze einer Verallgemeinerung der
Aussagenlogik finden sich bereits bei Aristotelesin seinen Syllogismen
Aristoteles(384-322 v. Chr)
source: wikipedia.org
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Prädikatenlogik erster Stufe (First Order Logic, FOL)
■ Gottlob Frege entwickelte und formalisierte ein prädikatenlogisches System in seiner 1879 erschienenen Begriffsschrift(Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebiltete Formelsprache des reinen Denkens, 1879)
■ Charles Sanders Peirce entwickelte gemeinsam mit seinem Studenten O.H. Mitchell unabhängig von Fregeeine vollständige Syntax für eine Quantorenlogik in der heute üblichen Notation
Gottlob Frege(1848-1925)
Charles Sanders Peirce(1839-1914)
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Prädikatenlogik erster Stufe (First Order Logic, FOL)
□ Junktoren wie in der Aussagenlogik
□ Variablen, z.B. X,Y,Z,…
□ Konstantensymbole, z.B. a, b, c, …
□ Funktionssymbole, z.B. f, g, h, … (mit Stelligkeit)
□ Relations-/Prädikatssymbole, z.B. p, q, r, … (mit Stelligkeit)
(∀X)(∃Y) ((p(X)∨ ¬q(f(X),Y))→ r(X))
Quantor Name Intuitive Bedeutung
∃ Existenzquantor „es existiert“
∀ Allquantor, Universalquantor
„für alle“
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
FOL: Syntax■ „richtiges“ Formen von Termen aus Variablen, Konstanten- und
Funktionssymbolen:
□ f(X), g(a,f(Y)), s(a), .(H,T), x_location(Pixel)
■ „richtiges“ Formen von Atomen aus Relationssymbolen, deren Argumente Terme sind:
□ p(f(X)), q (s(a),g(a,f(Y))), add(a,s(a),s(a)), greater_than(x_location(Pixel),128)
■ „richtiges“ Formen von Formeln aus Atomen, Junktoren und Quantoren:
□ (∀Pixel) (greater_than(x_location(Pixel),128) → red(Pixel) )
■ Im Zweifelsfall klammern! Alle Variablen quantifizieren!
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Prädikatenlogik erster Stufe (First Order Logic, FOL)■ Formulierung von Sachverhalten
■ „alle Kinder lieben Eiscreme.“∀X: Kind(X) → liebtEiscreme(X)
■ „der Vater einer Person ist deren männlicher Elternteil.“∀X ∀Y: Vater(X,Y) ↔ (männlich(X) ∧ Elternteil(X,Y))
■ „Es gibt eine (oder mehrere) Vorlesung(en), die interessant ist(sind).“∃X: Vorlesung(X) ∧ istInteressant(X)
■ „Die Relation ,istNachbar‘ ist symmetrisch.“∀X ∀Y: istNachbar(X,Y) → istNachbar(Y,X)
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
FOL: Beispiel Addition
(∀X)(∀Y)(∀Z)
( add(a,X,X)
∧ ( add(X,Y,Z) → add(s(X),Y,s(Z)) )
)
Intendierte Semantik:
a … 0 (natürliche Zahl Null)
s … Nachfolgerfunktion/Addition von Eins
add(x,y,z) … „z ist die Summe von x und y“
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
FOL: Beispiel Verwandschaftsverhältnisse
(∀X) ( parent(X) ↔ ( human(X) ∧ (∃Y) parent_of(X,Y) ))
(∀X) ( human(X) → (∃Y) parent_of(Y,X) )
(∀X) (orphan(X) ↔ (human(X) ∧¬(∃Y) (parent_of(Y,X)∧ alive(Y))))
(∀X)(∀Y)(∀Z)(uncle_of(X,Z) ↔ (brother_of(X,Y) ∧ parent_of(Y,Z)) )
Intendierte Semantik: klar!
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
FOL: Beispiel Pinguine
( (∀X)( penguin(X) → blackandwhite(X) )
∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) )
) → (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) )
Intendierte Semantik?
3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
3.2.1 Logik Grundlagen
3.2.2 Modelltheoretische Semantik
3.2.3 Normalformen
3.2.4 Resolution
3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Aussagenlogik: Modelltheoretische Semantik■ Interpretation I:
Abbildung aller Prädikatssymbole nach {w,f}.
■ Ist F eine Formel und I eine Interpretation, dann ist I(F) ein Wahrheitswert, der aus F und I mittels Wahrheitstafeln ermittelt wird.
I(p) I(q) I(⌐p) I(p⋁q) I(p∧q) I(p→q) I(p↔q)
f f w f w w w
f w w w f w f
w f f w f f f
w w f w t w w
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Aussagenlogik: Modelltheoretische Semantik■Wir schreiben I ⊨ F, wenn I(F)=w ist,
und nennen dann die Interpretation I ein Modell der Formel F.
■ Semantik-Regeln:
■ I Modell von ¬φ genau dann, wenn I kein Modell von φ
■ I Modell von (φ∧ψ) genau dann, wenn I Modell von φ UND von ψ
■ ...
■ Zentrale Begriffe:
□ allgemeingültig (Tautologie)□ erfüllbar□ widerlegbar□ unerfüllbar
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Prädikatenlogik: Modelltheoretische Semantik■ Struktur:
□ Festlegung eines Grundbereichs D.
□ Konstantensymbole werden auf Elemente von D abgebildet.
□ Funktionssymbole auf Funktionen auf D.
□ Relationssymbole auf Relationen über D.
■ Dann:
□ Terme werden zu Elementen von D.
□ Relationssymbole mit Argumenten werden wahr oder falsch.
□ Entsprechende Behandlung der Junktoren/Quantoren.
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Prädikatenlogik: Modelltheoretische Semantik
(∀X)(∀Y)(∀Z)
( add(a,X,X)
∧ ( add(X,Y,Z) → add(s(X),Y,s(Z)) )
)
■ Modell I:
□Grundbereich: natürliche Zahlen N
□ I(a) = 0
□ I(s): n n+1
□ l(add(k,m,n))=w genau dann, wenn k+m=n ist.
I ist Modell der Formel.
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Prädikatenlogik: Modelltheoretische Semantik
( (∀X)( penguin(X) → blackandwhite(X) )
∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) )
) → (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) )
■ Interpretation I:□ Grundbereich: eine Menge M, die Elemente a,b,c enthält.
□ … keine Konstanten- oder Funktionssymbole …
□ Wir zeigen: Die Formel ist widerlegbar (d.h. sie ist nicht allgemeingültig):
□ Sind I(penguin)(a), I(blackandwhite)(a), I(oldTVshow)(b),
I(blackandwhite)(b) wahr, I(oldTVshow)(a) jedoch falsch,
dann ist die Formel unter I falsch, d.h. I ⊭ F.
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Der Begriff der logischen Konsequenz■ Eine Theorie T ist eine Menge von Formeln.
■ Eine Interpretation I ist ein Modell für T, wenn I ⊨ G für jede Formel G in T gilt.
■ Eine Formel F ist eine logische Konsequenz aus T, wenn jedes Modell von T auch Modell von F ist.
■Wir schreiben dann T ⊨ F.
■ Zwei Formeln F,G heißen logisch (auch semantisch) äquivalent, wenn
{F} ⊨ G und {G} ⊨ F gelten.
■Wir schreiben dann F ≡ G.
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Logische Äquivalenzen - Beispiele
DeMorgan‘sche Gesetze
F ∧ G ≡ G ∧ FF ∨ G ≡ G ∨ F
F → G ≡ ¬F ∨ GF ↔ G ≡ (F → G) ∧ (G → F)
¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G
¬¬F ≡ F
F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H)F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H)
¬(∀X) F ≡ (∃X) ¬F¬(∃X) F ≡ (∀X) ¬F
(∀X)(∀Y) F ≡ (∀Y)(∀X) F(∃X)(∃Y) F ≡ (∃Y)(∃X) F
(∀X) (F ∧ G) ≡ (∀X) F ∧ (∀X) G(∃X) (F ∨ G) ≡ (∃X) F ∨ (∃X) G
Augustus De Morgan(1806-1871)
3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
3.2.1 Logik Grundlagen
3.2.2 Modelltheoretische Semantik
3.2.3 Normalformen
3.2.4 Resolution
3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Normalformen ■ Zu jeder Formel gibt es unendlich viele logisch äquivalente Formeln.
■ Für jede solche Äquivalenzklasse sucht man nun möglichst einfache Repräsentanten.
■ Diese Repräsentanten werden Normalformen genannt.
■ Einfaches Beispiel:
□ schreibe ¬F statt ¬¬¬¬¬F
F ∧ G ≡ G ∧ FF ∨ G ≡ G ∨ FF → G ≡ ¬F ∨ GF ↔ G ≡ (F → G) ∧ (G → F)¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G¬¬F ≡ FF ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H)F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H)
¬(∀X) F ≡ (∃X) ¬F¬(∃X) F ≡ (∀X) ¬F(∀X)(∀Y) F ≡ (∀Y)(∀X) F(∃X)(∃Y) F ≡ (∃Y)(∃X) F(∀X) (F ∧ G) ≡ (∀X) F ∧ (∀X) G(∃X) (F ∨ G) ≡ (∃X) F ∨ (∃X) G
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Normalformen ■ Ziel: Umwandlung von Formeln in Klauselform.
■ (a∧(b∨¬c)∧(a∨d)) {a,{b,¬c},{a,d}}
■ Dazu notwendige Zwischenschritte:
1.Negationsnormalform□ alle Negationen stehen ganz innen
2.Pränexnormalform□ alle Quantoren stehen ganz vorne
3.Skolemisierte Pränexnormalform□ Eliminierung der Existenzquantoren
4.konjunktive Normalform (CNF) = Klauselform
□ Darstellung als Konjunktion von Disjunktionen
(CNF) (Klausel)
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Negationsnormalform■ Alle Negationszeichen werden durch Verwendung der folgenden
Äquivalenzen nach innen gezogen:
F ↔ G ≡ (F → G)∧(G → F) ¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G
F → G ≡ ¬F ∨ G ¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G
¬(∀X) F ≡ (∃X) ¬F ¬¬F ≡ F¬(∃X) F ≡ (∀X) ¬F
■ Ergebnis:
□ Implikationen und Äquivalenzen fallen weg
□ mehrfachen Negationen fallen weg
□ alle Negationszeichen stehen direkt vor Atomen
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Negationsnormalform■ Beispiel
( (∀X)( penguin(X) → blackandwhite(X) )
∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) )
) → (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) )
wird zu
¬( (∀X)( ¬penguin(X) ∨ blackandwhite(X) )
∧ (∃X)( oldTVshow(X) ∧ blackandwhite(X) )
) ∨ (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) )
und dann zu
( (∃X)( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) )
∨ (∀X)(¬oldTVshow(X) ∨ ¬blackandwhite(X) )
) ∨ (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) )
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Pränexnormalform (I)■ erst Formel bereinigen (Quantoren binden verschiedene Variablen).
( (∃X)( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) )
∨ (∀X)( ¬oldTVshow(X) ∨ ¬blackandwhite(X) )
) ∨ (∃X)( penguin(X) ∧ oldTVshow(X) )
wird zu
( (∃X)( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) )
∨ (∀Y)( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) )
) ∨ (∃Z)( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) )
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Pränexnormalform (II)■ Dann aus der Negationsnormalform einfach alle Quantoren in derselben
Reihenfolge nach vorne ziehen.
( (∃X)( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) )
∨ (∀Y)( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) )
) ∨ (∃Z)( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) )
wird zu
(∃X)(∀Y)(∃Z)( ( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) )
∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) )
∨ ( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) )
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Pränexnormalform (III)■ “Existenzquantoren entfernen”
(∃X) (∀Y) (∃Z) ( ( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) )
∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) )
∨ ( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) )
wird zu …
(∀Y)( ( penguin(a) ∧ ¬blackandwhite(a) )
∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) )
∨ ( penguin( f(Y) ) ∧ oldTVshow( f(Y) ) )
■ wobei a und f neue Symbole sind (sog. Skolemkonstanten bzw. Skolemfunktionen).
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Pränexnormalform - Zusammenfassung
■ Vorgehensweise:
1.Entfernen der Existenzquantoren von links nach rechts.
2.Gibt es keinen Allquantor links des zu entfernenden Existenzquantors, so wird die entsprechende Variable durch ein neues Konstantensymbol ersetzt.
3.Gibt es n Allquantoren links des zu entfernenden Existenzquantors, so wird die entsprechende Variable durch ein neues Funktionssymbol mit Stelligkeit n ersetzt, dessen Argumente genau die Variablen der n Allquantoren sind.
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Pränexnormalform (III)■ “Existenzquantoren entfernen”
(∃X) (∀Y) (∃Z) ( ( penguin(X) ∧ ¬blackandwhite(X) )
∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) )
∨ ( penguin(Z) ∧ oldTVshow(Z) )
wird zu …
(∀Y)( ( penguin(a) ∧ ¬blackandwhite(a) )
∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) )
∨ ( penguin( f(Y) ) ∧ oldTVshow( f(Y) ) )
■ wobei a und f neue Symbole sind (sog. Skolemkonstanten bzw. Skolemfunktionen).
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Konjunktive Normalform (Klauselform)■ Es gibt nur noch Allquantoren, also lassen wir sie weg:
( penguin(a) ∧ ¬blackandwhite(a) )
∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) )
∨ ( penguin(f(Y)) ∧ oldTVshow(f(Y))
■ Mit Hilfe semantischer Äquivalenzen wird die Formel nun als Konjunktion von Disjunktionen geschrieben.
F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H)F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H)
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Konjunktive Normalform (Klauselform)
(penguin(a) ∧ ¬blackandwhite(a) )
∨ ( ¬oldTVshow(Y) ∨ ¬blackandwhite(Y) ) )
∨ ( penguin(f(Y)) ∧ oldTVshow(f(Y))
wird zu ( penguin(a)∨¬oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨penguin(f(Y)))
∧ ( penguin(a)∨¬oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨oldTVshow(f(Y)))
∧ ( ¬blackandwhite(a)∨oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨penguin(f(Y)))
∧ ( ¬blackandwhite(a)∨oldTVshow(Y)∨¬blackandwhite(Y)∨oldTVshow(f(Y)))
wird zu{ {penguin(a),¬oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),penguin(f(Y))}, {penguin(a),¬oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),oldTVshow(f(Y))}, { ¬blackandwhite(a),oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),penguin(f(Y))}, {¬blackandwhite(a),oldTVshow(Y),¬blackandwhite(Y),oldTVshow(f(Y))} }
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Eigenschaften von Normalformen■ Sei F eine Formel,
■ G die Pränexnormalform von F,
■ H die skolemisierte Pränexnormalform von G,
■ K die Klauselform von H.
■ Dann ist F ≡ G und H ≡ K aber i.A. F ≢ K.
■ Es gilt jedoch:
□ F ist unerfüllbar genau dann, wenn K unerfüllbar ist.(Grundlage des Resolutionsverfahrens)
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Skolemnisierung ist keine Äquivalenztransformation
■ Die Formel (∃x) p(x) ∨ ¬(∃x) p(x) ist eine Tautologie.
■ Negationsnormalform: (∃x) p(x) ∨ (∀y) ¬p(y)
■ Pränexnormalform: (∃x) (∀y) (p(x) ∨ ¬p(y))
■ Skolemnormalform: (∀y) (p(a) ∨ ¬p(y))
■ Äquivalent dazu: p(a) ∨ ¬(∃y) p(y)
■ Die resultierende Formel ist keine Tautologie!
■ z.B. Interpretation I mit
□ I(p(a)) = f
□ I(p(b)) = w
3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
3.2.1 Logik Grundlagen
3.2.2 Modelltheoretische Semantik
3.2.3 Normalformen
3.2.4 Resolution
3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Resolution
{F1,…,Fn} hat F0 als logische Konsequenz
{F1,…,Fn} ⊨ F0
F1 ∧… ∧ Fn → F0 ist allgemeingültig
¬(F1 ∧… ∧ Fn → F0) ist unerfüllbar
G1 ∧ …∧ Gk ist unerfüllbar
□ Das Resolutionsverfahren erlaubt die Ableitung eines Widerspruchs aus G1 ∧ …∧ Gk.
Theorie
Äqu
ival
ente
Aus
sage
n
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Resolution (Aussagenlogik) Ist (p1∨…∨pk∨p∨¬q1∨…∨¬ql)∧(r1∨…∨rm∨¬p∨¬s1∨…∨¬sn)
wahr, dann:
■ Eines von p, ¬p muss falsch sein.
■ Also: Eines der anderen Literale muss wahr sein, d.h.
p1∨…∨pk∨¬q1∨…∨¬ql∨r1∨…∨rm∨¬s1∨…∨¬sn
muss wahr sein.
■ Ergo: Ist p1∨…∨pk∨¬q1∨…∨¬ql∨r1∨…∨rm∨¬s1∨…∨¬sn unerfüllbar, dann auch(p1∨…∨pk∨p∨¬q1∨…∨¬ql)∧(r1∨…∨rm∨¬p∨¬s1∨…∨¬sn)
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Resolution (Aussagenlogik)
(p1∨…∨pk∨p∨¬q1∨…∨¬ql) (r1∨…∨rm∨¬p∨¬s1∨…∨¬sn)
p1∨…∨pk∨¬q1∨…∨¬ql∨r1∨…∨rm∨¬s1∨…∨¬sn
■ Aus zwei Klauseln wird eine neue
■ Werden Klauseln resolviert, die nur noch aus je einem Atom bzw. negierten Atom bestehen, dann entsteht eine „leere Klausel“, bezeichnet mit ⊥.
K2
K3
{K1,K 2} ⊨ K3Resolutionsschritt
K1
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Resolution (Aussagenlogik)
• Vorgehensweise, um einen Widerspruch aus einer Menge M von Klauseln abzuleiten:
1.Wähle zwei Klauseln aus M und erzeuge aus ihnen eine neue Klausel K durch einen Resolutionsschritt.
2.Ist K =⊥ , dann ist ein Widerspruch gefunden.
3.Falls K ≠⊥ , füge K zur Menge M hinzu und gehe zu 1.
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Resolution (Prädikatenlogik)
■ In der Prädikatenlogik müssen bei der Resolution zusätzlich Variablenbindungen mit Hilfe von Substitutionen berücksichtigt werden
■ z.B. (p(X,f(Y)) ∨ q( f(X),Y)) (¬p(a,Z) ∨ r(Z) )
(q( f(a),Y) ∨ r(f(Y))).
Resolution mit [X/a, Z/f(Y)] ergibt
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Resolution (Prädikatenlogik)
■ Unifikation von Termen
■ Geg.: Literale L1, L2
■ Ges.: Variablensubstitution σ derart, dass nach Anwendung auf L1 und L2 gilt: L1σ = L2σ
■ Existiert eine solche Variablensubstitution σ, dann heißt σ Unifikator von L1 und L2.
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Unifikationsalgorithmus■ Geg.: Literale L1, L2
■ Ges.: Unifikator σ von L1 und L2.
1. L1 und L2 sind Konstanten: nur unifizierbar, falls L1 = L2 .
2. L1 ist Variable und L2 beliebiger Term: unifizierbar, falls für Variable L1 der Term L2 eingesetzt wird und Variable L1 nicht in L2 vorkommt.
3. L1 und L2 sind Prädikate oder Funktionen PL1(s1,...,sm) und PL2(t1,...,tn):unifizierbar, falls
1. PL1 = PL2 oder
2. n=m und sich jeder Term si mit einem Term ti unifizieren lässt
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Unifikation
L1 L2 σ
p(X,X) p(a,a) [X/a]
p(X,X) p(a,b) n.a.
p(X,Y) p(a,b) [X/a, Y/b]
p(X,Y) p(a,a) [X/a, Y/a]
p(f(X),b) p(f(c),Z) [X/c, Z/b]
p(X,f(X)) p(Y,Z) [X/Y, Z/f(Y)]
p(X,f(X)) p(Y,Y) n.a.
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Resolution (Prädikatenlogik)
■ In der Prädikatenlogik müssen bei der Resolution zusätzlich Variablenbindungen mit Hilfe von Substitutionen berücksichtigt werden
■ z.B. (p(X,f(Y)) ∨ q( f(X),Y)) (¬p(a,Z) ∨ r(Z) )
(q( f(a),Y) ∨ r(f(Y))).
Resolution mit [X/a, Z/f(Y)] ergibt
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel■ Terminologisches Wissen (DL: TBox):
(∀X) ( human(X) → (∃Y) parent_of(Y,X) )
(∀X) ( orphan(X) ↔ (human(X) ∧ ¬(∃Y) (parent_of(Y,X) ∧ alive(Y)))
■ Wissen um Individuen (DL: ABox):
orphan(harrypotter)
parent_of(jamespotter,harrypotter)
■ Können wir folgern: ¬alive(jamespotter)?
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel■ Zu zeigen:
((∀X) ( human(X) → (∃Y) parent_of(Y,X) )
∧ (∀X) (orphan(X) ↔ (human(X) ∧ ¬(∃Y) (parent_of(Y,X) ∧ alive(Y)))
∧ orphan(harrypotter)
∧ parent_of(jamespotter,harrypotter))
→ ¬alive(jamespotter))
ist allgemeingültig.
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel■ Zu zeigen:
¬((∀X) ( human(X) → (∃Y) parent_of(Y,X) )
∧ (∀X) (orphan(X) ↔ (human(X) ∧ ¬(∃Y) (parent_of(Y,X) ∧ alive(Y)))
∧ orphan(harrypotter)
∧ parent_of(jamespotter,harrypotter))
→ ¬alive(jamespotter))
ist unerfüllbar.
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel■ Pränexnormalform:
(∀X)(∃Y)(∀X1)(∀Y1)(∀X2)(∃Y2)
(( ¬human(X) ∨ parent_of(Y,X) )
∧ (¬orphan(X1)∨ (human(X1) ∧ (¬parent_of(Y1,X1) ∨ ¬alive(Y1)))
∧ (orphan(X2) ∨ (¬human(X2) ∨ (parent_of(Y2,X2) ∧ alive(Y2)))
∧ orphan(harrypotter)
∧ parent_of(jamespotter,harrypotter))
∧ alive(jamespotter))
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel■ Klauselform (CNF):
( ¬human(X) ∨ parent_of(f(X),X) )
∧ (¬orphan(X1) ∨ human(X1))
∧ (¬orphan(X1) ∨ ¬parent_of(Y1,X1) ∨ ¬alive(Y1))
∧ (orphan(X2) ∨ ¬human(X2) ∨parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2))
∧ (orphan(X2) ∨ ¬human(X2) ∨ alive(g(X,X1,Y1,X2)))
∧ orphan(harrypotter)
∧ parent_of(jamespotter,harrypotter))
∧ alive(jamespotter)
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel■ Klauselform:
{ {¬human(X), parent_of(f(X),X)},
{¬orphan(X1), human(X1)},
{¬orphan(X1),¬parent_of(Y1,X1),¬alive(Y1)},
{orphan(X2),¬human(X2),parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)},
{orphan(X2) ,¬human(X2),alive(g(X,X1,Y1,X2))},
{orphan(harrypotter)},
{parent_of(jamespotter,harrypotter)},
{alive(jamespotter)} }
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel
1. {¬human(X), parent_of(f(X),X)}2. {(¬orphan(X1), human(X1)}3. {¬orphan(X1), ¬parent_of(Y1,X1),¬alive(Y1))}4. {(orphan(X2), ¬human(X2), parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)}5. {orphan(X2), ¬human(X2), alive(g(X,X1,Y1,X2))}6. {orphan(harrypotter)}7. {parent_of(jamespotter,harrypotter)}8. {alive(jamespotter)}
9. {¬orphan(harrypotter), ¬alive(jamespotter)} (3,7) [X1/harrypotter, Y1/jamespotter]
Wissen:
Abgeleitete Klauseln:
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel
1. {¬human(X), parent_of(f(X),X)}2. {(¬orphan(X1), human(X1)}3. {¬orphan(X1), ¬parent_of(Y1,X1),¬alive(Y1))}4. {(orphan(X2), ¬human(X2), parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)}5. {orphan(X2), ¬human(X2), alive(g(X,X1,Y1,X2))}6. {orphan(harrypotter)}7. {parent_of(jamespotter,harrypotter)}8. {alive(jamespotter)}
Wissen:
Abgeleitete Klauseln:
9. {¬orphan(harrypotter), ¬alive(jamespotter)} (3,7)10. {¬orphan(harrypotter)} (8,9)
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Resolution (Prädikatenlogik) - Beispiel
1. {¬human(X), parent_of(f(X),X)}2. {(¬orphan(X1), human(X1)}3. {¬orphan(X1), ¬parent_of(Y1,X1),¬alive(Y1))}4. {(orphan(X2), ¬human(X2), parent_of(g(X,X1,Y1,X2),X2)}5. {orphan(X2), ¬human(X2), alive(g(X,X1,Y1,X2))}6. {orphan(harrypotter)}7. {parent_of(jamespotter,harrypotter)}8. {alive(jamespotter)}
9. {¬orphan(harrypotter), ¬alive(jamespotter)} (3,7)10. {¬orphan(harrypotter)} (8,9)11. ⊥ (6,10)
Wissen:
Abgeleitete Klauseln:
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Eigenschaften der Resolution für FOL■ Widerlegungsvollständigkeit
□ Wird Resolution auf widersprüchliche Klauselmenge angewandt, dann existiert eine endliche Folge von Resolutionsschritten, mit denen der Widerspruch entdeckt werden kann.
□ Die Anzahl n der notwendigen Beweisschritte kann dabei sehr groß werden (ineffizient)
□ Resolution in FOL ist nicht entscheidbar
□ Ist die Klauselmenge nicht widersprüchlich, lässt sich die Terminierung des Verfahrens nicht garantieren.
3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
3.2.1 Logik Grundlagen
3.2.2 Modelltheoretische Semantik
3.2.3 Normalformen
3.2.4 Resolution
3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Eigenschaften der Prädikatenlogik
■ Monotonie
□ Bei Vergrößerung des Wissens gehen keine Schlussfolgerungen verloren.
□ Sind S und T Theorien, mit S⊆T
□ Dann gilt {F|S ⊨ F} ⊆ {F|T ⊨ F}
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Eigenschaften der Prädikatenlogik
■ Kompaktheit
□ Für jede Schlussfolgerung aus einer Theorie genügt eine endliche Teilmenge der Theorie.
■ Semientscheidbarkeit
□ Prädikatenlogik erster Stufe ist unentscheidbar.
□ Aber sie ist semientscheidbar in dem Sinne, dass eine logische
Konsequenz T ⊨ F immer in endlicher Zeit nachgewiesen werden kann (nicht aber T⊭F)
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Eigenschaften der Aussagenlogik
■ Alle genannten Eigenschaften der Prädikatenlogik.
■ Entscheidbarkeit
□ Alle wahren Schlüsse lassen sich finden, und alle falschen Schlüsse lassen sich widerlegen, wenn man lange genug sucht.
■ D.h. es gibt immer terminierende automatische Beweiser.
■ Nützliche Eigenschaft:
■ {φ1,...,φn} ⊨ φ gilt genau dann, wenn (φ1 ∧...∧ φn) → φ eine Tautologie ist
■ Entscheidung, ob Satz eine Tautologie ist, kann über Wahrheitswerttabelle getroffen werden
■ Entspricht im Prinzip der Überprüfung aller Interpretationen
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3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Wichtige Fragmente der Prädikatenlogik■ Aussagenlogik
■ Datalog (wie pures/reines Prolog, aber ohne Funktionssymbole)
□ entscheidbar
■ Disjunktives Datalog (Klauseln ohne Funktionssymbole)
□ entscheidbar
■ Hornklauseln (pures/reines Prolog)
□ seminentscheidbar
■ Beschreibungslogiken (Description Logics)
□ entscheidbar (manche)
□ z.B. OWL → nächster Teil der Vorlesung
3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
3.2.1 Logik Grundlagen
3.2.2 Modelltheoretische Semantik
3.2.3 Normalformen
3.2.4 Resolution
3.2.5 Eigenschaften von PL und FOL
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74
3. Wissensrepräsentationen3.2 Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
751.12.2009 – Vorlesung Nr. 61 2 3 4 5 7 8 9 1110 12
13
3. Wissensrepräsentation und LogikDie Sprachen des Semantic Web - Teil 2
3.1.Ontologien in der Philosophie und der Informatik
3.2.Wiederholung Aussagenlogik und Prädikatenlogik
3.3.RDFS-Semantik
3.4.Beschreibungslogiken
3.5.OWL und OWL-Semantik
3.6.Regeln mit RIF/SWRL
14
Semantic Web - Vorlesungsinhalt
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Semantic Web Architektur76
URI / IRI
XML / XSDData Interchange: RDF
RDFS
Ontology: OWL Rule: RIF
Query:SPARQL
Proof
Unifying Logic
Cry
pto
Trust
Interface & Application
Ontology-Level
3. Wissensrepräsentation und Logik
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
77
Semantic Web
Nächste Woche: Warum ist eine formale Semantik für RDF(S) notwendig?
Vorlesung Semantic Web, Dr. Harald Sack, Hasso-Plattner-Institut, Universität Potsdam
78
Literatur
»P. Hitzler, M. Krötzsch, S. Rudolph, Y. Sure Semantic Web Grundlagen, Springer, 2008.
»U. Schöning: Logik für Informatiker, Spektrum Akademischer Verlag, 5. Aufl. 2000.
3. Wissensrepräsentation und Logik
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79
Literatur
•Bloghttp://sewe0910.blogspot.com/
•Materialien-Webseitehttp://www.hpi.uni-potsdam.de/meinel/teaching/lectures_classes/semanticweb_ws0910.html
•bibsonomy - Bookmarkshttp://www.bibsonomy.org/user/lysander07/sw0910_06
3. Wissensrepräsentation und Logik