03110094 evie noor izza
DESCRIPTION
matematikaTRANSCRIPT
1
APLIKASI METODE THOMAS DALAM MENYELESAIKAN
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
SKRIPSI
oleh:
EVIE NOOR IZZA NIM: 03110094
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG MALANG
2007
2
APLIKASI METODE THOMAS DALAM MENYELESAIKAN
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
SKRIPSI
Diajukan kepada: Universitas Islam Negeri (UIN) Malang
Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan Dalam Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S. Si)
Oleh:
EVIE NOOR IZZA NIM: 03110094
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG MALANG
2007
3
APLIKASI METODE THOMAS DALAM MENYELESAIKAN
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
SKRIPSI
Oleh:
EVIE NOOR IZZA NIM: 03110094
Telah disetujui oleh: Dosen Pembimbing
Pembimbing I
Abdussakir, M. Pd
NIP. 150 372 247
Pembimbing II
Munirul Abidin, M. Ag
NIP. 150 321 634
Tanggal 12 Desember 2007 Mengetahui,
Ketua Jurusan Matematika
Sri Harini, M.Si
NIP. 150 318 321
4
APLIKASI METODE THOMAS DALAM MENYELESAIKAN
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL
SKRIPSI
Oleh:
EVIE NOOR IZZA NIM: 03110094
Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi dan Dinyatakan Diterima Sebagai Salah Satu Persyaratan
Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S. Si)
Tanggal 17 Desember 2007
SUSUNAN DEWAN PENGUJI TANDA TANGAN
1. Penguji Utama : Wahyu H. Irawan, M. Pd ( )
2. Ketua Penguji : Evawati Alisah, M. Pd ( )
3. Sekretaris Penguji : Abdussakir, M. Pd ( )
4. Anggota Penguji : Munirul Abidin, M. Ag ( )
Mengetahui dan Mengesahkan Ketua Jurusan Matematika
Sri Harini, M. Si
NIP. 150 318 321
5
MOTTO
Kesalahan paling fatal yang dialami seseorang adalah keputusasaan,
maka jangan pernah merasa putus asa atau kecewa
jika mengalami kegagalan. Kamu harus Ingat !!, tidak ada kesuksesan
harganya murah. Semua harus ditebus dengan pengorbanan.
Percayalah bahwa kamu bisa !!!
6
PERSEMBAHAN
Kepada Allah SWT, yang telah menciptakan saya dengan karunia-Nya,
sehingga Saya dapat menyelesaikan skripsi dengan berjalan lancar
sampai pada tujannya.
Kepada Ayahanda H. Pratikno, yang telah meberikan dukungan,
semangat , dan Do a ser t a member ikan peluang yang besar dalam
menentukan pilihannya, khususnya dalam menentukan jurusan
Matematika, semoga ini yang terBaik buat Saya. Anakmu ini tidak akan
Melupakan jasa-jasa Ayah.......
Kepada Ibunda Hj. Rochimah yang selalu menemani disaat Saya dalam
Keadaan Sedih maupun Gembir a, selalu member ikan Nasehat dan Do a
selama masa perkuliahan berlangsung. Anakmu tidak akan melupakan
Nasehatnya dan akan selalu ada dipelukannya.......
Kepada Dosenku Pak sakir dan Pak Munir yang telah bersedia
membimbing Saya dari awal sampai akhir dalam menyelesaikan skripsi,
sehingga saya dapat lulus dengan nilai yang bagus
Kepada semua Dosen SAINTEK dan karyawan-karyawan yang telah
memberikan ilmunya dan memberikan arahan dalam menyelesaikan
kuliah
Kepada Nengku Anis, masku Zaini dan keponakanku Yafi, selalu
memberikan motivasi, bantuan selama empat tahun Saya kuliah sampai
akhir masa perkuliahan, Saya tidak akn melupakan semua.......
7
Kepada Aaku Zulf an yang t idak per nah lelah member ikan dukungan dan
semangat selama masa perkuliahan sampai pada akhir Saya ujian
skripsi.
Untuk Adry dan Icha teman kosku yang selalu menemani dan meberikan
semangat dalam menyelesaikan skripsi ini, saya ucapkan banyak Terima
Kasih
Untuk teman-teman jurusan matematika, Uut, Mi2n, Rila, Sri, Mudhor,
Mei dll yang seperjuangan dalam mencapai cita-cita dan yang selalu
bekerja sama dalam menyelesaikan tugas kuliah. Pengalaman ini tidak
akan terlupakan.
Untuk mbah Yah yang sudah bersedia memberikan Saya tempat untuk
tinggal selama masa perkuliahan dan juga terima kasih banyak atas
nasehatnya.
8
KATA PENGANTAR
Assalamu alaikum Wr. Wb.
Segala puji bagi Allah SWT karena atas rahmat, taufiq dan hidayah-Nya,
penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi yang berjudul
Aplikasi Metode
Thomas Dalam Menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial sebagai salah
satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains dalam bidang Matematika di
Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Malang.
Penulis menyadari bahwa banyak pihak yang telah berpartisipasi dan
membantu dalam menyelesaikan penulisan skripsi ini. Untuk itu, iringan do a dan
ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya penulis sampaikan, terutama kepada:
1. Prof. Dr. H. Imam Suprayogo selaku Rektor Universitas Islam Negeri (UIN)
Malang.
2. Prof. Drs Sutiman Bambang Sumitro, SU., D.Sc selaku Dekan Fakultas Sains
dan Teknologi UIN Malang.
3. Ibu Sri Harini, M.Si selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan
Teknologi UIN Malang.
4. Bapak Abdussakir, M.Pd dan Bapak Munirul Abidin, M.Ag yang telah
bersedia meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan dan pengarahan
selama penulisan skripsi.
5. Seluruh Dosen Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri
Malang yang telah memberikan ilmu pengetahuan kepada penulis selama
masih kuliah. Serta seluruh karyawan dan staff UIN Malang.
9
6. Kedua orang tua H. Pratikno dan Hj. Rochimah yang telah memberikan
dukungan moril maupun spirituil serta ketulusan do anya kepada penulis
sehingga bisa menyelesaikan skripsi ini dengan baik.
7. Kakakku Choirun Nisya , Ahmad Zaini dan keponakanku Yafi yang selalu
memberikan bantuan, semangat dan do a selama kuliah sampai bisa
menyelesaikan skripsi ini.
8. Murtadha Zulfan yang selalu memberikan motivasi dan dukungan moral
hingga dapat menyelesaikan skripsi ini.
9. Addriani Mardika Dewi yang selalu menemani dan membantu dalam
menyelesaikan skripsi ini.
10. Teman-teman Matematika, terutama angkatan 2003 beserta semua pihak yang
telah membantu menyelesaian skripsi ini.
Dalam penyusunan skripsi ini tentunya masih terdapat banyak kesalahan dan
kekurangan, sehingga penulis mengharapkan kritik dan saran demi perbaikan
skripsi ini. Akhirnya, semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua.
Amien.
Wassalamu alaikum Wr. Wb.
Malang, 12 Desember 2007
Penulis
10
DAFTAR ISI
Halaman
KATA PENGANTAR ....................................................................................... i
DAFTAR ISI ...................................................................................................... iii
ABSTRAK.......................................................................................................... v
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang .................................................................................. 1 1.2 Rumusan Masalah ............................................................................. 5 1.3 Batasan Masalah ............................................................................... 5 1.4 Tujuan Penelitian .............................................................................. 6 1.5 Manfaat Penelitian ............................................................................ 6 1.6 Metode Penelitian.............................................................................. 7 1.7 Sistematika Pembahasan ................................................................... 7
BAB II KAJIAN TEORI
2.1 Diferensial Parsial ............................................................................. 9 2.1.1 Pengertian ................................................................................. 9 2.1.2 Diferensial Parsial Orde Tinggi................................................ 10
2.2 Macam-macam Persamaan Diferensial ............................................. 11 2.3 Persamaan Diferensial Dalam Bentuk Beda Hingga......................... 14
2.3.1 Skema Exsplisit ........................................................................ 16 2.3.2 Skema Implisit.......................................................................... 17
2.4 Diferensial Numerik .......................................................................... 18 2.4.1 Deret Taylor ............................................................................. 19
2.5 Syarat Awal dan Syarat Batas ........................................................... 21 2.6 Matriks............................................................................................... 22
2.6.1 Pengertian ................................................................................. 22 2.6.2 Operasi Matriks ........................................................................ 23 2.6.3 Macam-macam Matriks............................................................ 24
2.7 Metode Thomas ................................................................................. 26 2.7.1 Matriks Tridiagonal .................................................................. 26 2.7.2 Algoritma Thomas.................................................................... 31
2.8 Kajian Keagamaan ............................................................................ 34
BAB III PEMBAHASAN
3.1 Penyelesaian Persamaan Getaran Kabel Dengan Algoritma Thomas ............................................................... 40 3.1.1 Menentukan Rumus Fungsi f(x), f (x) dan f (x) ....................... 41 3.1.2 Menentukan Matriks Tridiagonal ............................................. 42 3.1.3 Menentukan Matriks [L] dan [U] ............................................. 46
11
3.1.4 Menentukan [L]{X} = [D] ....................................................... 50 3.1.5 Menentukan [U]{X} = [D] ....................................................... 52
3.2 Analisa Pembahasan.......................................................................... 54 3.3 Tinjauan Agama Terhadap Hasil Pembahasan.................................. 54
BAB IV PENUTUP
4.1 Kesimpulan........................................................................................ 59 4.2 Saran .................................................................................................. 60
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 61
12
ABSTRAK
Evie Noor Izza. 2007. Aplikasi Metode Thomas Dalam Menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial. Jurusan Matematika. Universitas Islam Negeri Malang. Pembimbing: (I) Abdussakir, M. Pd; (II) Munirul Abidin, M. Ag
Kata Kunci: Persamaan getaran kabel, metode Thomas.
Persamaan diferensial merupakan bentuk persamaan yang menyangkut satu atau lebih peubah tak bebas beserta turunannya terhadap satu atau lebih peubah bebas. Secara umum persamaan diferensial ada dua yaitu, persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Salah satu bentuk persamaan diferensial parsial adalah persamaan getaran kabel.
Metode numerik adalah salah satu cabang atau bidang matematika, khususnya matematika rekayasa, yang menggunakan bilangan untuk menirukan proses matematika. Salah satu kajian dalam metode numerik adalah menyelesaikan bentuk persamaan diferensial yang sulit untuk diselesaikan secara analitik.
Skripsi ini bertujuan untuk menjelaskan aplikasi metode Thomas dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial, khususnya persamaan getaran kabel. Berdasarkan hasil kajian, diperoleh bahwa langkah-langkah menyelesaikan persamaan getaran kabel dengan metode Thomas adalah sebagai berikut:
1. Menentukan rumus fungsi f(x) dan f (x), f (x) 2. Menentukan matriks tridiagonal 3. Menentukan matriks [L] dan [U] 4. Menentukan [L] [X] = [D] 5. Menentukan [U] [X] = [D]
Dengan syarat awal dan syarat batas 00,,0 ttLutu dan
Lxxfxu 00, . Berdasarkan langkah-langkah di atas bahwa metode Thomas dapat
menyelesaikan persamaan getaran kabel, sehingga dapat membentuk matriks segitiga bawah [L] dan matriks segitiga atas [U] dengan mempunyai kesamaan nilai, yaitu pada kecepatan U5.
13
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Manusia adalah makhluk yang berpotensi untuk menguasai ilmu
pengetahuan. Allah-lah yang mengajari manusia dalam semua hal yang belum
diketahuinya:
Artinya:Dia mengajarkan kepada manusia apa yang tidak diketahuinya (QS. Al-
A laq:5). (Rahman, 2007:13)
Ilmu pengetahuan, menurut Al-Qur an dapat diperoleh melalui berbagai
macam cara. Diantaranya melalui dua indra yang sangat mahal dan penting bagi
manusia untuk mengetahui dan mendapatkan ilmu yang bermacam-macam serta
indra lainnya. Kedua indra yaitu sama (pendengaran) yang biasanya bersifat
verbal, dan bashar (penglihatan) yang biasanya menghasilkan ilmu pengetahuan
yang bersifat observasi atau eksperimen yang tertulis pada (QS Al-Mulk:23)
(Pasya, 2004:263). Oleh karena itu Al-Qur an dapat mendorong umat Islam
untuk bekerja sungguh-sungguh dalam pencarian ilmu, sehingga diperlukan
adanya pemikiran-pemikiran.
Kehidupan zaman sekarang ini ilmu pengetahuan dan teknologi semakin
menguasai dunia, maka untuk dapat menguasai ilmu pengetahuan dan teknologi
yang sempurna harus didasari dengan Al-qur an dan hadist sebagai pegangan
14
dalam kehidupan sehari-hari. Ulul Albab adalah orang-orang yang mau
menggunakan fikirannya, mengambil faedah darinya, mengambil hidayah darinya,
menggambarkan keagungan Allah dan mau mengingat hikmah akal dan
keutamaannya, di samping keagungan karunia-Nya dalam segala sikap dan
perbuatan mereka, sehingga mereka bisa berdiri, duduk, berjalan, berbaring dan
sebagainya. Oleh karena itu manusia disuruh memikirkan tentang kejadian di
langit dan di bumi beserta rahasia-rahasia dan manfaat-manfaat yang terkandung
di dalamnya yang menunjukkan pada ilmu yang sempurna, hikmah tertinggi dan
kemampuan yang utuh. Seperti yang tercantum dalam QS. Ali-Imran: 190 sebagai
berikut:
Artinya:
Sesungguhnya dalam penciptaan langit dan bumi, dan silih bergantinya malam dan siang, terdapat tanda-tanda bagi orang yang berakal .
(Musthafa, 1993:284)
Salah satu ciri seorang Ulul albab adalah yang menguasai ilmu
matematika, karena tidak mungkin kita mempelajari alam semesta secara detail
tanpa menggunakan perhitungan secara matematis. Akan tetapi kemampuan
intelektual semata tidak cukup untuk belajar matematika, karena itu perlu
didukung secara bersamaan dengan kemampuan emosional dan spiritual.
Matematika memang untuk dipahami, tetapi pemahaman sangat berkaitan dengan
ingatan atau hafalan yang berkaitan dengan ilmu matematika (Abdusysyakir,
2007:24).
15
Matematika adalah suatu pengetahuan yang sangat penting dalam
menunjang pengetahuan yang lain. Kita melihat misalnya dalam Bidang Teknik,
Ekonomi, ilmu Sosial, serta Matematika dalam ilmu pengetahuan itu sendiri
(Yahya, 2004). Pada kenyataannya Matematika sebagai ilmu eksakta yang sangat
erat dengan rumus dan perhitungan yang dapat dijadikan sebagai alat bantu untuk
menyederhanakan penyajian pembahasan masalah. Dengan menggunakan bahasa
matematika, satu masalah dapat menjadi lebih sederhana untuk disajikan,
difahami, dianalisis dan dipecahkan.
Matematika lebih banyak mengajarkan manusia mengenal dan
menjelaskan fenomena di sekelilingnya. Fenomena-fenomena pada perkembangan
sains dan teknologi dapat dirumuskan dalam persamaan diferensial, seperti halnya
dalam persamaan gelombang, getaran, pegas, pertumbuhan sel dan lain
sebagainya. Persamaan diferensial merupakan suatu persamaan yang mengandung
turunan fungsi. Berdasarkan jumlah variabel bebas, persamaan diferensial dibagi
menjadi dua, yaitu (1). Persamaan diferensial biasa (mengandung satu variabel
bebas). Ada beberapa metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan
diferensial biasa diantaranya metode Euler, metode Range-Kutte, metode Heun
dan sebagainya. (2). Persamaan diferensial parsial (mengandung lebih dari satu
variabel), metode yang digunakan adalah metode Karakteristik dan metode Beda
Hingga. Persamaan tersebut dapat diselesaikan secara analitik atau numerik.
Penyelesaian secara analitik diperoleh dengan menggunakan perhitungan secara
sistematis dan solusi yang diperoleh berupa nilai eksak.
16
Metode numerik dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan,
ketika persamaan tersebut tidak bisa diselesaikan secara analitik. Dalam
penyelesaian secara numerik dapat dilakukan dengan menggunakan salah satu
metode numerik dari bentuk proses perhitungan yang paling efisien dan cepat
untuk menyelesaikan persamaan matematis. Sebuah metode numerik yang
biasanya digunakan untuk menyelesaikan soal disebut algoritma. Algoritma
adalah suatu rangkaian prosedur yang lengkap dan mempunyai cara penyelesaian
yang jelas. Dalam analisis numerik dibutuhkan pemilihan dan penyusunan
algoritma yang sesuai dengan penyelesaian soal, maka analisis numerik harus
mempertimbangkan berapa besar derajat ketelitian yang diperlukan,
memperkirakan besarnya kesalahan pembulatan dan kesalahan diskritisasi,
menentukan jumlah langkah atau iterasi yang dibutuhkan algoritma, supaya hasil
analisis numerik sesuai dengan tujuan (Conte, 1993:1).
Metode numerik sudah lama berkembang tetapi penerapan dalam
pemecahan masalah yang belum meluas dalam berbagai bidang, itu dikarenakan
pada waktu itu alat bantu hitung berupa komputer belum banyak digunakan. Pada
zaman sekarang ini perkembangan mengenai komputer sangat pesat. Sehingga
metode numerik sering diselesaikan dengan komputer, selain itu juga dengan
berkembangnya komputer sebagai alat yang sangat ampuh untuk menyelesaikan
permasalahan dengan berbagai bidang. Metode numerik mampu menyelesaikan
suatu persamaan yang besar, tidak linier dan sangat komplek yang tidak mungkin
diselesaikan secara analitis (Triatmodjo, 2002:2).
17
Dalam kajian ini, getaran pada kabel merupakan persamaan diferensial
parsial yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode Thomas. Karena
metode Thomas merupakan salah satu metode numerik yang dapat digunakan
untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial. Berdasarkan uraian di atas,
maka diharapkan penggunaan metode Thomas memperoleh penyelesaian dari
persamaan diferensial parsial pada getaran kabel tersebut.
Untuk itu penulis ingin mengkaji tentang persamaan diferensial parsial
pada getaran kabel dengan menggunakan metode numerik. Maka skripsi ini akan
membahas tentang Aplikasi Metode Thomas Dalam Menyelesaikan
Persamaan Diferensial Parsial . Bentuk persamaan diferensial parsial orde dua
pada getaran kabel adalah sebagai berikut:
2
22
2
2
x
ua
t
u
Keterangan:
u adalah pergeseran (kecepatan) yang dipengaruhi oleh x dan t
x adalah jarak
t adalah waktu
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka dapat ditarik permasalahan yang
akan dibahas dan diteliti dalam skripsi ini, yaitu:
1.2.1 Bagaimana aplikasi metode Thomas dalam menyelesaikan persamaan
diferensial parsial ?
18
1.3 Batasan Masalah
Untuk lebih jelasnya dan terarah pada sasaran yang diharapkan dalam
pembahasan skripsi ini, maka diperlukan adanya pembatasan masalah yang akan
dibahas yaitu penyelesaian persamaan diferensial parsial orde dua pada getaran
kabel dengan menggunakan metode Thomas dengan melalui metode beda-hingga,
sehingga dapat membentuk matriks tridiagonal.
1.4 Tujuan Penelitian
Sesuai dengan permasalahan yang telah diambil dalam penulisan skripsi
ini, maka tujuan penelitiannya, yaitu:
1.4.1 Untuk menjelaskan aplikasi metode Thomas dalam menyelesaikan
persamaan diferensial parsial
1.5 Manfaat Penelitian
Dengan kajian ini diharapkan bermanfaat :
1.5.1 Bagi penulis
- Sebagai latihan menyusun karya ilmiah di bidang matematika.
- Sebagai resensi dalam penyelesaian persamaan diferensial parsial
orde dua dengan menggunakan metode numerik
- Untuk menambah wawasan dan pengalaman dalam mengkaji
permasalahan matematika terutama dalam menentukan rumus
turunan suatu fungsi.
19
1.5.2 Bagi pembaca
- Mempermudah pembaca dalam penyelesaian persamaan diferensial
parsial pada getaran kabel dengan menggunakan metode Thomas.
1.6 Metode Penelitian
Secara garis besar penulisan skripsi ini, merupakan proses mencari
pemecahan masalah melalui prosedur ilmiah. Dalam penulisan ini, seorang
penulis menggunakan metode tertentu.
Dalam kajian ini penulis menggunakan metode literatur, yaitu melakukan
penelusuran dan penelaaan terhadap beberapa literatur yang punya relevansi
dengan topik bahasan. Bertujuan untuk mengumpulkan data-data dan informasi
dengan bantuan bermacam-macam materi yang terdapat di ruang perpustakaan,
seperti: buku-buku, majalah, dokumen, catatan, kisah-kisah sejarah dan
sebagainya (Nazir, 1988:11).
Dalam penulisan skripsi ini, langkah-langkah umum yang dilakukan
penulis sebagai berikut:
a. Menentukan persamaan Getaran Kabel
b. Menyeleseikan Metode Thomas
1.7 Sistematika Pembahasan
BAB I PENDAHULUAN: Dalam pendahuluan ini, memberikan gambaran
tentang isi dari skripsi, yaitu latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah,
20
tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian, dan sistematika
pembahasan.
BAB II KAJIAN PUSTAKA: Kajian pustaka yang berisi konsep-konsep
yang menjadi landasan pembahasan masalah, yaitu persamaan diferensial parsial
orde dua, macam-macam persamaan diferensial parsial, metode beda-hingga, serta
syarat awal dan syarat batas, bentuk matriks tridiagonal, metode Thomas, dan
kajian keagamaan dalam ilmu matematika.
BAB III ANALISA DAN PEMBAHASAN: Dalam pembahasan ini,
penyelesaian persamaan diferensial parsial orde dua pada getaran kabel dengan
menggunakan metode Thomas dengan melalui metode beda hingga, sehingga
membentuk matriks Tridiagonal.
BAB IV PENUTUP: Dalam penutup berisi tentang, kesimpulan dan saran.
21
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
2.1 Diferensial Parsial
2.1.1 Pengertian
Formulasi matematika dari beberapa permasalahan dalam ilmu
pengetahuan dan teknologi dapat dipresentasikan dalam bentuk persamaan
diferensial parsial. Persamaan diferensial merupakan bentuk persamaan yang
menyangkut satu atau lebih peubah tak bebas beserta turunannya terhadap
satu atau lebih peubah bebas. Bentuk umum persamaan diferensial parsial
orde dua yang mempunyai dua variabel bebas mempunyai bentuk sebagai
berikut:
GFuy
uE
x
uD
y
uC
yx
uB
x
uA
2
2
22
2
2
Dengan, A, B, C, D, E, F, dan G merupakan fungsi dari variabel x
dan y dan variabel tidak bebas u.
Contoh:
yxyx
u2
2
, sebuah persamaan diferensial orde dua.
Pada persamaan di atas u adalah variabel tak bebas (dependent
variable), sedangkan x dan y adalah variabel bebas (independent variable)
(Spiegel, 1974:2).
Jenis persamaan diferensial orde dua ditentukan oleh koefisiennya,
yaitu:
22
1. Persamaan Ellips jika : 042 acb
2. Persamaan Parabola : 042 acb
3. Persamaan Hiperbola: 042 acb (Djojodiharjo, 1983:284)
Jika koefisiennya adalah konstanta, maka persamaan hanya mungkin satu
jenis.
Secara umum untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial
harus dijadikan ke dalam bentuk persamaan dengan syarat awal dan syarat
batasnya. Dengan membagi daerah dalam sel maka diperoleh sistem
persamaan diferensial yang simultan sehingga dapat dipecahkan dengan cara
iterasi.
2.1.2 Diferensial Parsial Orde Tinggi
Suatu fungsi dua variabel z = f (x, y) bernilai bilangan real. Jika f
dapat diturunkan, maka dapat didefinisikan dua fungsi bernilai real yang
nilainya di titik (x, y) adalah
),(,),(1 yxfyxx
fyxfD x dan ),(,),(2 yxfyx
x
fyxfD y
Fungsi di atas dapat diturunkan kedalam bentuk turunan diferensial
parsial dari f (x, y) terhadap x dan y, dapat ditulis sebagai berikut:
),(),(, 2112
2
yxfyxfDx
fyx
x
f
x xx
),(),(, 212
2
yxfyxfDxy
fyx
x
f
y xy
Diferensial parsial orde dua di peroleh dengan menurunkan secara
parsial yxfD ,2 terhadap x dan y, ditulis sebagai berikut:
23
yxfyxfD
yx
fyx
y
f
x yx ,,, 221
2
yxfyxfDyy
fyx
y
f
y yy ,,, 222
2
(Budhi, 2001:85-86)
2.2 Macam-Macam Persamaan Diferensial Parsial
1) Persamaan getaran kabel 2
22
2
2
x
ua
t
u (2. 2. 1)
0,0 tLx
Dengan 00,,0 ttLutu
Lxxfxu 00, (Saff dan Nagle, 2003:40)
Keterangan:
u adalah pergeseran (kecepatan) yang dipengaruhi oleh x dan t
x adalah jarak
t adalah waktu
Persamaan ini berlaku untuk getaran melintang yang kecil dari
kabel fleksibel dan tegang, seperti senar biola yang pada mulanya terletak
pada sumbu x dan kemudian digerakkan (lihat gambar di bawah ini)
y
y(x,t) x
Gambar (1) Getaran kabel
24
Fungsi u(x, t) adalah pergeseran dari setiap titik x pada kabel untuk setiap
waktu t. konstanta 2a , dengan sebagai gaya tarik (konstan) pada
kabel, sebagai masa persatuan panjang (konstan) dari kabel tersebut.
2) Persamaan konduksi panas ukt
u 2 (2. 2. 2)
Di persamaan ini u(x, y, z, t) adalah temperature pada posisi (x, y,
z) dari sebuah benda tegar, pada waktu t. konstan k, yang disebut
difusivitas, adalah sama dengan K
, dengan besaran-beasarn
konduktivitas termal K, panas spesifik
dan kerapatan (yitu masa per
satuan volume)
dianggap konstan. u2
disebut Laplacian dari u, yang
dalam koordinat siku-siku tiga dimensi persamaannya adalah:
2
2
2
2
2
22
z
u
y
u
x
uu (2. 2. 3)
3) Persamaan Laplace 02v
Persamaan diatas dapat dijumpai pada teori tentang konduksi
panas, misalnya v adalah temperatur dalam keadaan mantap (steady state
temperature), yaitu temperatur yang didapat setelah waktu berlalu cukup
lama, yang persamaannya didapat dengan mengganti harga 0t
u pada
persamaan konduksi panas di atas. Penyeleseian persamaan 02v di
dalam R sering disebut sebagai Dirichlet problem, dengan v sebagai fungsi
yang diketahui pada batas R.
25
4) Getaran longitudinal dari sebuah balok
2
22
2
2
x
yc
t
y
(2. 2. 4)
Persamaan ini menggambarkan gerakan dari sebuah balok yang
dapat bergentar secara longitudinal (yaitu searah sumbu x), dan getarannya
dianggap kecil. Variabel y(x, t) adalah pergeseran longitudinal dari
penampang melintangnya pada posisi x, yang diukur dari keadaan
seimbang. KonstanE
c 2 , dengan E sebagai modulus elastisitas yang
tergantung pada sifat balok dan
sebagai kerapatan (masa per satuan
volume). Lihat gambar di bawah ini:
y
x
Gambar (2) getaran longitudinal dari sebuah balok
5) Getaran melintang dari sebuah balok 04
42
2
2
x
yb
t
y (2. 2. 5)
Persamaan ini menggambarkan gerakan dari sebuah balok (yang
mula-mula terletak pada sumbu x) yang bergetar secara melintang (yaitu
tegak lurus dengan sumbu x), dengan menganggap bahwa getarannya
kecil. Dalam hal ini y(x, t) adalah pergeseran melintangnya pada setiap
waktu t dari setiap titik x. konstanta A
EIb2 , dengan E sebagai modulus
elastisitas, I sebagai memen inersia dan sebagai massa persatuan panjang.
26
y(x,t)
Apabila ada gaya yang bekerja, maka ruas kanan dari persamaan di atas
diganti dengan EI
txFb ,2
. Lihat gambar gambar di bawah ini:
y
Gambar (3) getaran melintang dari sebuah balok
Pada balok horizontal, ini merupakan masalah menentukan
pelenturan (defleksi) suatu balok dengan beban-beban tertentu. Hanya
balok-balok yang sejenis (uniform) bahannya dan bentuknya yang akan
diperhatikan. Misalnya ada balok yang serat-seratnya (fibres) memanjang.
Pada balok lentur seperti yang ditunjukkan , serat-serat pada bagian atas,
ditekan dan bagian bawah ditegangkan, kedua bagian tersebut dipisahkan
oleh suatu permukaan yang netral, yang serat-seratnya tidaklah ditekan
atau diregangkan. Serat-serat yang pada mulanya, bersama-sama dengan
horizontal balok, terletak pada permukaan netral sepanjang suatu kurva
(kurva elastis atau kurva defleksi) (Spiegel, 1974:3-4).
2.3 Persamaan Diferensial dalam Bentuk Beda-Hingga
Persamaan diferensial dengan bentuk beda-hingga, untuk persamaan yang
mengandung variabel x dan y, perbedaan beda hingga dilakukan dengan membuat
jaringan titik hitungan pada bidang x
y yang dapat dibagi menjadi sejumlah
pias-pias empat dengan sisi x dan y. Panjang pias dalam arah x adalah sama
dan diberi notasi xi = i x, i = 0, 1, 2,
Dan panjang pias dalam arah y juga sama
27
j
j-1
j+1
i-1 i i+1
x
dan diberi notasi yj = j y, j = 0, 1, 2,
Dengan menggunakan jaringan titik
hitungan dalam gambar (4) di bawah ini, semua diferensial ditulis pada titik
hitungan (i, j). Bentuk runtutan pertama didekati oleh:
y
y
(Gambar 4) jaringan titik hitungan pada bidang x-y
Dalam arah x
x
UU
x
U jiji ,,1 (6)
x
UU
x
U jiji ,1, (7)
Maka:
2
,,1,1
2
2 2
x
UUU
x
U jijiji
(8)
Dalam arah y
y
UU
y
U jiji ,1, (9)
y
UU
y
U jiji 1,, (10)
x
28
Maka:
2
1,1,
2
2 ,2
y
jUiUU
y
U jiji
(11)
(Triatmodjo, 2002:202-204)
Bentuk dari persamaan (2. 2. 1) adalah kontinu. Menurut Aristoteles suatu
besaran yang kontinu terdiri dari elemen-elemen yang dapat dibagi (berhingga).
Misalnya ada titik lain di antara dua titik sembrang pada suatu garis, dan ada di
antara dua saat dalam suatu periode waktu, karena itu ruang dan waktu adalah
kontinu dan dapat dibagi menjadi tak hingga. Keberhinggaan dan kekontinuan ini
untuk membagi benda yang kontinu menjadi komponen, unit atau elemen yang
lebih kecil.
Metode beda hingga didasarkan pada konsep diskritisasi. Dalam
mendiskritisasi dari benda menjadi benda kecil yang sesuai, yang dinamakan
elemen-elemen hingga. Perpotongan antara sisi-sisi elemen dinamakan titik
simpul dan permukaan antara elemen-elemen disebut garis simpul. Dengan
adanya diskritisasi, maka hasil perhitungan akan dekat dengan nilai eksak, yaitu
kesalahannya minimum (Dessai, 1996).
Penyelesaian persamaan diferensial parsial dengan menggunakan metode
beda hingga dapat dibedakan menjadi dua skema dasar, yaitu
2.3.1 Skema Explisit
Metode beda hingga skema explisit banyak digunakan dalam
penyelesaian persamaan diferensial parsial. Penggunaan skema tersebut
untuk menurunkan persamaan diferensial parsial menjadi persamaan beda
hingga. Dalam pengambilan waktu harus berdasarkan pada pada bilangan
29
n
n-1
n+1
i-1
i i+1
Courant yaitu Cr = (U t)/ x
1. apabila nilai Cr > 1 maka hasilnya
menjadi tidak stabil. Prosedur dalam menyelesaikan dengan skema
explisit.
Pada skema explisit, variabel pada waktu n + 1 dihitung
berdasarkan pada waktu n yang telah diketahui. pada gambar (5). Fungsi
variabel T(x, t) dan diturunkan dalam waktu dan ruang
Penyelesaian diketahui sampai waktu ke-n
Gambar (5). Skema explisit
Berikut ini adalah bentuk diskrit dari skema explisit,
iTtxT ,
t
TT
t
txT ni
ni
1),(
211
2
2 2),(
x
TTT
x
txT ni
ni
ni
2.3.2 Skema Implisit
Pada skema implisit ruas kanan ditulis pada waktu n + 1 nilainya
belum diketahui. Pada gambar (6), variabel di titik i pada waktu ke n = 1
1niT dipengaruhi oleh n
iT yang sudah diketahui nilainya serta 111
nT dan
30
n
n-1
n+1
i+1 i i-1
111
nT yang belum diketahui nilainya. Maka untuk membentuk sistem
persamaan harus memperoleh nilai 1niT (i = 1, ..., M). Dengan
menggunakan skema implisit di bawah ini.
Penyelesaian diketahui sampai waktu ke-n
Gambar (6). Skema implisit
Berikut ini adalah bentuk diskrit dari skema implisit,
niKtxK ,
t
TT
t
txT ni
ni
1),(
2
11
111
2
2 2),(
x
TTT
x
txT ni
ni
ni
(Triatmodjo, 2002:207 & 216)
Dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial dengan menggunakan
metode beda-hingga perlu adanya syarat awal dan syarat batas.
2.4 Diferensiasi Numerik
Diferensiasi numerik digunakan untuk memperkirakan bentuk diferensial
kontinu menjadi bentuk diskrit. Diferensial numerik banyak digunakan untuk
31
menyeleseaikan persamaan diferensial. Bentuk tersebut dapat diturunkan
berdasarkan deret taylor.
2.4.1 Deret Taylor
Teorema:
Andaikan f sebuah fungsi yang memiliki turunan dari
semua tingkatan dalam suatu selang (a
r, a + r), syarat yang
perlu dan cukup deret Taylor
xRaxn
afax
afaxafafxf n
nn
!...
!2
'' 2'
(2.4.1.1)
Menggambarkan fungsi f pada selang itu, adalah
0lim xRnn
(2.4.1.2)
Dengan xRn suku sisa dalam rumus taylor, yaitu
11
!1n
n
n axn
cfxR (2.4.1.3)
Dengan c adalah suatu bilangan dalam selang (a r, a + r).
(Purcell, 1999:57)
Bukti:
Di dalam selang (a
r, a + r), fungsi f memenuhi hipotesis
sebagai berikut:
xRxPf nnx
(2.4.1.4)
Dengan xPn adalah polinom Taylor berderajat n dari f dan
xRn adalah suku sisanya, yang diberikan sebagai berikut oleh:
32
1
1
!1n
n
n axn
cfxR (2.4.1.5)
Dengan tiap-tiap c di antara x dan a
Sekarang xPn adalah jumlah n buah suku pertama dari
deret Taylor dari f pada a . Jadi, bila dibuktikan bahwa
xPnnlim ada dan sama dengan f(x) jika dan hanya jika
0lim xRnn
, teorema tersebut akan terbukti.
Dari persamaan (2.4.1.4)
xRxfxP nn
(2.4.1.6)
Jika 0lim xRnn
, maka menurut persamaan (2.4.1.6)
xRxfxP nn
nn
limlim
0xf
xf
Dari hipotesis bahwa xfxPnnlim , akan membuktikan
bahwa 0lim xRnn
Dari persamaan (2.4.1.4), xPxfxR nn
Maka,
xPxfxR nn
nn
limlim
xfxf
0
Jadi, teorema tersebut terbukti (Leithold,1991:98)
33
2.5 Syarat Awal dan Syarat Batas
Dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial dengan menggunakan
metode beda-hingga perlu adanya syarat awal dan syarat batas.
Suatu penyeleseian khusus dapat diperoleh dengan memasukkan nilai
tertentu pada tiap parameter dalam penyeleseian umum. Dalam hal tertentu, kita
memerlukan persyaratan tambahan.
Dua tipe dari persamaan diferensial parsial tergantung pada kondisi
tambahan, jika kondisi tambahan ditentukan pada nilai yang sama dari variabel
bebas dan penyeleseiannya adalah batas awal. Pada lokasi awal persamaan
diferensial tersebut adalah persamaan diferensial parsial dengan syarat awal.
Syarat awal adalah perpindahan, kecepatan, dan percepatan yang bernilai nol. Jika
kondisi nilai dari variabel bebas (titik ujung atau batas dari domain). Persamaan
diferensial tersebut adalah persamaan diferensial parsial dengan syarat batas.
Syarat batas adalah batasan atau penyangga fisis yang harus ada sehingga suatu
struktur atau benda dapat berdiri sendiri di dalam ruangan.
Jenis-jenis syarat batas:
Diketahui persamaan differensial orde dua f(x, y, y , y ) = 0
1) Syarat batas bertipe Dirichlet, yaitu masalah nilai batas dengan syarat
batas f(a) = A, f(b) = B, syarat batas ini kita jumpai pada masalah
perpindahan (besaran-besaran yang tidak diketahui).
2) Syarat batas bertipe Newmann, yaitu nilai batas dengan syarat batas f (a) =
A, f (b) = B, syarat batas yang terakhir ini seringkali dapat dihubungkan
dengan gaya-gaya umum (generalized force) (Dessai, 1996:53 ).
34
2.6 Matriks
2.6.1 Pengertian
Matriks adalah suatu jajaran bilangan (yang biasanya disebut unsur
atau elemen) yang disusun dalam bentuk baris dan lajur hingga berbentuk
persegi panjang (Anton, 1987:22-23).
Syarat suatu matriks adalah sebagai berikut:
1. Berbentuk persegi panjang dan ditempatkan dalam kurung biasa
atau kurung siku
2. Unsur-unsur yang terdiri atas bilangan-bilangan
3. Mempunyai baris dan lajur kolom
Ukuran matriks dijelaskan dengan menyatakan banyaknya baris
dan banyaknya kolom yang terdapat dalam matriks tersebut
Contoh: matriks berorde 3 x 2
43
52
61
Sebuah matriks dengan n baris dan n kolom (jumlah baris dan
kolomnya sama) dinamakan matriks persegi orde n.
Contoh: matriks orde 3 x 3
887
654
321
35
2.6.2 Operasi Matriks
1. Penjumlahan Matriks
Misalkan A = ija dan B = ijb adalah dua matriks dengan
ukuran yang sama. Jumlah dari A dan B, ditulis A + B, adalah
matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen
yang bersesuaian dari A dan B. Dalam hal ini dapat ditulis sebagai
berikut:
A + B =
mnmnmmmm
nn
nn
bababa
bababa
bababa
...
............
...
...
2211
2221212121
1112121111
Hasil kali dari matriks A dengan skalar k, ditulis k. A atau
kA, adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan tiap elemen
dari A dengan k, dalam hal ini.
kA =
mnmm
n
n
kakaka
kakaka
kakaka
...
............
...
...
21
22121
11211
(Lipschutz dan Lipson, 2004:9)
2. Perkalian Matriks
Perkalian matriks A dengan skalar g diperoleh dengan
mengalikan semua elemen dari A dengan skalar g.
Jika g. A = C, maka ijij agc
36
Operasi perkalian adalah baris dengan kolom, tiap elemen
dari baris dikalikan dengan elemen dari kolom dan kemudian
dijumlahkan. Seperti ontoh di bawah ini.
1112121111
1
21
11
11211 ...
.
... mm
m
m bababa
b
b
b
aaa
2.6.3 Macam-macam Matriks
Matriks bujur sangkar banyak digunakan di dalam penyelesaian
sistem persamaan linier. Di dalam sistem tersebut, jumlah persamaan (baris)
dan jumlah bilangan tak diketahui (kolom) harus sama untuk mendapatkan
penyelesaian tunggal.
Ada beberapa bentuk matriks bujur sangkar, sebagai berikut:
1. Matriks simetri, apabila jiij aa , misalnya matriks simetri 33
872
731
215
A
2. Matriks diagonal, adalah matriks bujur sangkar di mana semua elemen,
kecuali diagonal utama adalah nol, seperti bentuk sebagai berikut:
44
33
22
11
000
000
000
000
a
a
a
a
A
3. Matriks Identitas, adalah matriks diagonal di mana semua elemen pada
diagonal utama adalah 1, seperti bentuk sebagai berikut:
37
1000
0100
0010
0001
A
4. Matriks segitiga atas, adalah matriks di mana semua elemen di bawah
diagonal utama adalah nol, seperti bentuk sebagai berikut:
44
3433
242322
14131211
000
00
0
a
aa
aaa
aaaa
A
5. Matriks segitiga bawah, adalah matriks di mana semua elemen di atas
diagonal utama adalah nol, seperti bentuk sebagai berikut:
44434241
333231
2221
11
0
00
000
aaaa
aaa
aa
a
A
6. Matriks pita, adalah matriks yang mempunyai elemen sama dengan nol,
kecuali pada satu jalur yang berpusat pada diagonal utama, seperti
bentuk sebagai berikut:
4443
343332
132221
1211
00
0
0
00
aa
aaa
aaa
aa
A
Matriks di atas mempunyai tiga jalur, yang biasa disebut dengan
matriks tridiagonal (Triatmodjo, 2002:45-46).
38
2.7 Metode Thomas
Dalam kasus yang khusus, suatu iterasi numerik dihadapkan pada kenyataan
bahwa penyelesaian suatu masalah yang berhubungan dengan beberapa
persamaan yang harus diselesaikan dengan suatu matriks. Metode yang
didasarkan pada persamaan diferensial parsial pada getaran kabel yang tersusun
dalam suatu matriks diatur sedemikian hingga sehingga terbentuk unsur matriks
tridiagonal dalam penyelesaian metode Thomas.
Salah satu algoritma yang digunakan dalam penyelesaian metode Thomas
adalah membentuk matriks Tridiagonal.
2.7.1 Matriks Tridiagonal
Untuk membentuk matriks Tridiagonal digunakan prosedur eliminasi
Gauss, yaitu:
bTx (2.6.1.1)
Dimana T adalah Matriks Tridiagonal. Dengan augmented matriks T
dan b, maka persamaan bTx dapat ditulis sebagai berikut:
n
n
nnnn
nnnnnn
b
b
b
b
b
b
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
aa
1
4
3
2
1
,1,
,11,12,1
454443
343332
232221
1211
.
.
.
000000000
00000000
...........
...........
...........
000...00
000...00
000...00
000...000
(2.6.1.2)
39
Pada kolom ke-satu baris kedua, dilakukan eliminasi bagi 21a
sehingga mengubah semua nilai dari baris kedua dengan 111
212 R
a
aR ,
sehingga baris kedua menjadi:
111
2122312
11
2122 000...000 b
a
abaa
a
aa
(2.6.1.3)
Dengan cara yang sama 32a pada kolom ke dua dieliminasi dari
baris ketiga, dan 43a dieliminasi dari kolom ke-tiga, dan seterusnya.
Proses eliminasi elemen-elemen tersebut tidak membutuhkan perhitungan.
Penyimpanan penggali eliminasi tersebut menggunakan metode
Dekomposisi LU, sehingga terbentuk matriks T (Tridiagonal) yang
dinyatakan dalam matriks segitiga atas.
Apabila matriks T disimpan dalam bentuk elemen-elemen l, d dan
u dimana nddd ,...,, 21 berkorespondensi dengan iia dari matriks penuh T,
dan 121 ,...,, nuuu berkorespondensi dengan elemen-elemen di atas elemen-
elemen diagonal utama, maka persamaan (2.6.1.1) dapat ditulis sebagai
bentuk berikut:
40
ii
nn
bx
dl
udl
udl
udl
ud
000000000
...........
...........
...........
000...00
000...00
000...00
000....000
444
333
222
11
(2.6.1.4)
Dengan proses augmented matriks, maka bentuk persamaan
(2.6.1.4) dapat ditulis sebagai berikut:
11
22
1
4
3
2
1
111
444
333
222
11
.
.
.
000000000
00000000
...........
...........
...........
000...00
000...00
000...00
000...000
Rd
lR
b
b
b
b
b
b
dl
udl
udl
udl
udl
ud
n
n
nn
nnn
(2.6.1.5)
2'2
33
1
4
3
'2
1
111
444
333
2'2
1
2
11
.
.
.
000000000
00000000
...........
...........
...........
000...00
000...00
000...00
000...000
Rd
lR
b
b
b
b
b
b
dl
udl
udl
udl
uddl
ud
n
n
nn
nnn
(2.6.1.6)
41
4'3
43
1
4
'3
'2
1
111
444
3'3'
2
3
2'2
1
2
11
.
.
.
000000000
00000000
...........
...........
...........
000...00
000...00
000...00
000...000
Rd
lR
b
b
b
b
b
b
dl
udl
udl
udd
l
uddl
ud
n
n
nn
nnn
(2.6.1.7)
Proses berulang samapai nl dieliminasi dari baris ke-n, dimana
baris ke-satu tetat (tidak berubah), semua elemen-elemen l direduksi
menjadi nol secara otomatis, sehingga berbentuk matriks sebagai berikut:
nnn
n
nnnn
n
bdd
l
budd
l
budd
l
budd
l
buddl
bud
''
1
'11
'1'
2
1
'444'
3
4
'33
'3'
2
3
'22
'2
1
2
111
0...00000
...00000
............
............
............
000...00
000...00
000...00
000...000
(2.6.1.8)
Dari persamaan (2.6.1.4) dapat dituliskan ke dalam bentuk umum reduksi
baris yaitu:
42
1
1i
i
iii d
d
ldd (i = 2, 3, ..., n) (2.6.1.9)
Elemen-elemen dari vektor b dapat ditulis sebagai berikut:
1'1 bb (2.6.1.10)
'1'
1
'i
i
iii b
d
lbb (i = 2, 3,...,n) (2.6.1.11)
Sehingga vektor x dapat dihitung dengan subtitusi mundur,
sehingga persamaan (2.6.1.8) menjadi:
n
nn d
bx
'
(2.6.1.12)
'1
'
i
iiii d
xdbx (i = n 1, n 2, ...,1) (2.6.1.13)
Dengan menggunakan persamaan (2.6.1.9), (2.6.1.11), (2.6.1.13)
pada persamaan (2.6.1.3), maka dapat ditulis sebagai berikut:
3,1'2,1
1,2,
'2, i
i
iii a
a
aaa (i = 2, 3,...,n) (2.6.1.14)
1'1 bb (2.6.1.15)
'1'
2,1
1,'i
i
iii b
a
abb (i = 2, 3,...,n) (2.6.1.16)
'2,
'
n
nn
a
bx (2.6.1.17)
1'2,
'3,'
i
i
iii x
a
abx (i = n
1, n
2, ...,1)
(2.6.1.18)
(Kreyszig, 1988)
43
2.7.2 Algoritma Thomas
Metode Thomas dapat menyelesaikan persamaan linier simultan
yang dapat dibentuk menjadi matriks tridiagonal. Persamaan semacam ini
banyak dijumpai dalam perhitungan numerik pada persamaan diferensial
parsial dengan metode beda-hingga, diantaranya dengan menentukan
fungsi f(x) dan menghitung f (x) dan f (x). Kemudian diselesaikan
dengan cara sebagai berikut:
Algoritma Thomas yaitu:
a) Mendapatkan matriks segitiga bawah [L] dan segitiga atas [U]
b) Menyelesaikan [L]{Y} = {b}
c) Menyelesaikan [U]{X} = {z}
Misalkan persamaan matriks sebagai berikut:
[A] .{X} = {B}
Matriks yang paling kiri hanya mempunyai harga tiga diagonal,
sedangkan elemen-elemen di luar itu bernilai nol. Matriks kolom X(X1, X2,
X3, X4) diketahui. Penyeleseian pesamaan linier simultan dapat dilakukan
dengan mendekomposisi matriks tridiagonal A menjadi:
A = LU
Apabila kedua matriks di ruas kanan dikalikan, akan didapat:
1000
100
010
001
00
00
00
000
00
0
0
00
34
23
12
4443
3332
2221
11
4443
343332
232221
1211
U
U
U
x
LL
LL
LL
L
aa
aaa
aaa
aa
44
44344343
343333233232
232222122121
121111
4443
343332
232221
1211
.00
..0
0..
00.
00
0
0
00
LULL
ULLULL
ULLULL
ULL
aa
aaa
aaa
aa
a11 = L11 a21 = L21 a32 = L32 a43 = L43
a12 = L11.U12 a22 = L21.U12+L22 a33 = L32.U23+L33 a44 = L44.U34+L44
a23 = L22.L23 a34 = L33.L34
Dalam bentuk umum:
Lij = A11
Lij = Aji, untuk i = 2,n ; j = 1,n-i
Lii = Aii-Lij x Uji, untuk i = 2,n ; j = i-1,n-1
Uij = Aij / L11, untuk i = 1,n ; j = i+1,n
Jadi elemen-elemen dari matriks L dan U dapat dihitung dari
persamaan dengan cara rekursi. Untuk menyeleseikan persamaan terlebih
dahulu didefinisikan matriks kolom.
nY
Y
Y
Y:2
1
Yang memenuhi persyaratan L .Y = B
4
3
2
1
4
3
2
1
4443
3332
2321
11
00
00
00
000
b
b
b
b
Y
Y
Y
Y
LL
LL
LL
L
Karena B = L.Y
45
A.X = B = L.Y
L.U.X = L.Y
U.X = Y
Artinya bilangan yang dicari X(X1, X2, X3, X4) dalam persamaan
matrik tridiagonal dapat diselesaikan secara bertahap
4
3
2
1
4
3
2
1
34
23
12
1000
100
010
001
Y
Y
Y
Y
X
X
X
X
U
U
U
4
3
2
1
4
3443
2332
1221
000
0.00
00.0
000.
Y
Y
Y
Y
X
UXX
UXX
UXX
Dari matriks di atas maka diperoleh:
11221 . YUXX
22332 . YUXX
33443 . YUXX
44 YX
2.8 Kajian Keagamaan
Pada fenomena dunia saat ini, banyak dipengaruhi oleh kemajuan ilmu
pengetahuan dan teknologi dengan segala dampaknya, baik yang bernilai positif
maupun yang bernilai negatif. Maka peranan agama sebagai pengendali sikap dan
perilaku kehidupan manusia, maupun sebagai landasan moral, etika dan spiritual
46
masyarakat dalam melaksanakan pembangunan nasional, menjadi semakin
penting dan menentukan.
Dalam menguasai ilmu pengetahuan dan teknologi, seperti ilmu
pengetahuan alam, ilmu hitung, dan ilmu sosial harus dilandasi oleh Al-Qur an
dan Hadist, karena keduanya merupakan sumber agama Islam yang telah
memberikan kepada kita tentang fakta-fakta ilmiah yang kelak ditemukan dan
dibuktikan oleh eksperimen Sains umat Islam. Di dalam Al-Qur an terdapat
perintah-perintah yang menyeru kepada manusia untuk menyakinkan eksistensi
Tuhan melalui ciptaan-Nya, memperhatikan kekuasaan-Nya melalui akan realitas
yang terhampar luas di langit dan di bumi. Maka kita sebagai makhluk Allah SWT
harus bisa menggunakan apa yang ada di langit dan di bumi dengan sebaik-
baiknya dalam kehidupan sehari-hari. Seperti yang dijelaskan pada QS. Al-
A laa:2-3, yang berbunyi sebagai berikut:
Artinya: Yang Menciptakan, dan menyempurnakan (penciptaan-Nya), Dan yang
menentukan kadar (masing-masing) dan memberi petunjuk .
Dalam QS. Al-Luqman:20 terdapat kata yang berbunyi Sakhira yang
berarti menundukkan atau menjadikan. Kata itu juga memiliki arti yang lain, yaitu
pertama, segala sesuatu yang terdapat di bumi sepenuhnya dibawah kendali
manusia dan ia dapat menggunakan sebagaimana kebutuhannya. Seperti, tumbuh-
tumbuhan, bumi, dan kekayaan mineral. Kedua, ada sistem hukum yang reguler
dan tetap yang mengatur jalannya segala sesuatu dan dapat diambil manfaatnnya
47
oleh manusia. Seperti, matahari, bulan, bintang galaksi dan sebagainya, yang
dapat dimanfaatkan dalam kehidupan sehari-hari (Rahman, 2007:39).
Alam semesta serta segala isinya diciptakan Allah dengan ukuran-ukuran
yang cermat dan teliti, dengan perhitungan-perhitungan yang mapan, dan dengan
rumus-rumus serta persamaan yang seimbang dan rapi. Seperti dalam QS Al-
Furqan:2 sebagai berikut:
Artinya: ...Dan Dia telah menciptakan segala sesuatu dan Dia menetapkan ukuran-ukurannya dengan serapi-rapinya.
Semua yang ada di alam ini ada ukurannya, ada hitungan-hitungannya, ada
rumusnya atau ada persamaannya. Seorang ahli matematika atau fisika tidak
membuat rumus, tetapi menemukan dan menyimbolkan karena Allah telah
menyediakan. Persamaan diferensial dalam perkembangan ilmu dan teknologi
sekarang dapat dijadikan dalam pemodelan-pemodelan matematika yang
dilakukan manusia sebenarnya bukan membuat sesuatu yang baru. Pada
hakikatnya mereka hanya mencari pesamaan-persamaan atau rumus-rumus yang
berlaku pada suatu fenomena. Seperti demam berdarah, tuberkolosis, bahkan flu
burung ternyata mempunyai aturan-aturan yang matematis. Segala sesuatu telah
diciptakan dengan ukuran, perhitungan, rumus atau persamaan tertentu yang rapi
dan teliti (Abdusysyakir, 2007:79-81).
Matematika pada dasarnya berkaitan dengan ilmu hitung, atau ilmu al-
hisab. Dalam hal hitung-menghitung, Allah adalah rajanya. Allah sangat cepat
dalam menghitung dan sangat teliti. Karena ilmu hitung dalam kehidupan sangat
48
dibutuhkan. Seperti dalam perhitungan perdagangan, ilmu waris dan sebagainya.
Karena dalam bidang matematika juga sangat dibutuhkan dalam menyelesaiakan
suatu permasalahan yang berkaitan dengan ilmu hitung dalam kehidupan sehari-
hari.
Berdasarkan QS Al-Furqan:2 di atas. Bahwasannya persamaan diferensial
bukan dari buatan manusia, tetapi Allahlah yang telah menentukannya. Persamaan
diferensial dibagi menjadi dua, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan
diferensial parsial. Dalam penulisan ini persamaan diferensial parsial dapat
diselesaikan dengan menggunakan metode Thomas. Jadi, segala sesuatu yang ada
di bumi manusia dapat menemukan dari hasil yang telah diteliti dan semua itu
Allah yang telah menetapkan.
Al-Qur an merupakan salah satu keindahan mukjizat dan bukti bahwa ia
benar-benar berasal dari Sang Pencipta manusia dan Sang Pencipta alam raya.
Manusia diharapkan dapat bekerja sebagai khalifah-Nya di atas bumi, menjadi
cerminan citra Allah Sang Pencipta dan mengatasi segala kelemahannya, sehingga
ia dapat lebih dekat kepada kesempurnaan Tuhan. Salah satu cara yang digunakan
sebagai seorang khalifah dalam mengatur apa yang ada di bumi, yaitu dengan
menggunakan ilmu hitung yang disebut juga dengan ilmu matematika. Karena
penciptaan manusia bertujuan untuk mencapai kesempurnaan tertinggi tergantung
pada kerja keras dan usaha yang terus-menerus.
Kalkulus merupakan permulaan dari ilmu Matematika yang disebut
analitik. Persamaan diferensial, deret tak terhingga, fungsi, variabel kompleks dan
analisa dari berbagai obyek. Ruang lingkup aljabar juga diperluas dengan berbagai
49
abstraksi, seperti bilangan kompleks, vektor, matriks dan teori tentang struktur
aljabar yang yang sering disebut sebagai aljabar abstrak, geometri dan topologi.
Ayat dibawah ini menjelaskan tentang konsep matematika dalam QS. Al-A raaf
85 adalah sebagai berikut:
Artinya: Dan (Kami Telah mengutus) kepada penduduk Mad-yan[552] saudara
mereka, Syu'aib. ia berkata: "Hai kaumku, sembahlah Allah, sekali-kali tidak ada Tuhan bagimu selain-Nya. Sesungguhnya Telah datang kepadamu bukti yang nyata dari Tuhanmu. Maka sempurnakanlah takaran dan timbangan dan janganlah kamu kurangkan bagi manusia barang-barang takaran dan timbangannya.... ". (QS. Al-A raf:85)
[552] Mad-yan adalah nama putera nabi Ibrahim a.s. Kemudian menjadi nama kabilah yang terdiri dari anak cucu Mad-yan itu. Kbilah Ini diam di suatu tempat yang juga dinamai Mad-yan yang terletak di pantai laut merah di tenggara gunung Sinai.
Ayat di atas menjelaskan tentang keadilan bagi para ahli matematika.
Mereka harus bekerja keras menghitung bilangan-bilangan secara tepat, sehingga
semua pihak yang berkepentingan bisa merasakan keadilan. Tidak boleh ada
selisih dalam perhitungan. Semua harus dilakukan secara seksama dan akurat
sehingga menghasilkan kebenaran yang sahih. Semangat inilah yang sangat
ditekankan oleh Al-Qur an. Ketepatan dalam perhitungan yang dilakukan oleh
ahli matematika bukan saja dilakukan demi menjamin keadilan kepada siapa saja
yang berkepentingan, melainkan juga demi memperoleh informasi yang benar-
50
benar berdasarkan perhitungan dan demi menjaga keadilan terhadap semua pihak
dalam segala keadaan.
Berdasarkan ayat di atas dalam ilmu matematika, apabila suatu persamaan
sulit diselesaikan secara analitis, maka penyelesaian dapat dilakukan dengan cara
lain, yaitu secara numerik. Karena penyelesaian secara numerik dapat
memberikan hasil perhitungan yang mendekati dengan nilai perkiraan atau
pendekatan dari hasil persamaan tersebut. Hasil tersebut dalam ilmu matematika
digunakan sebagai analisa hasil perhitungan yang diinginkan. Sehingga
penyelesaian secara numerik ini, lebih tepat digunakan dalam penyelesaian
persamaan, diantaranya persamaan diferensial parsial dan persamaan diferensial
biasa. Apabila keinginannya dalam menyelesaikan persamaan belum tercapai,
maka dalam perhitungan secara numerik bisa dilakukan dengan menggunakan
metode numerik lain yang lebih mudah dalam menyelesaikan persmaan tersebut.
Tetapi dalam al-Qur an surat QS. Al-A raf: 85 di atas, menjelaskan bahwa dalam
perhitungan harus mempunyai nilai yang pasti untuk menjaga keadilan.
Allah memerintahkan agar kesempurnaan dipelihara sebaik-baiknya dalam
setiap aspek kehidupan manusia, terlebih lagi dalam hal ketetapan dan keakuratan
penentuan angka dan bilangan yang menjadi dasar bagi beroperasinya bidang
industri dan sains. Sebagai seorang ahli matematika harus bekerja keras membuat
perhitungan dengan akurasi yang tinggi, ada Allah Yang Maha Menghitung (Al-
Hasib) (Rahman, 2007:130).
Beberapa sifat matematika memegang peranan penting dalam kegiatan
keilmuan, diantaranya sebagai berikut:
51
1. Matematika berhubungan dengan pernyataan yang berupa dalil dan
konsekuensi dimana pengujian kebenaran secara matematis akan dapat
diterima oleh setiap orang secara rasional.
2. Matematika tidak tergantung pada perubahan ruang dan waktu matematika
bersifat eksak dalam semua yang dikerjakan meskipun mempergunakan
data yang tidak eksak (merupakan perkiraan).
3. Matematika adalah logika deduktif. Deduksi berarti membangun sistem
matematika. (Abdusysyakir dan Azis, 2006:148-149)
Matematika dapat diselesaikan dengan cara pembuktian, bidang yang
ditelaahnya dan bahasa yang digunakan. Ilmu matematika dapat digunakan
sebagai ketentuan untuk menghitung berbagai kecepatan, gaya, tekanan dan
berbagai sifat lainnya yang berhubungan dengan ilmu hitung. Ilmu hitung dapat
dilakukan dengan ditemukan konsep baru tentang limit dan suatu cara baru yang
disebut diferesial. Untuk memperoleh suatu jumlah dan serangkaian obyek yang
jumlahnya tak terbatas.
52
BAB III
PEMBAHASAN
3.1 Penyelesaian Persamaan Getaran dengan Algoritma Thomas
Persamaan getaran kabel merupakan salah satu bentuk dari persamaan
diferensial parsial orde dua. Untuk menyelesaikan persamaan getaran kabel
terlebih dahulu menggunakan metode Beda Hingga, sebelum membentuk matriks
Tridiagonal dalam penyelesaian algoritma Thomas. Untuk menghitung kecepatan
getaran pada kabel dipengaruhi oleh waktu (t) dan jarak (x). Bentuk umum
persamaan getaran kabel adalah sebagai berikut:
2
22
2
2
x
ua
t
u 0,0 tLx (3.1)
Dengan 00,,0 ttLutu
Lxxfxu 00,
Dimana a adalah konstanta.
Dapat berubah menjadi bentuk sebagai berikut:
01
2
2
22
2
t
u
ax
u. (3.2)
Penyelesaian masalah di atas menggunakan proses iterasi dari persamaan
getaran pada kabel untuk memperoleh kecepatan sepanjang sumbu x. Untuk dapat
menyelesaikan secara numerik dengan lebih mudah, terutama apabila masalah
yang dimaksud melibatkan diskritisasi bagi sistem, maka turunan parsial dari
suatu persamaan harus diubah bentuknya ke dalam persamaan beda hingga.
53
Adapun langkah-langkah dalam menyelesaikan adalah sebagai berikut:
3.1.1 Menentukan Rumus Fungsi f(x) dan f (x),f (x)
Deret Taylor fungsi u(x, t) diekspansi pada t dan x dinyatakan
sebagai berikut:
nitxtx uuuni ,,,
Untuk dapat menentukan f (x) dan f (x) terhadap x dan t, maka dapat
menggunakan metode beda hingga dengan skema implisit yang terdapat
pada bab 2 subbab 2.3.2, yang berbentuk sebagai berikut:
- Turunan pertama terhadap t dan x
t
uu
t
u ni
ni
1
(3.3)
x
uu
x
u ni
ni
111 (3.4)
- Turunan kedua terhadap t
t
u
tt
u2
2
(3.5)
=t
uu
t
ni
ni
1
(3.6)
Misal: pt
uu ni
ni
1
(3.7)
t
pp
t
p ni
ni
1
(3.8)
Maka,
54
t
t
uu
t
uu
t
u
ni
ni
ni
ni
11
2
2
(3.9)
tt
uuu ni
ni
ni
11 2
(3.10)
2
11
2
2 2
t
uuu
t
u ni
ni
ni (3.11)
- Turunan kedua terhadap x
x
u
xx
u2
2
(3.12)
x
uu
x
ni
ni
111 (3.13)
Misal: qx
uu ni
ni
111 (3.14)
x
x
q ni
ni
11
1
(3.15)
Maka,
x
x
uu
x
uu
x
u
ni
ni
ni
ni
11
1111
2
2
(3.16)
xx
uuu ni
ni
ni
11
111 2
(3.17)
2
11
111
2
2 2
x
uuu
x
u ni
ni
ni (3.18)
55
(3.24)
3.1.2 Menentukan Matriks Tridiagonal
Persamaan (3.11) dan (3.18) dimasukkan ke persamaan (3.1)
dinyatakan sebagai berikut:
2
11 2
t
UUU ni
ni
ni = 2a
2
11
111 2
x
UUU ni
ni
ni
(3.19)
112
12
21
12
21
221
2
12121 ni
ni
ni
ni
ni
ni U
xU
x
aU
x
aU
tU
tU
t (3.20)
122
112
112
21
2
21
2
12121 ni
ni
ni
ni
ni
ni U
tU
tU
xU
x
aU
x
aU
t (3.21)
122
112
112
21
2
2
2
12121 ni
ni
ni
ni
ni U
tU
tU
xU
x
aU
x
a
t (3.22)
Dari persamaan (3.22) maka dapat disederhanakan dalam bentuk
sebagai berikut:
DBUAUCU ni
ni
ni
11
111 (3.23)
Dari persamaan (3.23), maka diperoleh pola matriksnya adalah
sebagai berikut:
22
21
x
a
tA
2
2
x
aB
2x
aC
122
12 ni
ni U
tU
tD
Dari pola di atas, dapat menentukan nilai-nilai pola tersebut.
Sehingga dapat membentuk sebuah matriks Tridiagonal. Penyelesaian
56
tersebut dapat dilakukan dengan memberikan input nilai-nilai awal.
Diataranya yaitu, dua kecepatan awal niU dan 1n
iU , serta x dan t .
Dimana, niU = 0,5 dan 1n
iU = 0, 25
5,0tx
a adalah kostanta, maka ditentukan a = 1
Berdasarkan nilai di atas, maka persamaan (3.24) dapat dihitung sebagai
berikut:
22
21
x
a
tA
1225,0
3
)5,0(
1.2
)5,0(
122
A
Jadi, nilai A = 12
2
2
x
aB
425,0
1
)5,0(
12
B
Jadi, nilai B = -4
2x
aC
425,0
1
)5,0(
12
C
Jadi, nilai C = -4
122
12 ni
ni U
tU
tD
57
B C A
i+1 i i-1
(3.25)
)25,0(5,0
1)5,0(
5,0
222
D
325,0
75,0
25,0
25,01D
Jadi, nilai D = 3
Persamaan (3.23) dapat ditulis pada setiap titik hitungan dari i = 1 sampai
n, maka akan terbentuk suatu sistem persamaan sebagai berikut:
0211 CUBUAUi D1
1322 CUBUAUi D2
2433 CUBUAUi D3
nnnn DCUBUAUni
DCUBUAUi
11
4354
..
..
..
4
Dari iterasi di atas dapat ditulis kedalam bentuk matriks tridiagonal.
Dengan menggunakan pola iterasi sebagai berikut
Gambar 1. pola iterasi
Asumsi yang digunakan pada dalam masalah getaran kabel pada pola
iterasi (gambar. 1) adalah sebagai berikut:
1. Kecepatan yang dikenakan pada dinding sebagai syarat batas adalah
nol. (artinya pada saat mengenai dinding keceapatan cenderung diam).
58
0 0.5 1
(3.28)
(3.27)
2. Input berupa kecepatan diberikan pada semua titik.
3. Komponen kecepatan terletak di titik-titik tersebut.
Maka gambaran sistem yang didasarkan pada asumsi di atas adalah
sebagai berikut dengan interval 0 < a < 1:
Gambar 2. pola iterasi
Dari pola perhitungan tersebut, maka untuk menghitung besarnya
kecepatan sepanjang sumbu x adalah menerapkan pola matriks pada gambar (1),
dengan cara menggeser dari kiri ke kanan sistem tersebut ke dalam bentuk matriks
55 sebagai berikut:
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
0000
000
00
00
00
D
D
D
D
D
U
U
U
U
U
C
AC
BAC
BAC
BAC
Atau dapat dinyatakan sebagai ke dalam bentuk matriks sebagai berikut:
3
3
3
3
3
40000
124000
412400
041240
004124
1
75.0
5.0
25.0
0
U
U
U
U
U
3.1.3 Menentukan Matriks [L] dan [U]
Pada persamaan (3.27) merupakan bentuk matriks yang dapat
disederhanakan ke dalam bentuk matriks segitiga bawah [L] dan matriks
segitiga atas [U] sebagai berikut:
0.25 0.75
59
C
AC
BAC
BAC
AAABAC
C
AC
BAC
BAC
BAC
0000
000
00
00
)()(0
0000
000
00
00
00
=
C
AC
BAC
BAABCBAC
AAABAC
0000
000
00
)()(0
)()(0
=
C
AC
ACBCBAC
BAABCBAC
AAABAC
0000
000
)(0
)()(0
)()(0
=
C
CCBCBAC
ACBCBAC
BAABCBAC
AAABAC
0000
0
)(0
)()(0
)()(0
=
C
CCBCBAC
ACBCBAC
BAABCBAC
BBBC
0000
0
0
)()(0
)()(00
=
C
CCBCBAC
ACBCBAC
BACBC
BBBC
0000
0
0
)(00)2(
)()(00
60
=
C
CCBCBAC
BACACBC
BACBC
BBBC
0000
0
002
)(00)2(
)()(00
=
C
CCBCBAC
BACACBC
BACBC
C
0000
0
002
)(00)2(
0000
=
C
CCBCBAC
BACACBC
BACC
C
0000
0
002
0002
0000
Pada matriks Tridiagonal di atas dapat direkursi menjadi matriks
[L] yang berbentuk sebagai berikut:
L =
C
CCBCBAC
BACACBC
BACC
C
0000
0
002
0002
0000
(3.29)
Pada matriks Tridiagonal di atas dapat direkursi menjadi matriks
[U] yang berbentuk sebagai berikut:
C
AC
BAC
BACC
B
C
A
C
AC
BAC
BAC
BAC
0000
000
00
00
001
0000
000
00
00
00
61
=
C
AC
BACC
BC
B
C
A
0000
000
00
0010
001
=
C
AC
C
BC
B
C
A
0000
000
00100
0010
001
=
CC
A
C
BC
B
C
A
0000
1000
00100
0010
001
=
10000
1000
00100
0010
001
C
A
C
BC
B
C
A
Jadi, matriks U =
10000
1000
00100
0010
001
C
A
C
BC
B
C
A
(3.30)
62
Persamaan di atas dapat dilakukan dengan mendekomposisi matriks
Tridiagonal A menjadi:
A = LU
5554
454443
343332
232221
1211
000
00
00
00
000
aa
aaa
aaa
aaa
aa
=
C
CCBCBAC
BACACBC
BACC
C
0000
0
002
0002
0000
10000
1000
00100
0010
001
C
A
C
BC
B
C
A
(3.31)
5554
454443
343332
232221
1211
000
00
00
00
000
aa
aaa
aaa
aaa
aa
CC
ACCC
C
BBC
C
BBACBC
C
ABACBAC
BACC
BAC
C
BBCAC
C
ABCBC
C
BBAC
C
BCBAC
C
ACC
C
BC
C
ACC
0000
.).().()().(
00)().().2()().2(2
00).(.2)(.22
00..
(3.32)
63
3.1.4 Menentukan [L]{X} = {D}
L =
C
CCBCBAC
BACACBC
BACC
C
0000
0
002
0002
0000
(3.33)
[L]{Y} = {D}
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
0000
0
002
0002
0000
D
D
D
D
D
U
U
U
U
U
C
CCBCBAC
BACACBC
BACC
C
(3.34)
5
4
3
2
1
5
4321
321
21
1
.
....
...2
..2
.
D
D
D
D
D
UC
UCUCUBCUBAC
UBACUACUBC
UBACUC
UC
(3.35)
Dari matriks di atas maka diperoleh nilai sebagai berikut:
C. U1 = D1
2C.U1 + (C + A + B).U2 = D2
(2C-B).U1 + (C + A). U2 + (C + A + B).U3 = D3 (3.36)
(C-A-B).U1 + (C-B).U2 + C.U3 + C.U4 = D4
C.U5 = D5
Dari persamaan (3.36), maka nilai U1, U2, U3, U4 dan U5 dapat
diketahui dari matriks segitiga bawah, adalah sebagai berikut:
Dengan memasukkan nilai A = 12, B = -4, C = -4 dan D = 3
- C. U1 = D1
64
(-4). U1 = 3
4
31U
- 2C.U1 + (C + A + B).U2 = D2
2(-4)(4
3) + (-4 + 12 + (-4)). U2 = 3
4
32U
- (2C-B).U1 + (C + A). U2 + (C + A + B).U3 = D3
2(-4)( 4
3) + (-4+12)(
10
3) + (-4 + 12 + (-4)) U3 = 3
2
33U
- (C-A-B).U1 + (C-B).U2 + C.U3 + C.U4 = D4
(-4 12 (-4))( 4
3) + (-4 (-4))(
10
3) + (-4)(
4
5) + (-4) U4 = 3
2
34U
- C.U5 = D5
(-4) U5 = 3 4
35U
3.1.5 Menentukan [U]{X} = {D}
U =
10000
1000
00100
0010
001
C
A
C
BC
B
C
A
(3.37)
65
[U]{X} = {D}
10000
1000
00100
0010
001
C
A
C
BC
B
C
A
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
D
D
D
D
D
U
U
U
U
U
(3.38)
5
4
3
2
1
5
54
3
32
321
.
.
..
D
D
D
D
D
U
UC
AU
U
UC
BU
UC
BU
C
BU
(3.39)
Dari matriks di atas, maka diperoleh nilai sebagai berikut:
1321 .. DUC
BU
C
AU
232 . DUC
BU
(3.40)
33 DU
434 . DUC
AU
55 DU
Dari persamaan (3.40), maka nilai U1, U2, U3, U4 dan U5 dapat
diketahui dari matriks segitiga atas, adalah sebagai berikut:
- 1321 .. DUC
BU
C
AU
66
33.
4
46.
4
121U 181U
- 232 . DUC
BU
33.4
42U 02U
- 33 DU 33U
- 434 . DUC
AU
33.412
4U 4U 12
- 55 DU
35U
3.2 Analisis Pembahasan
Hasil penyelesaian di atas bahwa kecepatan U1, U2, dan U5 mempunyai nilai
yang sama, yaitu 4
3satuan pada perhitungan segitiga bawah. Sedangkan dari
hasil perhitungan pada segitiga atas mempunyai nilai yang sama pada kecepatan
U3, dan U5, yaitu 3 satuan. Ketika pada saat 5.0tx dengan dua tebakan
awal niU = 0,5 dan 1n
iU = 0,25, serta syarat awal dan syarat batas
0,0 tLx .
Dalam penyelesaian persamaan diferensial parsial orde dua pada getaran
kabel dengan menggunakan metode Thomas mempunyai nilai kesamaan yang
terdapat pada kecepatan U5. Dalam hasil perhitungan dengan segitiga atas [U] dan
segitiga bawah [L], dari keduanya mempunyai nilai yang sama dalam perhitungan
67
tersebut. Sehingga kecepatan pada getaran kabel sepanjang sumbu x dari setiap
titik yang bergantung pada x dan t , maka dengan menggunakan hitungan numerik
akan mempunyai getaran yang stabil dan memberikan hasil yang sama pada [L]
dan [U].
3.3 Tinjauan Agama terhadap Hasil Pembahasan
Berdasarkan hasil pembahasan di atas, bahwa dalam penyelesaian
persamaan diferensial parsial pada getaran kabel dapat diselesaikan dengan
menggunakan metode numerik, karena persamaan diferensial parsial pada kebel
lebih mudah dan lebih cepat diselesaikan dengan metode numerik dari pada
dengan menggunakan solusi analitik. Sedangkan di dalam agama, Allah
memberikan kemudahan bagi umatnya untuk menyelesaikan segala masalah.
Dalam hal ini kemudahan sangat dibutuhkan dalam menyelesaikan persamaan,
terutama dalam bidang ilmu matematika. Seperti yang tercantum dalam QS Al-
Baqarah:185 sebagai berikut:
Artinya:
....Bahwasannya Allah menghendaki kemudahan dan tidak menghendaki kesukaran bagimu dan hendaklah kamu mencukupkan bilangannya dan hendaklah kamu mengagungkan Allah atas petunjuk-Nya yang diberikan kepadamu, supaya kamu bersyukur.
Kemudahan dalam ilmu matematika dapat memberikan jalan yang benar
untuk penyelesaian persamaan tersebut. Dalam menyelesaikan langkah-
68
langkahnya harus teliti, untuk memperoleh hasil yang tepat dalam perhitungan
secara matematis. Adapun kemudahan dalam menyelesaian permasalahan itu,
khususnya dalam ilmu matematika perlu adanya penjelasan yang berkaitan dengan
hadits diriwayatkan oleh Bukhari, sebagai berikut:
Dari Anas r.a dari Rosulullah saw bersabda: Hendaklah kamu memudahkan dan jangan mempersulit, hendaklah kamu memberikan kabar gembira dan jangan menyebabkan orang lari. (HR. Bukhari)
Berdasarkan hadist di atas bahwasannya ilmu matematika itu harus
diberikan dengan kesenangan agar dapat diselesaikan dengan mudah. Pada hadits
yang lain riwayat Muslim (3264) dijelaskan juga bahwa disampaikan dengan
bertahap (Fachruddin, 1996 :561).
Dalam ilmu matematika metode numerik banyak digunakan dalam
penyelesaian persamaan diferensial, yaitu diferensial parsial dan diferensial biasa.
Karena metode numerik merupakan salah satu cara yang digunakan dalam
penyelesaian persamaan, apabila persamaan tersebut tidak bisa diselesaikan secara
analitik, adapun dalam pengerjaan langkah demi langkah harus teliti dan cermat.
Dalam Islam sangat menekankan keharusan melakukan penyelidikan yang teliti
dan pengamatan yang benar terhadap fakta-fakta konkret dalam alam semesta
untuk kemudian merenungkan temuannya itu untuk mencapai Kebenaran Hakiki.
Sebagai manusia yang tidak lepas dari kesalahan, maka dalam melakukan
perhitungan harus dengan teliti untuk mendapatakan kebenaran dalam hasil
perhitungannya. Seperti dalam QS Maryam:94 sebagai berikut:
69
Artinya:
Sesungguhnya Allah telah menentukan jumlah mereka dan menghitung mereka dengan hitungan yang teliti.
Ayat di atas dipahami oleh banyak ulama sebagai Dia yang mengetahui
kadar setiap peristiwa dan rinciannya, baik apa yang terjangkau oleh makhluk
maupun yang tidak terjangkau, seperti hembusan nafas, rincian perolehan rezeki
dan kadarnya untuk masa kini dan mendatang. Allahlah yang mengetahui dengan
amat teliti rincian segala sesuati dari segi jumlah dan kadarnya, panjang dan
lebarnya, jauh dan dekatnya, tempat dan waktunya, kadar cahaya dan gelapnya,
sebelum, sedang atau ketika dan saat wujudnya dan lain-lain sebagainya (Shihab,
2002:257).
Al-Qur an mengajak manusia untuk menyelidiki, mengungkap keajaiban,
dan rahasia-Nya, serta memerintahkan manusia untuk memanfaatkan kekayaan
alam yang melimpah untuk kesejahteraan hidupnya. Dengan demikian
bahwasannya al-Qur an mengajak manusia untuk menyaksikan eksistensi Tuhan
melalui ciptaan-Nya, mengungkap rahasia-rahasia akan realitas konkret yang
terdapat di langit dan di bumi untuk dimanfaatkan bagi kesejahteraan hidup
(Rahman, 2007:21). Salah satunya, yaitu dengan mempelajari ilmu matematika.
Dalam ilmu matematika banyak memberikan manfaat bagi manusia dalam
hal ilmu hitung-menghitung dalam kehidupan sehari-hari (misalkan perhitungan
ilmu waris, perdagangan dan sebagainya), dan juga banyak menemukan nikmat
dari Allah yang sebelumnya tidak ia ketahui. Al-Qur an memberikan petunjuk
tentang jalan yang benar menuju ilmu pengetahuan serta mampu mendapatkan
70
kesimpulan yang benar berdasarkan penalaran dan observasi tentang keajaiban
dan rahasia Allah.
Dengan adanya kemajuan ilmu pengetahuan, semua nikmat yang
dikaruniakan Allah kepada manusia dapat dengan mudah dirasakan, dibuka
keajaiban dan rahasianya, sehingga akan membawa manusia lebih dekat kepada
Allah melalui hasil-hasil perhitungan yang telah dilakukan dalam menyelesaikan
masalah yang berkaitan dengan ilmu matematika. Karena penciptaan manusia
bertujuan untuk mencapai kesempurnaan tertinggi tergantung pada kerja keras dan
usaha yang terus-menerus. Terutama dalam belajar matematika perlu adanya kerja
keras dan terus-menerus dalam menyelesaikan permasalahan, sampai
mendapatkan hasil yang tepat dan benar. Sebagai seorang ahli matematika,
ketepatan serta akurasi dalam perhtungan yang dilakukan harus mempunyai hasil
yang seksama dan akurat, sehingga menghasilkan kebenaran yang shahih.
Semangat inilah yang ditekankan dalam Al-Qur an. Seperti yang tercantum dalam
Q.S An-Nisa :86 sebagai berikut:
Artinya:
...Sesungguhnya Allah selalu membuat perhitungan atas tiap-tiap sesuatu.
71
BAB IV
PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil pembahasan, bahwa dalam menyelesaikan persamaan
diferensial parsial pada getaran kabel dengan metode Thomas dapat menggunakan
langkah-langkah sebagai berikut:
6. Menentukan rumus fungsi f(x) dan f (x), f (x)
7. Menentukan matriks Tridiagonal
8. Menentukan matriks [L] dan [U]
9. Menentukan [L] [X] = [D]
10. Menentukan [U] [X] = [D]
Dari langkah-langkah di atas dapat membentuk pola dari diskritisasi sistem
persamaan sampai membentuk matriks tridiagonal. Kemudian dapat diselesaikan
dengan menentukan matriks segitiga atas [U] dan segitiga bawah [L] untuk
menghitung kecepatan sepanjang sumbu x. Pada dasarnya persamaan diferensial
pada kabel merupakan salah satu bentuk persamaan diferensial parsial yang dapat
diselesaikan dengan menggunakan metode numerik. Salah satunya yaitu metode
Thomas.
Dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial pada getarann kabel
dengan menggunakan metode Thomas, dapat menghasilkan kecepatan yang sama,
yaitu pada saat U5. ketika pada saat 5.0tx dengan dua tebakan awal niU
= 0,5 dan 1niU = 0, 25, serta menentukan syarat awal dan syarat batas. Hasil
72
tersebut dapat diketahui dengan menggunakan perhitungan pada matriks segitiga
bawah [L] dan segitiga atas [U]. Sehingga kecepatan dalam getaran kabel
sepanjang sumbu X dari setiap titik yang bergantung pada x dan t mempunyai
getaran yang stabil dan memberikan hasil yang sama pada [L] dan [U] yaitu, pada
kecepatan U5 .
4.2 Saran
Untuk menindaklanjuti penelitian ini, diharapkan kepada pembaca untuk
membuat program numerik dengan bantuan komputer serta pola perhitungan
numeriknya dapat menggunakan bentuk silinder atau tabung dengan
menggunakan metode numerik yang dapat menyelesaikan persamaan diferensial
parsial orde dua.
73
DAFTAR PUSTAKA
Abdusysyakir. 2007. Ketika Kyai Mengajar Matematika. Malang: UIN Malang Press.
Abdusysyakir dan Abdul azis. 2006. Analisis Matematika Terhadap Filsafat Al-Qur an. Malang: UIN Malang Press.
Anton, Howard. 1987. Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga
Conte, Samuel. 1993. Dasar-Dasar Analisis Numerik. suatu pendekatan algoritma. terjemahan Mursaid. Jakarta: Erlangga.
Dessai.C, S.1996. Dasar-Dasar Metode Elemen-Hingga. Jakarta: Erlangga.
Djojodiharjo, Harijono. 1983. Metoda Numerik. Jakarta: Erlangga.
Fachruddin dan Irfan Fachruddin. 1996. Pilihan Sabda Rasul (Hadis-hadis Pilhan). Jakarta: Bumi Aksara.
Fuad Pasya, Ahmad. 2004. Dimensi SAINS Al-Qur an. Solo: PT Tiga Serangkai Pustaka Mandiri.
Kreyszig, Erwin. 1991. Advanced Enginering Mathematics. Singapore: the Permissions Departement.
Leithold, Louis. 1992. Kalkulus Dan Ilmu Ukur Analitik. Jakarta: Erlangga.
Lipson Lars dan Lipschutz Seymour. 2004. Aljabar Linear. Jakarta: Erlangga.
Mushthafa, Ahmad. 1993. Terjemahan Tafsir A-Maraghi 4. Semarang: PT Karya Toha Putra.
Purcell, Edwin. J dkk. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta: Erlangga
Rahman, Fazlur. 2007. Ensiklopedia Ilmu Dalam Al-Qur an. Bandung: PT Mizan Pustaka.
Saff, Eward dan kent nagle. 2003. Fundamental Of Differential Equations and Boundary Value Problems. University South Florida.
Setyo Budhi, Wono. 2001. Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunaannya. Bandung: ITB.
74
Shihab, Quraish. 2002. Tafsir Al-Mishbah, Jakarta: Lentera Hati.
Spiegel. R Murray. 1986. Analisis Fourier. Jakarta: Erlangga.
Triatmodjo, Bambang. 2002. Metode Numerik. Yogyakarta: Universitas Gajah Mada.
Yahya, Yusuf . dkk. 2004. Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi. Jakarta: Ghali Indonesia.
This document was created with Win2PDF available at http://www.daneprairie.com.The unregistered version of Win2PDF is for evaluation or non-commercial use only.