1 bcc 101 –matemática discreta regras de inferência bcc101 - matemática discreta i

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BCC 101 –Matemática Discreta

Regras de Inferência

BCC101 - Matemática Discreta I

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Inferência Formal (lógica matemática) Linguagem – notação para enunciar teoremas

(premissas e conclusões): fórmulas da linguagem

Regras de Inferência – regras para concluir novas fórmulas a partir de fórmulas já provadas ou hipóteses

Inferência Formal (Prova) – um conjunto de hipóteses juntamente com uma sequência de aplicações de regras de inferência para obter uma conclusão

Inferência Lógica


Inferência – exemplo 1

A soma de 2 números pare é um número par 10 é par 14 é par Portanto, a soma 10+14 é um número par

(∀x∀y. par(x) par(y) → par(x+y)),

par(10), par(14) ⊢ par(10+14)

3BCC101 - Matemática Discreta I

hipóteses conclusãosímbolo de sequente

Quais são as regras de inferência usadas?

Inferência – exemplo 1

4BCC101 - Matemática Discreta I

par(14)

par(10)

par(10+14)

par(10) par(14)

∀x∀y. par(x) par(y) → par(x+y)

∀y. par(10) par(y) → par(10+y)

par(10) par(14) → par(10+14)

hipóteses

conclusão

a a → b {→E} b

∀x. p(x) {∀E} p(t)

a b {I} a b

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Algumas Regras de Inferência

a b {I} a b

E Introdução

a b {EL} a

E Eliminação Esq

a b {ER} b

E Eliminação Dir

Como as regras funcionam: Se temos provas das proposições acima da linha (ou se elas são premissas do sequente a ser provado), podemos inferir a proposição abaixo da linha.

Implica Eliminação

a ab {E} b

Nom

e e

m

Lati

n:

Mod

us

Pon

en

s


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Exemplo 2a b, b -> c |– a c

a b{ER} ba b

{EL} a

{I}

a c

prova de adado a bhipótese

prova de bdado a b

Pode-se reusar uma hipótese do teorema


prova de cdado a b e b -> c

{⇒E}b ⇒ c

c

hipótese

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Outro Teorema e sua ProvaTeorema

a b, ac, bd |– c dProva

a b{ER} b

a b{EL} a

{I}c d

{E}ac

{E}bd

c d

a ab {E} b

E ruleModus Ponens


Regras de Inferência

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Introdução da Implicação uma regra um pouco diferente

Implica Introdução

[a] |– b {I} ab

Se existe um prova da proposição b supondo a

proposição aEntão podemos inferir a proposição

ab O que é diferente? A proposição suposta, a, não precisa ser uma premissa do teorema

Suposição Temporária A suposição de a é “admitida” temporariamente na prova Mais tarde, quando usamos a regra I, a hipótese a é descartadaO que! Posso supor o que quiser? Qual é a lógica nisso?O parte de cima da regra não requer que a seja verdadeiro, nem bEla requer apenas que, se a for verdadeiro, então se pode provar b

Também não precisa ser provada a partir das premissas


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Como a Introdução da Implicação é usada

|– P Q Q

Prova

P Q{ER} Q {I}

P Q Q

Isso prova o sequenteP Q |– Q

Nesse ponto a prova adimite, temporariamente, a hipótese extra P Q


[a] |– b {I} ab

Aplicando a regra Icom a = P Q e b = QTemos P Q |– Qe podemos inferir P Q Q

Aplicando I descarrega-se hipótese extra


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Transitividade da ImplicaçãoPaciência ... – provas, provas, e mais provas

Teorema (Transitividade da Implicação)ab, bc |– ac

Suponha que podemos provar o sequente a |– c Então a regra I levaria à conclusão ac Estratégia da prova

Suponha a Prove a |– c Conclua ac (pela aplicação da regra I)

prova

bc{E} c

a ab{E} b

{I} ac

hipótese adimitida temporariamente

descartada

demais hipóteses

por Iconclusão


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Descarga de hipóteses

Quando se usa uma das seguintes regras I descarrega a 1 hipótese E descarrega as 2 hipóteses PBC descarrega a 1 hipótese

Porque isso ocorre nessas regras? Essas regras têm sequentes como premissas

Nenhuma outra regra descarrega hipóteses


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Descarga de hipóteses

a |– b {I} ab

Ori

gin

a 1

desc

arg

a

Ao final, as folhas restantes são premissas do teorema

{IL} a b

{E}

{I}

a

a Falso

Falso

(a b) Falso

descarrga


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Como encontrar a hipótese a descarregar


[a] |– b {I} a b

a b [a] |– c [b] |– c{E} c

Ou Eliminação

hipótese descarregada nasubárvore a |– b deve seridêntica à fórmulacorrespondente a a em ab

[a] |– False{PBC} a Redução ao Absurdo

hipótese descarregada nasubárvore a |– c deve seridêntica à fórmulacorrespondente a a em ab

de modo análogo em b |– c, mas casando b em ab

hipótese descarregada nasubárvore a |– False deveser idêntica a a, onde a é a fórmula abaixo da linha


Um exemplo mais complicado

a b, c → a, b d |– c d

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{modus tollens} c

c aa

c d

a b

{E}d

b db

{ IL} c d { IR} c d


hipóteses descarregardas

a b a |– c b |– c{E} c

hipóteses restantes

a{E }

que hipóteses

descarregar?

{E} {ID}b

a b b b{E} b

a

a b a |– c b |– c{E} c

Plano Derive b de a Derive b de b Use E

a b, a |– b (silogismo disjuntivo)


Uma Prova Usando Contradição

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{E} a

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a (a)

Redução ao Absurdo

(a) |– a

[a] |– {PBC} a

Plano Derive Falso de a, dado (a) Conclua a (usando PBC)

{E }

{PBC} a

hipótese restante

Que hipótese descartar?

(a){ F} a

Negação Dupla Dir

Qual a regra para isso?


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((a) a)

Lei do Terceiro Excluído |– (a) a

{()ER} a

((a) a){()EL} (a)

{PBC} (a) a

{ E}

[a] |– {PBC} a

o que descarregar?que hipóteses

restam?conclusão

(a b){()ER} b

o que mais?

Plano Derive Falso de ((a) a) Conclua (a) a, usando PBC


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Lei de DeMorgan — Direto (a b) |– (a) (b)

(a) (b)

Plano Derive a b de ((a) (b)) Note o conflito com a hipótese Conclua (a) (b), usando PBC

(a b){DeMF}(a)(b)

DeMorgan E Direto((a) (b)){()EL} (a){F} a

((a) (b)){()ER} (b){F} b

{I} a b (a b)

{PBC}

{E }

Descarregar?


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