matemática discreta - unip

MATEMÁTICA DISCRETA

Profa Dra Clarice Favaretto Salvador

PLANO DE ENSINO

I – EMENTA

Combinatória: Princípios da adição e da multiplicação, permutações e combinações.

Primeiro e Segundo Princípios da Indução Matemática.

Recursão: Relações de Recorrência, Sequências recursivas e algoritmos recursivos.

Comparação entre algoritmos recursivos e iterativos.

PLANO DE ENSINO

II – OBJETIVOS GERAIS

Desenvolver o raciocínio em matemática discreta com o estudo de combinatória, indução matemática e recursão. Fazer contagens, desenvolver demonstrações por indução, compreender relações de recorrências e algoritmos recursivos. Diferenciar algoritmos recursivos de algoritmos iterativos.

PLANO DE ENSINO

III - OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Utilizar os métodos para fazer contagens;

Compreender a diferença entre combinações e permutações;

Fazer demonstrações de conjecturas usando as técnicas de demonstração por indução matemática;

Compreender definições recorrentes de seqüências, coleções de objetos e operações sobre objetos.

Escrever definições recorrentes para determinadas seqüências, coleções de objetos e operações sobre objetos.

PLANO DE ENSINO

IV – CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

Módulo 01:

Princípio da multiplicação

Princípio da adição

Módulo 02:

Arranjos e Permutações

PLANO DE ENSINO


Módulo 03:

Combinações.

Módulo 04:

Combinações com elementos repetidos e Permutações circulares.

Módulo 05:

Princípio de Inclusão-exclusão

Princípio da Casa dos Pombos.

PLANO DE ENSINO


Módulo 06:

Primeiro Princípio de Indução Matemática

Módulo 07:

Segundo Princípio de Indução Matemática

Módulo 08:

O Princípio de Indução Matemática e o Princípio da Boa-Ordem.

PLANO DE ENSINO


Módulo 09:

Funções Recursivas e Sequências recursivas

Módulo 10:

Relações de recorrência e conjuntos recursivos.

PLANO DE ENSINO


Módulo 11:

Alfabetos e conjuntos recursivos.

Módulo 12:

Comparação entre algoritmos recursivos e iterativos

PLANO DE ENSINO

V – ESTRATÉGIA DE TRABALHO

Aulas teóricas expositivas.

Aulas de exercícios com a participação dos alunos e com a orientação dos professores.

Recursos audiovisuais.

VI – AVALIAÇÃO

Duas provas bimestrais.

Entrega de trabalhos, individuais ou em grupos, e/ou resolução de listas de exercícios.

PLANO DE ENSINO

VII – BIBLIOGRAFIA

Básica:

GERSTING, J. L. - Fundamentos Matemáticos para a Ciência de Computação Rio de Janeiro. – Ed. LTC. - 2004.

LOPES, L. - Manual da indução matemática. - Ed. Interciência - 1999.

SCHEINERMAN, E. R. - Matemática discreta. Uma introdução. – Ed. Pioneira Thomson -2003.

PLANO DE ENSINO


Complementar :

ALENCAR FILHO, E. - Iniciação à Lógica Matemática. – Ed. Nobel - 2002.

ROSS, K. A.; WRIGHT, C. R. B.- Discrete mathematics. 3. ed. Englewood Ciffs, N. J.: Prentice-Hall - 2003.

GRAHAM, R. L., KNUTH, D. E. e PATASHNIK, O. - Concrete Mathematics. A foundation for computer science. New York. Addison Wesley.- 1994.

PLANO DE ENSINO


Complementar :

GARCIA LOPEZ, Javier. TOSCANI, Laira Vieira. MENEZES, Paulo Blauth. Aprendendo Matemática Discreta com Exercícios. Livros Didáticos Informática UFRGS, V.19. Bookman Companhia Ed., 2009.

MENEZES, Paulo Blauth. Matemática Discreta para Computação e Informática. Bookman Companhia Ed., 2010.

Símbolos da Lógica

Símbolo Lê-se

não

ou

e

Se...então

....se e somente se....

Para todo

Existe

Símbolos da Álgebra

Símbolo Lê-se

pertence

está contido ou é igual

união

intersecção

Produto cartesiano

Conjunto das partes

Conjunto vazio

ou

Inclusão de Conjuntos

Observação:

)( BxAxBA

ABBABA

União de Conjuntos

Bx ouA xxBA :BxAxBAx

BA

Intersecção de Conjuntos

Bx eA xxBA :

BxAxBAx

BA

Diferença entre Conjuntos

Bx eA xxBA :

BA

Partes de um Conjunto

Exemplo:

Se , então

indica o número de elementos de

AX se )AX (

dcbaA ,,,

,,,,,,,,,,,, dcbdcadbacba

,,,,,,,,,,,, dcdbcbdacaba

,,,,,{)( dcbaA

},,, dcba

A2A )(A A

Produto Cartesiano

Exemplo:

Bb eA abaBA :),(

21A , 432B ,,

),(),,(),,(),,(),,(),,( 423222413121BA

BABA .

Interatividade

Considerando o conjunto , indique a alternativa falsa :

a)

b)

c)

d)

e)

4321A ,,,

A3

)(A3 A3 )(A3 A3

Resposta

Alternativa d):

Justificativa:

é um subconjunto de A e não um elemento de A.

A3

3

Princípio da Inclusão-Exclusão (para dois conjuntos)

BABA

A B


BABABA

BA


Exemplo

Entre 50 frequentadores de uma academia 40 praticam musculação, 25 praticam natação e 20 praticam ambas as modalidades. Qual é o número de frequentadores que não praticam nenhuma das duas modalidades?


Solução:

Número total de frequentadores: 50

A = conjunto formado pelos que praticam musculação;

B= conjunto formado pelos que praticam natação;

, e

Portanto,

R: 5 frequentadores não praticam nem musculação, nem natação;

40A 25B 20BA

45202540BA

Princípio da Inclusão-Exclusão (para três conjuntos)

CBA CBA

A B

C


CBA CB A CBCABA

CB


CBA CB ACBCA BA

CBA

CBA

Princípio da Inclusão-Exclusão (Caso Geral)

ni1iA

nji1

jini1

i AAA

... nkji1

kji AAA

ni1

i1n A1

.)...(

Exercícios

Uma pesquisa sobre o estudo de línguas estrangeiras em um colégio com 305 alunos, em que todos estudam ao menos uma língua, revelou que 200 deles estudam inglês, 100 estudam francês e 80 estudam alemão. Ainda, 45 estudam inglês e francês, 25 estudam inglês e alemão e 5 estudam as três línguas. O número de alunos que estudam francês e alemão é:

a) 20

b) 10

c) 15

d) 23

e) 8

Resposta

Alternativa b) 10

Justificativa:

A: conjunto dos alunos que estudam inglês

B: conjunto dos alunos que estudam francês

C: conjunto dos alunos que estudam alemão

Assim

200A 80C 100B 45BA 25CA 5B CA

5CB254580100200305

10CB

Princípio Fundamental da Contagem (para dois conjuntos finitos)

Exemplo

O percurso entre as cidades de Campinas e São Paulo é feito pelas empresas de ônibus E1, E2 e E3, e o percurso entre as cidades de São Paulo e Santos pelas empresas V1 e V2. De quantas formas diferentes pode-se ir de Campinas até Santos, passando por São Paulo?


Solução:

A= Campinas, B= São Paulo, C=Santos


Se A e B são conjuntos tais que

e , então .

mA

nB nmBA .


Exemplo

Um ginásio de esportes tem 5 portas. De quantas maneiras distintas um atleta pode entrar e sair dele por uma porta diferente da que entrou?

Solução:

(no de portas para a entrada)

(no de portas para a saída)

R: De 20 maneiras distintas

Entradas Saídas

5m 4n

2045nm ..

5 4

Princípio Fundamental da Contagem

(para n conjuntos finitos)

Sejam conjuntos finitos

e tais que , para ,

então

n21 AA A ,....,,

ii mA n21i ,...,

........... n21n21 mmmAAA

Princípio Fundamental da Contagem (para n conjuntos finitos)

Exemplo

Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5

a) quantos números de três algarismos podem ser formados?

b) quantos números pares de três algarismos podem ser formados?

Solução:

a) 5 5 5

Total: 5.5.5 = 125 números

b) 5 5 2

Total: 5.5.2 = 50 números

Exercício

Um ladrão sabe que o segredo de um cofre é formado por uma seqüência de quatro algarismos distintos. Sabe, também, que o algarismo dos milhares é 2 e que o das unidades é 0. Se, em média, o ladrão leva 2 minutos para testar uma possível seqüência, o tempo máximo para o ladrão abrir o cofre é de:

a) 3 horas e 20 minutos;

b) 1 hora e 4 minutos;

c) 1 hora e 52 minutos;

d) 1 hora e 12 minutos;

e) 50 minutos;

Resposta

Alternativa c) 1 hora e 52 minutos;

Justificativa:

1 8 7 1

1.8.7.1 = 56 possibilidades

que, multiplicadas pelos 2 minutos necessários para cada teste, resulta em 112 minutos;

2 0

Arranjos com Repetições

Seja um conjunto com elementos.

O número de k–uplas ( )

ordenadas de elementos de é dado

por

n

nk1 S

kRkn nA ,

S

Arranjos com Repetições-Exemplo

Em certo jogo de computador, um objeto está parado na origem de um sistema de coordenadas e ele pode mover-se para cima, para baixo, para a direita ou para a esquerda, com apenas um movimento por vez. Após 3 passos, quantas trajetórias distintas são possíveis?

Solução:

:possibilidades de movimentos

: número de passos (geram as 3-uplas)

trajetórias.

S4S

k

644A 3R34 ,

Arranjos sem Repetições


O número de - uplas ( )

ordenadas de elementos de ,

sem repetições, é dado por

Sk nk1

S

)!(

!, kn

nA kn

n

Arranjos sem Repetições - Exemplo

Quantas senhas de 5 dígitos existem se não podem haver algarismos repetidos.

Solução:

senhas.

!

!.....

)!(

!, 5

5678910510

10A 510

10nS 987654321S ,,,,,,,,,

5k

30240678910 ....

Permutações (arranjo com k=n)


O número de -uplas ordenadas de elementos de , sem repetições, é dado por

Sn

n

S

!nPn

Permutações – Exemplo

Um anagrama de uma palavra é qualquer reordenação das letras da palavra original, tenha essa reordenação sentido ou não (a palavra original é também considerada um anagrama de si própria).

Quantos anagramas possui a palavra “amor”?

Solução:

anagramas

12344P4 ...!24

Permutações – Exemplo

Um grupo formado por 6 pessoas, sendo 2 italianos, devem formar uma fila. Considerando que os italianos devem ficar juntos, quantas filas distintas são possíveis?

Solução: Considerar, inicialmente os italianos como uma única pessoa. Teremos 5! filas possíveis.

Os italianos também poderão trocar de lugares, entre si: 2! possibilidades.

Logo são possíveis 5!.2!=240 filas distintas.

Permutações com Elementos Repetidos

Seja um conjunto com elementos e

um subconjunto

de .

O número de -uplas ordenadas de

elementos de , sem repetições, mas

considerando os elementos

indistinguíveis entre si para uma

determinada situação , é dado por

k211 aaaS ,...,,S

Sn

k21 aaa ,...,,

!

!

kn

Pkn

n

S

Permutações com Elementos Repetidos – Exemplo

a) Escrever todos permutações da palavra “mala” considerando as duas letras “ a ” como distintas (utilizar a e a);

b) Desconsiderar as diferenças das letras

“a“ e eliminar as palavras repetidas;

c) Verificar a validade da fórmula para permutações com elementos repetidos, neste exemplo.

Permutações com Elementos Repetidos – Exemplo

Solução:

a) mala, mala, mlaa, mlaa, maal, maal, amla, alma, aaml, amal , alam, aalm, amla , alma, aaml, amal , alam, aalm, lama, lama, lmaa, lmaa, laam, laam;

b) mala, mlaa, maal, amla, alma, aaml, amal , alam, aalm, lama, lmaa, laam

c)

12342

23424

P24 .

!

!..

!

!

2k 4n

Permutações Circulares

Imagine uma situação em que “n” pessoas se sentarão em torno de uma mesa redonda. Se o importante é “quem está à esquerda” e “quem está à direita” de cada pessoa, há determinadas distribuições das pessoas, em torno dessa mesa, que são equivalentes. Pode-se observar que para cada distribuição, existem “n” equivalentes. Logo o número de distribuições possíveis é

)!(!

1nnn

n

Pn

Um grupo de 7 pessoas precisa sentar-se, em roda, para uma reunião. De quantas formas isso pode ser feito?

Solução:

(7-1)! = 6! = 6.5.4.3.2.1

= 720 formas

Permutações Circulares - Exemplo

Combinações


O número de subconjuntos de com elementos ( ) é dado por

S nS

k nk1

!)!(

!, kkn

nC kn

Combinações

Observação Importante:

Para arranjos e permutações a ordem dos elementos é importante (por exemplo , analogamente a quando consideramos pares ordenados), enquanto que para combinações a ordem não é importante. Se somente a ordem dos elementos é alterada, na combinação estaremos mos referindo a mesma possibilidade!

),(),( abba

Combinações - Exemplo

Com os pontos A, B, C, D e E da figura abaixo, quantos triângulos com vértices nesses pontos podemos construir?

triângulos.

!!.

!..

!)!(

!, 32

345335

5C 35

10

Exercício

Considere um grupo de 8 pessoas, dentre os quais será selecionada uma comissão com 3 participantes. O número de maneiras que essa comissão poderá ser composta é :

a) 112

b) 40320

c) 56

d) 336

e) 6720

Resposta

Alternativa: c) 56

Justificativa:

A ordem das pessoas na comissão não é importante. Logo

56655678

3388

C 38

!.

!...

!)!(

!,

Princípio da Casa do Pombo

Se mais de “n” objetos forem distribuídos em “n” caixas, então haverá pelo menos uma caixa com mais de um objeto.

Princípio da Casa do PomboLinguagem Matemática

Forma 1

Sejam e conjuntos finitos, e

uma função.

Se , então não é injetora.

Forma 2

Sejam e conjuntos finitos, e

uma função.

Se , então não é sobrejetora.

A BBAf :AB f

A BBAf :BA

Princípio da Casa do PomboExemplo

Um serviço de encontros por computador tem uma lista contendo 100 homens e 100 mulheres. São selecionados nomes aleatoriamente.

a) Quantos nomes devem ser selecionados para garantir que apareçam nomes de uma pessoa de cada sexo?

b) Quantos nomes devem ser selecionados para garantir que apareçam dois nomes de pessoas do mesmo sexo?

Princípio da Casa do PomboExemplo

Solução:

a) Pelo princípio, após a seleção de 101 nomes, com certeza, existirão nomes de uma pessoa de cada sexo;

b) Pelo princípio, após a seleção de 3 nomes, com certeza, existirão nomes de pessoa s do mesmo sexo;

Princípio da Indução FinitaIntrodução

n

0

1

2

3

4

5

6

........

41

0n 41nnnf 2 ,)(

4141002 4141112

4341222 4741332 5341442 6141552 7141662

22 41414141

Princípio da Indução FinitaIntrodução

n Soma do n primeiros ímpares

1 1

2 1+3=4

3 1+3+5=9

4 1+3+5+7=16

5 1+3+5+7+9=25

6 1+3+5+7+9+11=36

7 1+3+5+7+9+11+13=49

.....

n 1+3+5+7+9+11+13+....= n2

Princípio da Indução Finita(PIF fraco)

Seja uma afirmação sobre um número natural arbitrário.

Se provarmos que

1) é válida;

2)

Então .

( é válida para qualquer )

)(nAn

)(0A

];()( 1kAk[A k, )(n A,n

)(nA n

Princípio da Indução Finita(PIF fraco)

O item 1, do enunciado do PIF, é chamado de Base de Indução e mostra que a propriedade vale para o primeiro número natural, mas a afirmação pode valer somente a partir de um certo natural e, nesse caso a base de indução toma a forma .

O item 2 é chamado Passo de Indução, sendo que é chamado de Hipótese de Indução (HI) e (que deverá ser provada) é chamada de Tese.

0n)( 0nA

)(kA)( 1kA

Princípio da Indução Finita(PIF fraco) - Exemplo 1

Provar que

ou seja

2n1n27531 )(...

2n

1i

n1i2

)(


1) Base de Indução (n=1)

Para n=1 o lado esquerda da expressão é

enquanto que o lado direito é

Logo é verdadeira.

2) Hipótese de Indução (HI):

11121i21

1i

.)(

112

)(1A

2k1k27531 )(...


3) Tese

4) Demonstração da Tese:

5) Pela PIF,

2

2

2

HI

1k

1k2k

12k2k

11k21k27531

)(

)(

))(()(...

)(n A:1n

21k

11k21k27531

)(

))(()(...

Exercício

É falso afirmar que:

a) a indução matemática é uma técnica para provar propriedades dos números inteiros;

b) a base da indução pode ser

onde pode ser qualquer número natural;

c) se , é válida para qualquer ;

d) uma demonstração por indução não precisa começar com ;

e) uma demonstração por indução não precisa começar com ;

)( 0nA

0n

]()( 1kAk[A k, )(nAn

0n

1n

Resposta

Alternativa c) se ,

é válida para qualquer ;

Justificativa: Para que seja válida para qualquer é preciso que seja válida na base ( para ).

]()( 1kAk[A k, )(nA n

)(nAn

1n


Provar que

ou seja

21nn5

n515105)(

...

21nn5

i5n

1i

)(



Para n=1 o lado esquerda da expressão é

enquanto que o lado direito é

. Logo é verdadeira.


515i5n

1i

.

52

1115

)(.)(1A

21kk5

k515105)(

...


3) Tese

22k1k5

211k1k5

1k5k515105

))(((

)))(((

)(...



5) Pela PIF, 2

2k1k52

2k3k5

210k15k5

25k521kk5

5k52

1kk5

1k5k515105

2

2

HI

))(()(

)()(

)(

)(...

)(n A:1n


Provar que

Prova


Para n=1 tem-se que é verdadeira.


onde

n2n :1n

221 1

k2k 1k


3) Tese


5) Pela PIF,

1k21k

1kk

kk

kHI

222

22

121k

.

)(n A:1n

Princípio da Indução FinitaVersão para Conjuntos

Seja um subconjunto dos números naturais , tal que:

1)

2)

Então, .

S

S0];S1kS[k k,

S

Princípio da Indução Finita(PIF forte)

Seja uma afirmação sobre um número natural arbitrário.

Se provarmos que

1) é válida;

2)

Então .

( é válida para qualquer )

)(nAn

)(0A

)];()(, 1kAtA( ,ktt[ k, )(n A,n

)(nA n

Princípio da Indução Finita(PIF forte) - Exemplo

Teorema Fundamental da Aritmética

Provar que todo número natural

ou é primo ou pode ser escrito como

um produto de primos.

Prova:

1) Base (n=2): Como 2 é primo, OK.


Seja . Então todo número

ou é um número primo ou pode ser

decomposto como produto de números

primos.

2n

2k kt

Princípio da Indução Finita(PIF forte) - Exemplo

3) Tese: é um número primo ou pode ser decomposto como produto de números primos.


Se é primo, está provado;

Se não é primo, então é um produto

de dois números e tais que

e

Pela HI, é primo ou é produto de

primos e o mesmo ocorre com . Logo

é um produto de números primos.

a b ka kb a

b1k

1k 1k

1k

Exercício

É falso afirmar que:

a) a indução matemática é uma técnica para provar propriedades dos números inteiros;

b) a base da indução pode ser

onde pode ser qualquer número natural;

c) se , é válida para qualquer ;

d) uma demonstração por indução não precisa começar com ;

e) uma demonstração por indução não precisa começar com ;

)( 0nA

0n

]()( 1kAk[A k, )(nAn

0n

1n

Resposta

Alternativa c) se ,

é válida para qualquer ;

Justificativa: Para que seja válida para qualquer é preciso que seja válida na base ( para ).

]()( 1kAk[A k, )(nA n

)(nAn

1n

Recursão - Definição

Processo de obtenção de certos objetos a partir de outros obtidos em passos anteriores.

Recursão – Linguagem Matemática

Uma função , com domínio nos números naturais, é definida recursivamente, se uma função é conhecida e o seguinte esquema é satisfeito:

é a base da recursão e é um número fixo.

1n se 1nFnGnF

c)0F(

)),(,()(

F

G

c)0F( c

Recursão – Exemplo 1

A função potência com a base fixa, é definida recursivamente por

Para entender melhor:

.....

1n se aaa

1an1n

0

,.

a

1a0 aa1aaa 010 .

3212 aaaa

2111 aaaaaa .


A função fatorial, é definida recursivamente por:

Para entender melhor:

........

1n se n1n1n

10

,!).()!(

!

10 ! 11101010 .!).()!(

21211111 .!).()!(

62321212 .!).()!(


Dada a seguinte função , definida por recursão, escrever os 5 primeiros termos gerados:

Solução:

F

1n se 1nFnnF

11F

),(.)(

)(

11F )(2121F212F22F .)(.)(.)(

6232F313F33F .)(.)(.)(

24643F414F44F .)(.)(.)(1201454F515F55F .)(.)(.)(


Os primeiros membros da Associação de Pitágoras definiram números poligonais como sendo o número de pontos em determinadas configurações geométricas. Os primeiros números triangulares são 1, 3, 6 e 10:

Encontrar uma função recursiva que defina esses números.


Solução:

1n se n1nFnF

11F

,)()(

)(

Exercício

O número de estudantes que optam pelo ensino á distância tem crescido. Suponha que, no dia de hoje, uma universidade conta com 5.000 alunos nesta modalidade e quer a taxa média de crescimento vem sendo de 10% ao ano. A previsão do número de alunos desta universidade, para este tipo de ensino, em três anos é de:

a) 6.655 alunos;

b) 6.050 alunos;

c) 500 alunos;

d) 5.500 alunos;

e) 10.000 alunos;

Resposta

Alternativa b) 6.050 alunos;

Justificativa:

Basta definir a função recursiva

e encontrar

1n se 1nF100110

nF

50000F

),(.)(

)(

)(3F

Conjuntos definidos por Recursividade - Exemplo

Considerar o conjunto numérico definido recursivamente por:

Quais dos seguintes elementos

pertencem ao conjunto M?

a) 2

b) 9

c) 11

d) 10

e) 14

Solução: alternativa c)

M5x então ,Mx Se b)

M1 a

)

M56M51M1

O problema da torre de HanóiA situação

Existem 3 torres ( A, B e C) e na torre A estão n discos com raios distintos, empilhados de forma que seus raios estejam em ordem decrescente (dado um disco qualquer, o disco acima tem raio menor).

O problema da torre de HanóiO problema

Passar todos os discos da torre A para a torre C, utilizando a B como auxiliar , obedecendo as condições:

1) É permitido mover apenas um disco de cada vez;

2) É permitido utilizar qualquer uma das torres para a movimentação dos discos;

3) Em nenhuma etapa, um disco pode ficar em cima de outro com raio menor;

O problema da torre de Hanói com três discosPassos para uma solução

A Torre de Hanói - Questões

Existe solução?

A existência de solução depende do número de discos?

Caso exista solução qual é o menor número de movimentos necessários?

A Torre de Hanói - Resultados

Teorema 1

Seja o número de discos.

O problema da Torre de Hanói admite solução para

Observação

A demonstração da validade deste teorema pode ser feita por indução sobre o número de discos.

1n

n

A Torre de Hanói - Resultados

Teorema 2

Seja a função que fornece o menor número de movimentos para transferir n discos de uma torre para outra torre distinta. Então,

2n se 11nT2nT

11T

,)(.)(

)(

)(nT

A Torre de Hanói - Conclusão

O problema de Hanói admite solução para qualquer número de discos , e o menor número de movimentos possível para atingir a configuração final é dado pela função de recorrência:

2n se 11nT2nT

11T

,)(.)(

)(

Exercício

Considerando o problema da torre de Hanói com 5 discos, o menor número de movimentos necessários para atingir a configuração deseja é:

a) 15

b) 16

c) 30

d) 31

e) 63

Resposta

Alternativa d) 31 movimentos;

Justificativa

11T )(3112112T22T .)(.)(

7132113T23T .)(.)(

15172114T24T .)(.)(

311152115T25T .)(.)(

matemática discreta - unip

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