Matemtica Discreta So Cristvo/SE2010Wagner Ferreira SantosElaborao de ContedoWagner Ferreira Santos Santos. Wagner Ferreira S237t Matemtica Discreta/ Wagner Ferreira Santos -- So Cristvo: Universidade Federal de Sergipe, CESAD, 2010.1. Matemtica . I. Ttulo.CDU 51Copyright 2010 , Universidade Federal de Sergipe / CESAD.Nenhuma parte deste material poder ser reproduzida, transmitida e gravada por qualquer meio eletrnico, mecnico, por fotocpia e outros, sem a prvia autorizao por escrito da UFS.FICHA CATALOGRFICA PRODUZIDA PELA BIBLIOTECA CENTRALUNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPEMatemtica Discreta Presidente da RepblicaLuiz Incio Lula da SilvaMinistro da EducaoFernando HaddadSecretrio de Educao a DistnciaCarlos Eduardo BielschowskyReitorJosu Modesto dos Passos Subrinho Vice-ReitorAngelo Roberto AntoniolliChefe de GabineteEdnalva Freire CaetanoCoordenador Geral da UAB/UFSDiretor do CESADAntnio Ponciano BezerraVice-coordenador da UAB/UFSVice-diretor do CESADFbio Alves dos SantosDiretoria PedaggicaClotildes Farias de Sousa (Diretora)Diretoria Administrativa e Financeira Edlzio Alves Costa Jnior (Diretor)Sylvia Helena de Almeida SoaresValter Siqueira AlvesCoordenao de CursosDjalma Andrade (Coordenadora)Ncleo de Formao ContinuadaRosemeire Marcedo Costa (Coordenadora)Ncleo de AvaliaoHrica dos Santos Matos (Coordenadora)Carlos Alberto VasconcelosNcleo de Servios Grcos e Audiovisuais Giselda BarrosNcleo de Tecnologia da InformaoJoo Eduardo Batista de Deus AnselmoMarcel da Conceio SouzaRaimundo Araujo de Almeida JniorAssessoria de ComunicaoEdvar Freire CaetanoGuilherme Borba GouyCoordenadores de CursoDenis Menezes (Letras Portugus)Eduardo Farias (Administrao)Haroldo Dorea (Qumica)Hassan Sherafat (Matemtica)Hlio Mario Arajo (Geograa)Lourival Santana (Histria)Marcelo Macedo (Fsica)Silmara Pantaleo (Cincias Biolgicas)Coordenadores de TutoriaEdvan dos Santos Sousa (Fsica)Geraldo Ferreira Souza Jnior (Matemtica)Janana Couvo T. M. de Aguiar (Administrao)Priscila Viana Cardozo (Histria)Rafael de Jesus Santana (Qumica)tala Santana Souza (Geograa)Trcia C. P. de Santana (Cincias Biolgicas)Vanessa Santos Ges (Letras Portugus)Lvia Carvalho Santos (Presencial)UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPECidade Universitria Prof. Jos Alosio de CamposAv. Marechal Rondon, s/n - Jardim Rosa ElzeCEP 49100-000 - So Cristvo - SEFone(79) 2105 - 6600 - Fax(79) 2105- 6474 NCLEO DE MATERIAL DIDTICOHermeson Menezes (Coordenador)Arthur Pinto R. S. AlmeidaCarolina Faccioli dos SantosCssio Pitter Silva VasconcelosIsabela Pinheiro EwertonLucas Barros OliveiraNeverton Correia da SilvaNycolas Menezes MeloSumrioAULA 1: Induo e Recorrncia 71.1 Introduo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 O Princpio da Induo . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 Segundo Princpio da Induo . . . . . . . . 111.3 Relaes de Recorrncia . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1 Lineares com Coecientes Constantes . . . . 141.4 Concluso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18RESUMO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20REFERNCIAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22AULA 2: Princpios de Contagem 232.1 Introduo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Contagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Princpio da Soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.1 Conjuntos Disjuntos . . . . . . . . . . . . . . 252.3.2 Conjuntos Quaisquer . . . . . . . . . . . . . 262.4 Princpio do Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5 Princpio da Incluso-Excluso . . . . . . . . . . . . 342.5.1 Aplicao: Funo de Euler . . . . . . . . . 392.6 Princpio da Casa dos Pombos . . . . . . . . . . . . 402.6.1 Generalizaes . . . . . . . . . . . . . . . . 412.7 Concluso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44RESUMO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46REFERNCIAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48AULA 3: Arranjos, Permutaes e Combinaes 493.1 Introduo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2 Arranjos Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3 Arranjos com Repetio . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4 Permutaes Simples. . . . . . . . . . . . . . . . . 543.5 Combinaes Simples . . . . . . . . . . . . . . . . 543.6 Combinaes Complementares . . . . . . . . . . . . 553.7 Combinaes com repetio . . . . . . . . . . . . . 573.8 Permutao com repetio . . . . . . . . . . . . . . 583.9 Permutaes circulares . . . . . . . . . . . . . . . . 593.10 Concluso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60RESUMO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62REFERNCIAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64AULA 4: Expanses 654.1 Introduo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2 Coecientes Binomiais. . . . . . . . . . . . . . . . 664.3 Expanso Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3.1 Expanso Recorrente. . . . . . . . . . . . . 684.3.2 Expanso de Newton . . . . . . . . . . . . . 704.4 Expanso Multinomial. . . . . . . . . . . . . . . . . 724.5 Concluso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75RESUMO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77REFERNCIAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79AULA 5: Funes Geradoras 815.1 Introduo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.2 Funo Geradora Ordinria. . . . . . . . . . . . . . 825.3 Clculo de funes geradoras . . . . . . . . . . . . 845.4 Funo geradora exponencial . . . . . . . . . . . . . 865.5 Aplicao 1: Polinmios de Torres . . . . . . . . . . 895.6 Aplicao 2: Permutaes com Posies Interditadas 925.7 Concluso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95RESUMO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98REFERNCIAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100AULA 6: Algoritmos 1016.1 Introduo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.2 Livros e Algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.3 Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.4 Algoritmos Numricos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.5 Notao O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.6 Concluso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110RESUMO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111REFERNCIAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113AULA 7: Grafos 1157.1 Introduo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.2 Noes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.3 rvores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.4 Isomorsmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.5 Grafos Famosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.6 Concluso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129RESUMO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131REFERNCIAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133AULA 8: Roteamentos 1358.1 Introduo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368.2 Circuito Euleriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368.3 Grafos Bipartidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1408.4 Ciclo Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.5 Problema do caminho mais curto. . . . . . . . . . . 1458.6 Concluso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148RESUMO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150REFERNCIAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152AULA 9: Planaridade 1539.1 Introduo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1549.2 Grafos Mergulhveis em Superfcies . . . . . . . . . 1549.3 Grafo Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1569.4 A Frmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1589.5 Teorema de Kuratowski . . . . . . . . . . . . . . . . 1599.6 Planaridade e Grafos Hamiltonianos . . . . . . . . . 1609.7 Concluso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162RESUMO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163PRXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165REFERNCIAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168AULA 10: Colorao 16910.1 Introduo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17010.2 Colorao de Vrtices . . . . . . . . . . . . . . . . . 17010.2.1 Polinmios Cromticos . . . . . . . . . . . . 17010.2.2 Nmero Cromtico . . . . . . . . . . . . . . 17710.3 Colorao de Arestas . . . . . . . . . . . . . . . . . 18010.4 Concluso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184RESUMO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186REFERNCIAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188...AULA1Induo e RecorrnciaMETAIntroduzir o princpio de induo e funesdenidas de forma recursiva.OBJETIVOSAo nal da aula o aluno dever ser capaz de:Demonstrar, pelo princpio da induo,armaes matemticas envolvendo osnmeros naturais;Identicar funes denidas recursiva-mente;Resolver funes recursivas.Induo e RecorrnciaAULA11.1 IntroduoCaro aluno, bem vindo nossa aula inaugural do curso de matem-ticadiscreta. Inicialmenteestudaremosoprincpiodainduo,umaferramentamatemticaecientequandosedesejafazerde-monstraesenvolvendooconjuntodosnmerosnaturais. Umaassociao que podemos fazer com este princpio o da gura queilustraestaaula: umaleiradedomins. Seumdomincair,derrubarodominqueestsuafrente, eesteoprximo, eassimsucessivamente. Ento, derrubando-seoprimeirodomin,derrubaremos todos os domins que esto enleirados.Em seguida,passaremos ao estudo das relaes de recorrncia, inclusive das ve-lhas conhecidas progresses aritmtica e geomtrica. Para nalizaraaula, aprenderemosaresolverrelaesderecorrncialineareshomogneas com coecientes constantes.1.2 O Princpio da InduoConsidereX N. O princpio da induo diz que se:(1) 1 X;(2) n X n + 1 XEntoX = N.Este princpio um eciente instrumento para demonstrao defatos referentes aos nmeros naturais. Entend-lo praticamente omesmo que entender os nmeros naturais. Vejamos uns exemplos:Exemplo 1.1 (Soma dos n primeiros naturais).Prove que a somadosn primeiros naturais n(n+1)2.Soluo: SejaX =_n N/1 + +n =n(n+1)2_. Ento:8Matemtica DiscretaAULA1(1) 1 =1.22, o que implica em 1 X;(2) Supondo quek X, segue que1 + +k + (k + 1) = (1 + +k) + (k + 1)=k(k + 1)2+ (k + 1)= (k + 1)_k2 + 1_=(k + 1)(k + 2)2Portantok + 1 X.Logo, pelo princpio da induo,X = N. Exemplo1.2(Asomados nprimeirosmpares). Provequeasoma dosn primeiros mpares n2.Soluo: A soma dosn primeiros mpares pode ser escrita como1+ +(2n1). Desejamos mostrar ento que 1+ +(2n1) =n2. De fato,(1) Paran = 1, 1 = 12. E a frmula vlida paran = 1;(2) Suponha que 1 + + (2k 1) = k2. Ento1 + + (2k 1) + (2k + 1) = (1 + + (2k 1)) + (2k + 1)= k2+ 2k + 1= (k + 1)2,isto , a frmula vlida paran = k + 1.Portanto, pelo princpio da induo, a frmula vlidade para todon N. 9Induo e RecorrnciaAULA1Exemplo 1.3 (Soma de fraes). Mostre quen

i=11i(i + 1)=nn + 1Soluo: Pelo princpio da induo, desde que:(1) Paran = 1,11.2=12, logo a frmula vlida paran = 1;(2) Supondo vlida paran = k temos:k+1

i=11i(i + 1)=k

i=11i(i + 1) +1(k + 1)(k + 2)=kk + 1 +1(k + 1)(k + 2)=_1k + 1__k +1k + 2_=_1k + 1__k2+ 2k + 1k + 2_=_1k + 1__(k + 1)2k + 2_=k + 1k + 2Ento vale paran = k + 1;segue que a frmula vlida para todon N. Exemplo 1.4 (Divisibilidade por 3). Mostre que a proposioP(n) : 22n1 divisvel por 3 verdadeira para todon N.Soluo: Com efeito,(1) Paran = 1, P(1) : 3 divisvel por 3 verdade;(2) Suponha que a proposio P(k) seja verdade, isto , que paraalgumm N, 22k 1 = 3m. Ento a proposioP(k + 1)10Matemtica DiscretaAULA1 22k+2 1 divisvel por 3. Mostremos que ela verdade.Note que podemos escrever22k+21 = 22.22k1= 4.22k1= (3.22k+ 1.22k) 1= 3.22k+ (22k1)= 3.22k+ 3m= 3(22k+m)Mostrando que 22k+21 divisvel por 3.Assim, peloprincpiodainduo, seguequeP(n)vlidaparatodon N. 1.2.1 Segundo Princpio da InduoEm algumas situaes, ao tentarmos fazer uma demonstrao porinduo, napassagemdenparan + 1, sentimosnecessidadedeadmitir que a proposio valha no apenas para n e sim para todososnmerosnaturaismenoresouiguaisan. Comesseintuito,apresentamos o Segundo Princpio da Induo.Teorema1.1(Segundo Princpio da Induo). SejaX Numconjunto com a seguinte propriedade:Dadon N, setodososnaturaismenoresdoque nper-tencem aX, enton X.EntoX = N.Demonstrao: (Por absurdo) Com efeito, suponha por absurdoque X=N, isto, N X= . Sejanomenorelementodo11Induo e RecorrnciaAULA1conjunto NX, ou seja, o menor nmero natural n tal que n/ X.Isto quer dizer que todos os nmeros naturais menores do quenpertencemaX. Masento, pelapropriedadequeoconjuntoXpossui, segue quen X, uma contradio (pois no pode ocorrerx Xex/ X). Portanto, N X = eX = N.Exemplo 1.5 (Decomposio de um polgono).Qualquer que sejaa maneira de decompor um polgonoP, den lados, em tringulosjustapostos por meio de diagonais internas que no se intersectam,o nmero de diagonais utilizadas sempren 3.Soluo: Com efeito, dado n, suponhamos que a proposio acimasejaverdadeiraparatodopolgonocommenosdenlados. Sejaentodadaumadecomposiodopolgono P, de nlados, emtringulos justapostos, mediante diagonais internas. Fixemos umadessas diagonais. Ela decompe Pcomo reunio de dois polgonosjustapostos P1, de n1lados, e P2, de n2lados, onde n1 1 +na quando1 +a > 0.ATIVIDADE 1.3. Demonstre que1 12 + 13 14 + +1199 1200=1101 +1102 + +1200.ATIVIDADE 1.4. DetermineAnseA =1 22 4ATIVIDADE 1.5.So dados trs suportes A, B e C. No suporteA esto encaixadosn discos cujos dimetros, de baixo para cima,20Matemtica DiscretaAULA1esto em ordem estritamente decrescente. Mostre que possvel,com 2n 1 movimentos, transferir todos os discos para o suporteB, usando o suporte C como auxiliar, de modo que jamais, durantea operao, um disco maior que sobre um disco menor.ATIVIDADE1.6. Consideren retas em um plano. Mostre queo "mapa"determinado por elas pode ser colorido com apenas duascores sem que duas regies vizinhas tenham a mesma cor.ATIVIDADE 1.7. Dena, por recorrncia, uma funof: N Nestipulandoquef(1) =3ef(n + 1) =5f(n) + 1. Dumafrmula explcita paraf(n).ATIVIDADE 1.8. Demonstre o teorema (1.3).ATIVIDADE1.9. Ache opolinmiocaracterstico (x) e asoluo geral de cada relao de recorrncia:1. an = 3an1 + 10an22. an = 5an1 6an2ATIVIDADE 1.10. Dadas as condies iniciais a seguir, ache asoluo nica de cada relao de recorrncia da atividade anterior:1. a0 = 5, a1 = 112. a0 = 2, a1 = 8ATIVIDADE 1.11. Determine a soluo nica das seguintes re-laes de recorrncia:1. a0 = 5, a1 = 11, a2 = 25, an = 11an1 39an2 + 45an32. a0 = 5, a1 = 24, a2 = 117, an = 9an1 27an2 + 27an321Induo e RecorrnciaAULA1......REFERNCIAS...LIMA, E.L. Curso de Anlise. vol.1. IMPA: Rio de Janeiro, 2009.LIPSCHUTZ,S., LIPSON, M. Matemtica Discreta.Coleo Schaum.Bookman: So Paulo, 2004.SANTOS, J.P.O., et al. Introduo Anlise Combinatria. Mod-erna: Rio de Janeiro, 2007.22