Relaciones de recurrencia no homogéneas y otros métodos de resolución de relación de recurrenciaIsaura Abreu 2013-

0622A. Cristina Beltré 2013-1093Griselda Jimenez 2013-1021Edickson Gutiérrez 2013-0785

UNAPEC12 de Julio, 2014

La lógica es buena para razonar, pero mala para vivir.

Remy de Gourmont

Objetivo generalPresentar las relaciones de recurrencia

no homogéneas, así como otros métodos de resolución de relación de recurrencia

Objetivos específicos

Presentar las relaciones de

recurrencias no homogéneas.

Mostrar otros métodos de resolución

tales como: método de la constante,

coeficientes indeterminados, método

matricial y método de expansión de

recurrencia.

Introducción Todos los problemas en los que alguna de sus

variables solo puede tomar valores discretos dan lugar a modelos que involucran ecuaciones recurrentes. Este es el caso en el terreno económico (problemas de renta, ahorro, consumo, …), en el sociológico (encuestas electorales, hábitos, etc.), en el biológico (migraciones, equilibrios poblacionales, …) y, como no en el informático.

Surge así la importancia de conocer métodos de resolución de ecuaciones recurrentes que nos ayuden en nuestra tarea de análisis.

En algunos casos, esas ecuaciones pueden resolverse mediante una expansión de la recurrencia, pero esta posibilidad no es muy habitual en el contexto en el que nos movemos. Entonces, si no podemos encontrar una solución por ese método hay que trabajar con otros enfoques.

En el presente trabajo presentaremos algunas relaciones de recurrencia no homogéneas, así como otros métodos de resolución de relaciones de recurrencia.

La relación de recurrencia no homogénea Las Ecuaciones Lineales No Homogéneas poseen la forma general: a0tn + a1tn-1 + ... + aktn-k = f(n) Obtener una solución a una ELNH es más difícil, en general, que en el caso de una ELH. Es posible resolver sistemáticamente ELNH de la forma:

a0tn + a1tn-1 + ... + aktn-k = bnp(n), siendo b una constante y p(n) un polinomio en n. En este caso, el polinomio característico es: a0 xk + a1 xk-1 + ... + ak x0 (x-b)d+1

siendo d = grado(p(n))

Ejemplo 1:

tn − 2tn−1 = 3n (*1: polinomio de grado 0)

Reducir al caso homogéneo:Multiplicar por 3: →3tn − 6tn−1 = 3n+1

Sustituir n por n-1: →3tn−1 − 6tn−2 = 3n

Diferencia entre 2 ecuaciones: tn −2tn−1 = 3n

− 3tn−1 −6tn−2 = 3n

tn −5tn−1 +6tn−2 = 0

x2 −5x + 6 = (x − 2)(x − 3)

p(x)

(x − 2)(x − 3) → Las soluciones son de la forma: tn = c12n + c23n

y como tn ≥ 0 para todo n ≥ 0, se deduce que tn = β(3n)

Pero c1 y c2 ya no se determinan a partir de las condiciones iniciales:

tn = 2n y tn = 3n no son soluciones de la recurrencia original.

Partiendo de la sucesión original tenemos que:

→tn − 2tn−1 = 3n →t1 = 2t0 + 3 c1 + c2 = t0 ;n= 0

2c1 + 3c2 = 2t0 + 3 ; n = 1

c1 = t0 − 3

c2 = 3 tn = (t0 − 3)2n + 3n+1 = β (3n)

≡ Solución general, independientemente de las condiciones iniciales

Método de los coeficientes Método de los coeficientes indeterminadosindeterminados

Aunque no existe un método general para resolver todas las recurrencias no homogéneas, existe una técnica útil cuando la función f(n) tiene cierta forma. Este método se conoce como el método de los coeficientes indeterminados y se basa en la relación homogénea asociada que se obtiene al reemplazar f(n) por cero.

Consta de tres pasos, que pasamos a describir a continuación:1. Resolver la relación de recurrencia homogénea. Reemplazar f(n) por 0 y resolver la relación de recurrencia homogénea resultante (ignorar las condiciones iniciales por ahora). A la solución de la recurrencia homogénea le llamaremos solución general de la recurrencia homogénea asociada, y la denotaremos por a(H)

n .2. Encontrar una solución particular. Sustituir f(n) y encontrar una solución a la recurrencia (de nuevo ignorando las condiciones iniciales).

Resuelve la relación de recurrencia lineal no homogénea por el método de coeficientes

indeterminados.

Ejemplo 2. Recurrencia de 2do. orden

Método de expansión de Método de expansión de recurrencia no homogénearecurrencia no homogéneaResolver la recurrencia

Es no homogènea debido a la presencia del tèrmino 2n. La soluciòn general sera: an= an

(H) + an(p)

la soluciòn de la parte homogènea es: an= 4 an-1 como hipòtesis an=rn y r es una constante. an= an

(H) = k4n.

1

24

0

1

a

naa nn

como 2n es un polinomio de primer grado en n, busco una solucion particular en forma de polinomio de primer grado: an= an

(P) = an+b, sustituyendola en la ecuacion original quedando: an = 4 an-1 +2n

an + b = 4 {a (n-1) + b} + 2n an + b = 4 {an – a + b} + 2n an + b = 4an- 4a + 4b + 2nSimplificando: 3an - 4a + 3b + 2nAgrupando: n (-3a - 2) + (-3b + 4a) = 0

Lo cual me da el siguiente sistema de ecuaciones Resolviendo tenemos que:

a = - 2/3 y b = - 8/9. La soluciòn particular buscada es: an

(p) = -2/3 n – 8/9.La soluciòn general es: an= an

(H) + an(p)

an= k4n – 2/3 n – 8/9.

usando la condiciòn inicial de a0 = 1.

1 = k 40 – 2/3 (0) – 8/9 1 = k – 8/9. k = 17/9.Sustituyendo a k en la solucion general tenemos :

an= (17/9)4n – 2/3 n – 8/9.

034

023

ba

a

RESOLUCIÓN DE RELACIONES DE RECURRENCIA LINEALES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES A TRAVÉS DE VALORES Y VECTORES PROPIOSValor propio y Vector propio: Sea A una matriz

cuadrada, un número real se dice que es un valor propio o un eigen valor o un valor característico de A si existe un vector, diferente del vector cero, x tal que:

Es decir, es un vector que al transformarlo mediante la multiplicación por A el vector resultante mantiene su dirección, posiblemente sólo su longitud y/o sentido se modifique. El vector x se llama vector propio o eigen vector asociado al valor propio.

xx

Una relación de recurrencia lineal no homogénea de orden k con coeficientes constantes para una sucesión es aquella de la forma:

Siendo los números reales fijos ,0 ≤ j ≤ k – 1 que junto con las k condiciones iniciales.

Determinan de manera única los elementos de la sucesión.

0 Nnsnsssss nnknkknkkn

011)2(2)1(1.....

j

0, Njj

CjSj 10,0,, kjNjjRCj

Pretendemos generar un método me diante la aplicación de los valores y vectores propios, que nos permita caracterizar el término n-ésimo de una sucesión definida por una relación de recurrencia lineal no homogénea de orden k con coeficientes constantes. Dada una relación de recurrencia de este tipo:

Junto con las k condiciones iniciales Sj = Cj , 0 ≤ j ≤ k − 1 siendo los βj y los Cj números reales fijos j , j N U {0}, 0 ≤ j ≤ k −1. El método que aquí desarrollamos se fundamenta en el siguiente sistema de ecuaciones:

sssss nnknkknkkn

011)2(2)1(1

.....

SS

SSSS

SSSSS

nn

knkn

knkn

nnknkknknnf

11

)2()2(

)1()1(

011)2(2)1(1

.

.

.

....

Este sistema escrito, en forma matricial, puede expresarse como: (1)Siendo:

BAxx nn

1

0100

0010

00010121

kk

A

Una matriz de orden k x k con entradas reales y

vectores en

En (1) se observa aplicando un método iterativo progresivo que

s

SS

x

n

kn

kn

n )2(

)1(

0

0

nf

yB Rk

BAxx 01

BBAxABBAxABAxx 02

012 )(

BBABAxABBBAxAABAxx 20

30

223 )(

BBABABAxAx nnnn .......21

0

En consecuencia, se intuye la siguiente generalización: Xn=AnX0+An−1·B+An−2·B+···+A·B+B ,n

N (2) Al observar (2) notamos que nuestro

problema queda completamente resuelto si logramos calcular Ah con 1 ≤ h ≤ n, pues al desarrollar AnX0+An−1·B+An−2·B+···+A·B+B nos interesa obtener la última fila de esta matriz que nos devuelve de manera explícita a S n .

Nh

Si A es una matriz diagonalizable, sabemos que existe una matriz invertible P y una matriz diagonal D formada por los valores propios de A, tal que: A=PDP−1. Esto nos permite hallar Ah , pues por inducción matemática se puede comprobar que: Ah=PDhP−1

Se demostró que la matriz A es diagonalizable sí y solo sí todos sus valores propios son simples, además, se probó que:

Nhh ,

111

11

2

1

1

11

2

1

1

k

k

k

kk

P 3

Siendo λ1, λ2, ..., λk los valores propios de la matriz A. El polinomio característico de A viene dado por:P(λ)=λ− βk−1λk−1−βk−2λk−2−…….− β1λ−β0 (4)Entonces, si la matriz A no es diagonalizable (tiene valores propios de multiplicidad algebraica mayor estricta a uno), esta se puede reducir por medio de una matriz de Jordan.

ConclusiónLos algoritmos desarrollado en este trabajo finaliza una serie de resultados conducentes a la resolución de relaciones de recurrencia lineales aplicando diversos métodos con coeficientes constantes tanto homogéneas como no homogéneas. La solución en sus diferentes formas está calculada con el suficiente detalle como para poder implementarse fácilmente.Nos pudimos dar cuenta en el tema de recursión en las relaciones lineales no homogéneas que existen varios métodos de resolución de problema, ya que no se tiene un método de manera general. Cabe distinguir que el método de coeficientes indeterminados nos proporciona una solución particular de la relación de recurrencia lineal no homogénea en función de la forma que tenga la f(n), siendo este método una de los más utilizados a la hora de buscar soluciones particulares en recurrencias líneas no homogéneas.

Las relaciones de recurrencia, por su na turaleza, manifiestan la necesidad de determinar de forma explícita mediante algún método o técnica, el término n-ésimo de la sucesión que representan. En el trabajo presentamos cómo resolver este problema para un tipo especial de relación de recurrencia llamada recurrencia lineal no homogénea con coeficientes constan tes de orden k por un método matricial usando vectores propios y números propios dando una solución general.

BibliografíaH. Rosen, Kenneth. Matemática discreta y

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combinatoria. Tercera edición 1994.Vichez Quezada, Enrique. Resolución de

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Apóstol, T. (1985) . Calculus. México: Reverté.

Hill, R. (1997) . Álgebra Lineal Elemental con Aplicaciones. México: PrenticeHall.

Hoffman, K. y Kunze, R. (1971). Álgebra Lineal. México: PrenticeHall.

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Vílchez, E. y Monge, J. (2001).Valores Propios y las Sucesiones Definidas

de Forma Recursiva. Revista digital Matemática, Educación e Internet