AULA

Planaridade... META Introduzir o problema da planaridade de grafos. OBJETIVOS Ao nal da aula o aluno dever ser capaz de: Distinguir grafo planar e plano; Determinar o dual de um grafo; Caracterizar grafos planares; Aplicar o algoritmo que determina se um grafo hamiltoniano planar. PR-REQUISITOS Conceitos elementares da teoria dos grafos (aula 7).

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Planaridade

9.1

Introduo

Caro aluno, essa nossa penltima aula do curso. Nela, deniremos grafos mergulhveis em superfcies, voltando nossa ateno ao caso de grafos mergulhvis no plano e veremos que estes so tambm mergulhveis na esfera. Deniremos o dual de um grafo planar. Apresentaremos a famosa frmula de Euler que relaciona o nmero de vrtices, arestas e regies de um grafo. A utilizaremos para mostrar que no h soluo para o famoso problema do fornecimento de servios. Enunciaremos ainda o Teorema de Kuratowski, que caracteriza grafos planares. Por m, apresentaremos um algoritmo que verica se um grafo hamiltoniano ou no planar.

9.2

Grafos Mergulhveis em Superfcies

Um grafo dito mergulhvel no plano, ou planar, se ele pode ser desenhado no plano de tal modo que suas arestas se intersectam apenas nos seus extremos. Um tal desenho de um grafo planar G dito um mergulho planar de G. Um mergulho planar G de G considerado isomorfo a G. Dizemos que um mergulho planar de um grafo planar um grafo plano.

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AULAMatemtica Discreta O conceito de grafo planar j apareceu no problema do exemplo (7.7), que pode ser resumido na pergunta: K3,3 planar? Por exemplo, K4 planar, como visto abaixo; onde o segundo desenho de K4 um grafo plano que estabelece seu mergulho no plano.

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A noo de um mergulho planar se extende a outras superfcies. Um grafo G dito mergulhvel numa superfcie S se pode ser desenhado em S tal que suas arestas se intersectem apenas nas suas extremidades; tal desenho, se existir, dito um mergulho de G em S.

Figura 9.1:

Mergulho do K4 na esfera e do K5 no toro.

No teorema que segue, mostraremos que grafos planares e grafos mergulhveis na esfera so os mesmos. Para mostrar isso, faremos uso de uma aplicao conhecida como projeo estereogrca. Considere uma esfera S tangente a um plano P , e denote por z o ponto de S que est oposto diagonalmente ao ponto de contato entre S e P . A aplicao : S \ {z} P , denida por (s) = p se, e somente se, z, s, p so ponto colineares, chamada projeo

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Planaridade estereogrca a partir de z.

Teorema 9.1. Um grafo G mergulhvel no plano se, e somente se, mergulhvel na esfera. Demonstrao: Suponha que G possui um mergulho G na esfera. Escolha um ponto z da esfera que no esteja em G. Ento a imagem de G sob a projeo estereogrca a partir de z um mergulho de G no plano. A recproca provada analogamente.

9.3

Grafo Dual

Um grafo plano G particiona o resto do plano em regies conexas. Sendo que, para cada grafo plano, existe exatamente uma regio ilimitada, chamada regio exterior. Teorema 9.2. Seja v um vrtice de um grafo planar G. Ento G pode ser mergulhado no plano de tal modo que v esteja na regio exterior do mergulho. Demonstrao: Considere um mergulho G de G na esfera. Seja z um ponto no interior de alguma regio contendo v, e seja (G) a imagem de G sob a projeo estereogrca a partir de z. Claramente, (G) um mergulho planar de G do tipo desejado. Dado um grafo plano G, podemos denir outro grafo G como segue: correspondendo a cada regio r de G existe um vrtice r

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AULAMatemtica Discreta de G , e correspondendo a cada aresta e de G existe uma aresta e de G ; dois vrtices f , g so unidos por uma aresta e em G se, e somente se, suas regies correspondentes f, g so separadas por uma aresta e de G. O grafo G dito o dual de G.

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Figura 9.2:

Grafo e seu dual.

Sejam v(G), a(G), r(G) o nmero de vrtices, de arestas e de regies de um grafo G, respectivamente, e dG (f ) o grau da regio f no grafo G. Seja ainda R(G) o conjunto das regies de G. As relaes seguintes so consequncias diretas da denio de G : v(G ) = r(G) a(G ) = a(G) dG (f ) = dG (f ), para todo f R(G) O teorema a seguir mostra que num grafo plano, a soma dos graus de suas regies igual ao dobro do nmero de arestas.

Teorema 9.3. Se G um grafo plano, ento d(f ) = 2a(G)f R(G)

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Planaridade Demonstrao: Seja G o dual de G. Ento d(f ) =f R(G)

d(f )f V (G )

= 2a(G ) = 2a(G)

9.4

A Frmula de Euler

O resultado bsico sobre grafos planos a frmula de Euler, que relaciona o nmero de arestas, vrtices e regies de um grafo. Teorema 9.4 (Frmula de Euler). Qualquer grafo conexo plano com v vrtices e a arestas divide o plano em r regies, onde va+r =2 Demonstrao: Se existe um ciclo, remova uma aresta dele. O efeito reduzir o nmero de arestas e de regies em 1 e no alterar o nmero de vrtices v. Ento o grafo resultante tem v = v, a = a 1, r = r 1, onde v a + r = v a + r. Repetindo esse procedimento at no restar mais nenhum ciclo, o grafo nal tornase uma rvore com v a + r = v (v 1) + 1 = 2. Corolrio 9.1. Um grafo plano com v 3 vrtices tem no mximo 3v 6 arestas. Demonstrao: suciente mostrar para grafos conexos. Seja G um grafo plano simples conexo com v 3. Ento d(f ) 3 para todo f R(G), logo ou seja, a 3v 6.f R(G) d(f )

3r. Assim, pelo teorema2a 3

(9.3), 2a 3r. Segue pela frmula de Euler que, v a +

2,

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AULAMatemtica Discreta Teorema 9.5. Kn planar somente se n 4. Demonstrao: suciente provar que K5 no planar, pois os demais casos contm K5 como subgrafo. Como K5 possui v = 5 vrtices, para ser grafo plano deveria ter no mximo 9 arestas, mas K5 possui 10 arestas, logo no pode ser planar. Teorema 9.6. K3,3 no planar. Demonstrao: K3,3 tem v = 6 vrtices e a = 9 arestas. Ento, se existisse uma representao planar de K3,3 , deveria ter r = 2 6 + 9 = 5 regies. Desde que K3,3 bipartido, portanto sem ciclo de grau mpar, cada regio deve ter pelo menos grau 4. Ento a soma dos graus das regies pelo menos 20, assim 2a = 18 20, contradio.

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9.5

Teorema de Kuratowski

O que torna um grafo no planar? Claramente, se ele contm K5 ou K3,3 como subgrafo, ento no pode ser planar. Foi provado em 1930 pelo matemtico polons Kuratowski que , essencialmente, apenas a presena de um K5 ou um K3,3 no grafo que faz com que ele deixe de ser planar. Para melhorar o entendimento dessa armao, faamos inicialmente a seguinte observao: desde que K5 no planar, o grafo abaixo no pode ser planar. Se fosse, poderamos fazer um desenho plano dele, apagar b da aresta ac, e obter um desenho plano de K5 . Denio 9.1. A adio de um novo vrtice numa aresta existente dita uma subdiviso de aresta, e uma ou mais subdivises de arestas cria uma subdiviso do grafo original.

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Teorema 9.7 (Teorema de Kuratowski). Um grafo planar se, e somente se, no contm subdiviso de K5 ou K3,3 como subgrafo. A demonstrao do Teorema de Kuratowski est acima do nvel do presente texto. Para exibir a utilidade do resultado, o utilizaremos para provar que o grafo de Petersen no planar. Exemplo 9.1 (Grafo de Petersen). Na gura abaixo, o grafo esquerda o famoso grafo de Petersen. No centro, temos o mesmo grafo com duas arestas removidas. Esse subgrafo uma subdiviso de K3,3 como mostrado no grafo isomorfo direita, o que mostra que o grafo de Petersen no planar.

9.6

Planaridade e Grafos Hamiltonianos

Existem algumas conexes interessantes entre grafos planares e hamiltonianos. Uma dessas conexes ocorrem no seguinte algoritmo, que pode ser usado para determinar se um grafo hamiltoniano planar ou no. A idia bsica que se um grafo G

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AULAMatemtica Discreta hamiltoniano e planar, ento no desenho planar de G, as arestas de G que no esto no ciclo hamiltoniano H cairo em dois conjuntos: aquelas que esto no interior de H e aquelas que esto no exterior de H. Teorema 9.8 (Algoritmo de planaridade para grafos hamiltonianos). Seja G um grafo hamiltoniano e H um ciclo hamiltoniano. (1) Desenhe o grafo G tal que o ciclo hamiltoniano H seja a fronteira da regio exterior (innita); (2) Liste as arestas de G que no esto em H: e1 , e2 , . . . , er ; (3) Forme um novo grafo K no qual os vrtices so rotulados por e1 , e2 , . . . , er e ei , ej so adjacentes se, e somente se, as arestas ei e ej se cruzam no grafo G (arestas incompatveis); (4) Ento G planar se, e somente se, K bipartido. (Se K bipartido, com bipartio P B, ento as arestas ei de cor P podem ser desenhadas no interior de H e as B coloridas podem ser desenhadas no exterior de H.) Exemplo 9.2. Verique se o grafo a seguir planar.

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Soluo: Vamos seguir o algoritmo dado.

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Planaridade (1) O grafo G j est desenhado com o ciclo hamiltoniano H = (a, b, c, d, e, f, a) sendo a fronteira da regio exterior; (2) As arestas de G que no esto em H so: ad, be, bf, ce, df ; (3) A aresta ad incompatvel com be, bf, ce. J be, incompatvel com ad, df . A aresta bf incompatvel apenas com ad; ce incompatvel com ad, df ; e df incompatvel com be, ce. Assim, o grafo K ca

(4) Como o grafo K obtido bipartido, segue que G planar, e podemos apresentar o grafo plano isomorfo a G desenhando ad, df no interior do ciclo H e be, bf, ce no exterior do ciclo.

9.7

Concluso

Nesta aula, voltamos nossa ateno ao problema de grafos que podem ser mergulhados no plano. Denimos o dual de um grafo planar e apresentamos a frmula de Euler que relaciona vrtices,

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AULAMatemtica Discreta arestas e regies de um grafo. Vimos que K3,3 e K5 no so planares e em seguida apresentamos o Teorema de Kuratowski que caracteriza grafos planares. Para nalizar a aula, apresentamos um algoritmo que verica a planaridade de grafos hamiltonianos.

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... ...

RESUMO...

Um grafo planar se pode ser desenhado no plano de tal forma que suas arestas se intersectam apenas nos seus extremos. Tal desenho de um grafo planar um grafo plano. Um grafo G mergulhvel no plano se, e somente se, mergulhvel na esfera. O dual de um grafo plano denido como segue: a cada regio de G existe um vrtice do dual G , a cada aresta de G existe uma aresta de G ; dois vrtices do dual so unidos por uma aresta se, e somente se, suas regies correspondentes so separadas pela aresta correspondente. Frmula de Euler: v a + r = 2. Um grafo planar com mais de 2 vrtices possui, no mximo, 3v 6 arestas. K3,3 e K5 no so planares. Uma subdiviso de aresta a adio de um novo vrtice numa aresta existente. Teorema de Kuratowski: Um grafo planar se, e somente se, no contm subdiviso de K5 ou K3,3 como subgrafo.

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Planaridade Algoritmo de planaridade para grafos hamiltonianos: se G um grafo hamiltoniano e H um ciclo hamiltoniano, ento: (1) Desenhe o grafo G tal que o ciclo hamiltoniano H seja a fronteira da regio exterior (innita); (2) Liste as arestas de G que no esto em H: e1 , e2 , . . . , er ; (3) Forme um novo grafo K no qual os vrtices so rotulados por e1 , e2 , . . . , er e ei , ej so adjacentes se, e somente se, as arestas ei e ej se cruzam no grafo G (arestas incompatveis); (4) Ento G planar se, e somente se, K bipartido. (Se K bipartido, com bipartio P B, ento as arestas ei de cor P podem ser desenhadas no interior de H e as B coloridas podem ser desenhadas no exterior de H.) ... ...

PRXIMA AULA... Na prxima aula, estudaremos problemas de colorao de grafos. Ser a aula de encerramento de nosso curso de matemtica discreta. Nela aplicaremos mais uma vez o princpio da incluso-excluso (aula 2) no estudo de polinmios cromticos. Ser preciso conhecer alguns conceitos elementares da teoria dos grafos (aula 7) e lembrar a denio de regies de um grafo mergulhado num plano dada nesta aula. ...

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AULAMatemtica Discreta ...

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ATIVIDADES... ATIVIDADE 9.1. Considere o mapa abaixo

Dena o grafo associado ao mapa da seguinte maneira: para cada regio do mapa, associe um vrtice do grafo; dois vrtices do grafo so ligados por uma aresta se as regies associadas a eles fazem fronteira no mapa. Desenhe o grafo G associado a este mapa e depois determine seu grafo dual G . ATIVIDADE 9.2. Os grafos a seguir so planares?

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Planaridade ATIVIDADE 9.3. Um emparelhamento perfeito de um grafo com 2n vrtices um subgrafo com n arestas disjuntas. Quantos emparelhamentos perfeitos existem nos grafos abaixo?

ATIVIDADE 9.4. O grafo Gn (n 1) mostrado abaixo:

1. G bipartido? Planar? 2. Denote por an o nmero de emparelhamentos completos de Gn . Mostre que a1 = 3 e a2 = 5. Mostre que para n > 2, an = an1 + 2an2 e portanto obtenha uma frmula para an .

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AULAMatemtica Discreta ATIVIDADE 9.5. Use o algoritmo da planaridade para determinar se os grafos seguintes so planares.

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REFERNCIAS... ANDERSON, I. A First Course in Discrete Mathematics. Springer: Londres, 2001. BONDY, J.A., MURTY, U.S.R. Graph Theory with Applications. Elsevier: Nova Iorque, 1976. SANTOS, W.F. Teorema de Geometrizao para Girassis de Grafos com Valncia Mnima Trs. Dissertao de mestrado. Universidade Federal de Pernambuco: Recife, 2008.

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