AritméticaModularArquimedes Paschoal

RoteiroI. IntroduçãoII. DivisibilidadeIII.Congruências LinearesIV.Aplicações das Congruências LinearesV. Teorema Chinês do Resto

Introdução- Teoria dos Números é uma disciplina nova?

1800 AC 1650 AC 300AC

Introdução- É preciso um conhecimento profundo em Matemática

para se entender as formulações da Teoria dos Números?

“Todo número par maior do que 2 pode ser escrito como a soma de dois números ímpares?”

4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 5 + 5; 12 = 5 + 7...

Euler disse: “Parece verdadeiro, mas eu não consigo provar...”

Introdução- Inicialmente não possuía qualquer aplicação

prática.

Criptografia!

DivisibilidadeDefinição 1: Um inteiro a é divisível por um inteiro b (não-nulo), se existe um inteiro k, tal a = kb.

Escreve-se: b|aLeia-se: b divide a

DivisibilidadeTeorema 1: Para quaisquer a, b, c e d inteiros, tem-se:

a) a|b a|bc, cb) a|b e c|d ac|bdc) a|b e b|c a|cd) a|b e a|c a|(bx+cy), x,y inteirose) a|b e b|a a=bf) a|b com a,b > 0 a bg) a|b ma|mb, m inteiro não-nulo

DivisibilidadeTeorema 2: Para quaisquer a, b inteiros, com b>0, existem inteiros únicos q e r, tais que a = qb+r, 0 r < b. Se b não divide a (ba), então, 0 < r < b.

Este Teorema é conhecido como o Algoritmo da Divisão. Chamos q de quociente e r de resto.

Obs: Note que se a = -19 e b = 5, então, pelo Algoritmo da Divisão deve-se ter q = -4 para que r = 1 (r 0).

DivisibilidadeDefinição 2: Para quaisquer a, b inteiros, com pelo menos um deles não-nulo, então, d = MDC(a,b) se:

a) d|a e d|bb) Se c|a e c|b c d

DivisibilidadeTeorema 3: Se d = MDC(a,b), então, existem inteiros x e y tais que d = ax + by.

Prova: No quadro durante a apresentação

Note que se a e b são relativamente primos, então, podemos escrever:

ax + by = 1

Como encontrarX e y?

DivisibilidadeAlgoritmo de Euclides: Considere a aplicação repetida do algoritmo da divisão da seguinte forma:

O MDC(a,b) é o último resto não-nulo

DivisibilidadeExemplo: MDC(172,20)

172 = 20x8 + 12 20 = 12x1 + 812 = 8x1 + 4 MDC (172,20) = 48 = 4x2 + 0

DivisibilidadeVamos encontrar x e y?

12 = 172 -20x88 = 20 -124 = 12 – 8 = 12 – (20 – 12) = 12x2 -204 = 2x(172-20x8)-204 = 172x2 -20x16 -204 = 172x(2) + 20x(-17)

X = 2, y = -17

DivisibilidadeUma pergunta interessante e que não pode passar livremente é: “Por que o Algoritmo de Euclides funciona?”

O que o Algoritmo de Euclides diz, de fato, é que:

d = MDC(a,b) = MDC(a,b-qa)Mas, isto é uma consequência da propriedade que afirmaMDC(a,b)=MDC(a,ax+b) onde x = -q.

DivisibilidadeVamos provar então que se d = MDC(a,b), então,

d = MDC(a,ax+b)

Considere que t = MDC(a,ax+b). Logo, t|a e t|(ax+b). Portanto, t|b. Logo, t|d (td). Suponha t < d.

d =qt + r r = d – qt (r < t). Portanto, t|r, pois t|d e t|qt. Impossível, pois r<t. Logo, t = d.

Números PrimosUm número inteiro p>1 é dito ser primo se não houver nenhum divisor d de p tal que 1<d<p. Caso contrário, o número é dito ser composto.

Atualmente, o criptosistema RSA te sua segurança baseada na dificuldade em se fatorar um número composto n como o produto de dois primos distintos p e q.

Números Primos

Números Primos

Um inteiro da forma: é chamado um inteiro de Mersenne. Quando este número for primo, chamamos os mesmos de “Primos de Mersenne”.

Primos de Mersenne

Pode-se mostrar que se é primo, então, a = 2 e n é primo.

Existe um especial interesse em corpos finitos do tipo pois as operações de multiplicação são mais simples.

Primos de Mersenne

Um inteiro da forma é dito ser um número de Fermat. Se um número de Fermat é primo, então ele possui a forma acima. O contrário pode não ser verdade.

Primos de Fermat

A fatoração de qualquer número inteiro n (n>1) como produto de fatores primos é única.

Note que em S = {2,4,6,8,...} a fatoração não é única neste conjunto, pois 60 = 2x30 = 6x10.

Teorema da Fatoração Única

A série dos números primos é infinita.

Teorema de Euclides

Congruências LinearesIntroduzidas por Gauss em 1801 no seu livro Disquisitiones Arithmeticae (Pesquisas Aritméticas).

Definição: Dados os inteiros a,b e n (n>0), diz-se que a é congruente com b módulo n se n divide a-b.

Congruências Lineares

Congruências LinearesA equação

,

com x a determinar, pode ser escrita como

Portanto,

x e k inteiros a determinar

Congruências LinearesTeorema: A equação diofantina ax + by = c possui solução se, e somente se, d=MDC(a,b)|c. Se (x0,y0) é uma solução particular, então, todas as outras soluções são:

t inteiro

Aplicações das C.L.Projetar do livro

Teorema Chinês do RestoUma das primeiras aparições foi no livro “Manual de Aritmética do Mestre Sun” (287 DC-473 DC). Desenvolvido simultaneamente por gregos e chineses para resolver problemas de astronomia.

Teorema Chinês do Resto