tema iii. matemática discreta

1

2

3

4

III. RELACIONES.

1. Noción de relación.

2. Par ordenado.

1.1. Igualdad de pares.

3. Triplos, cuádruplos,…., n-uplos.

3.1. Igualdad de n-uplos.

4. Conjunto producto.

4.1. Operación .

4.2. Propiedades.

5. Definición de relación.

5.1. Relación binaria.

5.2. Dominio de definición de una relación.

5.3. Dominio de imagen de una relación.

5.4. Operaciones con relaciones.

5.4.1. Unión.

5.4. 2. Intersección.

5.5. Propiedades de las relaciones.

5.5.1. Reflexividad.

5.5.1.1. Relaciones reflexivas.

5.5.1.2. Relaciones irreflexivas

5.5.2. Simetría.

5.5.2.1. Relaciones simétricas.

5.5.2.2. Relaciones asimétricas.

5.5.2.3. Relaciones antisimétricas.

5.5.2.4. Relación no simétrica.

5.5.3. Transitividad.

5.5.3.1. Relaciones transitivas.

5.5.3.2. Relaciones intransitivas.

5.5.4. Conexidad.

5.5.4.1. Relación conexa.

5.5.4.2. Relación fuertemente conexa.

5.6. Relaciones de equivalencia.

5.7. Relaciones de orden.

5.7.1. Relaciones de semiorden.

5.7.2. Relaciones de orden parcial.

5.7.3. Relaciones de orden parcial estricto.

5.7.4. Relaciones de orden simple o total.

5.7.5. Relaciones de orden simple estricto.

6. Clases de equivalencia.

6.5.Particiones y clases de equivalencia.

6.6.Conjunto cociente.

7. Relación trivial.

8. Relación universal.

9. Relación inversa.

10. Relación compuesta.

11. Relación inversa.

12. Ejercicios.

A R B

3

4

5

6

Gilma Tablada Martínez | Ingeniera en Matemáticas.

47

III. RELACIONES.

Noción de relación:

Consideremos las siguientes expresiones:

a. “el numero natural es menor o igual al natural ”

b. “la recta es paralela a la recta ”

c. “el triángulo es semejante al triangulo ”

En las anteriores expresiones se establece un vínculo entre dos elementos u objetos.

Estos nexos están establecidos por los enunciados “menor o igual”, “paralela a” y

“semejante a”. Esta idea nos servirá para llegar a la definición formal de una relación.

Par ordenado:

Es el resultado de citar a dos elementos en un orden fijo. Se denota por o

. Se lee: “ ”. es el primer elelemnto del par y es el

segundo.

Basándonos en la teoría de conjuntos, es posible hacer una definición formal de par

ordenado:

Igualdad de pares ordenados:

Los pares ( ) y ( ) son iguales si y solo si ˄ .

Triplos ordenados:

Se compone de 3 elementos. Es un par cuyo primer elemento también es un par.

( ) } } }}

A partir de esta definición podemos definir cuádruplos, quíntuplos, etc,….

N-uplos ordenados:

Es un par ordenado, cuyo primer elemento es un ( ) -uplo.

.

La igualdad de n-uplos se da cuando todos los elementos respectivos de los n-uplos son

iguales, esto es:

Conjunto producto:

Es un tipo especial de conjunto, cuyos elementos son n-uplos. Dados y , conjuntos

no vacíos; a partir de ellos definimos y se lee “conjunto producto por ” al

conjunto que tiene como elementos los pares , tales que .

def {{x},{x,y}}

, , …….,


48

Ejemplo:

Dados = } y = }.

}

Conjunto producto de n-uplos ordenados:

Sea la familia de conjuntos , no vacíos y no necesariamente distintos, se

define el conjunto producto, al conjunto de pares del tipo ( ), tales que

, ,…….,

= {( )/ , ,……., }

Para abreviar en esta definición al conjunto lo denotaremos por

, tal conjunto se conoce matemáticamente como espacio.

Operación .

Es una nueva operación entre conjuntos, que da como resultado un nuevo conjunto,

cuyos elementos son pares ordenados.

}

Ejemplo:

Dados = } y = }.

}

Propiedades de la operación .

a. Conmutatividad.

La operación no es conmutativa.

b. Asociatividad.

La operación no es asociativa.

c. Distributividad.

La operación es distributiva con respecto a la unión, intersección y diferencia.

}

}


49

Leyes de Distributividad de la operación .

a. Respecto a la unión:

b. Respecto a la intersección:

c. Respecto a la diferencia:

Demostración de la primera propiedad distributiva:

˅

Definición de relación binaria:

Dados dos conjuntos y , se define una relación binaria de en a un conjunto de

pares ordenados que denotaremos por R, t u R . Una relación binaria

sobre un conjunto es un subconjunto de .

Se define a R como una relación de en y se denota por R ; además

si es verdadero entonces se dice que R y se lee

“ ”. Los elementos de que están relacionados con

elementos de forman un par ordenado ( ) ( . Si es falso entonces

se dice que y se lee “ ”. Si entonces se dice

que “R ”.

Las relaciones binarias se denotan siempre con letras mayúsculas cursivas y se pueden

representar de diferentes maneras:

Literalmente.

Definiendo su conjunto de partida, de llegada y de su predicado.

Como un conjunto de pares ordenados.

Matricialmente.

Gráficamente a través de:

_ Diagramas.

Una relación binaria R se define a través de los siguientes elementos:

Un conjunto ó conjunto de partida.

Un conjunto ó conjunto de llegada.

Un enunciado formal tal que es verdadero para todo par

de elementos y que están relacionados según R, o sea R

o sea “ ”.

ℛ


50

1

2

3

4

_ Tablas.

_ Grafos.

Ejemplos:

1. Sea R sobre el conjunto de los números reales, donde es el enunciado

, entonces R es una relación y 2 π, 2 R 2 , 5 10, 8 R 3,

2 2.

2. Sea R1 , siendo , el conjunto de hombres y el conjunto de

mujeres:

- El enunciado = “ ” define una relación de en .

- El enunciado = “ ” define una relación de en

.

- El enunciado = “ ” no define una relación de en .

- El enunciado = “ ” no define una relación de en .

3. Dados los conjuntos = {1, 2, 3, 4} y = {3, 4, 5, 6} y el predicado “ ”.

La relación también puede ser representada a través de una matriz de la siguiente

manera:

Si la representación es matricial en las filas se colocan los elementos de y en las

columnas los de . En la fila columna habrá 1 si el elemento de la fila está

relacionado con el elemento de la columna . En caso contrario habrá un cero. Por

ejemplo “2 +1 = 3” por lo tanto 2 y 3 no están relacionados. “ ” por lo que 3

y 5 si están relacionados.

También se puede representar a través de un grafo, en el que habrá un punto en la

intersección de los elementos relacionados y fuera ellos quedarán las celdas vacías. Por

ejemplo para la relación anterior el grafo sería:

También se puede expresar a través de un diagrama:

R 3 4 5 6

1 1 1 1 1

2 0 1 1 1

3 0 0 1 1

4 0 0 0 1

R 3 4 5 6

1 • • • •

2 • • •

3 • •

4 •

ℛ ℛ ℛ

3

4

5

6

A R B


51

4. Sea R2 , siendo N el conjunto de los números naturales y el

enunciado “ ”; entonces R2 es una relación y el par (3,12) R2 y

el par (4, 23) R2.

Conjunto solución de una relación.

Sea R una relación de en , o sea, R , el conjunto solución R* de

R es el conjunto de todos los pares para los cuales es verdadero.

Ejemplos:

1. Sean los conjuntos A = {2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6} y R una relación de en con el

enunciado formal “ ”, entonces el conjunto solución de R es:

R* = {(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}

2. La relación R sobre los conjuntos A y B anteriores con el enunciado “

” tiene el siguiente conjunto solución:

R* = {(2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6)}

Dominio de definición de una relación.

Sea R una relación de en , o sea, R . El dominio de definición o dominio de la relación R es el conjunto de todos los

primeros elementos de los pares del conjunto solución. Se denota por R.

Note que

Dominio de imágenes de una relación.

El rango o dominio de imágenes de una relación R , es el conjunto

de todos los segundos elementos de los pares ordenados que pertenecen al conjunto

solución de la relación. Este conjunto se denota por R.

Note que .

Ejemplos:

1. Sean }, } y R* }

R = } R = }

R* = { }

R R*}

R R*}.


52

2. Sea la relación definida sobre el conjunto de números naturales tal que se

relaciona con si

R* }

R = } R = }

3. Sea la relación sobre el conjunto de los números reales definida por el enunciado

formal Gráficamente este enunciado representa una elipse con

centro en el origen de coordenadas.

R = [-3, 3]

R = [-2, 2]

3. Sean los conjuntos [ ] [ y sea R la relación definida de a

con predicado

R = [-10, 10]

R = [0, 10]

10

-10 10

3

5

-3

2

3

-2


53

Propiedades de las relaciones:

Las relaciones se clasifican de diferentes maneras según la vinculación que existe entre

los elementos de los conjuntos sobre los cuales se define la relación.

1. Reflexividad

1.1. Relaciones reflexivas.

Una relación sobre , se dice que es reflexiva si todo elemento de está relacionado

consigo mismo. Si R está representada matricialmente entonces será reflexiva si en la

diagonal principal de la matriz todos los elementos son 1.

Ejemplos:

1. Sea el conjunto = {2, 3, 4} y la relación dada por el conjunto de pares:

R* = {(2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} No es reflexiva porque (2, 2)

R*.

2. Dado R el conjunto de las rectas del plano y R1 la relación definida sobre ℝ por el

enunciado “ ”. Es una relación reflexiva pues cada recta del plano es

paralela con ella misma.

3. La relación con el enunciado “ ”, definida sobre el conjunto de

rectas del plano no es reflexiva pues toda recta no es perpendicular con ella misma.

1.2. Relaciones irreflexivas.

Una relación sobre , se dice que es irreflexiva si todo elemento de no está

relacionado consigo mismo. Si R está representada matricialmente entonces será

reflexiva si en la diagonal principal de la matriz todos los elementos son 1.

Ejemplos:

1. Sea el conjunto = {2, 3, 4} y la relación dada por el conjunto de pares:

R* = {(2, 3), (2, 4), (3, 4), (4, 2), (4, 3)} No es reflexiva porque (2, 2) R.

2. Dado R el conjunto de las rectas del plano y R1 la relación definida sobre ℝ por el

enunciado “ ”. Es una relación no irreflexiva pues cada recta del plano

es paralela con ella misma.

3. La relación con el enunciado “ ”, definida sobre el conjunto de

rectas del plano es irreflexiva pues toda recta no es perpendicular con ella misma.

2. Simetría.

2.1. Relaciones simétricas.

Una relación R sobre , se dice que es si para todo elemento de , que

está relacionado con un elemento , entonces también está relacionado con . Si R

Sea R , es si R*.

Sea R , es si R*.


54

está representada matricialmente, R será simétrica si la matriz de la relación es

simétrica respecto a la diagonal principal.

Ejemplos:

1. La relación R del ejemplo 1 anterior sobre el conjunto no es simétrica pues el par

(3, 2) R*, mientras que los pares (3, 4) y (4, 2) si pertenecen.

2. La relación R1 del ejemplo 2 anterior sobre el conjunto de las rectas del plano por el

enunciado “ ”, es simétrica porque si una recta es paralela a una

recta , entonces también será paralela a .

3. La relación del ejemplo 3 anterior, también definida sobre el conjunto de rectas del

plano por el enunciado “ ”, es también una relación simétrica, pues

si una recta es perpendicular a una recta , entonces también será perpendicular a

.

2.2. Relaciones asimétricas.

Una relación sobre , es si para todo par de elementos de , que están

relacionados, y , entonces no está relacionado con . Si R está representada

matricialmente, será asimétrica si no es simétrica respecto a la diagonal principal.

Ejemplos:

1. Dada R, una relación sobre = {1, 2, 3, 4}, definida como ( ) Є R* si .

R* = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} Es

antisimétrica porque para todo par de elementos , si el par ( ) Є R* y ≠ , el

par ( ) R*. El (1, 2) está en la relación pero (2, 1) no está.

2. Sea R* = {( )}, definida sobre el conjunto } es

antisimétrica.

3. La relación “ ” definida sobre el conjunto de los números reales es

antisimétrica.

4. La relación de inclusión estricta sobre conjuntos es una relación antisimétrica.

2.3. Relaciones antisimétricas.

Una relación R sobre , se dice que es si para todo elemento de ,

que está relacionado con un elemento , entonces también está relacionado con

entonces . Si R está representada matricialmente, R será simétrica si la matriz de

la relación es simétrica respecto a la diagonal principal.

Sea R , es si R* R*.

Sea R ), es si

R* R*.


55

Ejemplos:


R* = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} Es antisimétrica.


R* = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} Es

antisimétrica.

1.4. Relaciones no simétricas.

Una relación R sobre , se dice que es si y solo si no es , En este caso la relación tiene como elementos pares

ordenados, al menos uno, para los cuales es simétrica y pares ordenados, al menos uno,

para los cuales es asimétrica.

Ejemplos:


R* = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 2), (4, 4)} Es no

simétrica.

2. La relación en el conjunto de los seres humanos es no simétrica porque

cada persona se ama a sí mismo y además puede amar a una persona que también lo

ame.

3. La relación “tan alto como”, definida sobre el conjunto de alumnos de un curso, es

una relación no simétrica porque dos alumnos pueden tener la misma estatura e

indistintamente puede uno ser más alto que otro.

3. Transitividad.

3.1. Relaciones transitivas.

Una relación sobre , se dice que es si para los elementos de , si y

solo si está relacionado con un elemento , y está relacionado con un elemento ,

entonces el elemento también está relacionado con .

Sea R , es si R* R*

.

Sea R es no simétrica no es simétrica, ni asimétrica, ni

antisimétrica.

Sea R es

R* R* (a, c) Є R*.


56

Ejemplos:

1. La relación R del ejemplo 1 anterior sobre el conjunto no es transitiva pues el par

R*.

2. La relación R1 del ejemplo 2 anterior sobre el conjunto de las rectas del plano por el

enunciado , es una relación transitiva, pues si una recta es paralela

a una recta y es paralela a , entonces es paralela a .

3. La relación del ejemplo 3 anterior, también definida sobre el conjunto de rectas del

plano por el enunciado “ ”, no es una relación transitiva, pues

si una recta es perpendicular a una recta y es perpendicular a , entonces

no es perpendicular a .

3.2. Relaciones intransitivas.

Una relación sobre , se dice que es si para los elementos de , si

y solo si está relacionado con un elemento , y está relacionado con un elemento ,

entonces el elemento no está relacionado con .

Ejemplos:

1. Dada R, una relación sobre = {1, 2, 3, 4}, definida con el conjunto solución:

R* = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 2), (4, 4)} Es intransitiva.

2. La relación definida sobre el conjunto de rectas del plano por el enunciado

“ ”, es una relación intransitiva, pues si una recta es

perpendicular a una recta y es perpendicular a , entonces no es perpendicular a

.

4. Conexidad.

4.1. Relación conexa.

Una relación sobre , se dice que es conexa si y solo si para todo par de elementos

de y distintos, se tiene que está relacionado con o está relacionado con .

Ejemplo:

1.- Dada R, una relación sobre = {1, 2, 3}, definida con el conjunto solución:

R* = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} Es conexa en

Sea R es

R* R* (a, c) R*.

Sea R es conexa

R* ˅ R*


57

4.2. Relación no conexa.

Una relación sobre , se dice que es no conexa si y solo si no es conexa.

Ejemplo:

1. Dada R, una relación sobre = {1, 2, 3, 4}, definida con el conjunto solución:

R* = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (4, 2)} Es no conexa porque el par (1,3) ni el (3, 1) no

están en la relación.

4.3. Relación fuertemente conexa.

Una relación sobre , se dice que es fuertemente conexa si para todo par de elementos

de , se tiene que está relacionado con o está relacionado con .

Ejemplo:

1.- Dada R, una relación sobre = {1, 2, 3}, definida con el conjunto solución:

R* = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)} Es conexa en

Relación inversa o recíproca:

Sea la relación R de en , la inversa de R, que se denota R-1 es la relación de en

definida como el conjunto de pares , tales que está relacionado con .

Ejemplos:

1. Sean los conjuntos = {2, 3, 4} y = {3, 4, 5, 6} y R una relación de en con el

enunciado formal “ ”, entonces el conjunto solución de R es:

R* = {(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}. Para esta relación la relación inversa R-1

es:

R-1 = {(4,2), (6, 2), (3, 3), (6, 3), (4, 4)}

2. Sea una relación R definida sobre un conjunto de personas por enunciado formal

. La relación inversa R-1 está dada por el enunciado

Sea R es no conexa

R* ˄ R*

Sea R es fuertemente conexa

R* ˄ R*

Sea R su relación inversa es R-1 (R-1

)*

= {( ) | ( ) Є R}


58

3. Dados los conjuntos = {1, 2, 3, 4} y = {3, 4, 5, 6} y el predicado la

relación también puede ser representada a través de una matriz de la siguiente manera:

La relación inversa viene dada por el predicado – y matricialmente se

representa:

Relación trivial.

Es aquella en que cada elemento sólo está relacionado consigo mismo.

Ejemplo:

Dados el conjunto = {1, 2, 3, 4} la relación trivial sobre A tiene los elementos:

} }

Relación universal.

Es aquella en la que cada elemento está relacionado con todos los restantes elementos

del conjunto sobre el cual se define.

Relación de equivalencia.

Ejemplos: 1. De las relaciones anteriores solo es una relación de equivalencia la relación definida

sobre el conjunto de rectas del plano por el enunciado “ ”.

2. La relación R definida sobre el conjunto = {2, 3, 4}, dada por el conjunto de pares:

R* = {(2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} no es una relación de equivalencia

porque no es reflexiva ni transitiva.

4. La relación definida sobre el conjunto de rectas del plano, con el enunciado “

”, no es una relación de equivalencia porque no es reflexiva ni

transitiva.

R 3 4 5 6

1 1 1 1 1

2 0 1 1 1

3 0 0 1 1

4 0 0 0 1

R-1 1 2 3 4

3 1 0 0 0

4 1 1 0 0

5 1 1 1 0

6 1 1 1 1

Sea R = es una , si y sólo si, es


59

Particiones y relaciones de equivalencia.

Ejemplo:

1.- Considere el conjunto {1, 2, 3, 4, 5}

Para el conjunto P existen varias particiones:

a) {1, 2, 3} y {4, 5}

b) {1, 2}, {3, 4} y {5}

c) {1, 3, 5} y {2, 4} y otras.

Clases de equivalencia.

Si R es una relación de equivalencia definida sobre un conjunto , se llama clase de

equivalencia de un elemento al conjunto de elementos que están relacionados

con según R y lo denotamos por [ ].

Ejemplos:

1. Considere la relación de equivalencia sobre el conjunto = {1, 2, 3, 4, 5} como el

conjunto de pares:

R* = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4) (3, 1}, (3, 3), (3, 5),

(4, 2), (4, 4), (5, 1), (5, 3), (5, 5)}

Para esta relación existen las clases de equivalencia:

[1] = {1, 3, 5}

[2] = {2, 4} [3] = {1, 3, 5}

[4] = {2, 4} [5] = {1, 3, 5}

Resumiendo, podemos decir que hay dos clases de equivalencia:

[1] = [3] = [5] = {1, 3, 5}

[2] = [4] = {2, 4}

2. Sea = {1, 2, 3,….., 10} y la relación R y si . Se puede probar

que R es una relación de equivalencia. Encontremos los miembros de las clases de

equivalencia:

[1] = [4] = [7] = [10] = {1, 4, 7, 10}

Una colección de subconjuntos propios de un conjunto , { }; es una partición de si y sólo si satisface las dos condiciones siguientes:

1.- i

= ,

2.- = ,

[ ] = { R }.


60

[2] = [5] = [8] = {2, 5, 8}

[3] = [6] = [9] = {3, 6, 9}

Una relación se puede definir a través de sus clases de equivalencia.

Si { } es una partición de entonces R si y sólo si y pertenecen al

mismo conjunto de la partición de .

En la relación trivial se obtienen tantas clases de equivalencia como elementos tiene el

conjunto de partida y cada conjunto tiene sólo un elemento.

En la relación universal se obtiene una sola clase de equivalencia que coincide con el

propio conjunto de partida.

La partición de los elementos de un conjunto en clases de equivalencia permite

considerar un nuevo conjunto, desde el punto de vista de la relación de equivalencia con

menos elementos.

Conjunto cociente.

Ejemplos:

1. La relación de semejanza de triángulos definida en el plano euclidiano es una relación

de equivalencia. Todos los triángulos del plano semejantes entre sí pertenecen al mismo

conjunto. Estos conjuntos son disjuntos y forman las clases de equivalencia.

2. Sea R la relación sobre los números naturales como – , o

sea, , entonces R puede representarse como un conjunto formado por dos

clases de equivalencia: Los que tienen resto cero y los que tienen resto distinto de cero.

E0 = {2, 4, 6, 8,……....}

E1 = {1, 3, 5, 7,………}

Si R es una relación de equivalencia sobre un conjunto , entonces la colección de

todas las clases de equivalencias {[ ], } es una partición de .

Sea R es una relación de equivalencia sobre un conjunto finito . Si cada clase de

equivalencia tiene elementos entonces existen / r clases de equivalencia.

Sea R es una relación de equivalencia sobre un conjunto A. El conjunto cociente de A

módulo R es el conjunto que tiene por elementos las clases de equivalencia y se denota

por / R = {[ ] | }

.


61

N / R = { }

3. De manera general podemos definir la relación Rn = “ ” sobre el conjunto

de los números enteros. Dicha relación se expresa el conjunto de sus n clases de

equivalencia que son los enteros que al dividirse por n tiene

resto 0, 1, 2, 3,……., n-1.

Z / Rn = { }

Relaciones de orden.

Ejemplos:

1. La relación “ ” definida sobre el conjunto de los números reales es una

relación de orden.

2. La relación de inclusión estricta sobre el conjunto potencia de un conjunto es una

relación de orden.

Si un par de elementos están relacionados se dice que son comparables. Si todos los

elementos del conjunto sobre el que se define una relación son comparables, entonces la

relación es de orden total, de lo contrario es de orden parcial.

Ejemplos:

1. La relación R, definida sobre los enteros positivos mediante el predicado formal

es una relación orden.

2. La relación de inclusión R, definida sobre el conjunto potencia de un conjunto dado

es una relación de orden parcial. Si } entonces B } } }} Los

elementos { } y { } no están relacionados.

3. La relación sobre el conjunto de los números naturales es

una relación de orden total.

Sea R es una relación de orden si es ,

Sea R es una relación de orden total si

[( ) Є R* ( ) Є R*]. En caso contrario, el orden es parcial.


62

Ejercicios propuestos:

1. Dadas las relaciones siguientes, escriba su conjunto solución:

a. La relación R definida sobre el conjunto {1, 2, 3, 4} definida como ( ) Є R si

b. La relación R sobre el producto , donde es el conjunto de ciudades de

Ecuador y es el conjunto de provincias de Ecuador. ( ) Є R si

“ ”.

c. La relación R sobre el conjunto {1, 2, 3, 4, 5}, definida mediante la regla ( ) Є

R si “ – ”.

2. Sea la relación R definida sobre el conjunto , con enunciado formal =

“ ”

a. Escriba a R como un conjunto de pares ordenados.

b. Halle su conjunto dominio de definición.

c. Halle el dominio de imágenes.

d. Defina a ℛ .

3. Sea la relación R definida sobre el conjunto , con enunciado formal =

“ ”

e. Escriba a R como un conjunto de pares ordenados.

f. Halle su conjunto dominio de definición.

g. Halle el dominio de imágenes.

h. Defina a ℛ .

4. Dados los conjuntos } y } y la relación R1, definida

sobre y representada matricialmente, escriba el conjunto de pares de la

relación.

5. Dado el conjunto = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} escriba los elementos del conjunto

solución de R definida por los siguientes enunciados sobre :

a. = “ ”

b. = “ ”

c. = “ ”

6. Dado }, considere la siguientes relaciones en .

R1 } R2 } R3 } R4 } R5

Decir si cada una de ellas es o no simétrica, antisimétrica, transitiva o reflexiva.

R a b c d

1 0 1 0 1

2 0 0 1 0

3 0 1 1 0

4 1 0 0 0


63

7. Establecer la Veracidad o Falsedad de cada uno de los siguientes razonamientos,

suponiendo que ℛ y 𝒮 son relaciones sobre un conjunto cualquiera . a. Si ℛ s simétrica, entonces ℛ es simétrica. ___________ b. Si ℛ s ntisimétrica, entonces ℛ es antisimétrica. ___________

c. Si ℛ s r xiv entonces ℛ ℛ . ___________

d. Si ℛ s sim tric entonces ℛ ℛ . ___________

e. Si ℛ es transitiva y 𝒮 es transitiva, entonces ℛ 𝒮 es transitiva. ___________

f. Si ℛ es transitiva y 𝒮 es transitiva, entonces ℛ 𝒮 es transitiva. ___________

g. Si ℛ y 𝒮 son antisimétricas, entonces ℛ 𝒮 es antisimétrica. ___________

h. Si ℛ y 𝒮 son antisimétricas, entonces ℛ 𝒮 es antisimétrica. ___________

i. Si ℛ s reflexiva y 𝒮 es reflexiva, entonces ℛ 𝒮 es reflexiva. ___________

j. Si ℛ es reflexiva y 𝒮 es reflexiva, entonces ℛ 𝒮 es reflexiva. ___________

8. Clasifique las siguientes relaciones en reflexivas, simétricas y/o transitivas. Diga de

ellas cuáles son de equivalencia.

a. Sea = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y = “ ” sobre .

b. Dado = “ ” definido sobre la clase de conjuntos.

c. Sea = “ ” sobre el conjunto de triángulos.

9. Dado el conjunto que contiene las rectas del plano y las relaciones R1 y R2 con

los predicados y respectivamente: = “ ” y =

“ ”. Diga si son relaciones de equivalencia.

10. Determine los conjuntos dominio de definición y de imágenes para cada una de las

relaciones definidas a continuación sobre el conjunto de los enteros positivos y diga

si son o no una relación de equivalencia, de orden o ninguna de las dos:

a. R si “ . b. R si “ ”.

c. R si “ ”.

d. R si “ ”.

e. R si “ – .

11. Dada la relación R2 definida sobre el conjunto = { }, representada en la

siguiente matriz:

a. Defina su relación inversa.

b. Diga si es una relación de equivalencia, de orden o ninguna de las dos cosas.

12. Sea la relación R sobre X, conjunto potencia de un conjunto dado, definida

como ( ) Є R si . ¿Es una relación de equivalencia, de orden ó ninguna

de las dos? Justifique su respuesta.

13. Sea el conjunto de todas las cadenas binarias de 4 bits, por ejemplo 0110, 0101,

etc. Defina sobre una relación de manera tal que R si = siendo y

R2

1 0 0 0

0 1 1 0

0 1 1 0

0 0 0 1


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subcadenas de longitud 2. Por ejemplo: 0111 R 1010 pues la subcadena 01 está

en ambas cadenas. 1110 0001 porque no comparten ninguna subcadena de

longitud 2. ¿Es una relación de equivalencia, de orden o ninguna de las dos?

Justifique se respuesta.

14. Halle todas las particiones del conjunto }.

15. Dado el conjunto , o sea, el conjunto de pares ordenados ( ) de números

naturales y las relaciones R1 y R2 sobre definidas por:

a. ( ) R1 ( ) si y sólo si = .

b. ( ) R2 ( ) si y sólo si = .

Pruebe que es una relación de equivalencia.

16. Dado el conjunto = {1, 2, 3, 4, 5} y las relaciones que se indican a continuación.

Defina su conjunto de definición y de imágenes. Diga si son o no relaciones de

equivalencia. Enumere las clases de equivalencia.

a. R1 = {(1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 3), (3, 1)}

b. R2 = {(1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 3), (3, 1), (3, 4), (4, 3)}

c. R3 = {(1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}

d. R4 = {(1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 5), (5, 1), (3, 5), (5, 3), (1, 3), (3, 1)}

e. R5 = {( ) | }

f. R6 = {( ) | – }

g. R7 = {( ) | }

h. R8 = {( y) | – }

17. Enumere los miembros de la relación de equivalencia sobre el conjunto , definida

mediante las particiones dadas.

= {1, 2, 3, 4}

Determine las clases de equivalencia [1], [2], [3] y [4].

a. {{1, 2}, {3, 4}}

b. {{1}, {2}, {3}, {4}}

c. {{1, 2, 3, 4}}

d. {{1}, {2}, {3, 4}}

e. {{1, 2, 3}, {4}}

f. {{1}, {2, 3}, {4}}

18. De un ejemplo de una relación de equivalencia sobre el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}

con 4 clases de equivalencia y enumere los pares de la relación.

19. ¿Cuántas relaciones de equivalencia existen sobre el conjunto {1, 2, 3}?

20. Dado el conjunto = {1, 2, 3, 4, 5} y una relación R definida sobre con el

enunciado formal “ ”, o sea, “el único divisor común

entre e es el 1”

a. Defina el conjunto solución de R.

b. Encuentre las clases de equivalencia de la relación R. c. Diga si la relación R es de equivalencia o no. Justifique su respuesta.

ℛ


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21. Dado el conjunto , o sea, el conjunto de pares ordenados (a, b) de números

naturales y una relación R, definida sobre él, de manera que (a, b) R (c, d) si y solo

si ad = bc.

a. Diga si R es reflexiva y/o simétrica. Muestre al menos 3 ejemplos además de su

argumentación para cada propiedad.

22. Dado el conjunto ℝ ℝ, o sea, el conjunto de pares ordenados (a, b) de números

naturales y las relaciones R1 y R2, definidas sobre él, de manera que:

R1 = { ℝ }

R2 = { ℝ }

a. Represéntelas en un plano cartesiano.

b. Calcule y señale gráficamente

y \

23. Determine los conjuntos dominio de definición y de imágenes para cada una de las

relaciones definidas a continuación sobre el conjunto ℝ ℝ y diga si son o no una

relación de equivalencia, de orden o ninguna de las dos:

a. R si “ . b. R si “

⁄ ”.

c. R si “ ”.

d. R si “ ”

24. Dados los conjuntos:

} , }, } y las relaciones ,

definidas por su conjunto solución:

}

}

}

}

Defina para cada una de ellas:

a. Rango.

b. Conjunto Imagen.

c. Dominio de la relación.

d. Relación inversa

25. ¿Qué clase de relación es ℛ si: a. ℛ ℛ

b. ℛ ℛ

26. Dadas las relaciones definidas en el ejercicio 18, diga si alguna de ellas es de

equivalencia, de orden o ninguna de las dos.

27. Sea el conjunto }, encontrar el conjunto solución de las

relaciones:

, tal que vocal, consonante.

, tal que vocal, vocal.

, tal que consonante, consonante.

, tal que consonante, vocal.

a. Encuentre el conjunto solución de las relaciones .


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b. Analice si esos conjuntos forman un cubrimiento y/o partición del conjunto

.

c. Diga si alguna de ellas es una relación de orden, equivalencia o ninguna.

28. Considere las siguientes relaciones sobre el conjunto de números reales:

ℛ1 ℝ }

ℛ2={ ℝ ⁄ }

a. pr s nt r r ci n ℛ1 ℛ2 en un diagrama de coordenadas de ℝ ℝ b. Encontrar el dominio de la relación ℛ1 ℛ2. c. Encontrar el dominio de imágenes de ℛ1 ℛ2.

29. Considérense los siguientes conjuntos de pares de números reales, o sea relaciones

sobre ℝ.

} { ⁄ }

} { ⁄ }

} { ⁄ }

} { ⁄ }

a. Representar cada relación en un diagrama de coordenadas de ℝ ℝ b. Encontrar el dominio de cada relación.

c. Encontrar el dominio de imágenes de cada relación.

30. Dada una familia de conjuntos 𝒜 y s ℛ un r ación definida por

“ ”. Decir si R es o no una relación:

a. Reflexiva.

b. Simétrica.

c. Antisimétrica.

d. Transitiva

31. Sean los conjuntos [ ] [ ] [ ], y sea el enunciado formal

. Considere las siguientes relaciones:

R1 R2 R3 R4 a. Represente gráficamente las relaciones.

b. Calcule:

i. ℛ1 ℛ2

ii. ℛ3 ℛ2

iii. ℛ1 ℛ4

iv. ℛ4 ℛ2

v. ℛ3 ℛ4

32. Sean los conjuntos [ ] [ , ] y sea el

enunciado formal . Considere la relación:

R1 Si pueden ser conjuntos cualesquiera de los cuatro anteriores, represente

gráficamente las 16 relaciones en el plano cartesiano.

tema iii. matemática discreta

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