1

2

1.1. Definir el concepto de expresión racionalDefinir el concepto de expresión racional.

2.2. Simplificar expresiones racionalesSimplificar expresiones racionales.

3. Multiplicar expresiones racionales

4. Dividir expresiones racionales

5.5. Sumar expresiones racionales.Sumar expresiones racionales.

6.6. Restar expresiones racionalesRestar expresiones racionales.

7.7. Simplificar fracciones complejas.Simplificar fracciones complejas.

Objetivos

3

DefiniciónDefinición

Una expresión racionalexpresión racional es una expresión de la

forma , donde p(x) y q(x) son polinomios

y

( ) 0.q x ≠

( )

( )

p x

q x

4

Ejemplos de expresiones racionalesEjemplos de expresiones racionales

31)

2 5

x

x

+−

2

3

52)

25

x x

x x

+−

2

2

63)

2 3

x x

x x

− −+ −

5

Procedimiento para simplificar expresiones Procedimiento para simplificar expresiones racionalesracionales

1.1. Factorice completamente el numerador y el Factorice completamente el numerador y el denominador de la expresión racional.denominador de la expresión racional.

2.2. Cancele o divida aquellos factores que sean Cancele o divida aquellos factores que sean comunes (iguales) en el numerador y en el comunes (iguales) en el numerador y en el denominadordenominador.

Simplificación de expresiones racionales

6EjemplosEjemplosSimplifiqueSimplifique cada expresión racional. cada expresión racional.

2

41)

16

x xy

y

− =−

( )( ) ( )

4

4 4

x y

y y

−=

+ − 4

x

y=

+ 4

x

y +

4 22)

1 2

w

w

− =−

( )2 2 1

1 2

w

w

−=

−( )( )

2 2 1

2 1

w

w

−=

− −2

1=

−2−

72 2

2 2

10 243)

5 4

x xy y

x xy y

− + =− +

( ) ( )( ) ( )

6 4

4

x y x y

x y x y

− −=

− −6x y

x y

−−

38 274)

2 3

x

x

− =−

( ) ( )22 3 4 6 9

2 3

x x x

x

− + +=

−24 6 9x x+ +

8

Procedimiento para multiplicar expresiones racionales

1. Factorizar los numeradores y denominadores de las expresiones racionales.

2. Dividir los factores comunes que hayan entre los numeradores y denominadores.

3. Multiplicar los numeradores y colocar el resultado sobre la multiplicación de los denominadores.

Multiplicación de expresiones racionales

9

2

2

4 11.

2 43 2

x x

xx x

− + = ÷ ÷−+ + g

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 1

1 2 2 2

x x x

x x x

+ − + =+ + −

1

2

2

2

2 8 32.

49

x x x

xx

− − + = ÷ ÷−−

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 4 3

3 3 4

x x x

x x x

+ − ++ − −

2; 3, 3, 43

xx x x

x

+= ≠ ≠ − ≠−

Ejemplos

102

2

2 8 43.

216

x x x

xx

− − + = ÷ ÷+−

( ) ( )( ) ( )

4 2 4

4 4 2

x x x

x x x

− + ++ − +

1=2

2

2 14.

21

x x x

xx

− + = ÷ ÷−−

( )( ) ( )

2 1

1 1 2

x x x

x x x

− ++ − −

1

x

x=

−, 1, 1, 2x x x≠ ≠ − ≠

, 4, 4, 2x x x≠ ≠ − ≠

11

Procedimiento para dividir expresiones racionales

1. La división se cambia a la multiplicación por el reciproco del divisor.

2. Factorizar los numeradores y denominadores de las expresiones racionales.

3. Dividir los factores comunes que hayan entre los numeradores y denominadores.

4. Multiplicar los numeradores y colocar el resultado sobre la multiplicación de los denominadores.

División de expresiones racionales

12EjemplosLleva a cabo la operación indicada.

2

2

9 31.

4 2 4

x x

x x

− +÷ =− −

( ) ( )( ) ( ) ( )

3 3 3

2 2 2 2

x x x

x x x

+ − +÷+ − −

( ) ( )( ) ( )

( )( )

3 3 2 2

2 2 3

x x x

x x x

+ − −=

+ − +( )

( )2 3

2

x

x

−=

+2 6

2

x

x

−=+

2 2

3 2

2 1 22.

3 3

x x x x

x x x

− + + −÷+ +

( ) ( )( )

( ) ( )( )2 2

1 1 2 1

1 3 1

x x x x

x x x

− − + −= ÷

+ +

13

( ) ( )( )

( )( ) ( )

2

2

3 11 1

2 11

xx x

x xx x

+− −=

+ −+

( ) ( )( )

( ) ( )( )2 2

1 1 2 1

1 3 1

x x x x

x x x

− − + −= ÷

+ +

( )( )3 1

2

x

x x

−=

+ 2

3 3

2

x

x x

−=+

142 2

2 2

6 9 2 33.

3 3 3

x x x x

x x x x

− + − −÷− +

( ) ( )( )

( )( ) ( )

3 3 3 1

3 3 1

x x x x

x x x x

− − +=

− − +

3=

15

Procedimiento para sumar y/o restar Procedimiento para sumar y/o restar expresiones racionales.expresiones racionales.

1.1. Para sumar o restar expresiones racionales Para sumar o restar expresiones racionales con el mismo denominador; sumamos o con el mismo denominador; sumamos o restamos los numeradores conservando el restamos los numeradores conservando el denominador común.denominador común.

2.2. Para sumar o restar expresiones racionales Para sumar o restar expresiones racionales con denominadores distintos, con denominadores distintos,

a.a. Encuentra un denominador común, el Encuentra un denominador común, el denominador común recomendado es el denominador común recomendado es el mínimo común múltiplo.mínimo común múltiplo.

Suma y resta de expresiones racionales

16

b. Encuentra las expresiones equivalentes usando el denominador común.

c. Suma o resta los numeradores y coloca el resultado sobre el denominador común.

d. Simplifica si es posible.

17

Efectúe la operación indicada.Efectúe la operación indicada.

5 3 2 51)

7 7

x x

x x

+ −+ =− −

5 3 2 5

7

x x

x

+ + − =−

7 2

7

x

x

−−

( ) ( ) ( ) ( )22 3 4

2) 3 2 3 2

x x x

x x x x

− +− =+ − + −

( )( ) ( )

22 3 4

3 2

x x x

x x

− − +=

+ − ( ) ( )22 3 4

3 2

x x x

x x

− + − =+ − ( ) ( )

2 5 4

3 2

x x

x x

− + −+ −

184 3 5

3) 2 1

x x

x x

+ −− =+ −

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

4 1 3 5 2

2 1

x x x x

x x

+ − − − +=

+ −

( )( ) ( )

2 24 4 3 6 5 10

2 1

x x x x x x

x x

− + − − + − −=

+ −

( ) ( )2 24 4 3 6 5 10

2 1

x x x x x x

x x

− + − − − + +=+ −

19

( ) ( )2 24 4 3 6 5 10

2 1

x x x x x x

x x

− + − − − + +=+ −

( ) ( )22 2 6

2 1

x x

x x

− + +=+ −

202

2 2 2

3 14)

2 7 3 4 4 3 2 3 9

y y y

y y y y y y

− ++ − =− + + − − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )23 1

+2 1 3 2 1 2 3 2 3 3

y y y

y y y y y y

− += −− − − + + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

22 3 3 3 1 2 1

2 1 2 3 3

y y y y y y

y y y

+ + − − − + −=

− + −

21( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

22 3 3 3 1 2 1

2 1 2 3 3

y y y y y y

y y y

+ + − − − + −=

− + −

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 3 22 3 6 9 2 2 1

2 1 2 3 3

y y y y y y y

y y y

+ + − + − − + −=

− + −

( ) ( ) ( )2 2 3 22 3 6 9 2 2 1

2 1 2 3 3

y y y y y y y

y y y

+ + − + − + − +=− + −

22

( ) ( ) ( )2 2 3 22 3 6 9 2 2 1

2 1 2 3 3

y y y y y y y

y y y

+ + − + − + − +=− + −

( ) ( ) ( )3 22 4 5 10

2 1 2 3 3

y y y

y y y

− + − +=− + −

23

EjemplosEjemplos

1)

x yxx yy

+

−2

15

2) 1 5x

x x

+

+

3

3) 3

aaa

−

DefiniciónDefinición

Una Una fracción complejafracción compleja es una división de dos es una división de dos

expresiones racionales.expresiones racionales.

24

Procedimiento para simplificar fracciones complejas.

1. Simplifica las operaciones en el numerador.

2. Simplifica las operaciones en el denominador.

3. Cambia la división a la multiplicación por el reciproco del divisor.

4. Multiplica las expresiones racionales.

25Procedimiento alterno para simplificar fracciones complejas

1. Encuentra el denominador común de los denominadores en las expresiones racionales del numerador y del denominador.

2. Multiplica el numerador y el denominador de la fracción compleja por el denominador común.

26Ejemplos:Ejemplos:Simplifique cada fracción compleja.Simplifique cada fracción compleja.

3 24 31) 1 14 6

+=

−

3 212

4 3

1 112

4 6

+ ÷ = − ÷

9 8 3 2

+ =−

17

1= 17

1

2) 1

cd

dc

+=

+

1

1

cd cd

cd dc

+ ÷ = + ÷

2

2

c d c

cd d

+ =+

( )( )

1

1

c cd

d cd

+=

+

c

d

27

1 2

2 2 13)

x xy

xy x y

− −

− − −

+ =−

2

2 2

1

1

xx yxy x y

+=

−

2 22

2 22 2

1

1

xx y

x y

xx y

y x y

+ ÷

− ÷

2 3

3

xy x

x y

+=−

28

1 2

2 14)

x x

x x

− −

− −

− =+

2

2

1 1

1 1x x

x x

−=

+

22

2

2

1 1

1 1

xx xx

x x

−

+

1

1

x

x

−=+

2 2

2

2 2

2

x xx xx xx x

−=

+

29

1 2

2 15)

x x

x x

− −

− −

− =+

2

2

1 1

1 1x x

x x

−=

+

2 2

2 2

1

1

xx x

xx x

−

+

2

2

1

1

x x

x x

−=+

2

2

1

1

xxxx

−

= +

Simplifica la fracción compleja simplificando el numerador y el denominador primero.

1

1

x

x

−=+

30

Practica

2

2

2 7 3

2 7 4

x x

x x

+ +− −

Simplifica cada expresión:

2

2

2 9 5

3 17 10

x x

x x

+ −+ +

2

3

25

125

y

y

−−

2 2

15 15

9 9x x−

− −

1 1

b aa b

a b

−

−

2 2

2 2

1 1

x yy x

y x

−

−

5 21 3

71 3

xx xxx x

++ +

++ +1

32

4x

xx

−+

−

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)