1ªaula do cap09 centro de massa

• Introdução• Determinação do Centro de Massa,• Centro de massa e simetrias,• 2a Lei de Newton/sistema de partículas.• Velocidade/Aceleração do centro de massa

Referência:• Halliday, David; Resnick, Robert & Walker, Jearl. Fundamentos de Física, Vol 1.

Cap. 09 da 7a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996. • Tipler, Paul. Física, Vol 1 cap. 08. 4a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000.

1ºAula – Cap. 09Sistemas de partículas

Movimento do Centro de Massa

O movimento dos sistemas acima é muito complicado, mas o centro de massa descreve uma parábola como uma partícula.

O movimento dos sistemas acima é muito complicado, mas o centro de massa descreve uma parábola como uma partícula.


☺Há um ponto, denominado centro de massa do sistema, que se move

como se toda a massa do sistema estivesse concentrada nele, e as forças externas atuantes sobre o sistema estivessem agindo exclusivamente

sobre ele.☺O movimento de qualquer corpo, ou qualquer sistema de partículas, pode

ser descrito em termos do movimento do centro de massa.m1

m2

x

y M = m1 + m2

A coordenada do centro de massa é Xcm dada por:

m1 x1 + m2 x2Xcm = _______________________

m1 + m2

Centro de Massa

Cálculo do centro de massa

21

2211

mmxmxmxCM +

+= Média ponderada das posições, tendo as massas como pesos

Exemplos:

(a)2

2121

xxxmm CM+

=⇒= xxCM

121 xxmm CM(b) ≈⇒>> x

xCM

(c) Em geral, o centro de massa é um ponto intermediário entre x1 e x2:

2CM1 xxx <<

Lm

LmmxCM 32

320

=×+×

=xxCMm

x=02mx=L

2/3 1/3

m 0 m 4 kg 4m 3 m 0 kg 2

m 0 m 0 kg 1

333

222

111

=========

yxmyxm

yxm

m 9.0m 421

402310

m 3.2m 421

442010

=++

×+×+×=

=++

×+×+×=

CM

CM

y

x

Exemplo de cálculo de centro de massa de um sistema de partículas

Centro de Massa: É a posição média de toda a massa do corpo ou sistema. Num corpo homogêneo e simétrico o centro de massa está no centro geométrico.

m

m

m

2m

m

CM

1/3

2/3

⇒⇒Baricentro do triângulo:

Interseção das medianas

⇒

Exemplo: partículas de massas iguais formando um triângulo

Centro de massa e simetrias:

Note que o centro de massa pode cair numa região onde não há massa!

• Se um corpo possui um ponto, uma linha ou um plano de simetria, o CM situa-se nesse ponto, linha ou plano.

CM

Centro de simetria

Note que para que um ponto, linha ou plano seja de simetria, é preciso que, para cada elemento de massa, exista um outro igual na posição simétrica em relação ao ponto, linha ou plano.

Planos de simetria

Linhas de simetria

CM

CENTRO DE GRAVIDADE de um corpo é o ponto de aplicação do seu peso. Corpos que admitam eixos de simetria, o centro de gravidade localiza-se na interseção destes eixos.

Num campo gravitacional uniforme o CM coincide com o CG.

CENTRO DE GRAVIDADE

Para placas planas e homogêneas o centro de gravidade pode ser determinado através da equação:

A1 x1 + A2 x2 A1 y1 + A2 y2Xcg = _______________________ Ycg = _____________________

A1 + A2 A1 + A2

x

y

x1 x2x

y

A1

A2

Placas planas e homogêneas:

Determine as coordenadas ( xcg, ycg) do centro de gravidade da placa plana e homogênea da figura indicada.

Placas planas e homogêneas:

)ba()ba2(

3hycm +

+=

A ordenada “y” do centro de massa de uma placa triangular, homogênea e de espessura constante é igual a um terço da altura (figura). Mostre que a ordenada do centro de massa de uma placa trapezoidal, homogênea e de espessura constante, em função da altura h do trapézio e de suas bases a e b pode ser dada por:

x

y

A1 A2

x2

Placa Plana com orifício:

21

2211cg AA

xAxAx

−

−=

21

2211cg AA

yAyAy

−−

=

Placa Plana com orifício:

21

2211cg AA

xAxAx

−

−=

21

2211cg AA

yAyAy

−−

=

A figura mostra uma placa metálica uniforme P de raio 2R da qual foi retirado um disco de raio R. pelo processo de estampagem, em uma linha de produção industrial. Localize o centro de massa "CM" usando o sistema de coordenadas xymostrado.

Resp. a) xcm = R/3, ycm = 0.

rcm = L/2

∫= dm.xM1xcm

Comprimento L e massa M

dx

λ = M/L

Se um corpo consiste de uma distribuição contínua de massa, podemos dividi-lo em porções infinitesimais de massa dm e a soma transforma-se numa integral:

• xcm

Centro de massa de corpos contínuos uniformes


∫∑ →==

xdmM

xmM

xN

iiiCM

111

Se um corpo consiste de uma distribuição contínua de massa, podemos dividi-lo em porções infinitesimais de massa dm e a soma transforma-se numa integral:

∫→ ydmM

yCM1

∫→ zdmM

zCM1

Se além disso o corpo tiver densidade uniforme:

⇒== dVVMdVdm ρ

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

∫

∫

∫

zdVV

z

ydVV

y

xdVV

x

CM

CM

CM

1

1

1

Integrais triplas!Não precisaremos por enquanto.

Silbury Hill – Inglaterra(4600 anos atrás)

∫= zdVV

zCM1


Silbury Hill – Inglaterra(4600 anos atrás)

Exemplo: Centro de massa de corpos contínuos uniformes

• 2a Lei de Newton para um sistema de partículas.

• Velocidade do centro de massa,

• Aceleração do centro de massa.

• Centro de massa e velocidade constante.

Referência:• Halliday, David; Resnick, Robert & Walker, Jearl. Fundamentos de Física, Vol 1.

Cap. 09 da 7a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996. • Tipler, Paul. Física, Vol 1 cap. 08. 4a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000.


2a Lei de Newton para um sistema de partículas:

Considere um sistema de partículas cujas massas são m1, m2, ., mn, e sejam v1, v2, ..., vn, respectivamente,suas velocidades num certo instante. Neste instante, o centro de massa possui velocidade vCM dada por uma média ponderada das velocidades das partículas do sistema:

21

2211CM mm

vmvmv

+

+=

quantidade de movimento total do sistema

movimentodequantidadev)mm( CM21 =+

A quantidade de movimento de um sistema de partículas é igual à quantidade de movimento do centro de massa, considerando que toda a massa do sistema está concentrada nele.

• Considere duas partículas de massas m1 e m2 em uma dimensão:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+=

←

←

)(2122

22

2

)(1212

12

1

ext

ext

FFdt

xdm

FFdt

xdm

Note como distinguimos forças internas (F1←2 e F2←1) de forças externas (F1(ext) e F2

(ext)).

)(2

)(112212

22

221

2

1extext FFFF

dtxdm

dtxdm +++=+⇒ ←←

Da 3a lei de Newton, F1←2= - F2←1

)()(2

)(12

22

221

2

1extextext FFF

dtxdm

dtxdm =+=+⇒

F1(ext) F2

(ext)

F1←2 F2←1

Somando-se as equações termo a termo:

F(ext) é a força externa resultante. As forças internas se cancelam.

1R21

2

11 Fdt

xdmam =⇒


( ) )(2

22112

extFdt

xmxmd=

+⇒=+ )(2

22

221

2

1extF

dtxdm

dtxdm

Usando aDefinição:

21

2211

mmxmxmxCM +

+= tal que

2

2

2

2

21)( )(

dtxdM

dtxdmmF CMCMext =+=

onde M=m1+m2 é a massa total do sistema.

O sistema age como se toda massa estivesse concentrada no ponto xCM (centro de massa)

2

2)(

dtxdMF CMext = Em particular, se F(ext)=0, a velocidade do CM é

constante.ctev

dtdx

CMCM ==

2a Lei de Newton para um sistema de 2 partículas

F1(ext) F2

(ext)

F1←2 F2←1

F(ext)M⇒

xCM

2211CM21 xmxmx)mm( +=+


Exemplo em que o centro de massa tem velocidade constante

Dois patinadores no gelo (sem atrito com o chão) encontram-se inicialmente a uma distância de 12 m. Eles puxam as extremidades de uma corda até se encontrarem. Em que ponto eles se encontram? O resultado depende das forças exercidas por eles?

Só há forças internas ao sistema ⇒ O centro de massa tem velocidade constante.

m=80 kg m=60 kg

⇒=+

×+×= m 1,5m

60806012800

CMxOs patinadores se encontrarão a 5,1 m da posição inicial do patinador da esquerda, não importam as forças exercidas por eles.

Movimento do centro de massa.

Movimento do centro de massa.

Um projétil é disparado sobre um campo horizontal, comuma velocidade inicial de 24,5 m/s sob um ângulo de 36,9º. No ponto mais elevado da trajetória o projétilexplode e se divide em dois fragmentos de massas iguais. Um deles cai na vertical até o solo. Em que ponto outro fragmento atinge o solo?

Resp. R = 58,8 m e x = 1,5R = 88,2 m.

2

2)(

dtdM CMext rF =

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=++++++

=

=++++++

=

=++++++

=

∑

∑

∑

=

=

=

N

iii

N

NNCM

N

iii

N

NNCM

N

iii

N

NNCM

zmMmmm

zmzmzmz

ymMmmm

ymymymy

xmMmmm

xmxmxmx

121

2211

121

2211

121

2211

1

1

1

L

L

L

L

L

L

∑=

=⇒N

iiiCM rm

Mr

1

1

2

2

2

2

22

2

221

2

1

)(

dtdM

dtdm

dtdm

dtdm CMN

N

ext rrrrF =+++= L

O sistema responde à resultante das forças externas como se a massa total M estivesse toda concentrada no centro de massa.

2a Lei de Newton para um sistema de partículas

Generalização para 3 dimensões:

Considere a situação ao lado, em que uma patinadora empurra um corrimão (força F) e adquire velocidade e energia cinética no processo. Nessa situação:

a) Energia (muscular) é gasta pela patinadora, que se transforma em energia cinética. Há apenas transferência de energia entre partes do sistema, não entre o sistema e o ambiente externo.

b) A situação envolve um sistema de partículas e não uma partícula apenas: as diferentes partes da patinadora movem-se diferentemente.

Para analisar essa situação, utilizamos a 2a lei de Newton para um sistema de partículas, em que este é substituído por toda sua massa concentrada no Centro de Massa

dtdM CM(ext) vF =

Forças externas e mudanças de energia interna:

O trabalho realizado pela força no centro de massa ao deslocá-lo de uma distância d se traduz numa mudança da energia cinética da patinadora:

KFd Δ=φcos

mecEUKFd

Se parte do trabalho é utilizada para aumento de energia potencial (p. ex., a patinadora sobe uma rampa), o resulta se generaliza:

Δ=Δ+Δ=φcos

intcos EEFd mec

Essa energia foi perdida pela patinadora, que despendeu energia interna na mesma proporção:

Δ−=Δ=φ

Forças externas e mudanças de energia interna:

1ªaula do cap09 centro de massa

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