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Prof. Dr. Wandinger 3. Kinematik und Kinetik TM 3.2-1

2. Kreisbewegung

2.1 Kinematik2.2 Momentensatz2.3 Arbeit und Energie


2.1 Kinematik

● Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit:– Für den auf einer Kreisbahn

zurückgelegten Weg gilt:

– Dabei muss der Winkel im Bogenmaß angegeben werden.

– Die Bahngeschwindigkeit ist definiert durch

s t =Rt

vBt =dsdt

t = ṡ t =R ̇t

P

s

φ

R


2.1 Kinematik

– Die zeitliche Ableitung des Winkels wird als Winkelge-schwindigkeit bezeichnet:

– Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist 1/s.– Zwischen Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit

besteht also die Beziehung

t =̇t

vBt =t R


2.1 Kinematik

● Bahnbeschleunigung und Winkelbeschleunigung:– Die Bahnbeschleunigung ist die zeitliche Ableitung der

Bahngeschwindigkeit:

– Die zeitliche Ableitung der Winkelgeschwindigkeit wird als Winkelbeschleunigung bezeichnet:

– Zwischen Bahnbeschleunigung und Winkelbeschleunigung besteht die Beziehung

aB t = v̇B t = s̈ t =R ̈t

̇t =̈t

aB t =R ̇t


2.1 Kinematik

● Geschwindigkeitsvektor:– Für die Ortskoordinaten eines

Punktes auf der Kreisbahn gilt:

– Die Ortskoordinaten sind die Komponenten des Ortsvektors:

x

y

x(t)

y(t)R

φx t =R cos t y t =R sin t

r t =[ x t y t ]=[R cos t R sin t ]


2.1 Kinematik

– Für den Betrag des Ortsvektors gilt:

– Der Geschwindigkeitsvektor ist die zeitliche Ableitung des Ortsvektors:

∣r t ∣= x 2t y2 t =R2cos2t R2sin2t =R

v t = ṙ t =[ ẋ t ẏ t ]=[−R ̇t sin t R ̇t cos t ]=Rt [−sin t cos t ]=vB t [−sin t cos t ]


2.1 Kinematik

– Der Geschwindigkeitsvek-tor steht senkrecht auf dem Ortsvektor und damit tangential zur Kreisbahn.

– Der Betrag des Ge-schwindigkeitsvektors ist gleich dem Betrag der Bahngeschwindigkeit:

∣v t ∣=vB2 t sin2t vB2 t cos2t =∣vB t ∣

x

y

R cos φ

R sin φ φ

v

r

φ vBcos φ

vBsin φ


2.1 Kinematik

● Beschleunigungsvektor:– Der Beschleunigungsvektor ist die zeitliche Ableitung des

Geschwindigkeitsvektors:

a t = v̇ t = ddt vB t [−sin t cos t ]

=v̇B t [−sin t cos t ]vBt [−̇t cos t −̇t sin t ]=aB t [−sin t cos t ]−vB t t [cos t sin t ]=aT t a Z t


2.1 Kinematik

– Der Beschleunigungsvektor setzt sich zusammen aus dem Vektor a

T der Tangentialbeschleunigung und dem Vektor a

Z

der Zentripetalbeschleunigung.– Tangentialbeschleunigung:

● Der Vektor der Tangentialbeschleunigung ist parallel zum Geschwindigkeitsvektor.

● Sein Betrag ist gleich dem Betrag der Bahnbeschleunigung.● Der Vektor der Tangentialbeschleunigung beschreibt die

Änderung des Betrags des Geschwindigkeitsvektors.● Bei einer Kreisbewegung mit konstanter Bahngeschwindigkeit

verschwindet der Vektor der Tangentialbeschleunigung.


2.1 Kinematik

– Zentripetalbeschleunigung:● Für den Betrag des Vektors der

Zentripetalbeschleunigung gilt:

● Der Vektor der Zentripetalbeschleuni-gung ist entgegengesetzt zum Ortsvek-tor gerichtet.

● Der Vektor der Zentripetalbeschleuni-gung beschreibt die Änderung der Richtung des Geschwindigkeitsvektors.

aZ=∣a Z∣=∣ vB∣=2R=vB2

R

aT

aZ


2.2 Momentensatz

2.2.1 Drehung um einen festen Punkt2.2.2 Massenträgheitsmomente2.2.3 Allgemeine ebene Bewegung


2.2.1 Drehung um einen festen Punkt

● Betrachtet wird ein starrer Kör-per K, der sich in der xy-Ebene um den ortsfesten Drehpunkt D dreht.

● Gesucht wird der Zusammen-hang zwischen den Kräften und Momenten im Punkt D und der Winkelgeschwindigkeit des Körpers.

xx

y

y dm

dZ

dTDxD

y

MD

ω

D



● Dynamisches Gleichgewicht– Die Trägheitskraft am Massenelement dm setzt sich zu-

sammen aus einer Komponente dZ infolge der Zentripe-talbeschleunigung und einer Komponente dT infolge der Tangentialbeschleunigung:

– Die Trägheitskraft infolge der Zentripetalbeschleunigung wird als Zentrifugalkraft bezeichnet.

d Z=−a Z dm=2[ xy ]dm=[dZ xdZ y ]

d T=−aT dm=̇[ y−x ]dm=[dT xdT y]



– Kräftegleichgewicht:

– Wenn sich der Körper um seinen Schwerpunkt dreht, dann verschwinden die Integrale. Die im Punkt D angreifenden Kräfte sind dann Null.

∑ F x=0 : D x2∫Kx dṁ∫

Ky dm=0

∑ F y=0 : D y2∫Ky dm−̇∫

Kx dm=0

D x=−2∫Kx dm−̇∫

Ky dm , D y=−

2∫Ky dṁ∫

Kx dm



– Folgerung:● Bei Körpern, die sich mit großer Winkelgeschwindigkeit dre-

hen, sollte der Schwerpunkt auf der Drehachse liegen.● Liegt der Schwerpunkt nicht auf der Drehachse, so spricht

man von statischer Unwucht.● Ist ein Rad statisch ausgewuchtet, so ist es in jeder Lage im

statischen Gleichgewicht.● Ist ein Rad nicht statisch ausgewuchtet, dann gibt es nur eine

stabile Gleichgewichtslage. In der stabilen Gleichgewichts-lage liegt der Drehpunkt oberhalb des Schwerpunkts auf der Wirkungslinie der Gewichtskraft.



– Momentengleichgewicht um die Drehachse:● Die Wirkungslinien der Zentrifugalkräfte aller Massen-

elemente schneiden die Drehachse. Die Zentrifugalkräfte erzeugen daher kein Moment um die Drehachse.

● Damit lautet das Momentengleichgewicht:

● Massenträgheitsmoment:

∑ M Dz=0 : M Dz−∫Ky dT x∫

Kx dT y=0

J Dz=∫K x2 y2dm=∫

Kr2dm M Dz=J Dz ̇

M Dz=̇∫K y2dm∫

Kx2dm=̇∫K x

2 y2dm



– Momentengleichgewicht um die übrigen Achsen:

x

y

z

ω

dm dZ

D dT

z

y

x



∑ M D x=0 : M Dx−∫Kz dZ y−∫

Kz dT y=0

M Dx=2∫Kz y dm−̇∫

Kz x dm

∑ M D y=0 : M Dy∫Kz dZ x∫

Kz dT x=0

M Dy=−2∫Kz x dm−̇∫

Kz y dm

● Zentrifugalmomente:

J Dzy=−∫Kzy dm

J Dzx=−∫Kzx dm

M Dx=J Dxz ̇−J Dzy2

M Dy=J Dyz ̇J Dzx2



● Momentensatz:

– Das Moment MDz

um die Drehachse verursacht eine Win-kelbeschleunigung.

– Die Momente MDx

und MDy

sind auch bei konstanter Win-kelgeschwindigkeit von Null verschieden. Sie sind notwen-dig, um die Drehachse in ihrer Richtung zu halten, wenn die Zentrifugalmomente nicht Null sind.

M Dx=̇ J Dxz−2 J Dyz

M Dy=̇ J Dyz2 J Dxz

M Dz=̇ J Dz



– Dieser Effekt wird als dynamische Unwucht bezeichnet.– Damit ein rotierender Körper dynamisch ausgewuchtet ist,

müssen die Zentrifugalmomente Null sein.– Ob ein Körper dynamisch ausgewuchtet ist, lässt sich nicht

durch einen statischen Versuch überprüfen.– Bei einem um die Drehachse rotationssymmetrischen Kör-

per sind die Zentrifugalmomente Null.– Ebenso sind die Zentrifugalmomente Null, wenn der Körper

symmetrisch bezüglich der xy-Ebene ist.



x

y

x

y

-x

-y

dZ

dZ

ω x

zω

Sx

z

-z

dZ

dZ

– Rotationssymmetrie: – Symmetrie bezüglich xy-Ebene


2.2.2 Massenträgheitsmomente

● Beispiel: Homogene Kreisscheibe

R r

drx

yDicke h

dA

S

dA=2r dr , dm=hdA

J Sz=h∫Ar2dA=2h∫

0

R

r3dr

=2h [ r 44 ]0R

=12h R4

=12m R2



● Zusammengesetzte Körper:– Für elementare Körper sind die Massenträgheitsmomente

bezüglich ihres Schwerpunkts tabelliert.– Das Massenträgheitsmoment eines aus elementaren Kör-

pern zusammengesetzten Körpers lässt sich durch Addition der Massenträgheitsmomente der einzelnen Körper er-mitteln.

– Dabei ist darauf zu achten, dass alle Massenträgheits-momente mit dem Satz von Steiner auf den gemeinsamen Schwerpunkt umgerechnet werden.

– Der Satz von Steiner lässt sich genauso herleiten wie bei den Flächenträgheitsmomenten.



S

A

x y

z

xS

yS

zS

mJ Az = J Sz x S

2 yS2 m

J Azx = J Sxz − x S z SmJ Azy = J Szy − yS z Sm

● Satz von Steiner:


2.2.3 Allgemeine ebene Bewegung

● Die allgemeine ebene Bewegung eines starren Körpers setzt sich zusammen aus einer ebenen Bewegung seines Schwerpunkts und einer Drehbewegung um den Schwer-punkt.

● Sie wird beschrieben durch den Schwerpunktsatz und den Momentensatz bezüglich des Schwerpunkts:

m ẍ S = F xm ÿS = F yJ S ̈ = M Sz



● Beispiel: Kugel auf schiefer Ebene

α

r

m

μ0, μ

– Gegeben:● Homogene Kugel mit

Masse m und Radius r● Winkel α● Haftreibungskoeffizient μ

0

und Gleitreibungskoeffizient μ

– Gesucht:● Beschleunigung des

Schwerpunkts und Win-kelbeschleunigung



– Kräfte an der freige-schnittenen Kugel:

α

S

x

y

N

R

G

vS

φ

r

m ẍ S=−Rmg sin

0=N−m g cos

J S ̈=r R

– Schwerpunktsatz:

– Momentensatz:

– Massenträgheitsmoment (aus Formelsammlung):

J S=25mr2



– Für das Weitere muss unterschieden werden, ob die Kugel rollt oder gleitet.

– Wenn die Kugel rollt, gilt die Rollbedingung:

– Damit folgt aus dem Momentensatz:

– Einsetzen in den Schwerpunktsatz in x-Richtung führt auf

vS= ẋ S=r ̇ ̈=ẍ Sr

R=J Sr̈=

J Sr2ẍ S

m ẍ S=m g sin−J Sr 2ẍ S



– Daraus folgt für die Beschleunigung des Schwerpunkts:

– Damit die Kugel rollt, muss Haften vorliegen.– Die Haftreibungskraft berechnet sich zu

– Haften ist möglich für

ẍ S=g sin

1J Smr2

= g sin

125

=57g sin

H=R=J Sr 2ẍ S=

25m⋅57g sin=2

7m g sin

H=27mg sin≤0N=0m g cos 0≥

27tan



– Für rutscht die Kugel. Dann liegt Gleitreibung

vor, d.h.– Der Schwerpunktsatz in x-Richtung lautet:

– Der Momentensatz lautet:

– Beim Rutschen sind Schwerpunktbeschleunigung und Win-kelbeschleunigung nicht durch die Rollbedingung gekoppelt.

27tan0

R=N=m g cos

m ẍ S=m g sin−cos ẍ S=g sin− cos

25mr2 ̈=r m g cos ̈=5

2 grcos


2.3 Arbeit und Energie

2.3.1 Drehung um einen festen Punkt2.3.2 Allgemeine ebene Bewegung



● Arbeitssatz:– Für einen Körper, der sich in der xy-Ebene um einen orts-

festen Drehpunkt D dreht, lautet der Momentensatz:

– Integration über den Winkel φ ergibt:

– Das Integral auf der rechten Seite ist die Arbeit des äuße-ren Moments:

J Dz ̈=M Dz

J Dz∫A

B

̈d=∫A

B

M Dz d

∫A

B

M Dz d=W AB



– Für das Integral auf der linken Seite folgt:

– Die Größe

ist die kinetische Energie des Körpers aufgrund seiner Drehbewegung.

– Arbeitssatz der Drehbewegung:

J Dz∫A

B

̈d=J Dz∫A

B d ̇d

ddtd=J Dz∫̇

A

̇B

̇d ̇=12J Dz B2−A2

E K=12J Dz

2

E BK−E A

K=W AB



● Beispiel:– Auf einer homogenen Scheibe der

Masse m2 ist ein Seil aufgewickelt.

– An dem Seil hängt über eine masselose Rolle die Masse m

1.

– Das System ist anfangs in Ruhe.– Gesucht ist die Geschwindigkeit

der Masse m1 in Abhängigkeit vom

zurückgelegten Weg.

R

m1

m2



– Der Weg x der Masse m1 und der

Winkel φ der Masse m2 werden ab

der Ruhelage gemessen.– Kinetische Energie:

● Ruhelage:

● Ausgelenkte Lage:

● Mit gilt:

m1

m2

x

φA

E0K=0

E xK=12J Ȧ

212m1 ẋ

2

J A=12m2R

2 E xK=12 12 m2R2̇2m1 ẋ 2



– Arbeit der äußeren Kräfte:● Die einzige äußere Kraft, die Arbeit verrichtet, ist die Ge-

wichtskraft.● Die Gewichtskraft ist eine konservative Kraft. Die von ihr ver-

richtete Arbeit kann aus der Differenz der Lageenergien be-rechnet werden.

● Als Bezugspunkt für die Lageenergie wird die Ruhelage ge-wählt.

● Dann gilt für die Lageenergie in der Ruhelage und in der aus-gelenkten Lage:

E0G=0, E x

G=−m1 g x



– Kinematik:● Die Rolle rollt mit der Winkelge-

schwindigkeit ωr am rechten Seil-

stück ab.● Ist r der Radius der Rolle, dann gilt

und● Daraus folgt:

φA

P

ωR

ωRv

R=vr r

0=v−r r

R=2 v ̇==2 ẋR



– Energieerhaltungssatz: E xKE x

G=E0KE0

G

12 12 m2r 2̇2m1 ẋ2−m1 g x=0

2m2m1 ẋ2=2m1 g x

v= ẋ= 2m1 g x2m2m1

12m2 r

22 ẋr 2

m1 ẋ2=2m1 g x



● Bei einer allgemeinen ebenen Bewegung eines starren Körpers ist seine kinetische Energie gleich der Summe der kinetischen Energie der Bewegung des Schwerpunkts und der kinetischen Energie der Drehbewegung um den Schwerpunkt:

E K=12mvS

212J S

2



● Beispiel: Rollende Kugel

r

m

z

v0

ω0

– Aufgabenstellung:● Eine homogene Kugel mit

Masse m und Radius r rollt einen Abhang hinunter.

● Ihr Schwerpunkt hat die Anfangsgeschwindigkeit v

0.

● Gesucht ist die Geschwin-digkeit in Abhängigkeit von der vom Schwerpunkt zu-rückgelegten Höhendiffe-renz z.



– Massenträgheitsmoment der Kugel:

– Rollbedingung:

– Kräfte auf die freigeschnittene Kugel:● Die Normalkraft N steht senkrecht auf

der Bahn und verrichtet daher keine Arbeit.

● Die von der Gewichtskraft G verrichte-te Arbeit kann aus der Differenz der Lageenergien berechnet werden.

J S=25mr2

v− r=0 = vr

S

NG



– Lageenergie:● Als Bezugspunkt für die Lageenergie wird der Ausgangspunkt

gewählt.● Dann gilt:

– Kinetische Energie:

E0K=12m v022502 r2=12 mv0225 v02= 710 mv02

E K z = 710mv2 z

E0G=0, EG z =−m g z



– Damit lautet der Energieerhaltungssatz:

– Daraus folgt für die Geschwindigkeit:

710mv2 z −mg z= 7

10mv0

2

v2 z =v02107g z v z =v02107 g z

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