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Prof. Dr. Wandinger 2. Festigkeitslehre TM 2.2-1

2. Der ebene Spannungszustand

2.1 Schubspannung

2.2 Dünnwandiger Kessel

2.3 Ebener Spannungszustand

2.4 Spannungstransformation

2.5 Hauptspannungen

2.6 Dehnungen

2.7 Elastizitätsgesetz


2.1 Schubspannung

● Betrachtet wird ein Stab, der an seinen Enden durch die Kräfte F belastet wird.

● Der Stab wird durch eine Ebene geschnitten, die schräg zur Stabachse verläuft.

F Fφ


2.1 Schubspannung

● Schnittfläche:

– A ist die Fläche eines Schnitts senkrecht zur Stabachse.

hφ

b

h φA

φ

h=hcos h=h

cos

A=hb=h bcos

=A

cos


2.1 Schubspannung

● Schnittkräfte:– Die Schnittkraft wird in eine Komponente senkrecht zur

Schnittebene und eine Komponente parallel zur Schnittebene zerlegt.

FN

Q

φ

x

y

φ

F

N=F cos

Q=F sin


2.1 Schubspannung

– Die Komponente N senkrecht zur Schnittebene wird als Normalkraft, die Komponente Q parallel zur Schnittebene als Querkraft bezeichnet.

● Spannungen:– Normalspannung:

– Schubspannung:

=NA

=FAcos2

=QA

=FAsincos


2.1 Schubspannung

– Mit den trigonometrischen Beziehungen

und folgt:

– Der größte Wert der Normalspannung ist σ0 und wird für

einen Schnittwinkel φ = 0° angenommen.

– Der größte Wert der Schubspannung ist σ0/2 und wird für

einen Schnittwinkel φ = 45° angenommen.

cos2=12

1cos 2 , sincos=12sin 2

0=F / A

=0

21cos 2 , =

0

2sin 2


2.1 Schubspannung


2.1 Schubspannung

– Die Normalspannung wirkt einem Auseinander-reißen der Schnittebenen senkrecht zur Schnittflä-che entgegen.

– Die Schubspannung wirkt einem Gleiten der Schnittebenen entgegen.

– Die Kenntnis der Schub-spannung ist z.B. wichtig, wenn der Stab in der Schnittfläche geklebt ist.


2.1 Schubspannung

● Klebeverbindung:

– Die Klebenähte werden auf Schub beansprucht:

2F

F

F



● Betrachtet wird ein zylindrischer Kessel unter Innendruck.● Die Wandstärke des Kessels soll klein gegenüber seinem

Radius sein: t≪r

r

t

p



● Spannung in Längsrichtung:– Schnitt senkrecht zur

Kesselachse– Druckkraft:

– Gleichgewicht in Längsrichtung:F

p

σx

σx

x

r

F p= r 2 p

−F p2 r t x=0

x= r2 p2r t

=12prt



● Spannung in radialer Richtung:– Es wird ein Halbkreisrohr

ausgeschnitten.– Druckkraft:

– Gleichgewicht in vertikaler Richtung:

Fp

σφ

σxσ

x

r

Δx

F p=2 r x p

−F p2 t x=0

=2r x p2 t x

= prt



● Spannungen am Flächenelement:– Kesselformeln:

σx

σx

σφ

σφ

p r

t

x=p r2 t

=p rt



● Wird aus einer dünnwan-digen Struktur ein kleines rechteckiges Flächen-element herausge-schnitten, so wirken an seinen Rändern sowohl Normal- als auch Schub-spannungen.

σx

σx

σy

σy

τxy

τxy

τyx

τyx

x

y



● Vorzeichenkonvention:– Positive Spannungen zeigen am positiven Schnittufer in die

positive Koordinatenrichtung und am negativen Schnittufer in die negative Koordinatenrichtung.

– Positive Normalspannungen beanspruchen das Flächen-element also auf Zug und negative auf Druck.

● Bezeichnung der Schubspannungen:– Der erste Index gibt die Koordinatenachse an, die senkrecht

auf der Schnittkante steht, und der zweite Index die Koordi-natenrichtung, in der die Spannung wirkt.



● Momentengleichgewicht:

σx

σx

σy

σy

τxy

τxy

τyx

τyx

x

y

Δy/2

Δy/2

Δx/2 Δx/2

A

Dicke t



– Betrachtet wird ein infinitesimales Flächenelement mit Kantenlängen Δx und Δy und Wandstärke t.

– Ergebnis:

∑ M A=0 : x2

xy y t x2

xy y t− y2

yx x t− y2

yx x t=0

xy− yx=0

xy= yx



● Aufgabenstellung:– bekannt: – gesucht:

σ ξ

σ η

τ ξη

τ ηξ

ξ

η

x

y

φφ

τ ηξ

τ ξησ ξ

σ η

σx

σx

σy

σy

τxy

τxy

τyx

τyx

x

y



– Bekannt seien die Spannungen σx , σ

y und τ

xy in Schnitten

parallel zu den Koordinatenachsen.

– Gesucht sind die Spannungen σξ , σ

η und τ

ξη in Schnitten,

die gegenüber den Koordinatenachsen um den Winkel φ gedreht sind.

– Die Kenntnis dieser Spannungen ist nötig, wenn● entlang dem Schnitt eine Fügenaht verläuft (Schweissnaht,

Klebenaht)● die Werkstoffeigenschaften richtungsabhängig sind (z.B.

Holz, Faserverbundwerkstoffe)



● Gleichgewicht am Dreieckselement:

σx

σy

τxy τ

yx

x

y

τξη

σ ξ

ξ

η

φ

φ

Δη

Δx

Δy

Dicke t

x=sin

y=cos



– Gleichgewicht:

∑ F x=0 : − x t y−t yx t xcos t−sin t=0

cos−sin= x cosxy sin

∑ F y=0 : − y t x−xy t y sin tcos t=0

sincos= y sin yx cos



– Mit τyx

= τxy

folgt:

– Wird der Winkel φ durch den Winkel φ + 90° ersetzt, so folgt:

cos−sin = x cosxy sin sincos = y sinxy cos

∣ cossin ∣ −sincos

= x cos2 y sin

22xy sincos

= − x− y sincosxy cos2−sin2

= x sin2 y cos

2−2xy sincos



– Trigonometrische Beziehungen:

● Ergebnis:

2sincos=sin 2 , cos2−sin2=cos 2

sin2=12

1−cos 2 , cos2=12

1cos 2

=12

x y 12

x− y cos 2 xy sin 2

=12

x y −12

x− y cos 2 − xy sin 2

= −12

x− y sin 2 xycos 2



● Invarianten:– Addition der ersten beiden Transformationsgleichungen

ergibt:

– Eine einfache Rechnung zeigt:

– Die Größen I1 und I

2 hängen also nicht vom Koordinatensys-

tem ab. Sie werden als Spannungsinvarianten bezeichnet.

x y==I 1

x y−xy=−=I 2



● Hydrostatischer Zustand:

– Gilt σx = σ

y = σ und τ

xy = 0, so gilt in jedem Koordinatensys-

tem:

– Die Normalspannungen sind in jeder Richtung gleich, wäh-rend die Schubspannung verschwindet.

– Dieser Spannungszustand wird als hydrostatischer Spannungszustand bezeichnet.

== , =0


2.5 Hauptspannungen

● Definition:– Eine Schnittrichtung, für die die Schubspannung

verschwindet, heißt Hauptrichtung.– Die zugehörigen Normalspannungen werden als Haupt-

spannungen bezeichnet.● Ermittlung der Hauptrichtungen:

– Aus τxy

= 0 folgt:

12

x− y sin 2H =xy cos2H tan 2H =2xy

x− y


2.5 Hauptspannungen

– Der Winkel 2φH wird aus der Umkehrung der Tangens-

Funktion ermittelt:


2.5 Hauptspannungen

– Zu einem gegebenen Wert des Tangens gibt es zwei Win-kel zwischen 0° und 360°, die denselben Wert liefern.

– Diese Winkel unterscheiden sich um 180°.– Es gibt also zwei Hauptrichtungen

und

die senkrecht aufeinander stehen.

1=2H

2

x

y

ξ

η

φ1

φ2

2=2H180 °

2=190°


2.5 Hauptspannungen

● Ermittlung der Hauptspannungen:– Mit den trigonometrischen Beziehungen

folgt aus den Transformationsgleichungen:

sin 2H =tan 2H

1tan22H

, cos2H =1

1tan22H

1/2=12

x y ±12

x− y

14xy

2

x− y2

±2xy

2

x− y 14xy

2

x− y2

=12

x y ±12

x− y 24xy

2

x− y 24xy

2


2.5 Hauptspannungen

– Ergebnis:

– Die Hauptspannungen werden üblicherweise so numme-riert, dass σ

1 > σ

2 gilt.

– Welcher der beiden Winkel zu σ1 gehört, kann durch

Einsetzen des Winkels in die Transformationsgleichungen ermittelt werden.

1/2=12

x y ± x− y

2 2

xy2


2.5 Hauptspannungen

● Der Mohrsche Spannungskreis:

– Sind die Hauptspannungen σ1 und σ

2 sowie der Winkel φ

1

bekannt, so lassen sich die Spannungen σx , σ

y und τ

xy aus

den Transformationsgleichungen ermitteln.– Das Hauptachsensystem wird

dabei um den Winkel -φ1 gedreht.

x

y

1

2

φ1


2.5 Hauptspannungen

– Damit folgt:

– Diese Gleichungen lassen sich im Mohrschen Spannungs-kreis geometrisch darstellen.

x =12

12 12

1−2 cos 21

y =12

12 −12

1−2 cos 21

xy =12

1−2 sin 21


2.5 Hauptspannungen

– Mohrscher Spannungskreis:

½(σ1 + σ

2) ½(σ

1 - σ

2)

2φ1

σ1

σ2

σx

σy

τxy

τmax

P

Q

σ

τ

M


2.5 Hauptspannungen

– Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises aus σx , σ

y

und τxy

:

● Der Punkt P hat die Koordinaten ( σx , τ

xy ).

● Der Punkt Q hat die Koordinaten ( σy , -τ

xy ).

● Der Mittelpunkt des Kreises liegt im Schnittpunkt der Ver-bindungslinie der Punkte P und Q mit der σ-Achse.

● Nun können die Hauptspannungen und der Winkel φ1 abge-

lesen werden.● Achtung: Im Mohrschen Spannungskreis wird der positive

Winkel im Uhrzeigersinn gemessen.


2.5 Hauptspannungen

● Maximale Spannungen:– Aus dem Mohrschen Spannungskreis kann abgelesen

werden:● Die 1. Hauptspannung σ

1 ist die größte Normalspannung.

● Die 2. Hauptspannung σ2 ist die kleinste Normalspannung.

Ihre Richtung steht senkrecht auf der Richtung der größten Normalspannung.

● Die größte Schubspannung τmax

tritt für eine Schnittrichtung

auf, die mit der ersten Hauptrichtung einen Winkel von 45° bildet.


2.5 Hauptspannungen

● Der Wert der größten Schubspannung berechnet sich zu

max=1−2

2=

x− y

2 2

xy2


2.5 Hauptspannungen

● Beispiel:– In einem Punkt eines ebenen dünnwandigen Bauteils

werden die folgenden Spannungen gemessen:

– Gesucht:● Hauptspannungen und

Hauptrichtungen● Größte Schubspannung und

zugehörige Schnittrichtung

90MPa

-20MPa

60MPa

x

y x=−20MPa , y=90MPa

xy=60MPa


2.5 Hauptspannungen

– Mohrscher Spannungskreis (1MPa = 5mm)

-20

90

60

σ1

σ2

σ

τmax

τ

2φ1

P

Q


2.5 Hauptspannungen

– Hauptspannungen:

x− y

2 2

xy2=552602MPa=81,39MPa

x y

2=35MPa

1=35MPa81,39MPa=116,4MPa

2=35MPa−81,39MPa=−46,39MPa


2.5 Hauptspannungen

– Hauptrichtungen:

● Der Taschenrechner liefert dazu den Winkel -47,49°.● Der Mohrsche Spannungskreis zeigt, dass der doppelte

Winkel für die 1. Hauptspannung zwischen 90° und 180° liegt.● Also gilt:

tan 21=2⋅60

−20−90=−

1211

=−1,091

21=−47,49°180°=132,5° 1=66,26°


2.5 Hauptspannungen

– Größte Schubspannung:

● Die zugehörige Schnittrich-tung schließt mit der x-Achse eine Winkel von 21,26° ein.

max=1−2

2

=116,446,39

2MPa

=81,40MPa

116,

4MP

a

-46,

39M

Pa

1

2

x


2.6 Dehnungen

● Verformung:– Infolge der Spannungen verformt sich ein belasteter Körper.– Die Verformung wird durch einen ortsabhängigen Verschie-

bungsvektor u(P) beschrieben.

P

P'

F

u

x

yx P ' =x P u P

x P '=x Pu x x P , yP y P '= yPu y x P , yP


2.6 Dehnungen

● Verzerrung:– Die Verformung eines kleinen Elementes besteht aus einer

Verschiebung, einer Verdrehung und einer Verzerrung.– Die Verzerrung führt zu einer Änderung der Form des

Elementes:● Änderung der Kantenlängen● Änderung der Winkel

● Dehnungen:– Die Verzerrung wird durch die Dehnungen beschrieben.


2.6 Dehnungen

– Unverformt:

– Verformt: x

y

P Q

R

P'

Q'

R'

Δx

Δy β

α

P : x P , yPQ : x P x , yP R : x P , yP y

x P '=x Pu x x P , yP y P '= yPu y x P , yP xQ'=x P xu x x P x , yPyQ'= yPu y x P x , yP x R '=x Pu x x P , yP y y R '= yP yu y x P , yP y


2.6 Dehnungen

– Taylorreihenentwicklung der Verschiebungen bis zum 1. Glied:

u x x P x , yP =u x x P , yP ∂u x∂ x

x

u y x P x , yP =u y x P , yP∂u y∂ x

x

u x x P , yP y =u x x P , yP ∂u x∂ y

y

u y x P , yP y=u y x P , yP∂u y∂ y

y


2.6 Dehnungen

– Damit gilt für die Koordinaten im verformten Zustand:

– Längenänderungen:● Länge der Strecke P'Q':

xQ '=x P ' x∂u x∂ x

x , yQ '= yP '∂u y∂ x

x

x R '=x P '∂u x∂ y

y , yR '= yP ' y∂u y∂ y

y

P ' Q '= xQ'−x P ' 2 yQ'− yP '

2=1

∂u x∂ x

2

∂u y∂ x

2

x


2.6 Dehnungen

● Für kleine Verformungen gilt:

● Damit folgt:

● Mit gilt für die Dehnung:

● Entsprechend folgt:

∣∂u y∂ x ∣≪1

P ' Q '≈1∂u x∂ x x

PQ= x x=P ' Q '−PQ

PQ=∂u x∂ x

y=P ' R '−PR

PR=∂u y∂ y


2.6 Dehnungen

– Winkeländerung:● Die Änderung des Winkels QPR beträgt● Für kleine Winkeländerungen gilt:

xy=

≈ tan =x R '−x P 'yR '− y P '

=

∂u x∂ y

y

1∂u y∂ y y

≈∂u x∂ y

≈ tan =yQ'− yP 'xQ'−x P '

=

∂u y∂ x

x

1∂u x∂ x x

≈∂u y∂ x

xy=∂u x∂ y

∂u y∂ x


2.6 Dehnungen

● Ergebnis:– Bei kleinen Deformationen gilt für die Dehnungen:

– Die Winkeländerung γxy

wird als Gleitung oder Scherung bezeichnet.

x =∂u x∂ x

y =∂u y∂ y

xy=∂u x∂ y

∂u y∂ x


2.6 Dehnungen

● Beispiel:– Gegeben sind die Ver-

schiebungen

– Die Dehnungen berech-nen sich zu

u x x , y =a xb yu y x , y =c xd y

x=∂u x∂ x

=a , y=∂u y∂ y

=d

xy=∂u x∂ y

∂u y∂ x

=bc

A = A'

B

CD

1

1

x

y

b

a + b

a

c

d c + d

B'

C'

D'



● Das Elastizitätsgesetz stellt eine Beziehung zwischen den Spannungen und den Dehnungen her.

● Im Folgenden wird ein homogener isotroper Körper be-trachtet.– Homogen: Die Materialeigenschaften sind an jeder Stelle

gleich.– Isotrop: Die Materialeigenschaften sind in allen Richtungen

gleich.



● Lastfall 1: nur Normalspannung in x-Richtung

– Der Stab verlängert sich in x-Richtung.– Zusätzlich tritt eine Querkontraktion in y- und z-Richtung

auf.

FF

x

y

z



– Bei linear-elastischem Material gilt für die Dehnungen:

– Die Konstante ν heißt Querkonstraktionszahl oder Poisson-zahl.

– Es lässt sich zeigen:● Für ν = 0,5 bleibt das Volumen des Körpers konstant (z.B. bei

Gummi).● Der Wert der Poissonzahl kann nicht größer als 0,5 sein.

x= x

E, y=−x , z=−x



– Typische Werte der Poissonzahl:

● Lastfall 2: Nur Normalspannung in y-Richtung– Ganz entsprechend gilt für die Dehnungen:

Material Eisen Stahl Aluminium Magnesium0,21 – 0,26 0,27 – 0,30 0,33 0,35Poissonzahl

y= y

E, x=− y , z=− y



● Lastfall 3: Reine Schubspannung– Bei linear-elastischem Material gilt für

die Scherung:

– Die Materialkonstante G heißt Schubmodul.

τyx

x

yxy=

xy

G



● Hookesches Gesetz für den ebenen Spannungszustand:– Der allgemeine ebene Spannungszustand ist eine Über-

lagerung der drei betrachteten Lastfälle:

– Dazu kommt die entkoppelte Gleichung für die Dehnung in z-Richtung:

x=1E

x− y , y=1E

y− x , xy=1Gxy

z=−

E x y



– Es lässt sich zeigen, dass

gelten muss, damit das Materialgesetz richtungsunabhän-gig ist.

● Temperaturlast:– Für die Dehnungen infolge einer Temperaturänderung gilt:

– Bei einem isotropen Material führt eine Temperatur-änderung zu keiner Gleitung.

G=E

21

x=TT , y=TT



● Ergebnis:– Dehnungs-Spannungs-

Beziehungen:

x=1E

x− y TT

y=1E

y− x TT

xy=1Gxy

– Spannungs-Dehnungs-Beziehungen:

x=E

1−2 x y−1TT

y=E

1−2 yx−1TT

xy=G xy



● Beispiel:– Eine Stahlplatte sitzt passgenau in einem

Hohlraum.– Sie kann an den Seiten reibungsfrei

gleiten.– Die Stahlplatte wird gleichmäßig um ΔT

erwärmt.– Gesucht:

● Änderung der Höhe● Spannungen

b

h

x

y



– Aus dem Gleichgewicht in y-Richtung folgt: – In x-Richtung kann sich die Platte nicht ausdehnen:– Damit lautet die 2. Gleichung der Spannungs-Dehnungs-

Beziehungen:

– Die Höhenänderung berechnet sich zu

y=0

x=0

0= y−1TT y=1TT

h=∫0

h

ydy=h y=h1TT



– Aus der 1. Gleichung der Spannungs-Dehnungs-Bezie-hungen folgt:

– Zahlenwerte:● h = 200mm, ΔT = 100K

● E = 2,1·105N/mm2, ν = 0,3, αT = 1,2·10-5K-1

● Δh = 0,312mm, σx = -252N/mm2 (Druckspannung)

x=E

1−2 y−1TT =

E

1−21−1TT

=−E TT

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