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Prof. Dr. Wandinger 4. Schwingungen TM 4.3-1

3. Erzwungene Schwingungen

● Bei erzwungenen Schwingungen greift am schwingenden System eine zeitlich veränderliche äußere Anregung an.

● Kraftanregung:– Am schwingenden System greift eine zeitlich veränderliche

äußere Kraft an.● Weganregung:

– An einem Punkt des schwingenden Systems ist eine zeitlich veränderliche Bewegung vorgeschrieben.


3. Erzwungene Schwingungen

3.1 Kraftanregung

3.2 Weganregung


3.1 Kraftanregung

● Grundmodell:– An der Masse greift eine

zeitlich veränderliche Kraft f(t) an.

– Die Bewegungsgleichung lautet:

– Division durch m führt auf

Feder Dämpfer

Masse

x f(t)

m xd xc x= f t

x2 x2 x=

f t

m


3.1 Kraftanregung

● Wichtiger Spezialfall: Harmonische Kraft– Eine harmonische Kraft hat die Form .– Dabei ist Ω die Erregerkreisfrequenz und F(Ω) die Amplitu-

de der Kraft, die im Allgemeinen von der Erregerkreis-frequenz abhängen kann.

– Jede periodische Kraft kann als Überlagerung von harmonischen Kräften dargestellt werden.

– Die Antwort des Systems auf eine periodische Kraft ist die Überlagerung der Antworten auf die harmonischen Kräfte.

f t =F sin t


3.1 Kraftanregung

● Allgemeine Lösung:– Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung

setzt sich zusammen aus einer partikulären Lösung der inhomogenen Lösung und der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung

– Die Lösung der homogenen Gleichung ist eine freie ge-dämpfte Schwingung.

x2 x2 x=

F

msin t

x2 x2 x=0

x p t x h t


3.1 Kraftanregung

– Die homogene Lösung hängt von den Anfangsbedingungen ab und klingt exponentiell mit der Zeit ab.

– Nach Beendigung des sogenannten Einschwingvorgangs kann die homogene Lösung gegenüber der partikulären Lö-sung vernachlässigt werden.

– Die partikuläre Lösung beschreibt den eingeschwungenen Zustand.


3.1 Kraftanregung

● Partikuläre Lösung:– Mit gilt:

– Dabei ist die statische Lösung.

– Lösungsansatz für die partikuläre Lösung:

m=c /2 F

m=

2 F

c=

2 x S

x S =F

c

x p t =As sin t Accos t x pt = Ascos t −Ac sin t

x pt =−2 As sin t Accos t


3.1 Kraftanregung

– Einsetzen in führt auf:

– Diese Gleichung ist nur dann für alle Zeitpunkte t erfüllt, wenn die Ausdrücke in den Klammern verschwinden. Daraus folgen 2 Gleichungen zur Ermittlung der beiden Konstanten A

s und A

c.

x2 x2 x=

2 xS sin t

−2 As sin t Accos t 2 As cos t −Ac sin t

2 As sin t Accos t =

2 x S sin t

−2 Ac2 As

2 Ac cos t

=2 As2 Ac−2 As

2 x S sin t


3.1 Kraftanregung

– Mit dem Frequenzverhältnis und dem Lehrschen Dämpfungsmaß folgt nach Division durch :

– Lösung mit der Cramerschen Regel:

=/

1−2 Ac 2D As = 0

−2D Ac 1−2 As = x S

D=/ 2

Ac=∣0 2D

x S 1−2∣

=−2D

x S , As=

∣1−2

−2D

0 x S ∣

=1−

2

x S

=∣ 1−2 2D

−2D 1−2∣=1−

2 24D22


3.1 Kraftanregung

– Die partikuläre Lösung ist eine harmonische Schwingung

mit der Amplitude

und dem Phasenwinkel

A= As2Ac

2= 1−

2 24D22

1−2 24D2

2x S=

xS

1−2 24D22

tan −=AcAs

=−2D

1−2

tan =2D

1−2

x pt =A sin t−


3.1 Kraftanregung

– Mit dem dynamische Überhöhungsfaktor

gilt:

V 1=1

1−2 24D

2

x p t ,=V 1 x S sin t−


3.1 Kraftanregung

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

η

V1

D = 0,04

D = 0,08

D = 0,12

D = 0,5

D = 1.0

1 2 3


3.1 Kraftanregung

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 20

102030

4050

6070

8090

100110

120130

140150

160170

180

η

φ

D = 0,04

D = 0,08

D = 0,12D = 0,5

D = 1.0


3.1 Kraftanregung

● Diskussion der Lösung:– Bereich 1: η < 0,8: unterkritisch

● Bei schwacher Dämpfung (D < 10%) hat die Dämpfung prak-tisch keinen Einfluss.

● Die Verschiebung ist in Phase mit der Anregung.

● Es gilt in guter Näherung:

● Für η < 1/3 erhält man:

● Für η < 0,3 können Dämpfungs- und Trägheitskraft vernach-lässigt werden: Quasistatische Lösung

V 1≈1

1−2

V 11

1−1 /32=98=1,125


3.1 Kraftanregung

– Bereich 2: 0,8 < η < 1,2: kritisch● Dieser Bereich wird wesentlich von der Dämpfung beeinflusst.● Die Verschiebung hat eine Phasenverschiebung von 90°

gegenüber der Anregung.● Die Geschwindigkeit ist in Phase mit der Anregung.● Trägheits- und Federkraft sind im Gleichgewicht. Die

Anregung ist im Gleichgewicht mit der Dämpfungskraft.● Den Zustand η = 1 nennt man Resonanz.● Bei η = 1 sind Federkraft und Trägheitskraft entgegengesetzt

gleich groß.


3.1 Kraftanregung

– Bereich 3: η > 1,2: überkritisch● Bei schwacher Dämpfung (D < 10%) hat die Dämpfung

praktisch keinen Einfluss.● Die Verschiebung hat eine Phasenverschiebung von 180°

gegenüber der Anregung.● Die Beschleunigung ist in Phase mit der Anregung.● Es gilt in guter Näherung:

● Für η > 3 erhält man:

● Für η > 3 ist die Trägheitskraft groß gegenüber der Feder- und der Dämpferkraft.

V 1≈1

2−1

V 119−1

=18=0,125


3.1 Kraftanregung

● Beispiel: Unwucht

– Die Masse m0 wird durch

die Zentrifugalkraft der rotierenden Masse m

u zu

Schwingungen angeregt.– Beispiele:

● Motor● Rad● Rüttler

m0

c d

x

Ωte

mu


3.1 Kraftanregung

FC

FD

S

S

S sin(Ωt)

Ωt

x

m0

mu

– Kinematik:

– Unwucht:

– Schwinger:

– Kraftgesetze:

x u=x−e sin t

x u= xe2sin t

mu x u=S sin t

m0 x=−FC−F D−S sin t

FC=c x , F D=d x


3.1 Kraftanregung

– Einsetzen ergibt:

– Der Schwinger wird also durch die Kraft angeregt.

– Division durch die Gesamtmasse ergibt:

– Dabei ist

die statische Verschiebung.

m0mu xd xc x=−mue2sin t

F =−mue2

m=m0mu

x2 x2 x=−

mume2sin t =

2 xS sin t

x S =−mue

c2=−

mu e2

m2=−

mume2


3.1 Kraftanregung

– Die partikuläre Lösung lautet also

mit

und

x p t ,=−2V 1

mume sin t−

=−V 3mume sin t−

V 3=2V 1

tan =2D

1−2


3.1 Kraftanregung

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

η

V3

D = 0,04

D = 0,08

D = 0,12

D = 0,5

D = 1.0

1 2 3


3.1 Kraftanregung

– Diskussion der Lösung:● Unterkritischer Bereich: η < 0,8

– Bei schwacher Dämpfung (D < 10%) hat die Dämpfung praktisch keinen Einfluss.

– Es gilt in guter Näherung:

● Kritischer Bereich: 0,8 < η < 1,2– Dieser Bereich wird wesentlich von der Dämpfung bestimmt.

– An der Resonanzstelle η = 1 gilt:

V 3 ≈2

1−2

V 3 1=12D


3.1 Kraftanregung

● Überkritischer Bereich: η > 1,2– Bei schwacher Dämpfung (D < 10%) hat die Dämpfung

praktisch keinen Einfluss.– Es gilt in guter Näherung:

– Für große Werte von η strebt V3 gegen 1.

– Für η = 5 erhält man:

V 3 ≈2

2−1

V 3 5=2524

=1,042


3.2 Weganregung

● Grundmodell:– Die Bewegung des

Fundaments wird vorge-schrieben.

– Beispiele:● Rütteltisch● fahrbahnerregte Fahr-

zeugschwingungen● Erdbeben

m

c d

x

xF(t)

Fundament


3.2 Weganregung

– Vorgeschriebene Bewegung des Fundaments:

– Relativbewegung:

– Kräfte:

– Schwerpunktsatz:

FC

FD

m

x

x F t =xF0 sin t , xF t =−2 xF0 sin t

x rel=x−xF x=x Fx rel

FC=c x relFD=d x rel

m x=−d x rel−c x rel


3.2 Weganregung

– Mit

folgt:

– Division durch m führt auf

mit

– Damit gilt für die Relativverschiebung:

m x reld x relc x rel=−m xF=mxF02sin t

x rel2 x rel2 xrel=x F0

2sin t =2 x S sin t

x= xF x rel

x S =x F0

2

=xF02

x prel t ,=x F02V 1sin t− =xF0V 3sin t−


3.2 Weganregung

– Für die Absolutverschiebung folgt:

– Die Amplitude ist:

x p , t =xF , t x rel , t =xF0 sin t xF0V 3sin t−

=xF0 [sin t V 3 sin t cos−cos t sin ]=xF0 [ 1V 3cos sin t −V 3sincos t ]

x pmax =xF0 1V 3cos2V 3

2sin2

=xF0 1V 322V 3cos


3.2 Weganregung

● Diskussion der Lösung:– Tiefer unterkritischer Bereich:

● Die Relativverschiebung ist vernachlässigbar klein.● Die Masse folgt der Bewegung des Fundaments.

0,3

V 30,32

1−0,320,1


3.2 Weganregung

– Hoher überkritischer Bereich:

● Der Überhöhungsfaktor ist nahezu 1.● Der Phasenwinkel ist nahezu 180°.● Die Relativverschiebung ist entgegengesetzt gleich groß wie

die Verschiebung des Fundaments● Die Absolutverschiebung der Masse geht gegen Null.

4

V 342

42−11,1


3.2 Weganregung

● Bei Vernachlässigung der Dämpfung gelten folgende Vereinfachungen:– Überhöhungsfaktor:

– Phasenwinkel:

– Absolutverschiebung:

V 3=2

∣1−2∣

={ 0° für 1180 ° für 1

x p t ,={x F0 1V 3 sin t für 1

x F0 1−V 3 sin t für 1


3.2 Weganregung

● Beispiel:– Das Fahrzeug der Masse

m fährt mit der konstanten Geschwindigkeit v.

– Die Unebenheit der Fahr-bahn wird beschrieben durch

x

z

m

L

zF(x)

v

zF x =z0sin 2 x


3.2 Weganregung

– Gesucht:● Relative und absolute Verschiebungsamplitude der vertikalen

Hubschwingung● Absolute Beschleunigungsamplitude der vertikalen Hub-

schwingung– Daten:

● Masse m = 1500kg, Federsteifigkeit c = 1,5∙105N/m● Lehrsches Dämpfungsmaß D = 20%● Geschwindigkeit v = 30m/s

● Wellenlänge λ = 60m, Amplitude z0 = 0,1m

● Radabstand L = 2,5m


3.2 Weganregung

– Berechnungsmodell:● Der Radabstand ist klein im Vergleich zur Wellenlänge. Daher

wird angenommen, dass die Vertikalverschiebung an beiden Rädern ungefähr gleich groß ist.

● Das Fahrzeug wird als einfaches Feder-Masse-Dämpfer-System modelliert.

m

c d

zF(t)

z


3.2 Weganregung

– Anregung:

– Frequenzverhältnis:

– Dynamischer Überhöhungsfaktor:

x=v t zF t =z0sin 2 v t =z0sin t mit =2 v

=230m/ s60m

=3,1421s, =

1,5⋅105N /m1500kg

=101s

=0,3142

V 30,3142=0,31422

1−0,31422 24⋅0,22⋅0,31422

=0,1085


3.2 Weganregung

– Amplitude der Relativverschiebung:

– Amplitude der Absolutverschiebung:

z relmax=z0V 30,3142=0,1m⋅0,1058=0,01058m

tan=2⋅0,2⋅0,31421−0,31422

=0,1394

cos= 1

1tan2=

1

10,13942=0,9904

zmax=0,1m⋅10,105822⋅0,1058⋅0,9904=0,1105


3.2 Weganregung

– Amplitude der Beschleunigung:

zmax=2 zmax=3,142

2 1s2⋅0,1105m=1,091m/ s2

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