3.trigonometrie sfera cerească

8/17/2019 3.Trigonometrie Sfera Cerească

1/22

Daniel Ianoși, Aplicații ale matematicii în astronomie – Trigonometrie aplicată. Sfera cerească

11

III. Trigonometrie aplicată. Sfera cerească

III.1. Sfera cerească. ConstelațiiIII.2. Elemente de trigonometrie.III.3. Numere complexe. Coordonate polare.

III.4. Trigonometrie sfericăIII.5. Coordonate cereștiIII.6. Relații între coordonate

III.1. Sfera cerească. Constelații

Suprafaţa sferică imaginară cu centrul în punctul în care se găseşte un observator terestru, derază arbitrară şi pe care sunt proiectaţi aştrii se numeşte sferă cerească

Sfera cerească este o sferă de rază nedefinită ("foarte mare"), având centrul în punctul în care

se găsește observatorul. Semidreapta de la observator spre un obiect ceresc intersectează sfera cereascăîntr-un punct care constituie "poziția aparentă" a corpului ceresc (pe sfera cerească). Poziția aparentă aunui obiect este descrisă cu ajutorul unui sistem de coordonate sferice construit pe sfera cerească.

Fiecare observator terestru are propria sa sferă cerească cu centrul în locul unde se găseşte el şicu raza egală cel puţin cu distanţa de la el până la cel mai îndepărtat astru. Deoarece dimensiunilePământului sunt mult mai mici decât distanţele de la diferitele puncte ale lui până la cele maiîndepărtate corpuri cereşti, un astru este văzut din diferitele puncte ale suprafeţei terestre în direcţii

paralele. De aceea, observatorii situaţi în puncte diferite ale suprafeţei terestre pot fi consideraţilocalizaţi în centrul acesteia.

Sfera cerească are următoarele proprietăţi:1. Un plan care trece prin centru divizează sfera îndouă emisfere egale şi taie suprafaţa ei după un cercmare ( AEBFA sau CEDFC ), având centrul în centrulsferei (O) şi raza egală cu raza sferei (r = R).2. Două cercuri mari ( AEBFA şi CEDFC ) seintersectează întotdeauna după un diametru al sferei( EOF ).3. Prin două puncte (G şi H ) ale suprafeţei sferei,nediametral opuse, trece un singur cerc mare( AEBGHFA), al treilea punct al planului său fiind

centrul sferei (O).4. Prin două puncte ( E şi F ) diametral opuse ale sferei pot să treacă un număr infinit de cercuri mari( AEBFA şi CEDFC ).5. Planele care nu trec prin centrul sferei taiesuprafaţa ei după cercuri mici ( IKJLI ), ale căror razesunt mai mici decât raza sferei (r


2/22


12

Elementele sferei cereștiPunctul situat exact deasupra observatorului (intersecția verticalei locului cu sfera cerească) se

numește zenit . Punctul de pe sferă diametral opus zenitului, situat exact sub observator, se numeștenadir . Planul ce trece prin observator și este perpendicular pe verticala observatorului intersecteazăsfera cerească după un cerc mare; acesta se numește orizontul observatorului .

Dreapta ce trece prin observator paralelă la axa Pământului se numește axa lumii . Axa lumiiintersectează sfera cerească în două puncte numite poli cerești : polul nord ceresc și polul sud ceresc.Cercul mare definit ca intersecția dintre planul paralel cu ecuatorul terestru și sfera cerească senumește ecuator ceresc.

Cu excepția cazului unui observator aflat la unul din polii Pământului, există exact un cercmare ce trece prin polii cerești, prin zenit și prin nadir. Acest cerc este cercul meridian alobservatorului. Semicercul delimitat de poli și conținând zenitul este numit meridianul superior , iarsemicercul delimitat de polii cerești și conținând nadirul este numit meridianul inferior .

Punctele de intersecție ale cercului meridian cu orizontul se numesc punctul nord și punctulsud . Punctele situate pe cercul orizontului pe direcție perpendiculară pe direcția nord-sud se numesc

punctul est și punctul vest .

Planul ce trece prin observator și este paralel cu planul orbitei Pământului taie sfera cereascădupă un cerc mare numit ecliptică. Ecliptica taie ecuatorul ceresc în două puncte diametral opuse,numite puncte echinoxiale: punctul vernal și punctul autumnal .

Față de un observator terestru, orice stea îndepărtată se deplasează pe un cerc paralel cuecuatorul ceresc. O rotire completă se petrece în exact o zi siderală. Momentul în care steauatraversează meridianul superior se numește culminația superioară sau trecerea la meridian a stelei.Momentul traversării meridianului inferior se numește culminația inferioară.

O stea în mișcarea sa diurnă aparentă descrie un cerc paralel cu ecuatorul, numit pararlel ceresc.Acesta taie meridianul locului în două puncte: unul la sud de pol = culminație superioară și unul lanord de pol = culminație inferioară a stelei. Intersecțiile cu orizontul ale paralelului sunt două punte:răsărit și apus. Stelele care descriu cercuri întregi deasupra orizontului (fără răsărit și apus) se numesc

stele circumpolare.Soarele se deplasează, față de sfera cerească, de-a lungul eclipticii, efectuând o tură completăîn timp de un an. Echinocțiile sunt definite ca momentele în care Soarele traversează ecuatorul ceresc.Față de un observator terestru, Soarele descrie o traiectorie complicată, semănând cu două elici de senscontrar, lipite cap la cap.


3/22


13

Elementele sferei cerești

Constelații

Din timpurile stravechi, oamenii au observat forme imaginare formate din grupuri de stele, pecerul noptii. Folosind linii, ei au unit stelele in aceste grupuri, spre a forma figuri numite constelații.Fiecare constelație reprezinta o creatura sau un obiect si o parte din ele au nume luate de la figurimitologice. De pe Terra stelele ce formeaza o constelație par apropiate una de cealalta, dar de fapt seafla la diferite distante de noi. Totul depinde de diametrul si luminozitate stelei.

O constelație este una dintre cele 88 de zone în care este împărțită bolta sau sfera cerească,uneori făcându-se referire doar la o grupare aparentă de stele, care, unite printr-o linie imaginară, seaseamănă cu un anumit obiect, animal, zeu etc. 70 dintre aceste constelații se văd și din țara noastră.Pentru majoritatea constelațiilor vizibile din emisfera nordică a Pământului, denumirile există deja dinantichitate. Pentru cele din emisfera sudică, denumirile provin de la navigatori și astronomi din epocaMarilor descoperiri geografice, și de aceea aceste constelații poartă denumiri ca de exempluMicroscopul, Mașina Pneumatică etc.

Printre primele civilizatii care au construit constelații amintim Babilonienii, Indienii, Grecii,Romani, Chinezii si Amerindienii. Aceste civilizatii locuiau in emisfera nordica si de aceea ei au

construit numai constelațiile vizibile din aceasta parte a plantetei noastre. Astronomul greco-egipteance a trait în al doilea secol, Ptolemeu, a catalogat mai mult de 1000 de stele si a notat 48 de constelațiiîn lucrarea sa Almagesta. Aceste 48 de constelații sunt numite constelațiile antice si se folosesc șiacum.

La inceputul secolului XVI navigatorii europeni au inceput sa exploreze emisfera sudica, si auobservat pe cer stele necunoscute. Asa au aparut constelațiile emisferei sudice ce au nume mai tehnice.La inceputul secolului XVII, astronomul Johann Bayer a numit 12 constelații sudice; compatriotul sauJakob Bartsch a numit alte trei constelații. Johannes Hevelius a numit in sapte constelații in 1687. Inurma unei calatorii in Africa de Sud, Nicolas-Louis de Lacaille a numit inca 14 constelații si acatalogat 10.000 de stele. Aceste noi constelații sunt cunoscute sub numele de constelații moderne.

Inainte de anul 1922 orice astronom putea sa denumească o parte dintre constelații sau chiar

constelații intregi. Din cauza aceasta s-au creat multe confuzii. Pentru a elimina orice problemă,Uniunea Astronomica Internationala, formata din astronomi din toata lumea, a decis sa stabileasca unnumar fix de constelații cu granite precis delimitate. Astfel s-au stabilit 88 de constelatâții. Aceste 88de constelații au numele în latină, o limba universală.

Constelații


4/22


14

Listă cu cele 88 constelații


5/22


15

Observații

1. Constelația Hydra este cea mai mare constelație dintre cele 88 pe cerul înstelat.

2. Crucea Sudului este cea mai mica constelație de pe cerul nocturn. Aceasta constelație apare pedrapelurile țărilor: Brazilia, Noua Zeelanda, Australia și Samoa de Vest.

3. Constelația Pegasului este în poziție răsturnată în emisfera nordica, deși în emisfera sudică, primăvara, ea se observă în poziție normală.

4. Cele 13 constelații zodiacale sunt intersectate de planul Sistemului Solar. Văzute de pe Pământ,Luna și toate planetele din Sistemul Solar, exceptând Pluton și Eris, trec prin ele.


6/22


16

III.2. Elemente de trigonometrie

Din punct de vedere matematic, în măsura în care nu suntem interesaţi de distanţele reale pânăla aştri, vom opera doar cu direcţiile pe care aceştia se găsesc faţă de observator. În acest caz, putemconstrui o sferă de rază arbitrară şi putem echivala în mod trivial "direcţiile" din spaţiul tridimensionalcu "punctele" acestei sfere. Astfel, formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determinărileastronomice se simplifică de la geometria tridimensională carteziană la o geometrie bidimensionalăsferică.

În cadrul acestei geometrii, "dreptele" sunt înlocuite de cercurile mari de pe suprafaţa sferei.Pentru calculele astronomice este importantă problema rezolvării triunghiurilor sferice. Pentru aceasta,vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigonometriei sferice, formulele lui Gauss, acesta fiind

principalul rezultat al acestei lecţii. Aceste formule corespund într-o anumită măsură relaţiilortrigonometrice ce determină triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului.

Funcțiile trigonometrice sinus și cosinus

Fie cercul trigonometric şi M M y x M , un punct pe cercul trigonometric.

Cercul trigonometric. Sinus și cosinus

În M OM x dreptunghic avem:

M x

x yOM

MM M O M ˆsin

M x

x xOM

OM M O M ˆcos

Notăm t M O M m x ˆ , deci am obţinut M yt sin şi M xt cos şi t t M sin,cos . Definiţii: 1. Funcţia : f prin care unui unghi cu măsura t îi corespunde numărul real M y senumeşte funcţia sinus.

Notăm : , sin f f t t .2. Funcţia : g prin care unui unghi cu măsura t

îi corespunde numărul real

M x se numeştefuncţia cosinus.

Notăm : , cos g g t t .

x M co

)sin,(cos x x M

),( M M y x M

y M si

x

y

O

x M

y M


7/22


17

Proprietăţi:1. Funcţiile sinus şi cosinus au domeniul 1,1 , adică t avem: 1sin1 t şi 1cos1 t .

2. t avem 1cossin 22 t t , adică 222 OM OM MM x x .

3. Funcţia sinus este impară: sin sin ,t t t .

Funcţia cosinus este pară: cos cos ,t t t .4. Funcţiile sinus şi cosinus sunt periodice cu perioada Z k k T ,2 . 2 pT se numeşte

perioadă principală. sin 2 sin ,t k t t ,

cos 2 cos ,t k t t 5. Semnul funcţiilor sinus şi cosinus este dat în tabelul:

Cadran I Cadran II Cadran III Cadran IVsin t + + -- --cos t + -- -- +

Formule trigonometrice utile

Oricare ar fi x avem 1cossin 22 x x (1)Oricare ar fi x avem

x x cos2

sin

și (2)

x x sin

2

cos

(3)

Fie , x y . Avem: y x y x y x sinsincoscoscos (4) y x y x y x sinsincoscoscos (5) x y y x y x cossincossinsin (6) x y y x y x cossincossinsin (7)

Formule trigonometrice pentru unghi dublu: x x x cossin22sin (12)

x x x 22 sincos2cos (13)1cos22cos 2 x x (14)

x x2sin212cos (15)

xtg

tgx xtg

21

22

(16)

ctgx

xctg xctg

2

12

2 (17)

Oricare ar fi x avem

2

2cos1

sin

x

x

(18)

Fie x, astfel încât expresiileurmătoare au sens. Atunci

tgytgx

tgytgx y xtg

1

(8)

tgytgxtgytgx

y xtg

1 (9)

ctgyctgx

ctgyctgx y xctg

1

(10)

ctgyctgx

ctgyctgx y xctg

1

(11)

Fie x, astfel încât expresiile următoare ausens. Atunci

21

22

sin2 xtg

xtg

x

(20)

21

21

cos2

2

xtg

xtg

x

(21)

21

2

2

2 xtg

xtg

tgx

(22)


8/22


18

2

2cos1cos

x x

(19)

Oricare ar fi x avem

2cos

2sin2sinsin

y x y x y x

(23)

2cos2sin2sinsin y x y x

y x

(24)

2cos

2cos2coscos

y x y x y x

(25)

2sin

2sin2coscos

y x y x y x

(26)

Teorema cosinusului. Teorema sinusurilor

Teoremă: Fie triunghiul ABC în care notăm AC b BC a , şi ABc . Atunci sunt adevărate

egalităţile: Abccba cos2

222

Baccab cos2222 C abbac cos2222 .

Demonstrație:

În triunghiul ABC avem AB AC BC . Se ridică această relaţie la pătrat şi avem:222

2 AB AB AC AC BC sau Abccba cos2222 .

Corolar (cosinusul unui unghi): În orice triunghi ABC avem

ac

bca B

bc

acb A

2cos;

2cos

222222

şi

ab

cbaC

2cos

222 .

Caracterizarea unui unghi în triunghi

Fie triunghiul ABC . Avem

este unghi ascuţit 2220cos2

cba A A

este unghi drept 2220cos2

cba A A

este unghi obtuz 2220cos2

cba A A

Teoremă: În orice triunghi ABC avem:

a p p

c pb p Atg

bc

c pb p A

bc

a p p A

2

;2

sin;2

cos

Teoremă (formula medianei): În orice triunghi ABC lungimea medianei din A are expresia

4

2 2222 acbma

. Similar, avem

4

2 2222 bcamb

şi

4

2 2222 cbamc

.

Teorema sinusurilor : În orice triunghi ABC avem: RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin , unde R reprezintă

raza cercului circumscris.

A

B Ca

bc


9/22


19

Formule pentru aria triunghiului

Fie triunghiul ABC în care notăm cba hhh ,, lungimile înălţimilor triunghiului duse din B A, şirespectiv C ; cu S notăm aria triunghiului; p – perimetrul; r – raza cercului înscris şi R raza

cercului circumscris. Avem222

cba hchbhaS

.

2

sin

2

sin

2

sin Abc BacC abS

c pb pa p pS (Heron) pr S

R

abcS

4

.

III.3. Numere complexe

Pe mulțimea {( , ) , }a b a b se definesc operațiile

adunare: 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )a b a b a a b b asociativă, comutativă, cu elementul neutru (0,0) șielemente simetrice pentru ( , )a b opusele ( , )a b șiînmulțire: 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1( , ) ( , ) ( , )a b a b a a b b a b a b asociativă, comutativă, cu elementul neutru (1,0)

și elementele simetrice pentru ( , ) (0,0)a b inversele 2 2 2 2,a b

a b a b

, iar înmulțirea este

distributivă față de adunare.

Mulțimea definită mai sus cu operațiile introduse se numește mulțimea numerelor complexe șise notează cu .

Elementele acestei mulțimi se numesc numere complexe și se scriu sub formă algebrică astfel: z a bi , unde Re( )a z se numește parte reală a lui z , Im( )b z se numește coeficient al

părții imaginare, iar i cu proprietatea 2 1i se numește unitate imaginară.

Pentru z a bi se definește conjugatul z a bi și modulul 2 2 z a b .

Fiecărui număr complex a bi îi corespunde un punct din planul complex Oy notat( , ) A a b , numit imagine geometrică a lui z și fiecărui punct din planul complex Oy notat ( , ) A a b îi

corespunde un număr complex z a bi numit afix. Punctul ( , ) A a b este localizat în panul comlex

prin coordonatele carteziene a abscisă și b ordonată sau prin vectorul de poziție OA ai b j

.Conjugatul numărului complex z a bi are ca imagine geometrică punctul din planul complex

( , ) B a b , care este simetricul față de axa Ox a punctului ( , ) A a b .

Modulul 2 2 z a b reprezintă lungimea vectorului OA ai b j .


10/22


20

Planul complex. Coordonate carteziene

Punctul ( , ) A a b mai poate fi localizat în planul complex prin intermediul coordonatelor polarer și t , numite rază polară, respectiv argument polar.

Numărul complex scris sub forma algebrică a bi se mai poate scrie (cos sin )r t i t ,

numită forma trigonometrică, unde 2 2r z a b este raza polară, lungimea vectorului

OA ai b j

, iar

,

arg( ) ,

2 ,

barctg cadran I

a

bt z arctg cadran II sau III

a

barctg cadran IV

a

este argument polar.

Planul complex. Coordonate polare

x

y

O

A(a,b)

B(a,-b)

2 2 z a b

y

O

A(r,t)

r z

t

cadran II cadran I

cadran III cadran IV


11/22


21

Operații cu numere complexe sub formă trigonometrică

Fie numerele complexe sub formă trigonometrică 1 1 1 1(cos sin )r t i t și 2 2 2 2(cos sin )r t i t .

Avem : Înmulțirea: 1 2 1 2 1 2 1 2[cos( ) sin( )] z r r t t i t t ;

Puterea: [ (cos sin )] (cos sin )n n nr t i t r nt i nt ;

Împărțirea: 1 1 1 2 1 22 2

[cos( ) sin( )] z r

t t i t t z r ;

Rădăcinile de ordinul n ale lui (cos sin ) z r t i t :

2 2cos sin , 0, 1nk

t k t k z r i k n

n n

.

Exemplu: Să se rezolve ecuaţia binomă: 4 1 3i .

Se scrie numărul complex 1 3 z i sub forma trigonometrică (cos sin ) z r t i t , unde

2

21 3 ( 1) 3 2r i , iar argumentul polar este

2( 3) 3

3 3t arctg arctg

. Deci

2 21 3 2 cos sin

3 3 z i i

.

Se determină rădăcinile de orinul 4 ale acestui număr, adică

4 40

2 23 32 cos sin 2 cos sin4 4 6 6

z i i

; 412 2

2 cos sin3 3

z i

;

42

7 72 cos sin

6 6 z i

; 435 5

2 cos sin3 3

z i

.

Reprezentarea geometrică a soluțiilor este

Reprezentarea geometrică a soluțiilor ecuației binome

Punctele 0 1 2, , A A A și 3 A reprezintă imaginile geometrice ale soluțiilor ecuației binome4 1 3i .


12/22


22

III.4. Trigonometria sferică

Se pune problema determinării coordonatelor unui astru într-un sistem de coordonate dacă secunosc coordonatele lui într-un alt sistem de coordonate. Pentru rezolvarea acestei probleme, sunt necesareunele cunoştinţe de trigonometrie sferică. Fie o suprafață sferică și două puncte , A B pe aceastăsuprafață, diametral opuse. Orice plan perpendicular pe diametrul AB al sferei taie planele a două cercuri

mari care trec prin A

şi B

după câte o dreaptă care reprezintă câte o latură a unghiului α format de cele două plane. Tangentele într-un pol la ambele cercuri mari sunt perpendiculare pe diametrul AB şi deci formeazăacelaşi unghi α. Unghiul α este unghiul dintre cele două cercuri mari

Unghi dintre două cercuri mari

Două cercuri mari împart suprafaţa sferei în patru biunghiuri sau fusuri sferice. Fiecare din acesteaare două laturi egale, de mărime s = π. Aria acestor fusuri este determinată de raza R a sferei şi de unghiulα dintre cercurile mari. Pentru α = π/2, aria unui fus sferic este un sfert din aria sferei, adică În cazul unuiunghi α oarecare, aria unui fus sferic se obţine cu ajutorul regulii de trei simplă: 22S R .

Se numeşte triunghi sferic figura de pe suprafaţa unei sfere mărginită de trei arce de cerc marecare trec fiecare prin două din trei puncte ce nu sunt, două câte două, diametral opuse şi nici, toate trei,situate pe acelaşi cerc mare.

Cele trei puncte prin care trec arcele de cerc mare se numesc vârfurile triunghiului sferic. Laturiletriunghiului sferic ABC sunt arcele de cercuri mari a = BC , b = CA şi c = AB. Unghiurile dintre laturi senumesc unghiurile triunghiului sferic. Unghiurile dintre laturi se numesc unghiurile triunghiului sferic.

Triunghiul sferic care are toate laturile şi toate unghiurile mai mici decât π se numeşte triunghi eulerian.

Triunghi sferic


13/22


23

Unghiul poliedru cu trei feţe obţinut prin unirea centrului unei sfere cu vârfurile unui triunghi de pesuprafaţa sferei se numeşte unghiul triedru corespunzător triunghiului sferic.Unghiul triedru corespunzător unui triunghi sferic are următoarele proprietăţi:

1. Fiecare unghi plan se măsoară cu latura corespunzătoare a triunghiului sferic.2. Fiecare unghi diedru este egal cu unghiul corespunzător al triunghiului sferic.

Formulele lui Gauss

Rezolvarea triunghiului sferic implică relaţiile dintre laturile şi unghiurile acestuia. Pentrudeducerea lor, se consideră un triunghi sferic ABC , de laturi , ,a b c şi de unghiuri , , pe suprafaţa uneisfere cu centrul O şi de rază unitate, raportat la două sisteme de coordonate carteziene cu originea comunăO:• sistemul Oxyz , având axa Oz în direcţia OB, axa Oy, perpendiculară pe axa Oz , în semiplanul cercului BC ,delimitat de axa Oz , care nu cuprinde punctul C , şi axa Ox, perpendiculară pe planul yOz , în semispaţiul,delimitat de planul yOz , care cuprinde punctul A;• sistemul Ox′y′z′ , având axa Oz′ în direcţia OC , axa Oy′ , perpendiculară pe axa Oz′ , în planul cercului BCastfel ca ' ' yOy zOz şi axa Ox′ , perpendiculară pe planul y′Oz′ , confundată cu axa Ox.

Rezolvarea triunghiului sferic

Fie D şi D′ proiecţiile vârfului A al triunghiului sferic ABC respectiv pe planele xOy şi x′Oy′ .Coordonatele punctului A în cele două sisteme de coordonate sunt:

cos sin sin sin2 x c c , (1)

sin sin cos sin2

y c c

, (2)

cos x c . (3)

Trecerea de la sistemul Oxyz la sistemul Ox′y′z se face printr-o rotație cu unghiul a în jurul axei Ox.Relațiile între coordonatele punctului A în cele două sisteme de coordonate sunt:

' x ,' cos sin y y a z a ,

' sin cos y a z a .

' cos sin sin sin2 b b

, (4)

' sin sin cos sin2

y b b

, (5)

cosc . (6)


14/22


15/22


25

Aria triunghiului sferic

Triunghiurile sferice ABC şi ABC alcătuiesc un fus sferic de unghi având aria22 ABC ABC S S R .



Aria totală a celor trei fusuri sferice este: 23 2 ( ) ABC ABC ABC ABC S S S S R .

Datorită simetriei faţă de centrul sferei, avem 22 ABC ABC ABC ABC S S S S R , aria unei emisfere.

Deci 2 22 2 2 ( ) ABC

S R R . Se obține 22 ( ) ABC

S R , adică 22 ABC

S R .Teorema: Aria unui triunghi definit pe o sferă este egală cu produsul dintre pătratul razei sferei şi

excesul sferic al lui.


16/22


26

III.5. Coordonate cerești

Coordonatele astronomice orizontale sunt coordonate astronomice având la bază planul orizontal al observatorului.

Coordonatele orizontale sunt înălțimea deasupra orizontului (h) și azimutul (A).Uneori, în locul înălțimii deasupra orizontului se utilizează distanța zenitală (z).Înălțimea deasupra orizontului, pentru un punct de pe sfera cerească, este unghiul dintre

direcția de la observator spre acel punct și planul orizontal al observatorului. Unghiul este luat cusemnul plus pentru puncte aflate deasupra planului orizontului, și cu semnul minus pentru puncteaflate sub planul orizontului.

Zenitul are înălțimea deasupra orizontului egală cu 90°, iar nadirul are înălțimea -90°.Distanța zenitală a unui punct este unghiul dintre direcția către punctul respectiv și direcția

verticală în sus a observatorului (zenitul observatorului). Distanța zenitală ia valori între 0° (zenit) și180° (nadir). Distanța zenitală este 90° minus înălțimea deasupra orizontului.

Azimutul unui punct este unghiul dintre proiecția direcției spre punct pe planul orizontului șidirecția spre sud. Azimutul este măsurat de la sud spre vest (în sens orar) de la 0° la 360°.

Coordonatele astronomice orizontale

Coordonatele astronomice ecuatoriale

sunt coordonate astronomice având la bază planul ecuatorului terestru.Coordonatele ecuatoriale sunt ascensia dreaptă ( ) și declinația ( ). În loc de ascensia

dreaptă se poate utiliza unghiul orar (H). Perechea de coordonate rezultate, formată din unghiul orarși declinație, reprezintă coordonatele orare.

Declinația unui punct de pe sfera cerească este unghiul dintre direcția de la observator spre acel punct și planul paralel la planul ecuatorului prin punctul în care se află observatorul. Declinația esteconsiderată cu semnul plus dacă punctul este la nord de planul ecuatorului și cu semnul minus dacă seaflă la sud.

Unghiul orar al unui punct este unghiul format de:semiplanul delimitat de paralela la axa Pământului prin observator și conținând zenitul observatoruluisemiplanul delimitat de paralela la axa Pământului prin observator și conținând punctul dat.

Unghiul orar este măsurat de la meridianul superior către vest, luând valori între 0° și 360°.Unghiul orar este specificat adesea în unități de timp, 360° corespunzând la 24 de ore.


17/22


27

Ascensia dreaptă a unui punct este unghiul format desemiplanul delimitat de paralela la axa Pământului prin observator și conținând punctul vernalsemiplanul delimitat de paralela la axa Pământului prin observator și conținând punctul dat. Ascensiadreaptă se măsoară de la punctul vernal către est, de la 0° la 360°.

Suma dintre unghiul orar al unui punct și ascensia dreaptă a acelui punct este egală cu unghiulorar al punctului vernal. Unghiul orar al punctului vernal este numit t impul sideral al observatorului.

Neglijând paralaxa (insesizabilă pentru stele cu excepția celor mai apropiate dintre ele), precesia și mișcarea proprie a stelei, ascensia dreaptă și declinația unei stele rămâne fixă în timp. Dincauza precesiei, este necesar să se precizeze la ce moment s-a făcut determinarea coordonatelor.

Coordonatele astronomice ecuatoriale

Coordonate absolute

sunt raportate la axe sau plane fundamentale ale sferei ceresti, independente de locul de observatie.Se folosesc trei sisteme de coordonate absolute:

1) coordonate astronomice ecuatoriale

ascensia dreapta - unghiul dintre cercul orar al punctului vernal si cel al astrului, masurat in ore sifractiuni de oradeclinatia - unghiul făcut de direcția spre astru cu planul ecuatorial ceresc, pozitiva spre polul nord sinegativa spre polul sud

2) coordonate astronomice ecliptice

sunt coordonate astronomice având la bază planul orbitei Pământului (ecliptica).Coordonatele ecliptice sunt longitudinea și latitudinea (ecliptice).

longitudinea ecliptică - unghiul dintre meridianul ecliptic al punctului vernal și meridianul ecliptic alastruluilatitudinea ecliptică - unghiul făcut de direcția spre astru cu planul eclipticii

Latitudinea unui punct de pe sfera cerească este unghiul dintre direcția de la observator spreacel punct și planul paralel la planul orbitei Pământului prin punctul în care se află observatorul.Latitudinea este considerată cu semnul plus dacă punctul este la nord de planul eclipticii și cu semnulminus dacă se află la sud.

Longitudinea unui punct este unghiul format de proiecțiile pe planul eclipticii ale direcțiilor dela observator spre punctul vernal și spre punctul considerat. Longitudinea se măsoară de la punctul

vernal spre est, de la 0° la 360°, similar cu ascensia dreaptă.Longitudinea Soarelui crește în timpul deplasării sale anuale de-a lungul eclipticii.


18/22


28

Coordonate astronomice ecliptice

3) coordonate astronomice galactice - longitudinea si latitudinea galacticăAcest sistem de coordonate astronomice este folosit in astronomia stelara si are drept plan

fundamental planul de simetrie al galaxiei. Drept origine a longitudinilor galactice a fost aleasa initialdirectia spre nodul ascendent al planului galactic - adică ecuatorul ceresc; aceasta origine a fost admisădrept origine pâna în 1959, când a fost înlocuită cu direcția spre centrul galaxiei.

Coordonatele astronomice ecliptice

Coordonatele ecliptice sunt longitudinea și latitudinea (ecliptice).Latitudinea unui punct de pe sfera cerească este unghiul dintre direcția de la observator spreacel punct și planul paralel la planul orbitei Pământului prin punctul în care se află observatorul.Latitudinea este considerată cu semnul plus dacă punctul este la nord de planul eclipticii și cu semnulminus dacă se află la sud.

Longitudinea unui punct este unghiul format de proiecțiile pe planul eclipticii ale direcțiilor dela observator spre punctul vernal și spre punctul considerat. Longitudinea se măsoară de la punctulvernal spre est, de la 0° la 360°, similar cu ascensia dreaptă.

Longitudinea Soarelui crește în timpul deplasării sale anuale de-a lungul eclipticii.


19/22


29

Aceasta hartă stelară cu cerul întreg este desenata în coordonate ceresti galactice, astfel liniaorizontala care trece prin centrul hărții reprezintă planul galaxiei noastre iar centrul hărții reprezintădirecția în care se afla centrul galaxiei noastre pe cer, aproape de direcția în care este steaua luminoasagamma Sgr înspre constelatia sagetator. In timp ce steaua gamma Sgr este la numai 96 ani luminădistanță, centrul galaxiei noastre este la vreo 30000 ani lumina distanța, iar galaxia noastră are undiametru de cca 100.000 ani lumina.

Coordonate astronomice


20/22


30

III. 5. Relații între coordonate

Vom folosi următoarele notații pe sfera cerească: PP’ = axa lumii, ZN = verticala locului, EE’ = ecuatorul, HH’ = orizontul, PZP’N = meridianul locului.

Se numește latitudine geografică a locului unghiul format de ZN cu planul ecuatorului și senotează cu . Acest unghi se măsoară de la ecuator spre poli, de la 0 la 90 cu semnul + în emisfera

nordică și de la 0 la 90 cu semnul - în emisfera sudică.

Dacă 1S este poziția stelei S în momentul culminației superioare, atunci avem:

unghiul1 1 EOS este declinația stelei

unghiul' mS OZ z este distanța zenitală în meridian

unghiul

EOZ este latitudinea geografică.

Pentru 1S se obține 1 m .

Pentru culminația stelei la nord de zenit, în 2S avem 1 m .

Distanța zenitală în meridian m z se determină folosind declinația stelei (din catalog) și astfel se

află latitudinea geografică . Apoi folosind formula se află declinația stelei.

Vom nota EO = timpul sideral,' EOS t = unghi orar al stelei,'S O = ascensiastelei. Atunci avem t .

În momentul culminației stelei avem

' 0 EOS t , de unde . Pentru ascensia unei stelecunoscute ( din catalog) se determină timpul sideral . Știind timpul sideral se determinăascensia unei stele oarecare.

Relația m Relația t

zM

1

E'

E

P'

H' H

N

O

Z

P

S2

S1

t

S'

E'

E

P'

HH'

N

O

z

P

S


21/22


31

Exerciții

1. Să se calculeze: a)

4

73sin

; b)

3

112cos

.

2. Să se calculeze ba sin şi ba sin , dacă

2

3,,,

2,

13

5sin,

5

3sin

baba .

Să se demonstreze formulele trigonometrice:a) x x x cossin22sin ;

b) x x x 22 sincos2cos ;c) 1cos22cos 2 x x ;

3. Să se demonstreze că în orice triunghi avem:

a)2

coscoscos222 cba

Abc BacC ab

;

b) RC c Bb Aa

C ab Bca Abc

sinsinsincoscoscos .

4. Fie1 3

2 1 4

i i z

i i

. Să se determine z z z ),Im(),Re( .

5. Să se arate că 1 2, z z au loc relațiile:

a) 22212122

21 111 z z z z z z z ; b) 2221221 111 z z z z .

6. Să se simplifice fracţia2

12

2

iX X

X F .

7. Să se rezolve şi să se interpreteze geometric ecuaţiile:a) 0313 i z , b) 054 i z .8. Să se determine x astfel încât 1sincos...2sin2cossincos nxinx xi x xi x .

9. Să se arate că într-un triunghi sferic echilateral există relațiacos

cos1 cos

Aa

A

.

Indicație: Din ipoteză avem a b c . Prima formulă a lui Gauss devine2 2cos cos sin cosa a a A . De aici se obține 2cos (1 cos ) (1 cos )cosa a a A , adică

cos (1 cos ) cosa a A , deci cos (1 cos ) cosa A A , de unde relația cerută.

10. Să se determine aria triunghiului sferic echilateral care are unghiurile de 75 .

Indicație: Din ipoteză avem: 57512

A B C

. Excesul sferic este

53

12 4 A B C

. Folosind formula pentru arie se oține

22

4 ABC R

S R

.

11. Știind că aria unui triunghi sferic dreptunghic isoscel este o treime din aria unui cerc mare al sferei,să se calculeze unghiurile triunghiului.

Indicație: Din ipoteză avem: ,2

A B C

. Atunci aria triunghiului sferic este

2 22 2

2 2 ABC S R B R B

. Această arie este egală cu2

3

R , deci

22 2

2 3

R R B

. Se

obține5

12 B

sau 75 B C .

d) x x 2sin212cos ;

e) xtg

tgx xtg

21

22

;

f)ctgx

xctg xctg

2

12

2 .


22/22


12. Să presupunem că Pământul este sferic. Să se calculeze în metri, lungimea unui arc cu măsura de''24'4120 , măsurat pe paralela de 45 .

Indicație: Notăm cu R raza Pământului şi cu r raza paralelei la latitudinea 045 .Din figură vom avea cos Rr . Lungimea arcului de n0 pe paralela de latitudine este dat de

0

0

360

cos2n

Rl , deci0

0

360

cos40000000n

l .

În acest caz avem 2 41'24 '' 9684 ''n şi deci040000000 cos45 9684

195,350360 60 60

l m

.

13. Care este ora siderală la care steua din constelaţia Lyra atinge înălţimea de 30 deasupraorizontului de latitudine 045 . Coordonatele stelei sunt: 18 36 56h m s , 038 47 01 . Se dau

cos 038 47 01 0,7795 şi cos 084 50 0,1028 .

Indicație: Avem h z 090 , şi pentru că 030h , rezultă că 000 603090 z .Din formula trigonometrică

H z cos)90sin()90sin()90cos()90cos(cos şi

1028,0cos H , unde 05840 H este unghiul orar al stelei.Avem că Timpul sideral =ascensiadreaptăunghiul orar,deci H t smht 36901 şi

smht 164132 .

14. Un observator din Giurgiu măsoară pentru steaua Arcturus distanța zenitală meridiană 24 29'm z .

Din Anuarul Observatorului din București află că declinația acestei stele este de 19 24' . Care estelatitudinea geografică a locului de observație?

Indicație: Se folosește relația 19 24' 24 29' 43 53'm z .

r

O R

E’

C

P’

P

E

3.trigonometrie sfera cerească

Documents