TrigonometrieGeometrie - Kapitel 3

Sprachprofil - Mittelstufe KSOe

Ronald BalestraCH - 8046 Zurich

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31. Januar 2013

Uberblick uber die bisherigen ALGEBRA - Themen:

1 Ahnlichkeit *

1.1 Definitionen & Eigenschaften

1.2 Kongruenzabbildungen

1.3 Zentrische Streckungen

1.4 Ahnlichkeit am Dreieck

1.5 Die Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras

1.6 Ahnlichkeit im und am Kreis

1.7 Die Strahlensatze

2 Der Kreis

2.1 Definitionen

2.2 Repetition

2.3 Keisflache

2.4 Kreisumfang

2.5 Anwendungen & erstaunliche Eigenschaften

I

Inhaltsverzeichnis

3 Trigonometrie 13.1 Warum Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Ahnlichkeit & Strahlensatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.2.1 Ahnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2.2 Die Strahlensatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . 133.4 Trigonometrie am Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5 Das Bogenmass & die Graphen der trigonometrischen Funktionen 233.6 Astrometrie - ein WebQuest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.7 Trigonometrie im beliebigen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.7.1 Repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.7.2 Sinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.7.3 Eine oder mehrere Losungen ? . . . . . . . . . . . . . . . 313.7.4 Der Cosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

II

3 Trigonometrie

Wir werden uns im ersten Teil des der Trigonmetrie damit beschaftigen, WarumTrigonometrie gebraucht wird. Anschliessend werden wir uns sehr kurz mitden geometrisch notwendigenden Grundlagen, der Ahnlichkeit und den Strah-lensatzen auseinandersetzen um uns dann im Folgenden mit der Trigonometrieim rechtwinkligen Dreieck zu befassen.In einem Webquest zur Astrometrie werden wir einige Anwendungen der Di-stanzbestimmungen diskutieren.Im zweiten Teil werden wir das Kapitel der Trigonometrie im beliebigen Drei-eck abschliessen.

3.1 Warum Trigonometrie

In der Trigonometrie (von griechisch trigonon - Dreieck und metron - Mass)werden wir uns mit der Berechnung von Seiten und Winkeln in einem Dreieckbefassen.

Im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks lassen sich mit Hilfe des Satzes vonPythagoras schon einige Aufgaben exakt losen:

Beispiel 3.1 In einem rechtwinkligen Dreieck ∆ABC sind die Lange derHypotenuse c = 6 und die Lange einer Kathete b = 3, 7bekannt.Konstruiere das Dreieck ∆ABC und berechne die Langeder zweiten Kathete und die Hohe des Dreiecks ∆ABC.

Doch schon fur die Bestimmung der Winkeloffnungen sind wir auf weniggenaue Hilfsmittel angewiesen:

1

Durch das Konstruieren mit Zirkel und Lineal und dem Bestimmen der Win-keloffnung mit Hilfe des Geodreiecks schleichen sich Fehler ein, die wir spaterdurch die Anwendung trigonometrischer Berechnungsmethoden werden verhin-dern konnen.Zu dem sind wir bei unseren bisherigen Berechnungen auf die Existenz einesrechten Winkel angewiesen (Warum?) und auch auf die Angabe der richtigenDreiecksteile:

Beispiel 3.2 In einem rechtwinkligen Dreieck ∆ABC sind die Lange derKathete a = 5, 5 und die Offnung des Winkels α = 630

bekannt.Konstruiere das Dreieck ∆ABC und berechne die Langender ubrigen Seiten und die Grosse des fehlenden Winkels.

Mit Hilfe der trigonometrischen Beziehungen werden wir spater auch dieseAufgabe (und ahnliche) exakt losen konnen.

Wegen der grossen Bedeutungen der Satzgruppe des Pythageoras werden wiruns in der 1. Aufgabenserie mit einigen entsprechenden Aufgaben befassen.

Geometrie-Aufgaben: Repetitionsserie - Trigonometrie I

2

3.2 Ahnlichkeit & Strahlensatze

Wir beginnen mit einer sehr kurzen Diskussion des Begriffs der Ahnlichkeit undder damit verbundenen wichtigen Eigenschaft der Erhaltungen der Verhaltnisseund den Strahlensatzen.

3.2.1 Ahnlichkeit

Aus dem Alltag wissen wir, was zueinander ahnliche Figuren auszeichnen: . . .

Mathematisch wird der Begriff wie folgt definiert:

Def.: Zwei geometrische Figuren A und B heissen ahnlich :⇔es existiert eine Ahnlichkeitsabbildung, welche A auf B abbildet.

Bem. : • Schreibweise: A ∼ B

• Da eine Ahnlichkeitsabbildung die Form erhal-ten muss, sind nur Kombinationen aus folgen-den Abbildungen moglich:

–

–

–

–

–

3

. . . das heisst also, dass wenn fur die folgenden Dreiecke gilt

∆ABC ∼ ∆A′B′C′

dass dann . . .

4

Wichtig ist nun zu wissen, dass trotz Anderung der Grosse die Verhaltnisseder entsprechenden Seiten erhalten bleiben:

Was fur ein Zusammenhang besteht bei zueinander ahnlichen Figuren zwi-schen dem Streckungsfaktor und dem Flacheninhalt?

5

3.2.2 Die Strahlensatze

Wir beginnen zur Einfuhrung der Strahlensatze mit einer einfachen praktischenAnwendung:

Wie hoch ist der Baum ?

D

lLll~

Mit einem alten, einfachen Verfahren hat ein Forster die Frage schnell be-antwortet. Er braucht nur die Sonne, einen Stab und ein wenig Geometrie.Ein Baum der Lange L wirft eine Schatten der Lange D. In den Schatten wirdein Stab der Lange l so gestellt, dass beide Schattenspitzen zusammenfallen; derSchatten des Stabes hat die Lange d.Der Forster berechnet die Baumlange nun nach der folgenden Formel:

L

D=l

d

Beweis: (uber die Flacheninhalte)

6

Auch im Fall von nicht-senkrecht ste-henden Baumen lasst sich die Hohe mitder gleichen Formel berechnen.Fur den Beweis setzen wir voraus, dassder Stab parallel zum Baum steht.

D

Beweis: (mit Hilfe der Ahnlichkeit)

Die Erhaltung der Seitenverhaltnis durch die Ahnlichkeit liefert noch vieleweitere Verhaltnisse, welche in den sog. Strahlensatze zusammengefasst werden.

7

1. Strahlensatz: Werden die Schenkel eines Winkels von zwei paralle-len Geraden geschnitten, so verhalten sich . . . .

2. Strahlensatz: Werden die Schenkel eines Winkels von zwei paralle-len Geraden geschnitten, so verhalten sich . . . .

8

Aufgaben : Die Strahlensatze lassen sich auch auf die folgendenSituationen anwenden:

Formuliere in allen Situationen die gultigen Strecken-verhaltnisse.

9

Aufgaben : Bestimme jeweils die gesuchten Streckenlangen:

1. Mit folgenden Vorgaben:

(a) a = 3, c = 2, g = 5; f = ?(b) a = 3, b = 5, e = 4; d, g = ?(c) a = 5, b = 4, c = 3, d = 10; f, h = ?(d) d = 5, e = 4, h = 6; a = ?(e) c = 4, d = 6, e = 4.5, f = 10; a, b = ?(f) b = 4, c = 2, d = 3, f = 3; g, h = ?(g) a = 2, g = 6, h = 8; b = ?(h) a = 7, b = 2, g = 10; e = ?

in der folgenden Situation:

10

2. Mit folgenden Vorgaben:

(a) a = 4.5, b = 7.5, e = 5, f = 4; c, d = ?

(b) b = 3.5, c = 2, f = 4.8; e = ?

(c) a = 4.5, d = 3, b+ e = 12.5; e = ?

(d) a = 4.5, d = 6, b+ e = 10, c+ f = 7; b, c, e, f = ?

(e) a = 3, b = 4, c = 5, e+ f + d = 18; d, e, f = ?

in der folgenden Situation:

11

Fasse das Wichtigste aus unserer kurzen Einfuhrung in die Ahnlichkeit imFolgenden zusammen:

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3.3 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

Wir beginnen mit den trigonometrischen Beziehungen im rechtwinkligen Dreieckund untersuchen dazu die folgenden Dreiecke auf Gemeinsamkeiten:

Was haben die folgenden Dreiecke gemeinsam ?

13

Wir fassen zusammen:

Def.: In einem rechtwinkligen Dreieck ∆ABC mit den ublichen Be-zeichnungen werden die trigonometrischen Funktionen wie folgtdefiniert:

sinα :=

cosα :=

tanα :=

Bem.: • sinβ :=

• cosβ :=

• tanβ :=

. . . und wir konnen schon die ersten Beziehungen zwischen sin und cos (ineinem rechtwinkligen Dreieck) formulieren:

14

Aufgaben : Bestimme mit dem Taschenrechner die folgendenWerte:

1. den Sinus von 130, 76.50, 658290,

2. den Cosinus von 770, 43.90, −540,

3. den Tangens von 20, 37.880,

4. den Winkel mit dem zugehorigen Sinuswert0.8, 0.2, −0.6,

5. den Winkel mit dem zugehorigen Cosinuswert0.8, 0.2, 2.1,

6. den Winkel mit dem zugehorigen Tangenswert0.8, 0.2, 2.1.

Bestimme die folgenden Werte exakt und verifizieredeine Resultate mit dem TR:

α 00 300 450 600 900

sin . . . . . . . . . . . . . . .

cos . . . . . . . . . . . . . . .

tan . . . . . . . . . . . . . . .

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Standardaufgaben : Fur die folgenden Aufgaben arbeiten wir wieder ineinem rechtwinkligen Dreieck ∆ABC mit den ubli-chen Bezeichnungen:

1. Geg: c = 56.4 ∧ α = 38.50

Ges.: a, b

2. Geg: a = 148.2 ∧ β = 38.50

Ges.: b, c

3. Geg: a = 10.74 ∧ b = 6.48Ges.: α, c, β

Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 1 & 2

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3.4 Trigonometrie am Einheitskreis

In diesem Abschnitt werden wir den Einheitskreis einfuhren und an ihm dietrigonometrischen Beziehungen neu definieren. Wir werden ihn als praktischesHilfsmittel kennenlernen und festellen, . . .

• dass die bisherigen Definitionen (im rechtwinkligen Dreieck) weiterhinGultigkeit haben,

• dass wir die trigonometrischen Funktionen nicht nur auf Winkel zwischen00 und 900 anwenden konnen und

• dass es einige interessante Beziehungen zwischen den trigonometrischenFunktionen gibt.

Der Einheitskreis:

Def.: cosϕ := x-Koordinate von P

sinϕ := y-Koordinate von P

tanϕ := Quotient der y- & der x-Koordinate von P

Veranschaulichung:

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Verwende zur Losung der folgenden Aufgaben den Einheitskreis:

Aufgaben :

1. Bestimme die folgenden Werte:

ϕ 00 900 1800 2700 3600

sin . . . . . . . . . . . . . . .

cos . . . . . . . . . . . . . . .

tan . . . . . . . . . . . . . . .

2. Beweise: sin2 ϕ+ cos2 ϕ = 1

3. Beweise: sinϕ = cos(900 − ϕ)

4. Beweise: cosϕ = sin(900 − ϕ)

Als einen weiteren Zusammenhang wollen wir festhalten: tanϕ =sinϕcosϕ

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Mit Hilfe des Einheitskreises lassen sich viele Beziehungen und Eigenschaf-ten der trigonometrischen Funktionen erkennen:

• Fur welche Winkel ist der sin-Wert negativ?

• Fur welche Winkel ist der cos-Wert > 0.5 ?

• Fur welche Winkel ist der tan-Wert positiv ?

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• Fur welche Winkel erhalten wir den selben sin-Wert?

und aus dem Verhalten der x-Koordinaten konnen wir schliessen:

• Fur welche Winkel erhalten wir denselben cos-Wert ?

und aus dem Verhalten der x-Koordinaten konnen wir schliessen:

• Was fur Beziehungen zwischen sin und cos lassen sich im 3. Quadrantenbestimmen?

20

Aufgabe : Formuliere eigene Beziehungen zwischen sin und cos.

21

Wir wollen uns abschliessend noch mit dem Tangens beschaftigen:

Nach Definition gilt fur den Tangens: tanψ :=sinψcosψ

im 2. Quadranten:

tanψ =

im 3. Quadranten:

tanψ =

im 4. Quadranten:

tanψ =

Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 3 - 1.Seite

22

3.5 Das Bogenmass & die Graphen der trigonometrischenFunktionen

Neben der Darstellung der Argumente der trigonometrischen Funktionen imGradmass ist auch die Darstellung im sog. Bogenmass ublich. Wir verwendenals Grundlage den Zusammenhang zwischen dem Umfang des Einheitskreisesund der zugehorigen Winkeloffnung:

. . . und definieren:

Aufgaben : • Stelle die Aufgabe im Bogenmass dar und be-rechne den Funktionswert:

1. sin 300

2. cos 1200

3. tan 900

• Stelle die Aufgabe im Gradmass dar und be-stimme den Funktionswert:

1. sin π2

2. cos−π63. tan 2π

3

Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 3 - 2.Seite

23

Die graphischen Darstellungen von sin, cos & tan:

• fur den Sinus:

• fur den Cosinus:

24

• fur den Tangens:

25

3.6 Astrometrie - ein WebQuest

26

3.7 Trigonometrie im beliebigen Dreieck

3.7.1 Repetition

Bei den bisherigen trigonometrischen Betrachtungen haben wir jeweils ein recht-winkliges Dreieck vorausgesetzt und die trigonometrischen Funktionen wie folgtin einem rechtwinklige Dreieck definiert:

• sinϕ =

• cosϕ =

• tanϕ =

mit D(sin) =D(cos) =

D(sin) =

W(cos) =

D(tan) =

W(tan) =

und schon die folgenden wichtigen Beziehungen kennengelernt:

27

Im Einheitskreis haben wir dann die trigonometrischen Funktionen wie folgtdefiniert:

• sinϕ =

• cosϕ =

Mit Hilfe des Einheitskreises lassen sichmehrere trigonometrische Beziehunggraphisch herleiten.

So folgt z.B.:

• sin(ϕ+ π) =

• cos(−ϕ) =

• sinϕ < 0⇔ ϕ ∈ . . .

• cosϕ > 0⇔ ϕ ∈ . . ....

• sin2 + cos2 = . . .

Aufgaben: Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 6 - 2.Seite

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3.7.2 Sinussatz

Wir wollen nun das Kapitel Trigonometrie mit zwei Satzen (Aussagen) absch-liessen, welche in allen beliebigen Dreiecken ∆ABC gelten:

Der Sinussatz: In einem beliebigen Dreieck ∆ABC gilt:

Beispiel 3.3 In einem beliebigen Dreieck ∆ABC sind folgende Grossengegeben:

α = 250 , a = 6 , b = 4

Bestimme c , β , γ.

29

Beispiel 3.4 In einem beliebigen Dreieck ∆ABC sind folgende Grossengegeben:

α = 250 , a = 4 , b = 6

Bestimme c , β , γ und konstruiere das Dreieck ∆ABC.

30

3.7.3 Eine oder mehrere Losungen ?

Wir wollen nun der Frage nachgehen, unter welchen Bedingungen eine odermehrere Losungen existieren und wir wie viele Losungen gebrauchen.

Grundsatzlich gilt, das bei Dreiecksaufgaben die Losungen eindeutig be-stimmt sind, wenn die Kongruenzsatze erfullt sind:

1. . . .

2. . . .

3. . . .

4. . . .

Bei der Umkehrung der Sinus- und Cosinusfunktion (sin−1 und cos−1) ent-stehen aber mehrere Losungen:

• Ist der Cosinuswert bekannt, so liefert uns der TR einen zugehorigen Win-kel, wahrend die Anwendung des Einheitskreises und die Periodizitat un-endlich viele Losungen liefert:

Bsp.: cosϕ = 0.7 · der TR liefert:ϕ0 = . . .

· der Einheitskreis liefert :ϕ0 = . . .ψ0 = . . .

· die Periodizitat des Cosinusliefert:ϕ1 = . . .ϕ2 = . . ....ϕk = . . .

ψ1 = . . .ψ2 = . . ....ψk = . . .

31

• Ist der Sinuswert bekannt, so liefert uns der TR einen zugehorigen Winkel,wahrend die Anwendung des Einheitskreises und die Periodititat unend-lich viele Losungen liefert:

Bsp.: sinϕ = 0.4 · der TR liefert:ϕ0 = . . .

· der Einheitskreis liefert :ϕ0 = . . .ψ0 = . . .

· die Periodizitat des Sinus liefert:ϕ1 = . . .ϕ2 = . . ....ϕk = . . .

ψ1 = . . .ψ2 = . . ....ψk = . . .

Welche Losung/ Losungen sind nun zu verwenden und unter welchen Bedin-gungen ist es uberhaupt notwendig, eine zweite Losung zubestimmen?

• Im Fall Cosinus:

· die zweite Losung ist immer

· ⇒· ⇒

• Im Fall Sinus:

· die zweite Losung ist immer

· ⇒· ⇒

Uberprufung geometrischer Eigenschaften:

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3.7.4 Der Cosinussatz

Der Cosinussatz: In einem beliebigen Dreieck ∆ABC gilt:

Beispiel 3.5 In einem beliebigen Dreieck ∆ABC sind folgende Grossengegeben:

a = 8 , b = 5 , γ = 750

Bestimme c , α , β .

Aufgaben: Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 7

33