§4.7 分块乘法的初等变换及应用举例

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§4.7 分块乘法的初等变换及应用举例

§4.7 分块乘法的初等变换及应用举例

一、分块乘法的初等变换一、分块乘法的初等变换

二、应用举例二、应用举例

2© 2009, Henan Polytechnic University 2§§77 分块乘法的初等变换及应用举例分块乘法的初等变换及应用举例

第四章矩阵第四章矩阵

E 分块成，作 1 次“初等变换”可得 00m

n

EE

0 ,0n

m

EE

,0m

n

E PE

0 ,0 n

PE

0 .m

n

EP E

0 ;0mEP

0 ;0m

n

EE

一、分块乘法的初等变换



且有

0 .m

n

E A B A BP E C D C PA D PB

0 ,0n

m

E A B C DE C D A B

0 ,0 n

P A B PA PBE C D C D

.0m

n

E P A B A PC B PDE C D C D

特别地 , 若 A可逆，令．则有：1P CA

1 10

0m

n

E A BA BC DCA E D CA B



.0m

n

E PA B A AP BC D E C CP D

0 ,0 n

PA B AP BEC D CP D

0 ,0m

n

EA B B AC D E D C

同理

若 D可逆，令．则有：1P BD

1 1 0 .0m

n

A BE BD A BD CC DE C D



二、应用举例例 1 ． A ， D 可逆，求．1T 0 ,AT C D

解：

及 1 1

10 0

0 0A AD D

10 0 0

0m

n

E A AC D DCA E

由

有

11

11

0 00

m

n

E AT DCA E

1

1100

0m

n

EACA ED

1

1 1 10A

D CA D



例 2 1 ,A B

TC D

1T设可逆， D可逆，试

证1 1( )A BD C

11T存在，并求

证明

又右端仍可逆，故 1 1( )A BD C 存在 . 再由例 1，知11 1

1

1 1 1 1

( ) 0

0( )m

n

E BDA BD CT

ED C A BD C D

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

( ) ( )

( ) ( )

A BD C A BD C BD

D C A BD C D C A BD C BD D

1 1( )A BD C 1

1T存在，并求

1 1 0

0m

n

A BE BD A BD C

C DE C D

由



例 3 ．，求．1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

A

1A

把 A 分块成 1 1

1 1,A AA A A

11 1 ,1 1A

11

1 1 11 12

A 则

解：

1

1.

2A

又 1 1

1 1

00

A AE E EE A A E E

1

1

2 0 ,0A

A 1

1 1

2 0 0A EA A E E



11 1

1 1

1

2 0 00 0

AE E EA E A E E

11

11

100

2 00

AE E EE E E

A

1

1

100 41 0

02

AE E EE E E

A

1 11

1

2 0 00 0

AE E EA E A E E

1

1 1

10

41 1 0

4 2

A E EE

A A

1 1

1 1

1 1

4 41 1

4 4

A A

A A

1.

4A



例 4 ．证明： (A 、 B 为 n级方阵 ) ． AB A B

作 0 0 ,0n

n

E A A ABE E B E B

证：

再作 2n 级矩阵这里 ~

,0n ijij

n

E EPE

中除的元素为外，其余元素皆为 0 ． ija~

ijE i j（ ,）

由初等矩阵与初等变换的关系 , 得



,0n

n

E AE

11 1

1

1

11

1

n

n nn

a a

a a

11 1 10

0n

n n nnn

EP P P P E

而变换不改变行列式的值 ,

11 1 10 0

0n

n n nnn

E A A AP P P PE E B E B

0AE B

,A B



AB A B .

0 ABE B

0( 1)n ABB E

( 1)n AB E

AB

又



例 5. 设 , 且，( )ij n nA a 11 1

1

0k

k kk

a a

a a

1 k n

证明：存在下三角矩阵，使为上三角形． n nB BA

证：对作归纳法．n

当 =1 时，为上三角形．n 11 11 11 11( ), ( ), ( )A a B b BA a b

于是存在下三角矩阵，( 1) ( 1)n n 1B

为上三角形．1 1B A使

结论成立，1 ( 1) ( 1)( )ij n nA a 即对1n 假设对级矩阵命题成立，



为上三角形．

对 A 作分块　 1

11 2 , 1

2,

1,

, , ( , , , )

n

n n n nn nnn

n n

aAA a a aaa

a

则　　 111 1

1 1

01 0nn nn

AE AaA a A

1 1 1 111 1

1 1

00 1 0 0nn nn

A B A BBa A a A

n ( ) .ij n nA a 下面考虑级矩阵



11

1

000 1 1

EBBA

1

11

01

BA

即为所要求的下三角形．

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