5. OSNOVI TEORI}E VEROVATNOCE

5.1. UVOD

J08 od XVII veka, kad su postavIjene njene osnove, pa do danasnjih dana,teorija verovatnoce je predmet interesovanja naucnih radnika razlicitih profila.Razlog njene velike aktuelnosti i u savremenom drustvu je u tome sto je ona odznaeajne pomoCi u priIazu i u potpunijem sagledavanju razliCitih problema u nauci.I ako je vamost verovatnoce sve manje spoma, neprekidno se vode diskusije okonjenih teorijskih osnova. U tim diskusijama angazovani su filozofi, matematicari,statisticari i drugi. Teorija verovatnoce je posebno znacajna u statistickoj infe-renciji, koja poCiva na njenim osnovama. U ovom odeljku ukazacemo na nekekoncepte verovatnoce i njene matematicke osnove od bitnog znacaja u savremenojstatistickoj teoriji.

Moze se reCi da su dva glavna razloga doprinela pojavi interesovanja za ve-rovatnocu i razvitku njenih matematickih osnova. Prvi je proizisao iz matematickihproblema u igrama na srecu. Svajcarski mate"inaticar Bemuli u XVIII veku jepostavio teorijske osnove verovatnoce, kao jedne matematicke discipline. NeStodocnije taj razvoj je isao dalje u radovima Laplasa sa njegovim strogo determinis-tickim pogledom na svet. Po njemu, verovatnoca je sastavni deo nauke 0 prirodi,kao teorija gresaka, u Cijoj osnovi je sistematsko proucavanje sredine i njenogvarijabiliteta u ponovljenim merenjima. U razvitku teorije vredan je Gausov do-prinos sa radovima u oblasti normalnog zakona gresaka itd. Drugi razlog intere-sovanja za verovatnocu proizisao je iz osiguranja protiv rizika, koje se prakti-kovalo u trgovini u italijanskim gradovima u periodu renesanse.

U prethodno datom kracem prikazu razvoja statistike moglo se videti kakose na osnovama racuna verovatnoce razvijala statisticka teorija od XIX stolecado danasnjih dana. Danas se statisticka teorija inferencije primenjuje u skoro svimnauenim disciplinama. Postala je sastavni deo teorijske fizike (nauka 0 toploti,kvantna mehanika itd). Preko kvantne teorije nalazi svoje mesto i u atomistici itd.

Bez obzira na diskusije 0 racunu verovatnoce i njegovoj interpretaciji, nje-gova formalna osnova nije diskutabilna. Ipak, kad se primenjuje racun verovat-noce u statistickim istrazivanjima interpretacija modela i rezultata ne sme da seposmatra kao nesto odvojeno. Subjektivni prilaz racunu verovatnoce i, na njegovojosnovi, Bajesova statistika, kako se cesto naziva, je savremeni trend. Taj prilazkoji je dobio u aktuelnosti posIednjih decenija bite iIustrovan u vezi sa teorijom

84

t'

....

odluke u odel;ku 11. Ovde ce biti ob;asn;ene sarno formalne osnove Bajesoveteoreme.

5.2. ZNACENJE VEROV ATNOCE

Prema klasicnomili a priorikonceptu, verovatnocajednog dogadajaA je odnosbroja za njega povoljnih dogadaja a, prema broju svih jednakomogucih dogadajan.Tu verovatnocu pisemo

P(A)=~ .n

Za ilustraciju uzmimo slueaj sa bacanjem novCiCa gde je verovatnoCa dobijanja"pisma" 1/2 = 0,5 a "glave" 1/2 = 0,5; ili kod bacanja kockeverovatnoCadobijanja"dvojke" je 1/6 itd. U ovom kontekstu "dogadaj" ima jedan ili vise ishoda i to seeesto naziva "eksperiment". Formalna definicija "dogadaja" bice data docnije uvezi sa teorijom skupova. Ova definicija pretpostavlja da se dva ili vise dogadajamedusobno iskljueuju, tj. da ako jedan nastupi drugi ne moze. Ako za dogadaj Akod jednog bacanja kocke uzmemo dobijanje bilo koga od brojeva I, 2, 3, 4, 5, i1i6, onda je njegova verovatnoca P(A) = 1. Dobijanje broja 7 kod tog bacanja jenemoguce i za to je verovatnoca P(A) = O. Verovatnoca dogadaja A je u okviru0 ~ P(A) :s;;1.

U osnovi ove klasiene definicije verovatnoce nalazi se princip nedovoljnograzloga uveden jos od Bernulija. On je proizisao iz pitanja u vezisa interpretacijompojma "svih jednako mogucih dogadaja" koji saddi ova definicija verovatnoce.Po ovom principu dva dogadaja su jednako moguca kada je razlog nepoznat zbogkoga bi jedan imao viSe prednosti od drugog. On je prihvatljiv kada se primenjujeu igrarna na srecu, medutim, teskoce nastaju izvan toga domena. Ovaj konceptverovatnoce nije proizisao iz eksperimentalnih posmatranja, nego iz logienog a pri-ori rezonovanja.

Pridimo sada ovom problemu na drugaeiji naein koji je u osnovi definicijeverovatnoce kao relativne frekvencije. Uzmimo opet eksperiment sa bac~njem nov-eica i ponovimo bacan;e. Kako ima dva moguca ishoda ili dogadaja, normalan ciljove operacije je da se utvrdi relativna frekvencija jednog od njih. Ona je izrazenaodnosom mln, gde je m broj nastupanja pisma, n je broj bacanja. Kod malog brojaponovljenih bacanja, uzmimo 10, relativna frekvencija ce pokazivati vece osciliranjenego kada je taj broj veci, na primer 20, 30 ili viSe. Svako eksperimentalno ispitivanjepokazace da relativna frekvencija- pokazuje vecu stabHnost sa porastom n. Tako,ako se odnos m/n kod 10 bacanja kretao izmedu 0,40 i 0,60, kod 20 bacanja, lakoje moguce, da ce se kretati izmedu 0,42 i 0,58, kod 30 bacanja taj interval je josmanji itd.

Podimo od pretpostavke da je verovatnoCa nastupanja pisma (dogadaj A),P(A) = 1/2. Kada se ovaj eksperiment ponavlja veliki broj puta (n), relativna frek-vencija m/n bice skoro sasvim jednaka navedenoj verovatnoci. S rim u vezi postaviCese pitanje sta je vrednost P(A) s obzirom na to da je ne mozemo ~apred izracunati.Ta vrednost ili verovatnoca se moze oceniti putem eksperimenta i P(A) nije isto

85

§to i mIn. Nairne, ako peA) nije poznata, re1ativna frekvendja mln, koja slufi kaoocena peA), bice joj utoliko prib1iZnija ukoliko je n veci broj.

Vredno je spomenuti joS jedan koncept verovatnoce kao re1ativne frekvencijekoji se neSto razIikuje od prethodnog. Po njemu verovatnoca dogadaja A je granicaod mfn, kada n tezi beskonalnosti, tj. peA) = mfn kada n -+00. Kritika ovakvogkoncepta doveia je do uvodenja u verovatnoeu slucajnog rasporeda. Matematiekiovaj pristup nije zadovoIjavao zbog nepostojanja konzistentnog odgovora oko defi-nidje sIueajnog rasporeda.

Na takav pristup teoriji verovatnoce osianjala se, u najvecoj meri, u posIednjihSOi viSe godina statistiCka teorija inferencije, naroeito u zemijarna engieskog govor-nog podrueja. Treba, medutim, ukazati na ogranieenost interpretacije verovatnocekao relativne frekvendje. Nairne, u praksi istrafivaekog rada dolazi do situacijada mi ocenjujemo dogadaje a da se oni nisu pojavili, kao i da eksperiment nije mo-guce ponoviti.

TeSkoce oko dosledne primene koncepta verovatnoce kao relativne frekven-dje ouvele su interes za primenu subjektivne verovatnoce u statistiekoj teoriji infe-rendje. Ovaj koncept verovatnoee re1ativno ;e novijeg datuma i njegove formalneosnove prvi je izlofio Ramsej, 1931. Do primene te verovatnoce u statistici dolazitek nakon drugog svetskog rata, naroeito u vezi sa ozivljavanjem interesa za primenuBa;esove teoreme i teorije odluke. Prema ovom konceptu, verovatnoca jednog doga-daja je stepen ubedenja koji mu pridaje jedna Iienost. To ubedenje moze da proiziaziiz vec poznate relativne frekvencije Hije zasnovano na nekoj drugoj osnovi. Graniceu okviru kojih se ta verovatnoca krece su i ovde izmedu 0 i 1.

Za ilustraciju uzmimo da je neka. visoka skoia upisivala redovno svake godineodredeni broj studenata u prvu godinu studija. Postupak se svodio na to da eimse prijavi odredeni broj kandidata, bez obzira na srednju ocenu upis je bio zavrsen.Od upisanog broja studenata oko 70% je zavrSavalo prvu godinu i tako sticalo pravona upis u drugu godinu. U meduvremenu dolazi do izmene usiova upisa tako dase primaju sarno vrlo dobri i odIieni ueenici sve dok se ne popuni broj predvidenza upis. Postavlja se pitanje da Ii je realno u novoj situaciji uzeti 0,70 kao proporcijustudenata koji ce se upisati u drugu godinu. Pretpostavimo da se ne moze eekatikraj godine da se vidi uspeh, nego se moraju doneti neke odluke zavisno od pro-centa studenata sa zavrsenom prvom godinom.

U ovakvo; situaciji normalno je da verovatnoca treba da uzme u obzir reIa-tivnu frekvenciju, rezultat prethodnih ponovljenih empirijskih informacija, aIi inovi momenat koji lako moze da utice na izmenu te proporcije. Subjektivna vero-vatnoca je vrlo fleksibilna i moze se primeniti na razIieite situacije koje se mogususresti u praksi, naroeito u poslovnoj aktivnosti gde se na odluke. ne moze da eeka.

U produZetku cemo dati krace objaSnjenje teorije skupova i definisati vero-vatnocu u funkci;i dogadaja u prostoru uzorka. Na ovaj naein koncept verovatnocedobija solidniju formalnu matematieku osnovu.

86

5.3. TEORIJA SKUPOV A

Teorija skupova u svom razvoju od druge polovine XIX stoleca je postaladanas jedan od osnovnih instrumenata koji se, osim u verovatnoci, upotrebljavai u drugim oblastima elementarne i viSe matematike. Danas se deca vec u ranomskolskom uzrastU upoznavaju sa njenim konceptima.

Skup se moze definisati kao precizna specifikacija razlicitih predmeta kojisu njegovi elementi ili llanovi. Tako je skup taeno odrede'la grupa stUdenata, radnicijedne fabrike, knjige u biblioteci itd. Na primer, skup mogucih dogadaja kod ba-canja jednog novcica je glava - G i pismo - P i izrazava se kao

S = (G,P).

Skup moguCih ishoda kod bacanja dva novcica je

\F S = [(G, G), (G, P), (P, G), (P, P)].

Znaeajno je da je svaki elemenat saddan u skupu dat sarno jedanput. U skupu sa

ishodima u bacanju dva novCiea ima cetiri elemeI)ta, svaki od njih se sastoji od slovakoja oznaeavaju sta je palo na kom novCicu. Ta sfova i njihov redosled omogucavajuidentifikaciju elemenata skupa, medutim, redosled svakog njegovog elementa nemaznacaja. Skup se moze sastojati i iz beskonacnog broja definisanih elemenata kaosto su neparni prirodni brojevi

S = (I, 3, 5, . . .).

Praktikuje se da se umesto prikaza elemenata skupa opisno definisu njihovasvojstva, sto omogucava da se zna da li neki element pripada skupu ill ne. Takose moze napisati: S = (XIX je jedna glava,G, ill pismo, P, kod bacanja novCica)ill

S = (XIX je jedan neparan prirodni broj).

To se normalno~ita: S je skupsvih elemenataX takoda je X. . .

Prostor elementarnih dogadaja je skup ~iji su e1ementi ill tacke moguCi ishodijednog ogleda. Tako su prostor elementarnih dogadaja ishodi kod bacanja jednog,dva ill vise novcica, jedne ill viSe kocki itd. Ovi eksperimenti mogu da budu stvarnii konceptUalni i da se odnose na razlicite probleme. Pri tome je vaZno da ishodieksperimenta budu precizno definisani. Najjednostavniji prostor elementarnih do-gadaja sastoji se od. dye tacke koje se mogu izraziti u dihotomnoj klasifikaciji kao

S = (0, I).

Tako, student ce poloziti ispit (I), stUdent nece poloziti ispit (0); "Crvena zvezda".ce pobediti (1), "Crvena zvezda" nece pobediti (0) itd.

S7

Graficko prikazivanje prostora e1ementarnih dogadaja moze se izvesti pomocupravoug1og koordinatnog sistema i dendograma. Za ilustraciju uzmimo ogled sabacanjem dye kocke koji ima 36 elementarnih dogadaja u dye dimenzije. Skup tihelementarnih dogadaja je

S = [(1,1), (1,2), (1,3), . . . , (6,6)].

Dva oblika grafickog prikazivanja dati su na slici 5.1. Ovi nacini su prikladni zaprikazivanje konacnih skupova koji nisu veliki. Dendogrami. (desna strana s1. 5.1)su ipak podcsniji oblik zbog teskoce primenc pravouglog kOOi'dinatnog sistemakod prostora elementarnih dogadaja iznad tri dimenzije.

U prostoru e1ementarnih dogadaja skupa S~ moze se definisati podskupA.Elementi podskupa A su istovremeno i elementi skupa S. Tako, ako imamo S == (1, 2, 3), podskupovi mogu da budu ~

W), (1), (2), (3), (1,2), (1,3), (2,3), (1, 2, 3).

Elementarni dogadaj je jedan moguci ishod u nekom eksperimentu koji sene moze da1je raSclanjavati. Na primer, kod bacanja dye kocke videli smo da ima36 clementarnih dogadaja koji su na levoj strani s1. 5.1. plcdstavljeni jednom tac-kom. Moze se definisati i dogadaj dobijanja zbira 5 kod ovog bacanja. To se mo~edobiti na osnovu sledecih dogadaia

/ A = [(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)].

Ovde je A jedan slozeni dogadaj koji se moze raz10ziti na cetiri e1ementarna dogadaja.

88

6.t- . . . . . . _16 ls . . . . " .

< 6....z s5 4 . . . . . .U1

S4.

. . . . . . . .4:) ..02. " . . . . ..0.:1;. . . . . . .

01 . . , I "0 1 2 3 4- S 6

fSHOOPfWOGBN:ANJAI.-

Sl. 5.1. Dva nacina grafickog prikazivanja ishoda kod istovremenog bacanja dye kocke

..

Kod taeno definisanog prostora elementamih dogadaja moguce je na osnovunjegovih podskupova i drugih skupova izvoditi razne operadje. Uzmimo da su Ati A2 dogadaji (podskupovi) u prostoru dogadaja. Unija dva dogadaja koja se pisekao At U A2 je skup ciji elementi pripadaju At ill A2 ill obema. Na primer, upisanistudenti na N ovosadskom univerzitetu. U opst~m slucaju kod n podskupova,

5 5

A1 Az A, Az

A, V Aza

SI. 5.2. Unija i intersekcija od Al i A2

njihova unija je skup elemenata u prostoru dogadaja S ciji elementi pripadaju barjednom od At, A2, . . . , An podskupova.Ta veza je prikazana na slid 5.2a. i pred-stavlja ceo osenceni prostor.

Incersekcija ill presek dogadaja At i A2 u prostoru S je skup ciji elementipripadaju podskupu At i podskupu A2. To se vidi iz slike 5.2b. gde je intersekcijaosenceni prostor. Na primer, strani studenti upisani na Novosadskom univerzitetu.U opstem slucaju za n dogadaja u podskupovima At, A2, . . . , An u prostoru S,intersekdja je skup ciji elementi pripadaju svakom od tih podskupova. Intersekdjadva podskupa u skupu S se pise At n A2.

Komplement ili dopuna dogadaja A u prostoru S je skup elemenata koji nepripadaju Ai piSe se A pa je prema definidji A U A = S. Na slid 5.3a. ta dopunaje osenceni prostor.

5 5

a b

" SI. 5.3. Dopuna dogadaja A i dva medusobno iskljuava dogadaja Al i A2

Kada je S definisano onda je to siguran dogadaj i ma koji proizaSli eksperimentiz skupa S obavezno ima za rezultat jedan ill vise njegovih elementarnih dogadaja.

89

!!!!II

Komplement od S nema elemenata, naziva se prazan skup i pise se 0. Po konven-ciji, prazan skup je podskup svakog skupa S, a takode i komplement od S. Prvislucaj Se pise 0 U S = S, a drugi "S = 0.

Dva dogadaja Al i A2 su medusobno iskljucivi dogadaji kada nastupanjejednog iskljucuje drugi. Po definiciji ti dogadaji nemaju zajednickih elemenata.To se pise Al n A2 = 0 i taj odnos prikazuje slika~. 5.3b.

A, Az A, Az

<I

S; =A~ "'-AIb.

Sl = At "'-A2

SI. 5.4. Prikaz razlike izmedu skupova

Razlika izmedu skupa Al i A2 je skup SI, pise se Sl = Al "'- A2 i cita Almanje A2, dok je razlika izmedu skupa A2 i Al skup S'l, (A2 "'- Al = Sl'). Nekaskup Al predstavljaju svi studenti Novosadskog univerziteta, skup A2 strani stu-denti. Skup Sl je skup studenata Novosadskog univerziteta ddavljana SFRJ, dokSl' je skup stranih studenata koji nisu upisani na Novosadski univerzitet. Slika :>.4.pokazuje te odnose.

5.4. AKSIOMATSKI KONCEPT VEROVATNOCE

Ovo elementarno objasnjenje teorije skupova omogucuje nam da teoriju vero-vatnoce izrazimo preko njenih aksioma. To je koncept verovatnoce koji je razvioruski matematicar Kolmogorov pocetkom tridesetih godina ovoga stoleca. Taj kon-cept uzima u obzir razlicite definicije verovatnoce i na njihovoj osnovi nastoji dapruzi jednu manje-vise zajednicku logicnu strukturu koja je nezavisna od bilo kojeformalne definicije. U ovom kontekstu verovatnoca se definise kao funkcija pod-skupova u prostoru dogadaja. Na ovaj nacin probabilisticka matematika se uklju-cuje u teoriju skupova. Pri tome se poslo od dva bitna preduslova: 1) da teorijaverovatnoce mora da bude potpuno matematicka i 2) da je ona u skladu sa empi-rijskim cinjenicama.

Kod datog prostora dogadaja S, verovatnoca za svaki podskup A u S je nekirealni broj. Verovatnoca od A pise se peA), i ona mora da pociva na sledeca triaksioma. Prvo, 0 ~ peA) ~ 1 za svaki dogadaj A. Po ovom aksiomu verovatnocesu pozitivni realni brojevi koji se krecu izmedu 0 i 1. Drugo, peS) = 1. Po ovomaksiomu verovatnoca izvesnih dogadaja jednaka je 1. Ovo znaci da jedan od viSemedti&9bno iskljucivih ishoda, koji proizlazi iz prostora dogadaja S, mora da nastupikod izvodenja nekog eksperimenta. Trece, ako su Al i A2 dogadaji (podskupovi)u S koji su medusobno iskljuCivi,Al n A2 = 0, tada je P(A1 U Az) = P(A1)+

90

+ P(A2). Znati, u ovoj situaciji, verovatnoca unije A i B je zbir njihovih verovat-noca. Ako ima n medusobno iskljutivih dogadaja treci aksiomu tom slutaju je

peAl U A2 U . .. U An) = peAl) + P(A2) + . . . + P(An).Gledajuci strogo matematicki, na osnovu ova tri aksioma, veza bilo kojeg podskupasa elementima u prostoru dogadaja naziva se funkcija verovatnoce. Citava teorijaverovatnoce, posmatrana kao formalan matematitki sistem, razradena je na baziova tri aksioma.

Za ilustraciju uzmimo eksperiment sa bacanjem jedne kocke. Prostor ele-mentamih dogadaja je

S = (1, 2, 3,4, 5, 6).

Sest elementarnihdogadajasu Al i A2' . . . ,A6 sa verovatnoeamapeAl) =~ ; . . . ,6

P(A6) =~. Na ovaj nacin zadovoljen je prvi aksiom. I drugi aksiom, je zado-6

voljen1 1

P(S)=P(Al)+P(A2)+.. .+P(A6)=-+-+... = 1.6 6

Treci aksiom je, takode, zadovoljen. Ako uzmemo dva medusobno iskljutiva doga-daja, recimo Al i A2, verovatnoca da ce se kod bacanja kocke dobiti 1 ili 2 je peAl U

A2) = P (Al) + P(A2) = ~ + ~ =~. Treba podvuCi da dogadaji (podskupovi)663

na koje se odnose navedena tri aksioma ne moraju da budu e1ementami dogadaji.Tako, ako se dogadaj B odnosi na dobijanje 1 i 2, a G na dobijanje 3 ili 4, tada jePCB U G) = PCB) + peG) = 1/3 + 1/3 = 2/3. Pri tome, prostor dogadaja morada se deli na medusobno iskljucive dogadaje.

5.5. OSNOVNE TEOREME VEROV ATNOCE

U teoriji i primeni verovatnoce testo se praktikuju kombinacije verovatnocadogadaja na principima sabiranja i mnozenja. Tako, za dva dogadaja Al i A2' vero-vatnoca da ce nastupiti jedan ili drugi jednaka je zbiru verovatnoca svakog pojedinogdogadaja umanjenog za verovatnocu da ce oba nastupiti istovremeno. To je izra-uno formulom

peAl U A2) = peAl) + P(A2) - P(AlA2). (5.1)

000 je aditivna teoremaverovatnoce.Za ilustraciju uzmimo jedan skup od 13stude-nata grupisanih po dye osnove: 1) muSkarci i zene i 2) domaci i strani studenti.Prostor elementarnih dogadaja, S, toga skupa je prikazan na slid 4.5, gde je Alpodskup muSkaraca,A2 je podskup domacih studenata. Broj muskaraca je n (Al) == 6; broj domacih studenata je 11(A2) = 7; broj studenata koji bilo da su muSkarciili domaCi je n (Al U A2) = 10; broj muSkaraca i domacih je n (Al n A2) = 3.Dakle

n~lUA~=n~~+n~~-n~lnA~=6+7-3=IQ

91

Verovatnoca nekog podskupa u ovom kontekstu je oooos njegovih taCakapremabroju tac:akaskupa S. Tako, P (Al) = n (Al)/n (S) itd. U situaciji kada SUAl i Aamedusobno iskljuavi dogadaji, peAl n A2) = 0, tada je

peAl u A2)= peAl) + P(A2). (5.2)

Aditivna teor~a verovatnoce prosirena na tri dogadaja je

peAl U A2 U As) = peAl) + P(A2) + P(A3) - peAl n A2)- peAl n As)-

-P(A2 n As) + peAl n A2 n A3)' (5.3)

Ovde treba primetitida se suma verovatnoCatri neiskljuc:ivadogadajadobijanaosnovuparnihi nepamihkomponenti.Isprednepamihje znak +, a ispredparnih

5

51. 5.5. Prostor elementarnih dogadaja 5 sa podskupovima Al i As

znak -. Na tom principu se izvodi generalizacijaaditivne teoreme verovatnoCe.Kada su dogadaji medusobno iskljuc:ivinjihova unija je prost zbir individualnihverovatnoCa

peAl U A2 U . . . U An) = peAl) + P(A2) + . . . + P(An). (5.4)

Znac:enje neke verovatnoce zavisi od skupa, oOOosno prostora dogadaja S.Na ovaj nac:in ona je uslovljena skupom, tj. zavisi od njegove definicije. Uzmimoskup od 13 studenata prikazan u prostoru S na slici 5.5. Ako sad ~elimo da izvuc:emona sluc:ajan nac:in jeOOog studenta muSkog pola, verovatnoCa je

P(Al) = n(Al) - 6n(S) -13 .

VerovatnoCada cemo izvuci studenta muskog pola i da ce on biti jugoslovenskiddavljanin je

P eA IA ) = n(AlnA2) =~.1 2 n(A2) 7

U ovom sluc:ajuprostordogadaja se svodi na prostor podskupa Al u okviru kogaulimo da znamo proporciju, oOOosnoverovatnoeu izvlac:enjastudenta jugosloven-skog ddavljanina. To je us/ovnaverO'lJamocakoja se oznac:avaP(All A2), i atamo

92

je "verovatnoca od Al kod saznanja da se Az vec dogodilo". Uslovna verovatnocaod Az kod saznanja da se Al vec dogodilo je

P(A2IAI)= n(A1IIA2)n(AI)

3

6

Ove dye uslovne verovatnoce se mogu napisati i kao

P eA IA ) = p(AlnA2)I z P(Az)

P eA IA ) = P(AIIIAz) .2 I peAl)

(5.5)

(5.6)

Verovatnoca da ce dva dogadaja Al i Az zajedno nastupiti jednaka je proizvoduproste verovatnoce jednog i uslovne verovatnoce drugog, dakle

peAl II Az) = peAl) P(A21 AI) = P(A2) P(AII Az). (5.7)

To je multiplikativna teorema verovatnoce. Do ove teoreme moze se doci pomocuformula 5.5 i 5.6. Za skup na slid 15.5.to je izrazeno odnosom

n(AlnAz) 3

n(S) -13'

koji predstavlja verovatnocu dogadaja na njihovom preseku. Ako je P(Az IAI) == P(A2), multiplikativna teorema je

peAl n Az) = peAl) P(Az), (5.8)

i za dogadaje Al i A2 kaze se da su nezavisni.Primenimo sada multiplikativnu teoremu verovatnoce na malo drugaCiju

situadju. Koja je verovatnoca da ce se iz jednog ~pila karata izvuci dye dame? Stose tice nacina izvlacenja karata, za pravilan odgovor potrebno je pitanje preciznijeformulisati. Jedna mogucnost je da se izvr~e dva sukcesivna izvlacenja bez vracanjaprve izvucene karte. Uzmimo da se radi 0 dva dogadaja, dama u prvom izvlacenjuAl i dama u drugom izvlacenju Az. Kod prvog izvlacenja, s obzirom na to da spilima 52 karte i 4 dame, verovatnoca je peAl) = 4/52. Uzimajuci da je dama izvucena uprvom izvlacenju, verovatnuca njenog dobijanja u drugom izvlacenju jeP(AzIAI) == 3/51. Verovatnocau smislumultiplikativneteoremeje

4 3 1P(AIIIAz) = P(AI)P(A2IAI) = -. - = - .

52 51 221

Kada bi trazili verovatnocu dobijanja dye dame odjedanput, odgovor bi bioisti kao i u prethodnom slucaju. Moze se postupiti na nacin da se nakon izvlacenjaprve karte ista vrati u ~pil i nakon meSanja ponovo izvede izvlacenje. Ova dva doga-daja su sada nezavisna i njihova zajednicka verovatnoCa je

4 4 1peAl IIAz) = P(AI)P(Az) = - .- = - .

. 52 52 169

U primeni metoda uzorka praktikuju se dva nacina izvlacenja uzorka na istomprincipu kao i u primeru sa izvlacenjem dama u kartama za igru. To je uzorak bezponavljanja i sa ponavljanjem.

93

-

U generalizacijikod n zavisnm dogadaja multiplikativna teorema glasi

peAl n Az n . .. n An) = peAl) P(Az\ AI) P(Asl Az n AI) . . .P(An IAn-l nn . . . n AI)' (5.9)

Iz obrasca 5.9. proiztazi da je zajednicka verovatnoca, u smislu teoreme, data kaoproizvod verovatnoce prvog dogadaja i uslovne verovatnoce drugog Az kod saznanjada se Al vec dogodio i uslovne verovatnoce treceg kod saznanja da su se Al i Azvec dogodili i tako dalje sve do uslovne verovatnoce An dogadaja kod saznanja dasu se dogadaji An-l do Al vec dogodili. Kada su dogadaji nezavisni, multiplikativnateorema u op~tem slucaju je

peAl nAz n . . . n An) = peAl) P(Az) . . .P(An). (5.10)Treba istaci da su ova obj~njenja aditivne i multiplikativne teoreme vero-

vatnoce izvedenana aksiomimaza konaeneprostore dogadaja ili skupovauz jednakuverovatnoCunastupanja dogadaja.Te se teoreme mogu da primene i na beskonacneskupove na principu odgovarajucih aksioma.

5.6. BAJESOVA TEOREMA

Engleski svcltenik T. Bajes (1702-1761), koji se istovremeno bavio i mate-matikom, bio je zaokupljen problemom izvodenja zakljueaka na osnovu induktivneinferencije. Do tada matematicari su se na osnovu dedukcije, polazeei od date hipo-teze na bazi verovatnoee a priori, bavili eventualnim posledicama njene primene.Bajes je po~ao obmutim putem, ao~ao je do teoreme pomoCu koje se na osnovuposmatranja posledica utvrduje hipoteza. Teorema je jo~ od prvih dana pobudilainteresovanje i bila je predmet kOD,traverzikoje i danas traju. Njena matematiCkaosnova nije spoma, nego primena u vezi sa utvrdivanjem verovatnoce a priori.

Do ozivljavanja interesovanja za ovu teoremu do~lo je naroeito nakon drugogsvetskog rata kada statisticka inferencija bazirana na klasicnoj teoriji verovatnocenije mogla uvek da pruZi zadovoljavajuCi odgovor na probleme iz prakse. Isto tako,oko njenih konceptualnih osnova vodile su se diskusije. U produZetku cemo izlozitiformalne osnove teoreme.

Neka su Ai>Az, . . . , Ah . . . ,An medusobno iskljucivi dogadaji u prostoruelementarnih dogadaja. Druge medusobno iskljuCive dogadaje oznaCimo sa Bj.,Nastupanje jednog od dogadaja B uslovljeno je dogadajem A,. Drugim reeima,dogadaj Bj ne moze da nastupi pre dogadaja A, tako da oni nisu iskljucivi. Uzmimoda su verovatnoce peA,) i uslovna verovatnoca od B:' poznati, Bajesovom teoremomse dolazi do verovatnoce a posteriori dogadaja A, nakon nastupanja dogadaja B .Njen matematicki izraz je

P(A1IB)= P(Al)P(BIAI)n .Z~t(A,)P(BIA,)

(5.11)

Radi dokaza ovog obrasca, podimo od zajednicke verovatnoce.na osnovu multi-plikativne teoreme koja je data prema formuli 5.7. U ovoj notaciji to je

peAl) PCB IAI) = PCB) peAl IB), (5.12)

94

odakle je

peA IB) = P(A])P(BIA1) .1 PCB)

Po§to je nastUpanje dogadaja B uslovljeno jednim od dogadaja Ai, to se verovatnoCaod B moze da izrazi kao zbir uslovnih verovatnoca toga dogadaja

(5.13)

P(B) =P(Al)P(BIAl) +P(A2)P(BIA2)+ .. .+P(An)P(BIAn)=n

= ~ P(Ai)P(BIAi).i=1

(5.14)

Zamenom 5.14. u 5.13. dobija se Bajesova teorema iz formule 5.11. Venov dija-gram toga odnosa pokazuje slika 5.6.

A, A2 An

5-

8

Sl. 5.6. Venov dijagram Bajesove teoreme

Za ilustraciju uzmimo da imamo cetiri urne u kojima se nalaze kugliee istogoblika bele i erne boje. U prvoj se nalaze cetiri erne kugliee, u drugoj i trecoj 2 ernei 2 bele, i u cetvrtoj cetiri bele kugliee. Jedna urna je izvucena na slucajan natini iz nje je izvucena erna kugliea. Trazi se odgovor, koja je verovatnoca da je izvu-cena urna saddavala sarno erne kugliee. Prvo imamo dogadaje AI, A2, Aa i A4 kojise identifikuju sa izvlacenjem jedne urne. Verovatnoce njihovog izvlacenja peAl),P(A2), P(Aa), P(A4) su verovatnoce a priori. Dogadaj B nastUpa nakon jednog oddogadaja Ai, odnosno izvlacenja jedne urne sa ernim kuglieama. PCB IAI), P(BIA2)'PCB I Aa) i PCB I A4) su verovatnoce izvlacenja erne kugliee u uslovima prethodnoizvucene jedne od cetiri urne. Za odgovor na postavljeno pitanje, tj. da je izvucenaurna sadrZala sarno erne kugliee, posluzicemo se tabelom 5.1. koja pruZa verovat-noCu za ernu kuglicu u uslovima prethodnog izvlacenja jedne od cetiri urne. Nana§e pitanje odgovor je saddan u prvom redu poslednje kolone tabele, jer je

peA IB)= P(AI)P(BIAl) = 0,25 =~ .I ~ P(Ac)P(BIAI) 0,50 2

U ovakvim situacijama utvrdivanje a priori verovatnoce za Ai nije problem, a kao§to se vidi one su od uticaja i na dobijanje verovatnoce a posteriori. Razlicite vari-jacije na bazi primene Bajesove teoreme su u praksi do§le do izrazaja.

95

Videli smo kako se na osnovu aksioma definise apstraktni koncept verovat-noee. Za ilustraciju smo uzeli Mali broj elemenata u prostoru dogadaja koji su sluzHikao osnova za utvrdivanje verovatnoce podskupova. Razumljivo da je to u praksikomplikovanije jer je skup daleko brojniji. Kombinatorika olakSava utvrdivanjeveze izmedu skupa i podskupova. To se postiZe na osnovu izvesnog sistema pomoCukoga se pruZaju svi moguci rasporedi i grupacije za podskupove datog broja ele-menata. S obzirom na nacin na koji su elementi razmclteni u podskupovima, kombi-natorika se deli na permutacije, kombinacije i varijacije.

Kod definisanja ovih oblika kombinatorike ukazacemo na princip mnozenjana koji se kombinatorika u osnovi oslanja. Jedan eksperiment moze da ima nl ishoda,drugi n2 itd. Ukupan broj mogucih ishoda u k eksperimenata uzetih zajedno je(nl) (n2). .., - (nk). Tako, kod ogleda sa bacanjem jedne kocke ima nl = 6 ishoda,kod drugog bacanja ima opet n2 = 6 ishoda itd. Ukupan broj ishoda kod tri uza-stopna bacanja je 6' 6' 6 = 216. IIi, od mesta A do mesta B ima nl = 3 razlicitaputa, a od mesta B do mesta C, n2 = 2. Ukupan broj mogucih puteva od A do Cje (nl) (n2) = 3 . 2 = 6 itd.

Ako imamo n razliCitih elemenata jedan od zadataka moze da bude broj nji.hovih moguCih rasporeda Hi permutacija. Prema principu mnozenja, bilo koji ele-menat moze da zaUzme prvo mesto, drugo mesto moze da zauzme n-I elemenatatrece n-2 itd. sve do poslednjeg mesta koje je rezervisano za poslednji neraspo-red:eni elemenat u datom redosledu. Broj mdguCih rasporeda od n elemenata je

n! = n (n-l)(n-2) ... (2)(1). (5.15)

Ovaj proizvod prirodnih brojeva od n elemenata obelezili smo sa n! i Cita se "enfaktorijel". U produZetku dajemo nekoliko primera za n faktorijel

11 = 12! = 2' 1 = 23!=3'2'1=6

96

A priori fJeTOfJatnoeeza A i uslO'lJ1lefJeTOfJatnoCeza BTabela 5.1.

A. P(A.) P(BIA,) P(A,) P(BIA,) P(A. IB)

1 1 1 1 1Al - 1 - -:-=-

4 4 4 2 2

1 1 1 1 1 1A2 - - -:-=-

4 2 8 8 2 4

1 1 1 1 1 1As - -:-=-

4 2 8 8 2 4

1 1A. - 0 0 0 :-=0

4 2

Ukupno 1 1 12

5.7. PRINCIPI KOMBINATORlKE

4! = 4' 3 . 2' 1 = 245! = 5' 4' 3 . 2' 1 = 120

Po konvenciji uzima se da je O! = 1. Kao sto se vidi faktorijeli se nagl0 povecavajusa porastom n. Na primer, uzmimo tri elementa a~b i c~broj permutacija je 6 i to:a~ b~ c,. a~ c~ b,. b~ a~ c~' b~ c~ a~' c~ a~ b i c~ b~ a.

Kod permutacije je od znacaja redosled elemenata. Kada se iz skupa n uzmepodskup od r razlicitih elemenata, gde je njihov redosled bez znaeaja, onda je ree0 kombinaciji bez ponavljcnja. Broj kombinacija je

K:= (n

)= n!. _n(n-l).. ~ (n-r+l).r (n-r)! r! r!

Izraz (: )se naziva binomni koeficijent i cita se "en nad er". Na primer, iz skupa odn = 10 elemenata, broj kombinacija od r = 3 elemenata je

(5.16)

(n

)= (10

)= 10.9.8 = 120 .r 3 1.2.3

Uzmimo drugi primer sa moguenosCuidentifikacijepodskupova.Neka je broj ele-menata n = 4 i to: a~b~c~d. Broj kombinacijaod r = 2 elementa,premaobrascu5.16. je 6: ab~ac~ad~bc~bd~i cd.

Varijacijesu u stvari permutacijena osnovupodskupovaod r elemenatauzetihu isti mah iz skupa od n elemenata. U opstem slucaju broj varijacija je

V~=n(n-l)(n~2). . .. (n-r+ 1). (5.17)

Ako desnu stranu ovog izraza pomnozimo i podelimo sa (n-r)!, broj permutacijamozemo napisati i na sledeci nacin

~r = v:: = --'!!n (n-r)! (n-r)!

Na primer, u razredu ima 30 ucenika. Na koliko razlicitih nacina ucenici moguda zauzmu prvo, drugo i trece mesto u rangu. Taj broj odgovara broju varijacija

treee klase pa je: V 3 = 30' 29' 28 = 24.360.30

(5. 18)

7 Statistika - III 97