คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร

เร่ือง

การนับและความนาจะเปน (เนือ้หาตอนที่ 5) การทดลองสุม

โดย

ผูชวยศาสตราจารย ดร.ณัฐกาญจน ใจด ี

สื่อการสอนชุดนี ้เปนความรวมมอืระหวาง คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับ

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.) กระทรวงศึกษาธกิาร

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

1

สื่อการสอน เร่ือง การนับและความนาจะเปน

ส่ือการสอน เร่ือง การนับและความนาจะเปน มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซ่ึงประกอบดวย

1. บทนํา เร่ือง การนับและความนาจะเปน 2. เนื้อหาตอนที่ 1 การนับเบื้องตน

- กฎเกณฑเบื้องตนเกีย่วกับการนับ - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(ส่ิงของแตกตางกนัทั้งหมด)

3. เนื้อหาตอนที่ 2 การเรียงสับเปล่ียน - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (ส่ิงของไมแตกตางกันทั้งหมด) - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม

4. เนื้อหาตอนที่ 3 การจัดหมู - วิธีจัดหมู

5. เนื้อหาตอนที่ 4 ทฤษฎีบททวินาม - ทฤษฎีบททวนิาม - ทฤษฎีบทอเนกนาม

6. เนื้อหาตอนที่ 5 การทดลองสุม - การทดลองสุม - ปริภูมิตัวอยาง - เหตุการณและความนาจะเปน

7. เนื้อหาตอนที่ 6 ความนาจะเปน 1 - สมบัติพื้นฐานของความนาจะเปน - การหาความนาจะเปนแบบงาย

8. เนื้อหาตอนที่ 7 ความนาจะเปน 2 - การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ - การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร

9. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 1) 10. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 2) 11. แบบฝกหัด (ขัน้สูง) 12. สื่อปฏิสัมพันธ เร่ือง หลักการบวกและหลักการคูณสําหรับการนับ 13. สื่อปฏิสัมพันธ เร่ือง การเรียงสับเปล่ียน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

2

14. สื่อปฏิสัมพนัธ เร่ือง ทฤษฎีบททวินาม 15. สื่อปฏิสัมพนัธ เร่ือง ความนาจะเปน 16. สื่อปฏิสัมพนัธ เร่ือง การใสบอลลงกลอง

คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา ส่ือการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับ

ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชส่ือชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร เร่ือง การนับและความนาจะเปน นอกจากนี้หากทานสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่นๆที่คณะผูจัดทําไดดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูช่ือเร่ือง และชื่อตอนไดจากรายชื่อส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมดในตอนทายของคูมือฉบับนี้

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

3

เร่ือง การนับและความนาจะเปน (การทดลองสุม) หมวด เนื้อหา ตอนที่ 5 (5/7) หัวขอยอย 1. การทดลองสุมและปริภูมิตัวอยาง

2. เหตุการณและความนาจะเปน

จุดประสงคการเรียนรู เพื่อใหผูเรียน

1. เขาใจความหมายของการทดลองสุม 2. เขาใจความหมายและสามารถหาปริภูมิตัวอยางของการทดลองสุมได 3. เขาใจความหมายของเหตกุารณและหาความนาจะเปนของเหตุการณได

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง

ผูเรียนสามารถ 1. อธิบายความหมายของการทดลองสุม ปริภูมิตัวอยางและเหตุการณได 2. หาปริภูมิตวัอยางของการทดลองสุมได 3. หาจํานวนสมาชิกของปริภูมติัวอยางและเหตุการณ โดยใชกฎการนับได 4. อธิบายความหมายและวิธีการหาความนาจะเปนของเหตกุารณได

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

4

เนื้อหาในสื่อการสอน

เนื้อหาทั้งหมด

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

5

1. การทดลองสุมและปริภูมิตัวอยาง

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

6

1. การทดลองสุมและปรภูิมิตัวอยาง ในหวัขอนี้ เราจะศึกษาเรื่อง “การทดลองสุม” และ “ปริภูมิตัวอยาง” เพื่อนําไปสูเร่ือง “เหตุการณและความนาจะเปน” ซ่ึงจะไดศึกษาในหวัขอถัดไป โดยในสื่อการสอนเริ่มดวยการยกตัวอยางการทดลอง จากนั้นจึงใหความหมายของการทดลองสุม

เมื่อผูเรียนดูส่ือการสอนขางตนจบแลว ผูสอนอาจอธิบายผูเรียนเพิ่มเตมิวา ผลลัพธที่เปนไปไดของการทดลองสุมอาจมีไดหลายแบบ ขึ้นอยูกับวาการทดลองนัน้ ๆ ผลลัพธที่สนใจคืออะไร ยกตัวอยางเชน ทดลองทอดลูกเตา 1 ลูก ถาเราสนใจแตมของลูกเตาที่ขึ้น ผลลัพธที่เปนไปได คือ ลูกเตาขึ้นแตม 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6 แตถาเราสนใจวาลูกเตาขึ้นแตมเปนจํานวนคูหรือจํานวนคี่ ผลลัพธที่เปนไปได คือ จํานวนคู หรือ จํานวนคี่ เพื่อใหผูเรียนเขาใจคําวา “การทดลองสุม” ไดดยีิ่งขึ้น ผูสอนอาจยกตัวอยางการทดลองสุมตอไปนี้เพิ่มเติม

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

7

ตัวอยาง 1. สุมจํานวน 1 จาํนวนที่มีคาอยูระหวาง 0 กบั 1 และสนใจคาของจํานวนที่หยิบได 2. สุมหยิบลูกแกว 2 ลูกพรอมกัน จากกลองซึ่งบรรจุลูกแกวสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูก และสนใจสีของ

ลูกแกวที่หยิบได 3. การสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนคนหนึ่ง และสนใจผลการสอบของนักเรียนคนนี้ 4. การตรวจปริมาณแอลกอฮอลของคนขับรถยนตคนหนึ่ง และสนใจปริมาณแอลกอฮอลที่วัดได

จากนั้น ผูเรียนจะไดศึกษาเรื่อง “ปริภูมิตวัอยาง” ซ่ึงเปนเรื่องที่ตอเนือ่งจากเรื่อง “การทดลองสุม” โดยปริภูมิตัวอยาง คือ เซตของผลลัพธที่เปนไปไดทั้งหมดของการทดลองสุม นั่นเอง

จากตัวอยางขางตน ทําใหทราบวา ในการทดลองครั้งหนึ่ง ๆ ปริภูมิตัวอยางอาจมีไดหลายแบบ ขึ้นอยูกับ

ผลลัพธที่เราสนใจของการทดลองนั้น ๆ เพื่อใหผูเรียนเขาใจเรื่องปริภมูิตัวอยางไดดยีิ่งขึ้น ผูสอนควรใหผูเรียนฝกทําตัวอยางตอไปนี ้

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

8

ตัวอยาง จงเขียนปริภูมิตวัอยางของการทดลองโยนเหรียญ 3 เหรียญพรอมกัน เมื่อผลลัพธที่สนใจ คือ 1. หนาของเหรยีญทั้งสามที่ขึ้น 2. จํานวนหวัที่ขึน้

ตอบ 1. ปริภูมิตัวอยาง 1 { , , , , , , , }S HHH HHT HTH HTT THH THT TTH TTT= 2. ปริภูมิตัวอยาง 2 {0,1,2,3}S = หมายเหตุ ในเรื่องการนับและความนาจะเปน ถาโจทยไมไดกําหนดเพิม่เติมวาสิ่งของ n ส่ิงที่เราสนใจเหมือนกนั หมายความวา ส่ิงของ n ส่ิงนั้นแตกตางกันทั้งหมด จากตัวอยางขางตน ทําใหไดวา เหรียญ 3 เหรียญแตกตางกันทั้งหมด ดังนั้น ผลลัพธ HHT กับ HTH จึงแตกตางกัน ตัวอยาง จงเขียนปริภูมิตวัอยางของการทดลองสุมตอไปนี ้

1. สุมหยิบหลอดไฟ 5 หลอด จากกลองซึ่งบรรจุหลอดไฟดี 40 หลอดและหลอดไฟเสีย 4 หลอด เมื่อผลลัพธที่สนใจคือจํานวนหลอดไฟเสียที่ได 2. ทดลองหยิบมะมวงครั้งละ 1 ผลไปเรื่อย ๆ จนกวาจะหยบิไดมะมวงมนัจากตะกราใบหนึ่งซึ่งบรรจุ มะมวงมนั 8 ผลและมะมวงเปรี้ยว 2 ผล เมื่อผลลัพธที่สนใจคือจํานวนครั้งที่ตองหยิบมะมวง 3. สุมหยิบลูกแกว 1 ลูก จากกลองซึ่งบรรจุลูกแกวสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูก ถาผลลัพธที่สนใจคือสีของ ลูกแกวที่หยิบได

ตอบ 1. ปริภูมิตัวอยาง 1 {0,1,2,3,4}S = 2. ปริภูมิตัวอยาง 2 {1,2,3}S = 3. ปริภูมิตัวอยาง 3S = {สีแดง, สีขาว}

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

9

เมื่อผูเรียนชมสื่อการสอนขางตนแลว ผูสอนอาจย้ําผูเรียนอีกครั้งวา ปริภูมิตัวอยางอาจเปนไดทั้งเซตจํากัดและเซตอนันต

สําหรับการทดลองสุมใด ๆ บางครั้งเราไมสนใจวาสมาชกิในปรภิูมิตัวอยางเปนอะไรบาง แตเราอยากทราบจํานวนสมาชิกของปริภูมิตัวอยางนัน้ ๆ ดังนั้น ผูสอนอาจยกตวัอยางตอไปนี้ เพื่อใหผูเรียนฝกหาจํานวนสมาชิกของปริภูมิตัวอยาง เพื่อเปนพื้นฐานในการเรียนเรื่องความนาจะเปนในหวัขอถัดไป ตัวอยาง จงหาจํานวนสมาชิกของปริภูมิตวัอยางของการทดลองสุมตอไปนี ้

1. โยนเหรยีญ 1 เหรียญและทอดลูกเตา 1 ลูกพรอมกัน ถาผลลัพธที่สนใจคือหนาของเหรียญและแตมของลูกเตาที่ขึ้น

2. จัดหนังสือ 8 เลมที่แตกตางกนัทั้งหมดวางบนชั้นหนังสือ ถาผลลัพธที่สนใจคือวิธีการจัดเรียงหนังสือ

3. สุมหยิบลูกแกว 1 ลูก จากกลองซึ่งบรรจุลูกแกวสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูก ถาผลลัพธที่สนใจคือสีของลูกแกวที่หยิบได

4. จัดนักเรียน 6 คนนั่งรอบโตะกลม ถาผลลัพธที่สนใจคือวิธีการจัดทีน่ั่ง ตอบ 1. 2 6 12× = 2. 8! 40,320= 3. 2 4. (6 1)! 5! 120− = =

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

10

แบบฝกหัดเพิ่มเติม เร่ือง การทดลองสุมและปริภูมิตัวอยาง

1. จงเขียนปรภิูมติัวอยางของการทดลองตอไปนี้

1.1 โยนเหรยีญ 1 เหรียญและทอดลูกเตา 1 ลูกพรอมกัน ถาผลลัพธที่สนใจคือหนาของเหรียญและ แตมของลูกเตาที่ขึ้น

1.2 สุมหยิบหลอดไฟ 2 หลอดจากกลองใบหนึง่ซึ่งบรรจุหลอดไฟดี 5 หลอดและหลอดไฟเสีย 1 หลอด โดยหยิบทีละครั้งและไมใสกลับคืนกอนหยิบครั้งถัดไป ถาผลลัพธที่สนใจคือสภาพของหลอดไฟ ทั้ง 2 หลอดที่หยิบได 1.3 การสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนคนหนึ่งซึ่งขอสอบชุดนี้เปนขอสอบแบบปรนัยมีทั้งหมด 5 ขอ คะแนนเตม็ขอละ 2 คะแนน ถาผลลัพธที่สนใจคือคะแนนทีน่ักเรียนคนนี้ได 1.4 สอบถามแมบาน 3 คนวาใชยาสีฟนยีห่อ “สดชื่น” หรือไม ถาผลลัพธที่สนใจคือคําตอบของแมบาน

ทั้ง 3 คน 1.5 นําแบตเตอรี่ 1 อันมาทดสอบ ถาผลลัพธที่สนใจคืออายกุารใชงานของแบตเตอรี ่1.6 ทอดลูกเตา 1 ลูกไปเรื่อย ๆ จนกวาลูกเตาจะขึ้นแตม 6 เปนครั้งที่สอง ถาผลลัพธที่สนใจคือจํานวน

คร้ังที่ตองทอดลูกเตา

2. จงหาจํานวนสมาชิกของปริภมูิตัวอยางของการทดลองสุมตอไปนี้ 2.1 การสอบวิชาสังคมศึกษาของนักเรียนคนหนึ่ง ซ่ึงขอสอบแบงเปนสองสวน สวนแรกเปนขอสอบ แบบถูก-ผิด จํานวน 5 ขอ และสวนที่สองเปนขอสอบปรนัยแบบ 4 ตัวเลือก จํานวน 10 ขอ สมมติให นักเรียนคนนี้ทําขอสอบครบทุกขอ ถาผลลัพธที่สนใจคือคําตอบของนักเรียนคนนี้ 2.2 สุมหยิบไพ 2 ใบจากสํารับซึ่งมีไพ 52 ใบ ถาผลลัพธที่สนใจคือหนาไพทั้งสองใบที่หยิบได 2.3 เลือกอาหารคาว 2 อยางและขนมหวาน 1 อยาง จากรานอาหารซึ่งขายอาหารคาว 10 อยางและขนม

หวาน 3 อยาง ถาผลลัพธที่สนใจคืออาหารคาวและขนมหวานทีไ่ด 2.4 เลือกคณะกรรมการ 3 คนจากผูสมัครทั้งหมด 10 คน ถาผลลัพธที่สนใจคือผูที่ไดรับคัดเลือกเปน

กรรมการ

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

11

2. เหตุการณและความนาจะเปน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

12

2. เหตุการณและความนาจะเปน ในหวัขอนี้ ผูเรียนจะไดศกึษาเรื่อง “เหตุการณและความนาจะเปน” โดยในสื่อการสอน จะเริ่มดวยการ

ใหความหมายของคําวา “เหตุการณ” และ “เหตุการณไมเกิดรวมกัน” พรอมยกตวัอยาง จากนั้นจึงใหความหมายพรอมทั้งสมบัติของ “ความนาจะเปนของเหตุการณ”

เมื่อผูเรียนไดชมสื่อการสอนขางตนแลว ผูสอนอาจเนนย้าํวาการหาเหตกุารณตองขึ้นอยูกับปริภูมิตวัอยาง

ที่เรากําลังสนใจ ดังตวัอยางขางตน ถาผลลัพธที่ไดจากการทดลองสุมตางกัน เหตุการณที่ไดก็อาจตางกันดวย จากนั้นผูสอนยกตวัอยางตอไปนี้เพิ่มเติม ตัวอยาง ทําการทดลองโยนเหรียญ 3 เหรียญพรอมกัน จะไดวา สนใจหนาของเหรียญทั้งสามที่ขึ้น สนใจจํานวนหัว

ที่ขึ้น 1. ปริภูมิตัวอยาง 1 { , , , , , , , }S HHH HHT HTH HTT THH THT TTH TTT=

2 {0,1,2,3}S =

2. เหตุการณที่เหรียญขึ้นหัว 1 เหรียญ

1 { , , }A HTT THT TTH= 2 {1}A =

3. เหตุการณที่เหรียญขึ้นกอยอยางนอย 1 เหรียญ

1 { , , , , , , }B HHT HTH HTT THH THT TTH TTT= 2 {0,1,2}B =

4. เหตุการณที่เหรียญขึ้นหัวมากกวา 3 เหรียญ

1C =∅ 2C =∅

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

13

เพื่อใหผูเรียนเขาใจเรื่อง “เหตุการณ” ไดดยีิ่งขึ้น ผูสอนควรใหผูเรียนทําตัวอยางตอไปนี ้ ตัวอยาง โยนลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน ถาผลลัพธที่สนใจคือแตมของลูกเตาทั้งสองที่ขึ้น จงหา 1. A ซ่ึงแทนเหตุการณที่ลูกเตาขึ้นแตม 1 อยางนอย 1 ลูก 2. B ซ่ึงแทนเหตกุารณที่ลูกเตาทั้ง 2 ลูกขึ้นแตมเทากัน 3. C ซ่ึงแทนเหตุการณที่ผลรวมของแตมหารดวย 6 ลงตัว 4. เหตุการณที่ลูกเตาทั้ง 2 ลูกขึ้นแตมเทากันและผลรวมของแตมหารดวย 6 ลงตัว 5. เหตุการณที่ลูกเตาขึ้นแตม 1 อยางนอย 1 ลูกและผลรวมของแตมหารดวย 6 ไมลงตัว ตอบ 1. { }(1,1), (1, 2), (1,3), (1, 4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1)A = 2. { }(1,1), (2, 2), (3,3), (4, 4), (5,5), (6,6)B = 3. { }(1,5), (2, 4), (3,3), (4, 2), (5,1), (6,6)C = 4. {(3,3), (6,6)}B C∩ = 5. { }(1,1), (1, 2), (1,3), (1, 4), (1,6), (2,1), (3,1), (4,1), (6,1)A C′∩ =

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

14

ตัวอยาง ทดลองโยนลูกเตา 1 ลูก ถาผลลัพธที่สนใจคือแตมของลูกเตาที่ขึ้น ให A แทนเหตุการณที่ลูกเตาขึ้นแตมเปนจํานวนคี่ และ B แทนเหตุการณที่ลูกเตาขึ้นแตมเปนจํานวนคู ดังนั้น ปริภูมติวัอยาง {1,2,3,4,5,6}S = , {1,3,5}A = และ {2,4,6}B = จะไดวา A B∩ =∅ ดังนัน้ เหตกุารณ A และเหตุการณ B เปนเหตกุารณไมเกิดรวมกัน ตัวอยาง ทดลองโยนเหรยีญ 2 เหรียญ ถาผลลัพธที่สนใจคือหนาของเหรียญทั้งสองเหรียญที่ขึ้น ให A แทนเหตุการณที่เหรียญขึ้นหัว 1 เหรียญ และ B แทนเหตุการณที่เหรียญขึ้นกอยอยางนอย 1 เหรียญ ดังนั้น ปริภูมติัวอยาง { , , , }S HH HT TH TT= , { , }A HT TH= และ { , , }B HT TH TT= จะไดวา { , }A B HT TH∩ = ≠ ∅ ดังนัน้ เหตกุารณ A และเหตกุารณ B ไมเปนเหตุการณไมเกดิรวมกัน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

15

เมื่อผูเรียนไดชมสื่อการสอนขางตนจบแลว ผูสอนควรเนนใหผูเรียนเห็นความสําคญัในการเลือกปริภูมิ

ตัวอยางทีจ่ะนาํมาชวยในการหาความนาจะเปนของเหตกุารณ จากที่ผูเรียนไดทราบแลววา สําหรับการทดลองสุมใด ๆ ปริภูมิตัวอยาง S อาจมีไดมากกวาหนึ่งแบบขึน้อยูกับผลลัพธที่เปนไปไดทั้งหมดของการทดลองที่เราสนใจ

ดังนั้นในการหาความนาจะเปนของเหตุการณ E ใด ๆ โดย

( )( )( )n EP En S

=

ส่ิงสําคัญ คือ ปริภูมิตัวอยาง S นั้นตองมีสมบัติที่วา สมาชิกทุกตวัในปรภิูมิตัวอยางตองมีโอกาสเกิดขึ้นไดเทา ๆ กัน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

16

เพื่อใหผูเรียนหา “ความนาจะเปนของเหตกุารณ” ไดคลองยิ่งขึ้น ผูสอนควรใหผูเรียนทําตัวอยางตอไปนี้เพิ่มเติม ตัวอยาง ทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน จงหาความนาจะเปนที่

1. ผลรวมของแตมมีคามากกวา 7 2. ผลรวมของแตมมีคานอยกวา 7 และหารดวย 3 ลงตัว

วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตัวอยาง A แทนเหตกุารณที่ผลรวมของแตมมีคามากกวา 7 และ B แทนเหตกุารณที่ผลรวมของแตมมีคานอยกวา 7 และหารดวย 3 ลงตวั

1. ความนาจะเปนที่ผลรวมของแตมมีคามากกวา 7 = ( ) 15 5( )( ) 36 12n AP An S

= = =

2. ความนาจะเปนที่ผลรวมของแตมมีคานอยกวา 7 และหารดวย 3 ลงตวั ( ) 7( )

( ) 36n BP Bn S

= = =

แตม แตม ลูกท่ี 1 ลูกท่ี 2

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 8

4 5 6 7 8 9

5 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

17

ตัวอยาง กลองใบหนึ่งมีสลากอยู 100 ใบ หมายเลข 00 ถึง 99 สุมหยิบสลาก 1 ใบจากกลองใบนี้ จงหาความนาจะเปนที่ไดสลากที่มีหมายเลขประกอบดวยเลขโดดที่เรียงถัดกัน วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตัวอยาง และ E แทนเหตกุารณทีไ่ดสลากที่มีหมายเลขประกอบดวยเลขโดดที่เรียงถัดกนั ดังนั้น

{00,01,02, ,99}S = … และ {01,12,23,34,45,56,67,78,89,10,21,32,43,54,65,76,87,98}E = ทําใหไดวา ความนาจะเปนที่ไดสลากทีม่ีหมายเลขประกอบดวยเลขโดดที่เรียงถัดกัน ( ) 18 9( )

( ) 100 50n EP En S

= = = =

หมายเหตุ ในการหาความนาจะเปนของเหตุการณ A ใด ๆ โดย ( )( )

( )n EP En S

= เราไมจําเปนตองเขียน

เหตุการณ E แบบแจกแจงสมาชิก เพราะสิ่งที่เราตองการทราบคือจํานวนสมาชิกของE เทานั้น ซ่ึงเราสามารถใชความรูเร่ืองการนับที่ไดศกึษาไปกอนหนานี้มาชวยได

สําหรับตัวอยางขางตน เราสามารถใชความรูเร่ืองการนับชวยในการหาสมาชิกของเหตุการณ E ดังนี้ หลักสิบ หลักหนวย

ดังนั้น จํานวนสมาชิกของเหตุการณ E เทากบั 9 1 2! 18× × = ตัว

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

1 วิธี (คาเพิ่มจากตัวหนาอีก 1)

สลับตําแหนงหลักหนวยและหลักสิบ

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

18

ตัวอยาง กลองใบหนึ่งบรรจุลูกแกวสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูก และสีดํา 4 ลูก สุม หยบิลูกแกว 2 ลูกจากกลองใบนี้ จงหาความนาจะเปนที่ไดลูกแกวสีแดงทั้งสองลูก เมื่อ

1. หยิบทีละลูกและใสกลับคืนกอนหยิบลูกถัดไป 2. หยิบทีละลูกและไมใสกลับคืนกอนหยิบลูกถัดไป 3. หยิบสองลูกพรอมกัน

วิธีทํา 1. ให 1S แทนปริภูมิตวัอยาง และ 1E แทนเหตกุารณที่ไดลูกแกวสีแดงทั้งสองลูก ดังนั้น

11

1

( ) 3 3 1( )( ) 9 9 9n EP En S

×= = =

×

2. ให 2S แทนปริภูมิตวัอยาง และ 2E แทนเหตกุารณที่ไดลูกแกวสีแดงทั้งสองลูก ดังนั้น

22

2

( ) 3 2 1( )( ) 9 8 12n EP En S

×= = =

×

3. ให 3S แทนปริภูมิตัวอยาง และ 3E แทนเหตุการณที่ไดลูกแกวสีแดงทั้งสองลูก ดังนั้น

33

3

3 62 0( ) 3 1( )9( ) 36 122

n EP En S

= = = =

ขอสังเกต จากตัวอยางขางตน ความนาจะเปนที่ไดลูกแกวสีแดงทั้งสองลูกทั้งแบบที่หยิบทีละลูกและไมใสกลับคืน กับแบบที่หยิบสองลูกพรอมกัน มีคาเทากัน เพราะวา

3,22 3

9,2

32!23 2( ) ( )99 8

2!2

PP E P E

P

× = = = =

×

จากขอสังเกตนี้ และความสัมพันธที่วา

, !n r

nP r

r

=

เมื่อ 0 r n≤ ≤ สามารถนําไปสูขอสรุปในกรณีทัว่ไปไดวา ความนาจะเปนของเหตุการณที่เราสนใจจากการทดลองสุมหยบิสิ่งของ r ส่ิงจากสิ่งของที่แตกตางกันทั้งหมด n ส่ิง ทั้งแบบหยิบพรอมกันและแบบหยิบทีละลูกและไมใสกลับคืน จะมีคาเทากัน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

19

ตัวอยาง สลากชุดหนึ่งมี 10 ใบ มีหมายเลขกํากับไวโดยไมซํ้ากันเริ่มจาก 1 ถึง 10 สุมหยิบสลาก 3 ใบ จงหาความนาจะเปนที่ผลรวมของแตมเปน 10 และไมมีสลากใบใดมหีมายเลขสูงกวา 5 วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตวัอยาง และ E แทนเหตุการณที่ผลรวมของแตมเปน 10 และไมมีสลากใบใดมหีมายเลขสูงกวา 5 ดังนั้น

{ }{1,4,5},{2,3,5}E = ทําใหไดวา

( ) 2 2 1( )10( ) 120 603

n EP En S

= = = =

ขอตกลง สัญลักษณ 1 2{ , , , }ra a a… หมายถึง หยิบไดส่ิงของ 1 2, , , ra a a… โดยไมคาํนึงถึงลําดับกอนหลังที่ได ตัวอยาง กลองใบหนึ่งบรรจสุลาก 5 ใบ โดยมีหมายเลข 1, 2, 3, 4 และ 5 กํากับไว สุมหยิบสลาก 3 ใบจากกลองใบนี้พรอมกนั จงหาความนาจะเปนที่ผลรวมของแตมนอยกวา 9 วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตวัอยาง และ E แทนเหตุการณที่ผลรวมของแตมนอยกวา 9 ดังนั้น

{ }{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4}E = ทําใหไดวา ( ) 4 4 2( )

5( ) 10 53

n EP En S

= = = =

ตัวอยาง โยนเหรียญ 1 เหรียญ และทอดลูกเตา 1 ลูก จงหาความนาจะเปนที่เหรียญขึน้หัวและลูกเตาขึ้นแตมมากกวา 4 วิธีทํา ให S แทนปริภูมิตวัอยาง และ E แทนเหตุการณที่เหรียญขึ้นหัวและลูกเตาขึ้นแตมมากกวา 4 ดังนั้น

( ) 2 6 12n S = × =

H, T 1,2,…,6

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

20

และ ( ) 1 2 2n E = × =

ทําใหไดวา ( ) 2 1( )

( ) 12 6n EP En S

= = =

ตัวอยาง นําสนิคาที่ผลิตโดยเครื่องจักร A และเครื่องจักร B มาตรวจสภาพ ไดผลดังตาราง

จํานวนสินคา(ช้ิน) เครื่องจักร

สภาพสินคา A B

ดี 37 55 ชํารุด 3 5

1. สุมหยิบสินคามา 1 ช้ิน จงหาความนาจะเปนที่จะหยิบไดสินคาชํารุด 2. สุมหยิบสินคาที่ผลิตโดยเครื่องจักร A มา 1 ช้ิน จงหาความนาจะเปนที่จะหยิบไดสินคาชํารุด

วิธีทํา 1. เครื่องจักร A เครื่องจักร B

เนื่องจากสินคามีทั้งหมด 100 ช้ิน เปนสินคาชํารุด 8 ช้ิน ดังนั้น ความนาจะเปนที่จะหยิบไดสินคาชํารุด 8 2

100 25= =

H 5, 6

37

55

ชํารุด

3 5

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

21

2. เครื่องจักร A เนื่องจากสินคาทีผ่ลิตโดยเครื่องจักร A มีทั้งหมด 40 ช้ิน เปนสินคาชํารุด 3 ช้ิน ดังนัน้ ความนาจะเปนทีจ่ะหยิบไดสินคาชํารุดเมื่อสุมหยิบสินคาจากเครื่องจักร A 3

40=

ชํารุด

3 5

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

22

แบบฝกหัดเพิ่มเติม

เร่ือง เหตุการณและความนาจะเปน

1. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีแดง 1 ลูก สุมหยิบลูกบอล 2 ลูกจากกลองใบนี้พรอมกัน จงหา 1.1 ปริภูมิตัวอยาง เมื่อผลลัพธที่สนใจคือสีของลูกบอลที่หยบิได และเหตกุารณที่หยิบไดลูกบอล สีแดง 1 ลูก 1.2 ปริภูมิตัวอยาง เมื่อผลลัพธที่สนใจคือลูกบอลที่หยิบได และเหตกุารณที่หยิบไดลูกบอลสีขาว 2 ลูก 1.3 ปริภูมิตัวอยาง เมื่อผลลัพธที่สนใจคือจํานวนลูกบอลสีแดงที่ได และเหตุการณที่หยิบไดลูกบอล สีขาว 1 ลูก

2. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอลสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูกและสีน้ําเงิน 1 ลูก สุมหยิบลูกบอล 2 ลูกจากกลอง ใบนี้พรอมกัน ถาผลลัพธที่สนใจคือลูกบอลที่หยิบได จงหา

2.1 ปริภูมิตัวอยาง 2.2 A ซ่ึงแทนเหตกุารณที่หยิบไดลูกบอลสีเดียวกัน 2.3 B ซ่ึงแทนเหตกุารณที่หยิบไดลูกบอลสีแดงอยางนอย 1 ลูก 2.4 เหตุการณที่หยิบไดลูกบอลสีแดง 3 ลูก 2.5 A′ 2.6 A B∪ 2.7 A B∩

3. นักเรียนคนหนึ่งมีหนังสือ 5 เลมที่แตกตางกันทั้งหมด โดยเปนหนังสือวิชาคณิตศาสตร 2 เลม วิชาชีววิทยา 2 เลม และวิชาฟสิกส 1 เลม ถานักเรียนคนนี้สุมหยิบหนังสือ 3 เลม จงหาความนาจะเปนที ่

หยิบได 3.1 วิชาคณิตศาสตรอยางนอย 1 เลม 3.2 วิชาคณิตศาสตรและวิชาชวีวิทยาอยางละ 2 เลม 3.3 ไดครบทุกวิชา

4. ทอดลูกเตา 1 ลูกจํานวน 3 คร้ัง จงหาความนาจะเปนที ่4.1 ลูกเตาขึ้นแตมมากกวา 4 ทกุลูก 4.2 ลูกเตาขึ้นแตมเทากันทุกลูก 4.3 ผลรวมของแตมที่ขึ้นของลูกเตาทั้ง 3 ลูกมีคาไมเกิน 16

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

23

5. โยนเหรยีญ 1 เหรียญและทอดลูกเตา 1 ลูกพรอมกัน จงหาความนาจะเปนที่ 5.1 เหรียญขึ้นกอยและลูกเตาขึ้นแตมเปนจํานวนคี่ 5.2 เหรียญขึ้นหัวหรือลูกเตาขึ้นแตมมากกวา 4 5.3 ลูกเตาขึ้นแตมไมเกิน 3

6. กลองใบหนึ่งบรรจุสลาก 10 ใบ มีหมายเลข 1 – 10 กํากบัไว สุมหยิบสลาก 1 ใบจากกลองใบนี้ จากนั้นทอดลูกเตา 1 ลูก จงหาความนาจะเปนที ่6.1 หมายเลขสลากที่หยิบไดและแตมของลูกเตาที่ขึ้นมีคาเทากัน 6.2 หมายเลขสลากที่หยิบไดเปนจํานวนคูแตแตมของลูกเตาที่ขึ้นเปนจํานวนคี ่6.3 หมายเลขสลากที่หยิบไดหารดวย 3 ลงตวั 6.4 หมายเลขสลากที่หยิบไดหารดวย 3 หรือ 5 ลงตัว 6.5 ผลรวมของหมายเลขสลากที่หยิบไดกับแตมของลูกเตาที่ขึ้นมีคาไมเกนิ 5

7. นักเรียนหองหนึ่งมีทั้งหมด 40 คน ปรากฏขอมูลดังตาราง

จํานวนนักเรียน(คน) ดานที่ถนัด

เพศ ถนัดขวา ถนัดซาย

ชาย 16 5 หญิง 15 4

7.1 สุมนักเรียนหองนี้มา 1 คน จงหาความนาจะเปนทีน่ักเรยีนที่สุมไดจะถนัดซาย 7.2 สุมนักเรียนชายหองนี้มา 1 คน จงหาความนาจะเปนที่นกัเรียนที่สุมไดจะถนัดขวา

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

24

สรุปสาระสําคัญประจําตอน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

25

สรุปสาระสําคัญประจําตอน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

26

เอกสารอางอิง

1. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสอืเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร เลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที ่4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.

2. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสอืเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม 4 ช้ันมัธยมศึกษาปที ่4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

27

ภาคผนวกที่ 1 แบบฝกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

28

แบบฝกหัดระคน

1. ในการขนสงโทรทัศนจํานวน 50 เครื่อง จากโรงงานไปยังรานคาแหงหนึ่ง ทําใหโทรทัศนชํารุด 3 เครื่อง เจาของรานคาสุมโทรทัศน 10 เครื่องเพื่อตรวจสอบคุณภาพ ปริภมูิตัวอยางคือขอใดตอไปนี้ เมื่อผลลัพธที่ สนใจคือจาํนวนโทรทัศนที่ชํารุด 1. {0,1,2,3} 2. {3,4, ,10}… 3. {1,2, ,10}… 4. {1,2, ,50}… 2. สําหรับการทดลองสุมใด ๆ ขอใดตอไปนี้ไมถูกตอง 1. มีเหตุการณ A ที่ ( ) 0P A = 2. มีเหตุการณ A ที่ ( ) 1P A = 3. มีเหตุการณ A ที่ ( ) 0.5P A = 4. มีเหตุการณ A ที่ ( ) 0.3P A > 3. กลองใบหนึ่งมีสลาก n ใบ ( 3)n ≥ ซ่ึงมีหมายเลขกํากับไวโดยไมซํ้ากันเริ่มจาก 1 ถึง n ถาสุมหยิบสลาก

จากกลองใบนี ้ 2 ใบ แลวความนาจะเปนที่ไดใบหนึง่เปนสลากหมายเลข 3 และอีกใบหนึ่งเปนสลากหมายเลขต่ํากวา 3 เทากับขอใดตอไปนี ้

1. 2

2n

2. 1( 1)n n −

3. 2( 1)n n −

4. 4( 1)n n −

4. กลองใบหนึ่งบรรจุสลาก 9 ใบ มีหมายเลข 1 – 9 กํากบัไว ถาสุมหยบิสลาก 2 ใบจากกลองใบนี้ โดยหยิบทีละ 1 ใบและไมใสกลับคืนกอนหยิบใบถัดไป ความนาจะเปนที่ผลรวมของหมายเลขบนสลากทั้งสองใบนั้นหาร ดวย 5 ลงตวัเทากับขอใดตอไปนี ้ 1. 1

12 2. 1

6

3. 19

4. 29

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

29

5. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอล 8 ลูก(แตกตางกันทั้งหมด) โดยเปนลูกบอลสีขาว 2 ลูก สีแดง 3 ลูก และสีดํา 3 ลูก สุมหยิบลูกบอล 2 ลูกจากกลองใบนี้พรอมกัน ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกบอลสีเดียวกันตรงกับ ขอใดตอไปนี้ 1. 3

28 2. 5

28

3. 314

4. 14

6. ทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน ความนาจะเปนที่ผลรวมของแตมของลูกเตาที่ขึ้นจะหารดวย 5 ไมลงตัวตรงกับ ขอใดตอไปนี้ 1. 2

11 2. 7

36

3. 2936

4. 911

7. ไพสํารับหนึ่งซึ่งมีทั้งหมด 52 ใบ ประกอบดวยไพหนาโพดํา โพแดง ขาวหลามตัดและดอกจกิ อยางละ 13 ใบ สุมหยิบไพ 3 ใบจากสํารับนี้พรอมกัน ความนาจะเปนที่ไพทั้งสามที่หยิบไดมีแตมมากกวา 2 แตนอยกวา 8 เปนเทาใด

1. 53523

2. 73523

3. 203523

4. 283523

8. กลองใบหนึ่งบรรจุปากกา 10 ดามที่แตกตางกัน โดยเปนปากกาสีแดง 3 ดาม สีน้าํเงิน 3 ดามและสีดํา 4 ดาม สุมหยิบปากกา 3 ดามจากกลองใบนี้ ความนาจะเปนที่หยิบไดปากกาครบทุกสีเปนเทาใด 1. 2

10 2. 3

10

3. 13

4. 79

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

30

9. หนังสือสารานุกรมชุดหนึ่งมีทั้งหมด 8 เลม มีหมายเลข 1 – 8 กํากบั สุมหยิบหนงัสือทีละ 1 เลมเรียงบนชั้น หนังสือจนครบ 8 เลม ความนาจะเปนที่หนังสือหมายเลขตอเนื่องกนัจะอยูติดกันเปนเทาใด 1. 1

8! 2. 2

8!

3. 172

4. 272

10. ตารางแสดงความสัมพนัธของสุขภาพผูสูบบุหร่ีทั้งหมด 300 คน เปนดังนี ้

สําหรับผูสูบบุหร่ีมากกวา 20 มวนใน 1 วัน มีความนาจะเปนที่จะไมเปนมะเร็งเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 8

13 2. 2

13

3. 215

4. 1315

จํานวนผูสูบบุหร่ี(คน) จํานวนบุหร่ีที่สูบตอวัน

(มวน) สุขภาพ

0-4 5-20 มากกวา 20

เปนมะเร็ง 8 7 25 ไมเปนมะเร็ง 150 70 40

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

31

ภาคผนวกที่ 2 เฉลยแบบฝกหัด

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

32

เฉลยแบบฝกหัด เร่ือง การทดลองสุมและปริภูมิตัวอยาง

1. 1.1 ปริภูมิตัวอยาง { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6S H H H H H H T T T T T T= 1.2 ปริภูมิตัวอยาง { }, ,S NN ND DN= เมื่อ N แทน หลอดไฟดี และ D แทน หลอดไฟเสีย 1.3 ปริภูมิตัวอยาง { }0,2,4,6,8,10S = 1.4 ปริภูมิตัวอยาง { }, , , , , , ,S YYY YYN YNY YNN NYY NYN NNY NNN= เมื่อ Y แทน ใชยาสีฟนยีห่อนี้ และ N แทน ไมใชยาสีฟนยี่หอนี ้1.5 ปริภูมิตัวอยาง { }| 0 [0, )S t t= ∈ ≥ = ∞ 1.6 ปริภูมิตัวอยาง { }2,3,4,5,S = …

2. 2.1 252 2.2 16 2.3 135 2.4 120

เฉลยแบบฝกหัด เร่ือง เหตุการณและความนาจะเปน

1. 1.1 ปริภูมิตัวอยาง S ={{สีแดง, สีขาว}, {สีขาว, สีขาว}} เหตกุารณ E = {{สีแดง, สีขาว}}

1.2 ปริภูมิตัวอยาง S ={{สีแดง, สีขาว1}, {สีแดง, สีขาว2}, {สีขาว1, สีขาว2}}

เหตกุารณ E = {{สีขาว1, สีขาว2}} 1.3 ปริภูมิตัวอยาง S = { }0,1 เหตุการณ E = { }1 2. ให iR แทน ลูกบอลสีแดงลูกที่ i เมื่อ 1,2,3i = iW แทน ลูกบอลสีขาวลูกที่ i เมื่อ 1,2i = B แทน ลูกบอลสีน้ําเงิน

2.1 ปริภูมิตัวอยาง { 1 2 1 3 2 3 1 1 1 2{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },S R R R R R R R W R W= 2 1 2 2 3 1 3 2 1{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },R W R W R W R W R B }2 3 1 2 1 2{ , }, { , }, { , }, { , }, { , }R B R B W W W B W B 2.2 { }1 2 1 3 2 3 1 2{ , },{ , },{ , },{ , }A R R R R R R W W=

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

33

2.3 { 1 2 1 3 2 3 1 1 1 2{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },B R R R R R R R W R W= 2 1 2 2 3 1{ , },{ , },{ , },R W R W R W 3 2 1{ , },{ , },R W R B }2 3{ , }, { , }R B R B 2.4 เหตุการณ E =∅ 2.5 { 1 1 1 2{ , },{ , },A R W R W′ = 2 1 2 2 3 1 3 2 1{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },R W R W R W R W R B }2 3 1 2{ , }, { , }, { , }, { , }R B R B W B W B 2.6 { 1 2 1 3 2 3 1 1 1 2{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },A B R R R R R R R W R W∪ = 2 1 2 2 3 1{ , },{ , },{ , },R W R W R W 3 2 1{ , },{ , },R W R B }2 3 1 2{ , }, { , },{ , }R B R B W W 2.7 { }1 2 1 3 2 3{ , },{ , },{ , }A B R R R R R R∩ =

3. 3.1 910

3.2 0 3.3 25

4. 4.1 127

4.2 136

4.3 5354

5. 5.1 14

5.2 23

5.3 12

6. 6.1 110

6.2 14

6.3 310

6.4 12

6.5 16

7. 7.1 940

7.2 1621

เฉลยแบบฝกหัดระคน

1. 1 2. 4 3. 4 4. 4 5. 4 6. 3 7. 3 8. 2

9. 2 10. 1

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

34

รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

35

รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน

เรื่อง ตอน

บทนํา เร่ือง เซต

ความหมายของเซต

เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต

เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

เซต

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองแผนภาพเวนน-ออยเลอร บทนํา เร่ือง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร การใหเหตุผล

ประพจนและการสมมูล

สัจนิรันดรและการอางเหตุผล

ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองหอคอยฮานอย

การใหเหตุผลและตรรกศาสตร

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองตารางคาความจริง บทนํา เร่ือง จํานวนจริง สมบัติของจํานวนจริง การแยกตัวประกอบ

ทฤษฏีบทตัวประกอบ

สมการพหุนาม

อสมการ เทคนิคการแกอสมการ คาสัมบูรณ การแกอสมการคาสัมบูรณ กราฟคาสัมบูรณ สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองชวงบนเสนจํานวน

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองสมการและอสมการพหุนาม

จํานวนจริง

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองกราฟคาสัมบูรณ บทนํา เร่ือง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน

การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะทฤษฎีจํานวนเบื้องตน

ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย บทนํา เร่ือง ความสมัพันธและฟงกชัน ความสัมพันธและฟงกชัน

ความสัมพันธ

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

36

เรื่อง ตอน

โดเมนและเรนจ อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน

ฟงกชันเบื้องตน

พีชคณิตของฟงกชนั

อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส

ความสัมพันธและฟงกชัน

ฟงกชันประกอบ

บทนํา เร่ือง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

เลขยกกําลัง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

ลอการิทึม

อสมการเลขชี้กําลัง

ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

อสมการลอการิทึม

บทนํา เร่ือง ตรีโกณมิติ อัตราสวนตรีโกณมิติ เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย ฟงกชันตรีโกณมิติ 1

ฟงกชันตรีโกณมิติ 2

ฟงกชันตรีโกณมิติ 3

กฎของไซนและโคไซน กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ

ตรีโกณมิติ

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองกฎของไซนและกฎของโคไซน บทนํา เร่ือง กําหนดการเชิงเสน

การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร กําหนดการเชิงเสน

การหาคาสุดขีด

บทนํา เร่ือง ลําดับและอนุกรม

ลําดับ

การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต

ลิมิตของลําดับ

ผลบวกยอย อนุกรม

ลําดับและอนุกรม

ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

37

เรื่อง ตอน

บทนํา เร่ือง การนับและความนาจะเปน

การนับเบื้องตน

การเรียงสับเปลี่ยน

การจัดหมู ทฤษฎีบททวินาม

การทดลองสุม

ความนาจะเปน 1

การนับและความนาจะเปน .

ความนาจะเปน 2

บทนํา เร่ือง สถิติและการวิเคราะหขอมูล

บทนํา เนื้อหา แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2 แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3

การกระจายของขอมูล

การกระจายสัมบูรณ 1

การกระจายสัมบูรณ 2

การกระจายสัมบูรณ 3

การกระจายสัมพัทธ คะแนนมาตรฐาน

ความสัมพันธระหวางขอมูล 1

ความสัมพันธระหวางขอมูล 2

โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1

สถิติและการวิเคราะหขอมูล

โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2

การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส การถอดรากที่สาม เสนตรงลอมเสนโคง

โครงงานคณิตศาสตร

กระเบื้องที่ยืดหดได