8. elementární funkce - univerzita palackého v...

Management rekreace a sportu 8. Elementární funkce

1

8. Elementární funkce

Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně existujících dějů lze reprezentovat

matematickými modely, které jsou popsány tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce

je každá funkce, která vznikne jako výsledek konečného počtu operací sčítání, odčítání,

násobení, dělení a skládání funkcí konstantní, mocninné, exponenciální, logaritmické,

goniometrických a cyklometrických, tedy tzv. základních elementárních funkcí. Uveďme nyní

stručný přehled těchto funkcí včetně jejich vlastností.

KONSTANTNÍ FUNKCE

Konstantní funkce je funkce f (x) = a, kde a je pevně zvolené číslo (a ∈ R). Grafem je

rovnoběžka s osou x.

MOCNINNÁ FUNKCE, ODMOCNINA

Mocninná funkce s přirozeným exponentem n ∈ N je funkce

( ) nxxf = ,

D( f ) = R. Jejím grafem je tzv. parabola n-tého stupně (pro n = 2 je to známá kuželosečka).

Viz obr. 8.1.

Pro n-sudé je xn sudá funkce, rostoucí na intervalu ⟨0, + ∞) a klesající na intervalu (− ∞, 0⟩.

Obor funkčních hodnot je H( f ) = ⟨0, + ∞).

Pro n-liché je xn lichá funkce, rostoucí na R a tedy také na celém svém definičním oboru

prostá. H( f ) = R.

Mocninná funkce se záporným celým exponentem −n, n ∈ N, je funkce

f(x) = x−n =

nx

1.

Definičním oborem této funkce je D( f ) = R − {0}. Jejím grafem je tzv. hyperbola stupně

n + 1 (pro n = 1 je to známá kuželosečka rovnoosá hyperbola), viz obr. 8.2.

Pro n-sudé je funkce x− n sudá, rostoucí na intervalu (− ∞, 0) a klesající na intervalu (0, + ∞).

Oborem funkčních hodnot je zde H( f ) = (0, + ∞).

Pro n-liché je funkce x− n lichá, klesající na intervalu (− ∞, 0) i (0, + ∞) a tedy na celém svém

definičním oboru také prostá. Obor funkčních hodnot je pak H( f ) = R − {0}.


2

Obrázek 8.1.

Obrázek 8.2.

Funkce n-tá odmocnina (n ∈ N, n ≥ 2) je definována jako

( ) n xxf = .

Pro n-sudé je definičním oborem této funkce interval ⟨0, + ∞), tedy D( f ) = ⟨0, + ∞), funkce je

rostoucí a obor funkčních hodnot je H( f ) = ⟨0, + ∞) (viz obr. 8.3.). Tato funkce je inverzní

k funkci y = xn uvažované na intervalu ⟨0, + ∞).


3

Pro n-liché je D( f ) = R, funkce je rostoucí, lichá a H( f ) = R (viz obr. 8.4). Funkce je inverzní

k funkci y = xn uvažované na R.

Obrázek 8.3.

Obrázek 8.4.

EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE

Exponenciální funkce je funkce tvaru

( ) xaxf = ,

kde a je pevně zadané, a > 0, a ≠ 1, D( f ) = R, H( f ) = (0, ∞).

Pro a < 1 je exponenciální funkce klesající, pro a > 1 rostoucí (obr. 8.5.).

Exponenciální funkce je tedy prostá. Je zdola omezená (ax > 0), ale není shora omezená.

Grafem této funkce je tzv. exponenciála.


4

Pro exponenciální funkci platí známé vztahy:

• yxyx aaa =+ ,

• y

xyx

a

aa =− ,

• ( )yxxy aa = .

Obrázek 8.5. Exponenciální a logaritmická funkce

LOGARITMICKÁ FUNKCE

Logaritmická funkce je funkce inverzní k funkci exponenciální, značí se

xy alog= ,

číslo a je základ logaritmu (a > 0, a ≠ 1). Z definice inverzní funkce vyplývá, že

D(log ) = (0, ∞), H(log ) = R. Grafy funkcí ax

, log a x jsou tedy souměrné podle osy y = x

(obr. 8.5.).

Logaritmická funkce o základu 10 (a = 10), se nazývá dekadická logaritmická funkce,

obvykle se značí log x. Speciálně pro a = e, kde e = 2,71828…(iracionální číslo)1 se značí ln

x

namísto log e x a dostáváme tzv. přirozenou logaritmickou funkci, základ e se pak nazývá


5

přirozený.

Jestliže a < 1 je logaritmická funkce klesající, když a > 1 je rostoucí (obr. 8.5.). Není

ani zdola omezená ani shora omezená.Grafem logaritmické funkce je tzv. logaritmická křivka.

Pro logaritmickou funkci platí známé vztahy:

• ( ) yxxy aaa logloglog += ,

• yxy

xaaa logloglog −=

,

• xyx a

y

a loglog = ,

• ( )xaxyax y

a

xa =⇔== log,log

platíprotože

• ( )xexyex yx =⇔== ln,ln platíprotože

• xyy ex ln= .

Užitím posledního vztahu můžeme vyjádřit funkci ( ) ( ) ( )xsxrxf =

v tzv. exponenciálním tvaru ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xrxsxsexrxf ln== ; což je důležité pro praktické aplikace.

Příklad:

(((( )))) xxx exxf lnsinsin ======== .

GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE

Goniometrické funkce zavedeme stejným způsobem, jak se zavádějí na střední škole.

U všech goniometrických funkcí vystupuje jako nezávisle proměnná velikost úhlu. Velikost

úhlu může být zadána v míře stupňové nebo v míře obloukové2, přičemž platí převodní

vztahy:

rad180

1π

=o , ′′′≅= 451757180

rad1 oo

π.

Formálně

rad180

xx o π= , oxx

π180

rad = .

1 e je tzv. Eulerovo číslo, které se definuje jako limita takto:

n

n ne

+=

∞→

11lim .

2 Jednotkou obloukové míry jsou radiány (rad).


6

Umístíme-li úhel ≺XOA tak, že X, A leží na jednotkové kružnici se středem O (obr.8.6.), pak

jeho velikost xo ve stupňové míře odpovídá velikosti x rad v obloukové míře, přičemž x rad je

délka příslušného oblouku kružnice. Jeli úhel vyjádřen v obloukové míře, pak se „rad“

vynechává.

Poznámka:

Je zřejmé proč převodní vztahy mají shora uvedený tvar. U jednotkové kružnice je totiž její obvod

roven O = 2π . Délce kružnice 2π tedy odpovídá úhel 360o.

Obrázek 8.6. Velikost úhlu

Z obrázku 8.6. jsou patrné vztahy 30o = π / 6, 45o = π / 4. V dalším výkladu bude dána

přednost míře obloukové.

Sestrojme nyní jednotkovou kružnici se středem O (obr. 8.7.). Od bodu A = [1, 0]

nanesme na kružnici oblouk délky |x|, a to proti směru otáčení hodinových ručiček, je-li x > 0

a ve směru otáčení hodinových ručiček, je-li x ≤ 0. Tím dostaneme bod X.

Obrázek 8.7. Goniometrické funkce

Pak se definuje cos x (čte se kosinus x) jako x-ová souřadnice bodu X, sin x

(čte se sinus x) jako y-ová souřadnice bodu X. Dále se definují funkce

x

− 1

y

1 AO

xo

Xx rad

x

y

A = [1, 0]O

X

|x|, x > 0

cos x

sin x

tg x

cotg x


7

x

xx

cos

sintg = ,

x

xx

sin

coscotg = ,

(čte se tangens x, kotangens x).

Platí D(sin) = D(cos) = R, D(tg) = R − {x; x = π/2 + kπ, k ∈ Z}, D(cotg) = R −

{x; x = kπ, k ∈ Z} a H(sin) = H(cos) = ⟨ − 1, 1⟩, H(tg) = H(cotg) = R. Funkce sin, cos,

tg, cotg se souhrnně nazývají goniometrické. Vyjma význačných hodnot jsou hodnoty

goniometrických funkcí iracionální čísla. Převážná většina kalkulaček obsahuje

goniometrické funkce jako standardní, tj. hledaná hodnota je k dispozici po stisknutí

příslušného tlačítka (pozor na nastavení správného režimu pro stupňovou a, případně

obloukovou míru). Grafy goniometrických funkcí jsou na obrázcích 8.8. 8.10.

Obrázek 8.8. Funkce sin x a cos x

Obrázek 8.9. Funkce tg x


8

Obrázek 8.10. Funkce cotg x

Goniometrické funkce vykazují tyto základní vlastnosti:

• ( ) xx sinsin −=− , ( ) xx tgtg −=− , ( ) xx cotgcotg −=− liché funkce,

( ) xx coscos =− sudá funkce;

• ( ) xkx sin2sin =+ π , ( ) xkx cos2cos =+ π periodické funkce se základní periodou 2π

( ) xkx tgtg =+ π , ( ) xkx cotgcotg =+ π periodické funkce se základní periodou π;

pro k ∈ Z.

• xsin , xcos omezené funkce

xtg , xcotg neomezené funkce

Funkce cyklometrické jsou funkce inverzní k funkcím goniometrickým. Jsou

definované na vhodných intervalech, na kterých jsou funkce goniometrické prosté.

Funkce sin x je rostoucí na ⟨ − π / 2, π / 2⟩; pro x ∈ ⟨ − π / 2, π / 2⟩ je H(sin) = ⟨ − 1, 1⟩.

Funkce k ní inverzní se nazývá arkussinus, značí se arcsin x; D(arcsin) = ⟨ − 1, 1⟩,

H(arcsin) = ⟨ − π / 2, π / 2⟩ (obr. 8.11.).

Příklad:

2

2

4sin ====

ππππ,

42

2arcsin

ππππ==== ;

21arcsin

ππππ==== .


9

Funkce cos x je klesající na ⟨ 0, π ⟩; pro x ∈ ⟨ 0, π ⟩ je H(cos) = ⟨ − 1, 1⟩.

Funkce k ní inverzní se nazývá arkuskosinus, značí se arccos x; D(arccos) = ⟨ − 1, 1⟩,

H(arccos) = ⟨ 0, π ⟩ (obr. 8.12.).

Příklad:

62

3arccos

ππππ==== ; 01arccos ==== .

Funkce tg x je rostoucí na ( − π / 2, π / 2); pro x ∈ ( − π / 2, π / 2) je H(tg) = R. Funkce k

ní inverzní se nazývá arkustangens, značí se arctg x; D(arctg) = R, H(arctg) = ( − π / 2, π / 2)

(obr. 8.13.).

Příklad:

33arctg

ππππ==== ;

41arctg

ππππ==== .

Funkce cotg x je klesající na ( 0, π ); pro x ∈ ( 0, π ) je H(cotg) = R. Funkce k ní

inverzní se nazývá arkuskotangens, značí se arccotg x; D(arccotg) = R, H(arctg) = ( 0, π )

(obr. 8.14.).

Příklad:

63arccotg

ππππ==== ;

41arccotg

ππππ==== .

Obrázek 8.11. Funkce sin x a arcsin x


10

Obrázek 8.12. Funkce cos x a arccos x

Obrázek 8.13. Funkce tg x a arctg x


11

Obrázek 8.14. Funkce cotg x a arccotg x

Cílové znalosti

Vlastnosti všech elementárních funkcí, jejich grafy.


12

VIII. Elementární funkce_CVIČENÍ

MOCNINNÁ FUNKCE, ODMOCNINA

1. Vypočítejte (upravte):

a) 14

84

3

33 ⋅. b)

( )( )5

26

108

104105

⋅

⋅⋅ −

. c) 23

23

+

−.

EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE

2. Řešte rovnice, příp. nerovnice:

a) 032484 11 =−⋅− −+ xx . b) 039 2435 22

=− −−++ xxxx . c) 16 >x . d) 1622 212 =+ ++ xx .

e) 0100

110 <−x .

3. Určete definiční obor a určete hodnoty v bodě 4:

a) ( ) 13 −= xxf . b) ( ) 2

1

5 −+= xexf

LOGARITMICKÁ FUNKCE

4. Řešte rovnice, příp. nerovnice:

a) ( ) 31log =−x . b) ex =2log . c) ( )xx log24log3 −=+ . d) ( ) ( ) 2log22log3log −=−++ xx .

e) ( ) 1log log =xx . f) 0logloglog 246 >x .

5. Určete definiční obor funkce:

( )( )3log

1

−=

xxf .

6. Určete inverzní funkci:

a) ( ) 153 −⋅= xxf . b) ( ) ( )1log3

12 −+= xxf .

GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE

7. Rozhodněte o tom, zda je funkce sudá, příp. lichá:

a) ( )x

xxf

sin= . b) ( ) xxxf cos+= .


13

8. Řešte rovnice:

a) 2

2cos =x . b) 0cossin =+ xx . c) 02cos3cos2 2 =−− xx .

9. Načrtněte graf:

a) ( ) xxf sin= . b) ( ) xxf 2cos1+= . c) ( ) ( )π−+= xxf sin2 .

10. Najděte inverzní funkci:

a) ( ) xxf 2sin= , D( f ) = ⟨-π/4, π/4⟩. b) ( )2

arccotg3π

+=xf , D( f ) = R.

c) ( )2

arccosx

xf = , D( f ) = ⟨-2, 2⟩.


14

VÝSLEDKY CVIČENÍ

1. a) 9

1; b) 5105 −⋅ ; c) 625− .

2. a) 2=x ; b) 4172,1 ±−=x ; c) 0>x ; d) 1=x ; e) 2−<x .

3. a) ( ) )∞= ,1fD ; b) ( ) { }2-R=fD .

4. a) 1001=x ; b) ex 2= ; c) 10=x ; d) 7=x ; e) 10=x ; f) 16>x .

5. ( ) ( ) ( )∞∪= ,44,3fD .

6. a) ( )

== − xxfy

3

5log5

1; b) ( ) 11000 21 +== −− xxfy .

7. a) sudá funkce; b) ani sudá ani lichá funkce.

8. a) ππ

kx 24

1 += , ππ kx 24

72 += , Z∈k ; b) ππ kx +=

4

3, Z∈k ; c) ππ kx 2

3

21 += , ππ kx 2

3

42 += ,

Z∈k .

9. Grafy, viz seminář.

10. a) ( ) xxfy arcsin2

11 == −; b) ( ) ( )3cotg21 −== − xxfy ; c) ( ) xxfy cos21 == − .

8. elementární funkce - univerzita palackého v...

Documents