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38
– Fermat ( ) – Fermat – – p. 1

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– Fermat –

�� � � � �� � �� � �(

)

���� ��� ��

– Fermat

� ��� � ��� �

– – p. 1

注意書き
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• Fermat n = 3Euler .

• Fermat

, � �

.• Euler

.

1 +1

4+

1

9+

1

16+ · · · =

π2

6

1 +1

16+

1

81+

1

256+ · · · =

π4

90

� � �

( ).

���� ��� ��

– Fermat

� ��� � ��� �

– – p. 2

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Euler Kummer1630 �40 Fermat

� � � �

...

1753 Euler

, n = 3, 4

1816 Paris

� � , Fermat.

1823 Sophie Germain � .

1825 Legendre, Drichlet n = 5 .

1850 Paris

� � , Fermat3000 FF ( 1000 )

.

1857 � Kummer .

���� ��� ��

– Fermat

� ��� � ��� �

– – p. 3

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Sophie Germain (1/3)Sophie Germain � �

.1 p

.

xp + yp = zp

,xyz 6≡ 0 (mod p)

� � � �

, Fermat Case I

. ,

xyz ≡ 0 (mod p)

� �

Case II�

. ���� ��� ��

– Fermat

� ��� � ��� �

– – p. 4

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Sophie Germain (2/3)1 p, q

.• p mod q p

� �

.• x, y, z

,

xp + yp + zp ≡ 0 (mod q)

xyz ≡ 0 (mod q).

� �

p Fermat Case I.

���� ��� ��

– Fermat

� ��� � ��� �

– – p. 5

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Sophie Germain (3/3)

� �

� �

, Legendre �

.2 p

2p + 1, 4p + 1, 8p + 1, 10p + 1, 14p + 1, 16p + 1

� �

, Fermat Case Ip .

���� ��� ��

– Fermat

� ��� � ��� �

– – p. 6

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Fermat• Gauss

... � � �

Fermat

�.

, ,

� � � �,

,

, �

...

• Kummer

...Fermat

� � �

,� �

...

......

���� ��� ��

– Fermat

� ��� � ��� �

– – p. 7

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(1/15)l

, ζ = exp(2pi/l)

.

Z[ζ] := {a0 + a1ζ + a2ζ2 + · · · + al−1ζ

l−1|ai ∈ Z}

( l )

.

, .

ζ

� , ζ l = 1.

���� ��� ��

– Fermat

� ��� � ��� �

– – p. 8

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(2/15)

l = 5

.

(ζ − 1)(ζ4 + ζ3 + ζ2 + ζ + 1) = ζ5 − 1 = 0

(1 + ζ + ζ3) + (2ζ + 4ζ3) = 1 + 3ζ + 5ζ3

f(ζ)�

f(x) ζ� � �

.

� �

.

2 f(ζ) , f(ζ i), i = 2, · · · l − 1f(ζ) (

� �)

� �

.

���� ��� ��

– Fermat

� ��� � ��� �

– – p. 9

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(3/15)1 l = 7, f(x) = x2 + 1

, f(ζ) = ζ2 + 1

ζ4 + 1, ζ6 + 1, ζ + 1, ζ3 + 1, ζ5 + 1

.3 f(ζ) ,

f(ζ)

� �

Nf(ζ).

� �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 10

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(4/15)2 f(ζ)

Nf(ζ) = (ζ2+1)(ζ4+1)(ζ6+1)(ζ+1)(ζ3+1)(ζ5+1)

.

� �

.ζ i, i = 1, · · · 6 x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0

,

.

x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1

= (x − ζ)(x − ζ2)(x − ζ3)(x − ζ4)(x − ζ5)(x − ζ6)

−1

, .

Nf(ζ) = 1

� �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 11

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(5/15)4 f(ζ) g(ζ)

f(ζ)g(ζ) = 1

� �

,

� �

. f(ζ)g(ζ)

,

f(ζ)h(ζ) = g(ζ)

h(ζ)

� �

.f(ζ)

� � �

.

f(ζ) g(ζ)h(ζ) ⇒

f(ζ) g(ζ) h(ζ)

� �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 12

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(6/15)3 l

, ζ = exp(2πi/l)

� �.

(1) N(1 − ζ) = N(ζ − 1) = l.

(2) 1 − ζ .

(3) 1 − ζ l

� �

.

l = u(ζ)(1 − ζ)l−1

.

� �

u(ζ) .

� �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 13

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(7/15)(1) . .

xl − 1 = (x − 1)(x − ζ) · · · (x − ζ l−1)

� �

xl − 1

x − 1= 1 + x + x2 + · · · + xl−1

1 + x + x2 + · · · + xl−1 = (x − ζ) · · · (x − ζ l−1)

, x = 1

� �

N(1 − ζ) = l.

� �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 14

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(8/15)(2) . f(ζ) g(ζ)

f(ζ)g(ζ) ≡ 0 (mod 1 − ζ)

.

f(ζ) ≡ f(1) (mod 1 − ζ)

,

f(1)g(1) ≡ 0 (mod 1 − ζ).

f(1), g(1) , 1 − ζ

� � �

l� � � �

.

� �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 15

Page 16: – Fermat...– Fermat – – p. 38 足立恒雄(1994,2006), フェルマーの大定理―整数論の源流,日本評論社/ちくま学芸文庫,より引用 り と う

(9/15)

f(1)g(1) ≡ 0 (mod l)

l ,

f(1) ≡ 0 (mod l) g(1) ≡ 0 (mod l)

. �

f(1) ≡ 0 (mod 1−ζ) g(1) ≡ 0 (mod 1−ζ)

� �

,

f(ζ) ≡ 0 (mod 1−ζ) g(ζ) ≡ 0 (mod 1−ζ)

� �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 16

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(10/15)(3) . j 6≡ 0 (mod l)

.

1 − ζj = (1 − ζ)(1 + ζ + · · · + ζj−1)

i ij ≡ 1 (mod l)

� �

.

,

1 − ζ = 1 − ζ ij = (1 − ζj)(1 + ζj + · · · + ζj(i−1))

1 − ζj ,1 − ζ

,

1 = (1 + ζ + · · · + ζj−1)(1 + ζj + · · · + ζj(i−1))

. � �� � �� ��

– Fermat

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– – p. 17

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(11/15)

� j 6≡ 0 (mod l) ,

1 + ζ + · · · + ζj−1

.

� �

N(1 − ζ)�

� � �

,

l = (1 − ζ)(1 − ζ2) · · · (1 − ζ l−1)

1 − ζj = (1 − ζ)(1 + ζ + · · · + ζj−1)

, ,

� �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 18

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(12/15)

u(ζ) = (1 + ζ)(1 + ζ + ζ2) · · · (1 + ζ + · · · + ζ l−2)

=l−2∏

j=1

j∑

k=0

ζk

� � �

,

� �

,

l = u(ζ)(1 − ζ)l−1

. 2

� �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 19

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(13/15)1 α(ζ)

� �

,

Nα(ζ) ≡ 0, 1 (mod l).

. ζj ≡ 1 (mod 1 − ζ)

,

α(ζk) ≡ α(1k) ≡ α(1) (mod 1 − ζ),

,

Nα(ζ) ≡ α(1)l−1 (mod 1 − ζ)

� �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 20

Page 21: – Fermat...– Fermat – – p. 38 足立恒雄(1994,2006), フェルマーの大定理―整数論の源流,日本評論社/ちくま学芸文庫,より引用 り と う

(14/15)Nα(ζ) α(1) ,

Nα(ζ) ≡ α(1)l−1 (mod l).

Fermat ,

α(1)l−1 ≡ 0, 1 (mod l)

, .

� �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 21

Page 22: – Fermat...– Fermat – – p. 38 足立恒雄(1994,2006), フェルマーの大定理―整数論の源流,日本評論社/ちくま学芸文庫,より引用 り と う

(15/15)

� �

.1 ε(ζ)

, η := ε/ε̄

� �

. η 1 l.

. |η| = 1

, η ε(ζ i)/ε(ζ−i)

, 1 .

η1 l

� � �

. 2

� �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 22

Page 23: – Fermat...– Fermat – – p. 38 足立恒雄(1994,2006), フェルマーの大定理―整数論の源流,日本評論社/ちくま学芸文庫,より引用 り と う

(1/14)

� �

Z[ζ]

� �

, Fermat Case I

� � �

.

.

� �

, l

,

xl + yl = zl

xyz 6≡ 0

. , x, y

� �

. .

xl + yl = (x + y)(x + ζy) · · · (x + ζ l−1y) = zl

� �

.

� �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 23

Page 24: – Fermat...– Fermat – – p. 38 足立恒雄(1994,2006), フェルマーの大定理―整数論の源流,日本評論社/ちくま学芸文庫,より引用 り と う

(2/14)2 x + ζ iy, x + ζ i+k ..

.

x + ζ i+ky − (x + ζ iy) = −ζ i(1 − ζk)y

x + ζ i+ky − ζk(x + ζ i)y = (1 − ζk)x

, ζ

1 − ζk = (1 + ζ + · · · + ζk−1)(1 − ζ)

1 + · · · + ζk , x, y

� � � �

,

� �

, (1 − ζ) .

� �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 24

Page 25: – Fermat...– Fermat – – p. 38 足立恒雄(1994,2006), フェルマーの大定理―整数論の源流,日本評論社/ちくま学芸文庫,より引用 り と う

(3/14)

1 − ζ x + ζ iy x + ζ i+ky

.

� �

,

x + ζ i+2ky − (x + ζ i+ky) = ζ i+k(1 − ζk)y

, x + ζ i+2ky (1 − ζ)

.

� � �

,

x + ζ i+mky,m = 0, 1, · · ·

1 − ζ

� � �

. ζζ l = 1 , ζ i+mk

ζj, j = 0, 1, · · · l − 1

.

� �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 25

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(4/14)

,

xl + yl = (x + y)(x + ζy) · · · (x + ζ l−1y) = zl

(1 − ζ)l

. 1 − ζ, z 1 − ζ

� � �

z = (1 − ζ)α(ζ)

.

� � � �

z,

Nz = z = N(1 − ζ)Nα(ζ)

. N(1− ζ) = l , z l

� �

.�

xyz 6≡ 0 (mod l) . 2

� �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 26

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(5/14). , Z[ζ]

� �

,

xl + yl = (x + y)(x + ζy) · · · (x + ζ l−1y) = zl

f(ζ)

,

x + ζy = ε(ζ)f(ζ)l

.

� �

ε(ζ) .

, .

x + ζ−1y = ε(ζ−1)f(ζ−1)l

� �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 27

Page 28: – Fermat...– Fermat – – p. 38 足立恒雄(1994,2006), フェルマーの大定理―整数論の源流,日本評論社/ちくま学芸文庫,より引用 り と う

(6/14)

,

ε(ζ−1) = ζrε(ζ)

,

f(ζ)l ≡ f(ζ−1)l (mod l)

. �

x + ζ−1y = ε(ζ−1)f(ζ−1)l

= ζ−rε(ζ)f(ζ−1)l

≡ ζ−rε(ζ)f(ζ)l (mod l)

≡ ζ−r(x + ζy)l (mod l)� �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 28

Page 29: – Fermat...– Fermat – – p. 38 足立恒雄(1994,2006), フェルマーの大定理―整数論の源流,日本評論社/ちくま学芸文庫,より引用 り と う

(7/14),

ζrx + ζr−1y ≡ x + ζy (mod l)

.

� �

λ = 1 − ζ

,

,

xλr + (rx + y)λr−1 + · · · ≡ 0 (mod l)

.

� �

r � �

.

� �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 29

Page 30: – Fermat...– Fermat – – p. 38 足立恒雄(1994,2006), フェルマーの大定理―整数論の源流,日本評論社/ちくま学芸文庫,より引用 り と う

(8/14)• r = 0

• 1 < r < l − 1

• r = l − 1

r = 0 .

� �

,

x + ζ−1y ≡ x + ζy (mod l)

,

ζ(1 − ζ)(1 + ζ)y ≡ 0 (mod l)

ζ, 1 + ζ ,

� �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 30

Page 31: – Fermat...– Fermat – – p. 38 足立恒雄(1994,2006), フェルマーの大定理―整数論の源流,日本評論社/ちくま学芸文庫,より引用 り と う

(9/14)

(1 − ζ)y ≡ 0 (mod l)

� � �

(1 − ζ)y = α(ζ)l

(α ). 1− ζ l, y 1 − ζ

.

y , z l

� �

, y l

.

� � �

y 6≡ 0 (mod l).

� �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 31

Page 32: – Fermat...– Fermat – – p. 38 足立恒雄(1994,2006), フェルマーの大定理―整数論の源流,日本評論社/ちくま学芸文庫,より引用 り と う

(10/14)0 < r < l − 1 .

xλr + (rx + y)λr−1 + · · · ≡ 0 (mod l)

. λ = 1− ζ

� �

.

,

xλr + (rx + y)λr−1 + · · · =r∑

k=0

arλk = α(ζ)l

. l λ� � �

,a0 λ

� �

. a0

,

l

� � �

.

a0 ≡ 0 (mod l). � �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 32

Page 33: – Fermat...– Fermat – – p. 38 足立恒雄(1994,2006), フェルマーの大定理―整数論の源流,日本評論社/ちくま学芸文庫,より引用 り と う

(11/14)a1

arλr + · · · a2λ

2 + a1λ + a0 = α(ζ)l = α(ζ)u(ζ)λl−1

, a0 λl−1

.λ2

, a1

λ

,�

a1 ≡ 0 (mod l)

.

� � �

,

ar = x ≡ 0 (mod l)

,�.

� �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 33

Page 34: – Fermat...– Fermat – – p. 38 足立恒雄(1994,2006), フェルマーの大定理―整数論の源流,日本評論社/ちくま学芸文庫,より引用 り と う

(12/14)r = 1, l − 1 .

ζrx + ζr−1y ≡ x + ζy (mod l)

r = 1 ,�

(1 − ζ)(x − y) ≡ 0 (mod l)

. � x − y 1 − ζ

, x − y

� �

,

x − y ≡ 0 (mod l)

. r = l− 1 x− y ≡ 0 .

� �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 34

Page 35: – Fermat...– Fermat – – p. 38 足立恒雄(1994,2006), フェルマーの大定理―整数論の源流,日本評論社/ちくま学芸文庫,より引用 り と う

(13/14),

� �

,

xl + yl = zl

xyz 6≡ 0 (mod l) x, y, z,

x ≡ y (mod l)

� � �

� .� �

xl + yl = zl

.

xl + (−z)l = (−y)l

,

x ≡ −z (mod l)

.

� �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 35

Page 36: – Fermat...– Fermat – – p. 38 足立恒雄(1994,2006), フェルマーの大定理―整数論の源流,日本評論社/ちくま学芸文庫,より引用 り と う

(14/14)

xl ≡ x (mod l) ,

xl + yl = zl

x + x ≡ −x (mod l)

3x ≡ 0 (mod l)

x 6≡ 0 (mod l)

,

3 ≡ 0 (mod l)

� �

, � l = 3�

.

x3 + y3 = z3

� �

� ,

. 2

� �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 36

Page 37: – Fermat...– Fermat – – p. 38 足立恒雄(1994,2006), フェルマーの大定理―整数論の源流,日本評論社/ちくま学芸文庫,より引用 り と う

(1/2)•

, �,

� �

Fermat Case I.

• , Z[ζ] � �

!• .

� �� � �� ��

– Fermat

� �� � � �� �

– – p. 37

Page 38: – Fermat...– Fermat – – p. 38 足立恒雄(1994,2006), フェルマーの大定理―整数論の源流,日本評論社/ちくま学芸文庫,より引用 り と う

足立恒雄 (1994,2006), フェルマーの大定理―整数論の源流,日本評論社/ちくま学芸文庫,より引用

とこ

ヨーロッパ

とこ (2/2)Kummer Liouville

....

, ,

, 0 + 1 + n 1n 1

,

. ,,

,...

– Fermat – – p. 38足立恒雄 (1994,2006), フェルマーの大定理―整数論の源流,日本評論社/ちくま学芸文庫,より引用

と う

っとこ うと とこ

とり

う とこり

りこ

ダガーのみ