¸šทที่ 7.pdfบทที่ 7 ส่วนตกค้างก าลังสอง...

บทที่ 7

ส่วนตกค้างก าลังสอง (Quadratic residue)

การศึกษาการหาผลเฉลยของสมภาคเชิงเส้นที่มีหนึ่งตัวแปรที่กล่าวมาแล้วในบทที่

3 ในบทนี้จะเป็นการศึกษาการหาผลเฉลยของสมภาคก าลังสองที่มีหนึ่งตัวแปรซึ่งมีรูปทั่วไป

เป็น 2ax bx c 0 mod m ในกรณีเฉพาะที่จ านวนเต็ม b เท่ากับศูนย์ เราจะ

เรียก สมภาคนี้ว่า สมภาคก าลังสองแท้ (pure quadratic congruence) เราจะแสดงว่า

สมภาคก าลังสองในรูป 2ax bx c 0 mod p เมื่อ p เป็นจ านวนเฉพาะคี่ สมมูล

กับสมภาคก าลังสองแท้และสมภาคเชิงเส้น เราพบว่าสมภาคก าลังสองแท้อาจจะมีหรือไม่มี

ผลเฉลย แต่สมภาคเชิงเส้นจะมีผลเฉลยถ้าสมภาคก าลังสองมีผลเฉลย ดังนั้นสมภาคเชิงเส้น

2ax bx c 0 mod p จะมีผลเฉลยก็ต่อเมื่อ สมภาคก าลังสองแท้มีผลเฉลย ผู้ที่

ศึกษาสมภาคชนิดนี้ได้แก่ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (Johann Carl Friedrich Gauss)

ในบทที่ 7 นี้ เราจะกล่าวถึงสมภาคก าลังสอง สัญลักษณ์เลอฌ็องดร์ ก าหนดโดย

อาเดรียง มารี เลอฌ็องดร์ (Adrien-Marie Legendre, ค.ศ. 1752-1833) กฎส่วนกลับ

ก าลังสอง และสัญลักษณ์จาโคบี ซึ่งสัญลักษณ์ดังกล่าวจะช่วยให้การหาส่วนตกค้างก าลัง

สองได้สะดวกขึ้น

7.1 สมภาคก าลังสอง

การหาผลเฉลยของสมการก าลังสอง 2ax bx c 0 เมื่อ a,b และ c เป็น

จ านวนจริง และ a 0 ผลเฉลยคือ

2b b 4acx

2a ซึ่งเป็นที่คุ้นเคยกันดี ใน

หัวข้อนี้จะกล่าวถึงลักษณะของก าลังสองอีกแบบหนึ่งซึ่งก็คือสมภาคก าลังสอง เราจะ

พิจารณาหาผลเฉลยของสมภาคก าลังสองในมอดุโล p เมื่อ p เป็นจ านวนเฉพาะ ซึ่งเขียน

ในรูปดังนี้

2ax bx c 0 mod p 7.1.1

194 ทฤษฎีจ านวน

โดยที่ p | a หรือ a,p 1 ในกรณี p 2 เราพิจารณาหาผลเฉลยของ 7.1.1 ได้

โดยง่าย โดยการพิจารณาว่า x 0 หรือ x 1 เป็นผลเฉลยหรือไม่ ดังนั้น เราจะ

พิจารณาเฉพาะกรณีท่ี p เป็นจ านวนเฉพาะคี่ โดยที่ p | 4a หรือ 4a,p 1 ดังนั้นสม

ภาค 7.1.1 สมมูลกับ

24a ax bx c 0 mod p

2 24a x 4bx 4c 0 mod p

2

2 22ax 2 2ax b b b 4ac mod p

2 22ax b b 4ac modp

โดยให้ y 2ax b และ 2d b 4ac สามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูป

2y d modp 7.1.2

ดังนั้นเป็นการเพียงพอที่จะศึกษาเฉพาะการหาผลเฉลยของสมภาค 2y d modp

ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง 7.1.1 จงหาผลเฉลยของสมภาคก าลังสอง 22x 3x 1 0 (mod5)

วิธีท า จาก 22x 3x 1 0 (mod5)

คูณสมภาคด้วย 8 จะได้

216x 24x 8 0 (mod5)

หรือ

2

24x 3 3 8 (mod5)

ให้ y 4x 3 เราหาผลเฉลยของสมภาค

2y 1(mod5)

ได้ y 1,4(mod5) เป็นผลเฉลยของ 2y 1 mod5

ต่อไปหาผลเฉลยของสมภาคเชิงเส้น y 1(mod5) และ y 4(mod5)

แทนค่า y 4x 3

บทที่ 7 ส่วนตกค้างก าลังสอง 195

จะได้ 4x 3 1(mod5)

หรือ 4x 2(mod5)

เนื่องจาก 2 8(mod5)

จะได้ 4x 8(mod5)

ดังนั้น x 2(mod5)

จะได้ว่า 2 เป็นผลเฉลยของ 4x 3 1(mod5)

และ 4x 3 4(mod5)

หรือ 4x 1(mod5)

เนื่องจาก 1 16(mod5)

จะได้ 4x 16(mod5)

ดังนั้น x 4(mod5)

จะได้ว่า 4 เป็นผลเฉลยของ 4x 3 4(mod5)

นั่นคือ x 2,4 mod5 เป็นผลเฉลยของ 22x 3x 1 0 (mod5)

การใช้ Wolfram Alpha เพ่ือหาผลเฉลยของสมภาคก าลังสอง

22x 3x 1 0 (mod5) ดังภาพที่ 7.1.1

ผลลัพธ์ x 2 และ x 4

ภาพที่ 7.1.1 ผลเฉลยของสมภาคก าลังสอง 22x 3x 1 0 (mod5)

จากตัวอย่าง 7.1.1 จะเห็นว่า ถ้าต้องการหาผลเฉลยของสมภาคก าลังสอง

7.1.1 สามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูปสมการก าลังสอง 7.1.1 มาเป็นสมภาคก าลังสองที่

solve 2x^2+3x+1 congruent 0 mod 5


อยู่ในรูป 7.1.2 แล้วหาค่า y จากนั้นแทนค่า y กลับไปเป็นค่า x ดังนั้นสมภาคก าลัง

สองท่ีเราสนใจก็คือสมภาคก าลังสองที่อยู่ในรูป

2x a modp 7.1.3

เมื่อ p เป็นจ านวนเฉพาะคี่และ a เป็นจ านวนเต็ม ถ้า p a แล้ว 7.1.3 มีผลเฉลยคือ

x 0 modp เป็นผลเฉลยเดียว

ปัญหาที่ส าคัญที่เราจะศึกษาต่อไปคือ การหาเงื่อนไขที่จะพิจารณาว่าเมื่อไรสมภาค

มีผลเฉลย ดังบทนิยามต่อไปนี้ (จิราภา ลิ้มบุพศิริพร, 2555, น. 185; สมจิต โชติชัยสถิตย์,

2540, หน้า 43; สมใจ จิตพิทักษ์, 2547, น. 197; Burton, D. M., 2007, p. 171)

บทนิยาม 7.1.1

ก าหนดให้ p เป็นจ านวนเฉพาะคี่และ a เป็นจ านวนเต็ม ซึ่ง a,p 1 ถ้า

2x a (modp) มีผลเฉลยแล้ว จะเรียก a ว่าเป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ p

(quadratic residue of p ) และ ถ้า 2x a (modp) ไม่มีผลเฉลย จะเรียก a

ว่าไม่เป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ p (quadratic nonresidue of p )

จากตัวอย่าง 7.1.1 จะได้ว่า 2y 1 mod5 มีผลเฉลยคือ 1 และ 4 ดังนั้น 1

และ 4 เป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ 5

ตัวอย่าง 7.1.2 จงพิจารณาจ านวนเต็มบวกท่ีน้อยกว่า 13 ว่ามีจ านวนใดบ้างที่เป็นส่วน

ตกค้างก าลังสองของ 13 และ มีจ านวนใดบ้างที่ไม่เป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ 13

วิธีท า ในการหาส่วนตกค้างก าลังสองของ 13 เราจะหาจ านวนเต็ม a ซ่ึง 1 a 12

และท าให้สมภาค 2x a (mod13) มีผลเฉลยเนื่องจาก

2 21 12 1 mod13

2 22 11 4 mod13

2 23 10 9 mod13

2 24 9 3 mod13


2 25 8 12 mod13

2 26 7 10 mod13

เพราะฉะนั้น จ านวนเต็ม a ที่มีสมบัติดังกล่าวคือ 1,3,4,9,10,12 ดังนั้นจ านวนเต็มซึ่งเป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ 13 คือ 1,3,4,9,10,12 และจ านวนเต็ม a ซึ่งไม่เป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ 13 คือ 2,5,6,7,8,11

จากตัวอย่าง 7.1.2 เราพบว่าจ านวนเต็มซึ่งอยู่ระหว่าง 1 ถึง 12 จะแบ่ง ออกเป็น 2 กลุ่มเท่า ๆ กัน ระหว่างส่วนตกค้างก าลังสองและไม่เป็นส่วนตกค้างก าลังสอง ออยเลอร์ได้พบเกณฑ์ง่าย ๆ ที่ใช้ในการตรวจสอบว่าจ านวนเต็มที่ก าหนดให้เป็นส่วนตกค้างก าลังสองของจ านวนเฉพาะหรือไม่ ดังรายละเอียดในทฤษฎีบทต่อไปนี้ (จิราภา ลิ้มบุพศิริพร, 2555, น. 186; สมจิต โชติชัยสถิตย์, 2540, หน้า 44; สมใจ จิตพิทักษ์, 2547, น. 198;

Burton, D. M., 2007, p. 171)

ทฤษฎีบท 7.1.1 เกณฑ์ของออยเลอร์ (Euler’s criterion)

ก าหนดให้ p เป็นจ านวนเฉพาะคี่และ a เป็นจ านวนเต็มที่ a,p 1 จะได้ว่า a

เป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ p ก็ต่อเมื่อ

p 12a 1 modp

บทพิสูจน์

สมมติให้ a เป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ p

ดังนั้น สมภาค 2x a (modp) มีผลเฉลย ให้เป็น 0

x

เนื่องจาก a,p 1 ดังนั้น 2

0x a (modp)

จะได้ 2

0x ,p 1 หรือ 0

x ,p 1 โดยทฤษฎีบท 3.6.1

ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มา จะได้

2

0 0

p 1p 1p 122a x x 1 modp

เพราะฉะนั้นจะได้

p 12a 1 modp


สมมติให้

p 12a 1 modp จะแสดงว่า a เป็นส่วนตกค้างก าลังสอง

ของ p

ก าหนดให้ r เป็นรากปฐมฐานของ p

ดังนั้น ka r modp ส าหรับจ านวนเต็ม k บางตัวที่

1 k p 1

ดังนั้น

k p 1 p 1

2 2r a 1 modp โดยทฤษฎีบท 6.1.1

อันดับของ r คือ p 1 จะได้

k p 1p 1

2

จะได้ว่า k ต้องเป็นจ านวนคู่ ให้ k 2j เพราะฉะนั้น

2

j 2j kr r r a modp

ได้ว่า jr เป็นผลเฉลยของสมภาค 2x a (modp)

นั่นคือ a เป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ จ านวนเฉพาะ p

ถ้า p เป็นจ านวนเฉพาะคี่และ a,p 1 แล้ว

p 1 p 1p 12 2a 1 a 1 a 1 0 modp


p 12a 1 modp เป็นส่วนตกค้างก าลังสอง หรือ

p 12a 1 modp

ไม่เป็นส่วนตกค้างก าลังสอง อย่างใดอย่างหนึ่ง

ตัวอย่าง 7.1.3 จงพิจารณาว่า 2 และ 3 เป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ 13 หรือไม่

วิธีท า จาก

13 1

622 2 64 1 mod13

เพราะฉะนั้น 2 ไม่เป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ 13

หรือ 2x 2 (mod13) ไม่มีผลเฉลย

จาก

13 1

622 3 729 1 mod13


เพราะฉะนั้น 3 เป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ 13

หรือ 2x 3 (mod13) มีผลเฉลย

และจากการแทนค่าจะเห็นว่า 4 เป็นผลเฉลยของ 2x 3 (mod13)

นั่นคือ 4 และ 9 เป็นผลเฉลยของ 2x 3 (mod13)

7.2 สัญลักษณ์เลอฌ็องดร์

การศึกษาส่วนตกค้างก าลังสองของจ านวนเฉพาะ p ในระดับที่ลึกลงไปจะยุ่งยากซับซ้อนมากหาไม่มีสัญลักษณ์ช่วย นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชื่อ อาเดรียง มารี เลอฌ็องดร์ (Adrien-Marie Legendre, ค.ศ. 1752-1833) ได้ก าหนดสัญลักษณ์ขึ้นมาเพ่ือช่วยในการศึกษาดังกล่าวให้ง่ายขึ้น และที่ส าคัญก็คือ สัญลักษณ์นี้เกี่ยวพันถึงเรื่องกฎภาวะส่วนกลับก าลังสอง ซึ่งจะกล่าวถึงในหัวข้อต่อไป สัญลักษณ์ที่จะกล่าวถึงนี้เรียกตามผู้คิดขึ้นใช้ว่า “สัญลักษณ์เลอฌ็องดร์” ดังบทนิยามต่อไปนี้ (จิราภา ลิ้มบุพศิริพร, 2555, น. 189; สมจิต โชติชัยสถิตย์, 2540, หน้า 45; สมใจ จิตพิทักษ์, 2547, น. 202; Burton, D. M.,

2007, p. 175)

บทนิยาม 7.2.1 สัญลักษณ์เลอฌ็องดร์(Legendre symbol)

ก าหนดให้ p เป็นจ านวนเฉพาะคี่และ a เป็นจ านวนเต็มที่ a,p 1 สัญลักษณ์

เลอฌ็องดร์ (Legendre symbol)

a

p นิยามดังนี้

a

p

ในบางครั้งก าหนดสัญลักษณ์เลอฌ็องดร์เป็น a p หรือ a / p ส าหรับ a จะ

เรียกว่า ตัวเศษ (numerator) และ p เรียกว่า ตัวส่วน (denominator) ของสัญลักษณ์

a

p

1 ถ้า a เป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ p

1 ถ้า a ไม่เป็นส่วนตกค้างก าลังสองของ


ทฤษฎีบทต่อไปจะเกี่ยวกับสมบัติเบื้องต้นของสัญลักษณ์เลอฌ็องดร์ (จิราภา ลิ้ม

บุพศิริพร, 2555, น. 190; สมจิต โชติชัยสถิตย์, 2540, หน้า 46; สมใจ จิตพิทักษ์, 2547,

น. 202-203; Burton, D. M., 2007, p. 176)

ทฤษฎีบท 7.2.1

ก าหนดให้ p เป็นจ านวนเฉพาะคี่ a และ b เป็นจ านวนเต็มที่ a,p b,p 1

จะได้ว่า

1

11

p

2

p 1

21

1p

3

p 1

2a

a modpp

4

2a

1p

5

ab a b

p p p

6

2ab a

p p

7 ถ้า a b modp แล้ว

a b

p p

บทพิสูจน์ ก าหนดให้ p เป็นจ านวนเฉพาะคี่ a และ b เป็นจ านวนเต็มที่ a,p b,p 1

1 3 เป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบท 7.1.1 เกณฑ์ของออยเลอร์ร่วมกับ

บทนิยาม 7.2.1 สัญลักษณ์เลอฌ็องดร์

1 ถ้า p 1 mod4

1 ถ้า p 3 mod4


4 เนื่องจาก a เป็นผลเฉลยของ 2 2x a (modp)


2a

1p

5 จากข้อ 1 จะได้

p 1 p 1 p 1

2 2 2ab a b

ab a b modpp p p

เนื่องจากสัญลักษณ์เลอฌ็องดร์ มีค่าเป็นไปได้ 2 ค่าคือ 1 หรอื 1

พิจารณาถ้า

ab a b

p p p

จะได้ 1 1 modp ซึ่งขัดแย้งกับ p เป็นจ านวนเฉพาะคี่

ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะ p 2 ดังนั้น

ab a b

p p p

6 จากข้อ 4 และ ข้อ 5

จะได้

2 2ab a b a

p p p p


2ab a

p p

7 ถ้า a b modp

พิจารณากรณีท่ี

a1

p นั่นคือ 2x a (modp) มีผลเฉลย

ให้เป็น 0

x ดังนั้น 0

x a (modp) จาก a b modp จะได้

2

0x b (modp) นั่นคือ

0x เป็นผลเฉลยของ 2x b (modp)

จะได้ว่า 2x b (modp) มีผลเฉลยเพราะฉะนั้น

b1

p


พิจารณากรณีท่ี

a1

p นั่นคือ 2x a (modp) ไม่มีผลเฉลย

จาก a b modp จะได้ 2x b (modp) ไม่มีผลเฉลย


a1

p นั่นคือ

a b

p p

ตัวอย่าง 7.2.1 จงพิจารณาว่า 2x 334(mod31) มีผลเฉลยหรือไม่


2334 24 6 2 6 2 3

31 31 31 31 31 31

จาก

31 1 3 315 5 322 2 2 32 1 1 mod31

เพราะฉะนั้น

21

31

จาก

31 1 5 515 323 3 3 4 1024 1 mod31


31

31

นั่นคือ

3341 1 1

31 หรือ 2x 334(mod31) ไม่มีผลเฉลย

ทฤษฎีบทต่อไปนี้กล่าวถึงเงื่อนไขที่เพียงพอซึ้งใช้ในการพิจารณาว่าจ านวนเต็มที่

ก าหนดให้เป็นส่วนตกค้างก าลังสองหรือไม่ (จิราภา ลิ้มบุพศิริพร, 2555, น. 194; สมใจ จิต

พิทักษ์, 2547, น. 205-206; Burton, D. M., 2007, pp. 179-180)

ทฤษฎีบท 7.2.2 บทตั้งของเกาส์ (Gauss’ s lemma)

ก าหนดให้ p เป็นจ านวนเฉพาะคี่และ a เป็นจ านวนเต็มที่ a,p 1 ถ้า n แทน

จ านวนของจ านวนเต็มในเซต

p 1S a,2a, , a

2

ซึ่งเศษเหลือได้จากการหาร p ด้วย p

2 แล้ว

na1

p



เนื่องจาก a,p 1 เราพบว่าจ านวนเต็ม 2 จ านวนใด ๆ ที่แตกต่างกันในเซต

S จะไม่สมภาคมอดุโล p และไม่มีจ านวนเต็มใด ๆ ในเซต S สมภาคกับศูนย์

ให้ 1 2 mr , r , , r เป็นเศษเหลือที่ได้จากการหารด้วย p ที่

j

p1 r

2 และ

1 2 ns , s , , s เป็นเศษเหลือที่

i

pp s

2 แล้ว

p 1

m n2

และจ านวนเต็ม

1 2 m 1 2 nr , r , , r ,p s ,p s ,p s

เป็นจ านวนเต็มบวกและน้อยกว่า p

2

ในการพิสูจน์ว่าจ านวนเต็มเหล่านี้แตกต่างกันทั้งหมดเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า ไมม่ี

ip s ตัวใดเท่ากับ

jr ใด ๆ สมมติในทางตรงข้ามว่า

i jp s r

ส าหรับจ านวนเต็ม i และ j บางตัว จะมีจ านวนเต็ม u และ v ที่

p 11 u,v

2 โดยที่

i

s ua modp และ jr va modp


i j

u v a s r p 0 modp

แต่ a,p 1 จะได้ u v 0 modp แต่สมภาคนี้จะเป็นจริงไม่ได้

เพราะว่า 1 u v p 1 เนื่องจาก

p 1m n

2 ดังนั้น

1 2 m 1 2 nr , r , , r ,p s ,p s ,p s

คือจ านวนเต็ม p 11,2, ,

2 โดยที่ล าดับไม่จ าเป็นต้องตรงกัน ผลคูณของจ านวน

เต็มเหล่านี้คือ p 1!

2

1 m 1 n

1 m 1 nn

1 m 1 n

p 1! r r p s p s

2r r s s modp

1 r r s s modp


แต่จากท่ีเราทราบว่า 1 2 m 1 2 nr , r , , r , s , s , , s สมภาคมอดุโล p กับ

p 1a,2a, , a

2 ในล าดับใดล าดับหนึ่ง ดังนั้น

np 1 p 1! 1 a 2a a modp

2 2

p 1n 2 p 1

1 a ! modp2

เนื่องจาก p 1!

2 เป็นจ านวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ p จะได้

p 1n 21 1 a modp

โดยการคูณ n

1 จะได้

p 1n2a 1 modp

โดยใช้ทฤษฎีบท 7.2.1 ข้อ 3 จะได้

p 1n2a

a 1 modpp

เพราะว่า

a

p

มีค่าเป็น 1 หรือ 1 เท่านั้น

นั่นคือ

na1 modp

p

ตัวอย่าง 7.2.2 ก าหนดให้ p 13 และ a 5 จงหา

a

p โดยใช้บทตั้งของเกาส์


p 1 13 16

2 2 เพราะฉะนั้นเราจะก าหนดให้

S a,2a,3a,4a,5a,6a 5,10,15,20,25,30

พิจารณาเศษเหลือที่ได้จากการหารจ านวนเต็มใน S ด้วย 13 ดังนี้

5mod13 5 10mod13 10 15mod13 2 20mod13 7 25mod13 12 30mod13 4


จะเห็นว่าจ านวนเต็มในเซต S ที่หารด้วย 13 แล้วมีเศษเหลือมากกว่า

p 13

6.52 2

มีทั้งหมด 3 จ านวนคือ 10,20, และ 25

จากบทตั้งของเกาส์จะได้ว่า

3a 51 1

p 13

จากทฤษฎีบท 7.2.2 จะได้ผลตามมาที่น่าสนใจหลายประการ ประการแรกท่ีเราจะ กล่าวในทฤษฎีบทต่อไปนี้จะบอกว่าจ านวนเฉพาะตัวใดบ้างที่มี 2 เป็นส่วนตกค้างก าลังสอง (สมจิต โชติชัยสถิตย,์ 2540, หน้า 50; สมใจ จิตพิทักษ์, 2547, น. 207; อัจฉรา หาญชูวงศ,์ 2542, น. 199; Burton, D. M., 2007, p. 180; Rosen, K. H., 2005, p.

408)


ก าหนดให้ p เป็นจ านวนเฉพาะคี่ แล้ว

2

p


จากทฤษฎีบท 7.2.2 จะได้ว่า n2

1p

โดยที่ n เป็นจ านวนของจ านวน

เต็มในเซต

p 1S 1 2,2 2, , 2

2

ซึ่งเมื่อหารด้วย p แล้วเหลือเศษเหลือเกิน p

2 สมาชิกทุกจ านวนในเซต S

จะน้อยกว่า p ดังนั้นจึงเป็นการเพียงพอที่จะนับว่ามีกี่จ านวนที่เกิน p

2 ส าหรับ

p 11 k

2

เรามี p

2k2

ก็ต่อเมื่อ pk

4

ถ้า แทนฟังก์ชันจ านวนเต็มมากสุดแล้ว จะมีจ านวนเต็มใน S

1 ถ้า p 1 mod8 หรือ p 7 mod8

1 ถ้า p 3 mod8 หรือ p 5 mod8


ที่น้อยกว่า p

2 อยู่ p

4


p 1 pn

2 4

เป็นจ านวนของจ านวนเต็มที่เกิน p

2

เนื่องจาก p เป็นจ านวนเฉพาะคี่ p อาจจะอยู่ในรูปใดรูปหนึ่ง คือ

8k 1, 8k 3, 8k 5 หรือ 8k 7 จากการค านวณง่าย ๆ ดังนี้

ถ้า p 8k 1 แล้ว

8k 1 1 8k 1 1

n 4k 2k2 4 4

4k 2k 2k


8k 3 1 8k 3 3

n 4k 1 2k2 4 4

4k 1 2k 2k 1


8k 5 1 8k 5 1n 4k 2 2k 1

2 4 4

4k 2 2k 1 2k 1


8k 7 1 8k 7 3n 4k 3 2k 1

2 4 4

4k 3 2k 1 2k 2

ดังนั้นเมื่อ p อยู่ในรูป 8k 1 หรือ 8k 7 แล้ว n เป็น คู่ และ 21

p

และ

เมื่อ p อยู่ในรูป 8k 3 หรือ 8k 5 แล้ว n เป็น คี่ และ 21

p


สังเกตว่าถ้าจ านวนเฉพาะ p อยู่ในรูป 8k 1 นั่นคือ p 1 mod8

หรือ p 7 mod8 แล้ว

2

2 22

8k 1 1p 1 64k 16k8k 2k

8 8 8

เป็นจ านวนเต็มคู่ ในกรณีนี้เราได้

2p 1

82

1 1p

และถ้าจ านวนเฉพาะ p อยู่ในรูป 8k 3 นั่นคือ p 3 mod8 หรือ

p 5 mod8 แล้ว

2

2 22

8k 3 1p 1 64k 84k 88k 6k 1

8 8 8

เป็นจ านวนเต็มคี่ ในกรณีนี้เราได้

2p 1

82

1 1p

จากข้อสังเกตนี้เราสามารถสรุปเป็นบทแทรกได้ดังนี้ (สมจิต โชติชัยสถิตย,์ 2540,

หน้า 51; สมใจ จิตพิทักษ์, 2547, น. 208; Burton, D. M., 2007, p. 181)

บทแทรก 7.2.1

ก าหนดให้ p เป็นจ านวนเฉพาะคี่ แล้ว

2p 182

1p

ตัวอย่าง 7.2.3 จงพิจารณาว่า 2x 89 mod13 มีผลเฉลยหรือไม่

วิธีท า จาก 89 2 1 2

13 13 13 13

จาก 13 1

211 1

13

และ

13 122

1 113


เพราะฉะนั้น จะได้ว่า 89

1 1 113

นั่นคือ 2x 89 mod13 ไม่มีผลเฉลย

7.3 กฎส่วนกลับก าลังสอง

เมื่อก าหนดให้ p และ q เป็นจ านวนเฉพาะคี่ที่แตกต่างกัน ซึ่งเมื่อเขียนสัญลักษณ์

เลอฌ็องดร์ ปัญหานี้ก็คือความสัมพันธ์ระหว่าง p

q

และ q

p

นักคณิตศาสตร์ในปลาย

ศตวรรษที่ 18 ได้ให้ความสนใจสัญลักษณ์ทั้งสองนี้ว่ามีความสัมพันธ์กันอย่างไร ในปี ค.ศ.

1785 เลอฌ็องดร์ p

q

และ q

p

สัมพันธ์กันโดยสูตร p 1 q 1

2 2p q

1q p

สูตรนี้รู้จักกันดีในชื่อว่า กฎส่วนกลับก าลังสอง (Quadratic Reciprocity Law)

แต่มีหลักฐานทางตัวเลขระบุว่า ออยเลอร์ได้พบผลลัพธ์แบบเดียวกันใน ปี ค.ศ. 1783 เกาส์

เป็นบุคคลแรกที่สามารถพิสูจน์กฎส่วนกลับก าลังสองได้อย่างสมบูรณ์ เมื่อเกาส์อายุได้เพียง

19 ปี คือ ปี ค.ศ. 1796 กฎส่วนกลับก าลังสองจะกล่าวดังทฤษฎีบทต่อไปนี้ (สมจิต โชติ

ชัยสถิตย์, 2540, หน้า 54; สมใจ จิตพิทักษ์, 2547, น. 214; อัจฉรา หาญชูวงศ์, 2542, น.

102; Burton, D. M., 2007, p. 176; Raji, W., 2013, pp. 114; Rosen, K. H.,

2005, p. 417)

ทฤษฎีบท 7.3.1 กฎส่วนกลับก าลังสอง (quadratic reciprocity law)

ก าหนดให้ p และ q เป็นจ านวนเฉพาะคี่ท่ีแตกต่างกัน จะได้ว่า

p 1 q 1

2 2p q

1q p


พิจารณาสี่เหลี่ยมด้านขนานในระนาบ xy โดยมีจุดยอดอยู่ที่จุด

p q

0,0 , ,0 , 0,2 2

และ p q,

2 2

ให้ R เป็นบริเวณภายในสี่เหลี่ยมรูปนี้โดยไม่รวมเส้นขอบ


จะเรียกจุดที่มีพิกัดเป็นจ านวนเต็มว่าจุดแลตทิช (lattice)

เราต้องการนับจ านวนแลตทิชในบริเวณ R

เนื่องจาก p และ q ต่างก็เป็นจ านวนเฉพาะ จุดแลตทิชใน R

ประกอบด้วยจุด m,n ซ่ึง p 11 n

2

และ q 1

1 m2

ดังนั้นจ านวนจุดทั้งหมดจะเท่ากับ p 1 q 1

2 2

เส้นทแยงมุม D จาก 0,0 ไปยัง p q,

2 2

มีสมการเป็น qy x

p

หรือ

py qx เพราะว่า p,q 1 ดังนั้นไม่มีจุดแลตทิชภายใน R อยู่บน D

เพราะถ้ามีจุดแลตทิช m,n บน D ดังนั้น pn qm นั่นคือ p m และ

q n ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะว่า 1 m p และ 1 n q

สมมติให้ 1

T แทนส่วนของ R ที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุม D

และ 2

T แทนส่วนของ R ที่อยู่เหนือเส้นทแยงมุม D

การนับจุดแลตทิชใน R จึงเท่ากับการนับจุดในแลตทิชภายในสามเหลี่ยมสองรูปนี้

จ านวนของจ านวนเต็มในช่วง kq0 y

p คือ kq

p

ดังนั้น ส าหรับ

p 11 k

2

จะมีจุดแลตทิชที่อยู่เหนือจุด k,0 ไปยัง kq

k,p

จะมีทั้งหมดเท่ากับ kq

p

เพราะฉะนั้น จ านวนแลตทิชที่อยู่ใน 1

T เท่ากับ

k 1

p 12 kq

p


ภาพที่ 7.2.1 แสดงจ านวนจุดแลตทิชในบริเวณ R

การค านวณในท านองเดียวกัน โดยการสับเปลี่ยนบทบาทของ q และ p จะได้ว่า

จ านวนจุดแลตทิชทั้งหมดใน 2

T เท่ากับ

j 1

q 12 jp

q

ดังนั้นจ านวนจุดแลตทิชทั้งหมดใน R เท่ากับ

k 1 j 1

p 1 q 12 2p 1 q 1 kq jp

2 2 p q

โดยทฤษฎีบท 7.2.2 จะได้

j 1 k 1

q 1 p 12 2p q jp kq

1 1q p q p

j 1 k 1

q 1 p 12 2jp kq

1q p

p 1 q 1

2 21

0,0

q0,

2

2T

D p q

,2 2

kqk,

p

k,0 p,0

2

1T


ผลจากทฤษฎีบท 7.3.1 จะท าให้สามารถสรุปกฎส่วนกลับก าลังสองในรูปแบบ

อ่ืน ๆ ได้ดังบทแทรก 7.3.1 ต่อไปนี้ (สมจิต โชติชัยสถิตย์, 2540, หน้า 56; สมใจ จิตพิทักษ์

, 2547, น. 216; Burton, D. M., 2007, p. 188)



p q

q p


เพราะว่า p 1 q 1

2 2

เป็นจ านวนคู่ ก็ต่อเมื่อ p 4k 1

หรือ q 4k 1 โดยทฤษฎีบท 7.3.1 จึงได้ว่า p q1

q p

เพราะว่า p 1 q 1

2 2

เป็นจ านวนคี่ ก็ต่อเมื่อ p 4k 3

หรือq 4k 3 โดยทฤษฎีบท 7.3.1 จึงได้ว่า p q1

q p

จากบทแทรก 7.3.1 เมื่อน า q

p

คูณทั้งสองข้างของสมการและใช้ 2

q1

p

จะได้บทแทรก 7.3.2 ดังต่อไปนี้ (สมจิต โชติชัยสถิตย์, 2540, หน้า 56; สมใจ จิตพิทักษ์,

2547, น. 216; Burton, D. M., 2007, p. 188)



p q

q p

1 ถ้า p 1 mod4 หรือ q 1 mod4

1 ถ้า p q 3 mod4

q

p

ถ้า p 1 mod4 หรือ q 1 mod4

q

p

ถ้า p q 3 mod4



ให้ p 1 mod4 หรือ q 1 mod4 โดยบทแทรก 7.3.1

จะได้ p q1

q p


2p q q

q p p

เนื่องจาก

2q

1p

เพราะฉะนั้น p q

q p

ให้ p q 3 mod4 โดยบทแทรก 7.3.1 จะได้ p q1

q p

ดังนั้น 2

p q q

q p p

เนื่องจาก

2q

1p

เพราะฉะนั้น p q

q p


วิธีท า จาก 2559 29 53 24 2 3 2 2 3

53 53 29 29 29 29 29 29 29

จาก 2 29 1

129 2 2

และ 3 29 2 1

129 3 3 3


1 1 153

นั่นคือ 2x 559(mod 53) มีผลเฉลย


วิธีท า จาก 1763 231 1 3 7 11

997 997 997 997 997 997

จาก 997 1 mod4 , 3 3 mod4 , 7 3 mod4

และ 11 3 mod4


จะได้ 11

997

3 997 11

997 3 3

7 997 3 7 11

997 7 7 3 3

11 997 7 11 41

997 11 11 7 7


1 1 1 1 1997

นั่นคือ 2x 1763(mod997) มีผลเฉลย

กฎส่วนกลับก าลังสองมีบทประยุกต์เป็นจ านวนมาก หนึ่งในจ านวนนั้นคือการ

พิสูจน์การเป็นจ านวนเฉพาะของแฟร์มา ดังทฤษฎีบทต่อไปนี้ (วสันต์ จินดารัตนาภรณ์, น.

209; อัจฉรา หาญชูวงศ์, 2542, น. 109; Rosen, K. H., 2005, p. 425)

ทฤษฎีบท 7.3.2 การทดสอบของเปอแปง (Pepin’s test)

ส าหรับจ านวนเต็ม n 1 จ านวนแฟร์มา n

n2F 2 1 เป็นจ านวนเฉพาะก็ต่อเมื่อ

nF 1

2n

3 1 modF


สมมติ n

n2F 2 1 เป็นจ านวนเฉพาะ

เนื่องจาก n 1 ดังนั้น nF 1 mod4

และเนื่องจาก 22 4 1 mod3

ดังนั้น n 1n 222 2 1 mod3

ท าให้ n

n2F 2 2 mod31

โดยทฤษฎีบท 7.3.1 จะได้ n

n

F3 21

F 3 3


โดยทฤษฎีบท 7.2.2 บทตั้งของเกาส์ จึงได้ว่า

n

nn

F 123

1 3 modFF

สมมติว่า nF 1

2n

3 1 modF

ดังนั้น nF 1

n3 1 modF

และ n3,F 1

ให้ p เป็นจ านวนเฉพาะที่ n

p F ดังนั้น 3,p 1 จะได้ว่า

nF 1

23 1 modp

และ nF 13 1 modp

นั่นคือ อันดับของ 3 มอดุโล p คือ n

F 1

โดยทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาและทฤษฎีบท 6.1.1 จะได้ว่า

nF 1 p 1 ท าให้ได้ว่า

nF p แต่เนื่องจาก

np F

จึงได้ด้วยว่า n

p F ดังนั้น n

F p เป็นจ านวนเฉพาะ

ตัวอย่าง 7.3.3 จงแสดงว่า 3

3 82F 2 1 2 1 257 เป็นจ านวนเฉพาะ

วิธีท า จาก 3F 1 257 1

1282 2

และ

3

3 27 0 mod257

5

3 81 3 243 14 mod257

210

3 14 mod257196 16

20 2

3 3721 123 mod25716

40 2

3 123 15129 223 34 mod257

80 2

3 34 1156 128 mod257

120 40 80

3 3 3 34 128 4352 240 17 mod257

128 3 5 120

3 3 3 3 27 17 14 6426 1 mod257

จะได้ว่า 3F 1

23

3 1 modF


นั่นคือ 3

F เป็นจ านวนเฉพาะ

7.4 สัญลักษณ์จาโคบี

เราได้ศึกษาสัญลักษณ์เลอฌ็องดร์และทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องมาแล้วในหัวข้อนี้จะ

ขยายสัญลักษณ์เลอฌ็องดร์เป็นรูปทั่วไปได้เป็นสัญลักษณ์จาโคบี ดังบทนิยามต่อไปนี้

(จิราภา ลิ้มบุพศิริพร, 2555, น. 220-221; อัจฉรา หาญชูวงศ์, 2542, น. 111; Raji, W.,

2013, pp. 116; Rosen, K. H., 2005, p. 430)

บทนิยาม 7.4.1

ก าหนดให้ n เป็นจ านวนเต็มบวกค่ีซึ่งสามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจ านวนเฉพาะ 1 2 rk k k

1 2 rn p p p และ a เป็นจ านวนเต็มที่ a,n 1 สัญลักษณ์จาโคบี (Jacobi

symbol) a

n

ก าหนดโดย

1 2 rr

i 1 i 1 2 r

i k k kka a a a a

n p p p p

ตัวอย่าง 7.4.1

1 2

55

เพราะว่า 55 5 11 เพราะฉะนั้น

2 2 2

1 1 155 5 11

2 109

385

เพราะว่า 385 5 7 11 เพราะฉะนั้น

109 109 109 109 109

385 5 7 11 5 7 11

4 4 10

5 7 11


2 22 2 10

5 7 11

1 1 1 1

จากบทนิยามของสัญลักษณ์เลอฌ็องดร์ เราได้ว่า ส าหรับจ านวนเต็ม a ที่

a,p 1 ถ้า 2x a modp มีผลเฉลยก็ต่อเมื่อ a1

p

แต่ส าหรับสัญลักษณ์

จาโคบี สัญลักษณ์จาโคบีจะมีสมบัติเหมือนกับสมบัติของสัญลักษณ์เลอฌ็องดร์ ดังทฤษฎีบท

ต่อไปนี้ (วสันต์ จินดารัตนาภรณ์, น. 212; อัจฉรา หาญชูวงศ์, 2542, น. 111; Rosen,

K. H., 2005, p. 431)


ก าหนดให้ n และ m เป็นจ านวนเต็มบวกค่ี a และ b เป็นจ านวนเต็มที่เป็นจ านวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n และ m จะได้ว่า

1 ถ้า a b modn แล้ว a b

n n

2 ab a b

n n n

3 a a a

nm n m

บทพิสูจน์ ให้ n เขียนในรูปผลคูณของจ านวนเฉพาะได้เป็น 1 2k k kr

1 2 rn p p p และ 1 2e e e1

s2 sm q q q

1 จาก a,n 1 จึงได้ว่า ia,p 1 ส าหรับ 1 i r

เนื่องจาก a b modn จึงได้ว่า ia b modp

โดยทฤษฎีบท 7.2.1 จึงได้ว่า i i

a b

p p

ส าหรับ 1 i r

ดังนั้น i ik k

r r

i 1 i 1i i

a a b b

n p p n


2 จาก a,n 1 จึงได้ว่า ia,p 1 ส าหรับ 1 i r

โดยบทนิยาม 7.4.1 และทฤษฎีบท 7.2.1 จึงได้ว่า ir

i 1 i

kab ab

n p

i ir

i 1 i i

k ka b

p p

i ir r

i 1 i 1i i

k ka b

p p

a b

n n

3 จาก a,n 1 จึงได้ว่า i ja,p a,q 1 ส าหรับ 1 i r

และ 1 i s โดยบทนิยาม 7.4.1 และทฤษฎีบท 7.2.1 จึงได้ว่า

ir

i 1 i 1i i

ik esa a a a a

nm p q n m


ก าหนดให้ n เป็นจ านวนเต็มบวกค่ี โดยที่ n 2 จะได้ว่า

1 n 121

1n

2 2n 182

1n


ให้ n เขียนในรูปผลคูณของจ านวนเฉพาะได้เป็น 1 2k k kr

1 2 rn p p p

1 จาก a,n 1 จึงได้ว่า ia,p 1 ส าหรับ 1 i, j r


โดยทฤษฎีบท 7.2.1 ข้อ 2 จะได้

i ii

k p 1r

i 1 i

r rii

i 1 i 1

kk

p 12 21 1

1 1n p

สามารถเขียน n ได้ใหม่ในรูป

r

ii 1

ik

n 1 p 1

เพราะว่า i

p 1 เป็นจ านวนคู่ จึงได้ว่า

ik

i i i1 p 1 1 k p 1 mod4

และ

i i j j i i j j1 k p 1 1 k p 1 1 k p 1 k p 1 mod4


r

i ii 1

n 1 k p 1 mod4


ri i

i 1

k p 1n 1mod2

2 2

และจาก i i

kr

i 1 i

r iii

i 1

p 1r

i 1

k kp 12 21 1

1 1n p

นั่นคือ n 121

1n

2 จาก a,n 1 จึงได้ว่า ia,p 1 ส าหรับ 1 i, j r

โดยบทแทรก 7.2.1 จะได้ว่า

2 2i2i i i iir r

i 1 i 1i

ir r

i 1 i 1

kk p 1 k p 1p 18 88

k

2 21

n p1 1


จากข้อ 1 จะได้ว่า

r

2 2

ii 1

ik

n 1 p 1

เพราะว่า 2

ip 1 0 mod8 เราจะได้ว่า

ik

2 2

i i i1 p 1 1 k p 1 mod64

และ

2 2 2 2

i i j j i i j j1 k p 1 1 k p 1 1 k p 1 k p 1 mod64


r

2 2

i ii 1

n 1 k p 1 mod64


22 ri i

i 1

k p 1n 1mod8

8 8

และจาก

2 2i2i i i iir r

i 1 i 1i

ir r

i 1 i 1

kk p 1 k p 1p 18 88

k

2 21

n p1 1

นั่นคือ 2n 1

82

1n

ตัวอย่าง 7.4.2 จงหาค่า 111

1001

วิธีท า เนื่องจาก 1001 1 mod4

ดังนั้น 111 1001

1001 111

แต่ 1001 2 mod111 และ

111 1 mod8


โดยทฤษฎีบท 7.4.2 จึงได้ว่า

111 1001 2

1001 111 111

2111 1

154081 1 1

ทฤษฎีบทต่อไปจะกล่าวถึงกฎส่วนกลับก าลังสองส าหรับสัญลักษณ์จาโคบี (จิราภา

ลิ้มบุพศิริพร, 2555, น. 225; วสันต์ จินดารัตนาภรณ์, น. 215; อัจฉรา หาญชูวงศ์, 2542,

น. 111; Rosen, K. H., 2005, p. 433)


ก าหนดให้ n และ m เป็นจ านวนเต็มบวกค่ี ซึ่ง m,n 1 จะได้ว่า

n 1 m 12 2n m

1m n

บทพิสูจน์ ให้ 1 2 sa a

1 2asm p p p เมื่อ

1 2 sp ,p , ,p เป็นจ านวนเฉพาะคี่

และ 1 2 rb b

1 2

brn q q q เมื่อ

1 2 rq ,q , ,q เป็นจ านวนเฉพาะคี่


i i j

r rj

i 1 i 1 j 1j i

b b as pm m

n q q

และ

j j i

ri

j 1 j 1 i 1j j

a a bs s qn n

m p p


S

j i

i 1 j 1 j j

j ia br p qm n

n m q p

โดยทฤษฎีบท 7.3.1 ส าหรับทุก 1 i r และ 1 j s จะได้


j i

p 1 q 1j i 2 2

i j

p q1

q p


j i

j ip 1 q 1S2 2

i 1 j 1

a brm n

1n m

j i

j i

p 1 q 1S2 2

i 1 j 1

a br

1

j i

r

ii 1 j 1

p 1 q 1

2 2j bs

a1

เราจะได้

r

j ij i

i 1 j 1

p 1 q 1a b

2 2

sm n

1n m

7.4.1

จะได้ r s s r

j j jij i j i

i 1 j 1 j 1 i 1

p 1 p 1 q 1q 1a b a b

2 2 2 2

โดยทฤษฎีบท 7.4.2 ข้อ 1

s

j

jj 1

p 1 m 1a mod2

2 2

และ

r

j

ii 1

q 1 n 1b mod2

2 2


r s

j ij i

i 1 j 1

p 1 q 1 m 1 n 1a b mod2

2 2 2 2

7.4.2

จาก 7.4.1 และ 7.4.2 สรุปได้ว่า

n 1 m 12 2n m

1m n


ตัวอย่าง 7.4.3

2 1 2

143 143 143

2143 1 143 1

2 21 1 1 1 1 1

15 1 2261 1

415 2261

12261 15

11 1 15 1

411 15

1 115 11

24 2

1 1 1 111 11

ในบทที่ 7 ได้กล่าวถึงการหาผลเฉลยของสมภาคก าลังสอง ส่วนตกค้างก าลังสอง

สัญลักษณ์เลอฌ็องดร์ ซ่ึงก าหนดโดย อาเดรียง มารี เลอฌ็องดร์ กฎส่วนกลับก าลังสอง และ

สัญลักษณ์จาโคบี ซึ่งเกี่ยวข้องกับส่วนตกค้างก าลังสองของจ านวนเฉพาะ โดยการก าหนด

สัญลักษณ์ดังทีก่ล่าวมานั้นจะช่วยให้การหาส่วนตกค้างก าลังสองได้สะดวกขึ้น

แบบฝึกหัดบทท่ี 7

1. จงหาส่วนตกค้างก าลังสองทั้งหมดของ

1.1 3 1.2 5

1.3 13 1.4 19 2. จงหาผลเฉลยของสมภาคก าลังสองต่อไปนี้

22.1 x 7x 10 0 mod11

22.2 3x 9x 7 0 mod13

22.3 5x 6x 1 0 mod23


3. จงหาผลเฉลยทั้งหมดของสภาค 2x 1 mod15

4. จงหาค่าของสัญลักษณ์เลอฌ็องดร์ j

5

เมื่อ j 1,2,3,4

5. จงหาค่าของสัญลักษณ์เลอฌ็องดร์ต่อไปนี้

25.1

29

195.2

23

235.3

59

725.4

131

6. จงใช้บทตั้งของเกาส์หาค่าสัญลักษณ์เลอฌ็องดร์ต่อไปนี้ นั่นคือ หาจ านวนเต็ม n

ซ่ึง na

1n

86.1

11

56.2

19

116.3

23

66.4

31

7. จงใช้กฎส่วนกลับก าลังสองแสดงว่า ถ้า p เป็นจ านวนเฉพาะคี่แล้ว

7.1 3

1p

ถ้า p 1 mod12

7.2 31

p

ถ้า p 5 mod12

8. ถ้า p เป็นจ านวนเฉพาะคี่แล้ว จงแสดงว่า

8.1 3

1p

ถ้า p 1 mod6

8.2 3

1p

ถ้า p 1 mod6

9. จงหาค่าของสัญลักษณ์จาโคบี

9.1 5

21

9.2 27

101

9.3 111

1001


9.4 1009

2307

9.5 2663

3299

9.6 10001

20003

10. จงใช้การทดสอบของเปอแปงแสดงว่า จ านวนแฟร์มาต่อไปนี้เป็นจ านวนเฉพาะ

110.1 F 5

410.2 F 65537

11. จงหาจ านวนเต็มบวก n ซึ่งเป็นจ านวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 15 ที่ท าให้

สัญลักษณ์จาโคบี 151

n

12. จงพิจารณาโดยใช้สัญลักษณ์จาโคบีว่าสมภาคก าลังสองต่อไปนี้ มีผลเฉลยหรือไม่

212.1 x 39 mod77

212.2 x 2 mod35

¸šทที่ 7.pdfบทที่ 7 ส่วนตกค้างก าลังสอง...

Documents