บทท 1 เซต (SET) เซต เปนวชาคณตศาสตรทวาดวยเรองของกลมของสงตางๆ ทเราสนใจ กลาวคอ ซงนบวาเปนพนฐานคณตศาสตรเพอใชเปนพนฐานในการศกษาคณตศาสตร เรองอนๆ ในระดบตอไปทส าคญ 1.1 ความหมายของเซต

เซต เปนค าทไมตองนยามความหมาย ( Undefine team ) แตเราใชค าวา เซต แทนกลมของสงของ จ านวน หรอสงมชวตทการกลวงถง เชน กลม กอง หม เหลา โขลง คณะ พวก ชด ฯลฯ เมอกลาวถงเซต สงทค านงถงคอ เซตนนมสงใดบางทสอดคลองกนค ากลาวของเซต สงทอยภายในเซตเรยกวา “สมาชกเซต” ( Element ) เชน

1. เซตของจ านวนคบวกทนอยกวา 10 สมาชกของเซตคอ 2, 4, 6 และ 8

2. เซตของสระในภาษาองกฤษ สมาชกเซต คอ a, e, i, o, และ u

ในการศกษาเรองเซต จะใชสญลกษณ € แทนค าวา “เปนสมาชกของ” และนยมตงชอใหกบค าบอกเซต ซงชอเซตทตงนยมใชตวอกษรภาษาองกฤษตวพมพใหญเปนชอของเซต เชน A, B, C, เปนตน ตวอยาง

เมอกลาวคอ เซตของจ านวนคบวกทนอยกวา 10 ก าหนดใหชอเซตเปน เซต A จะพจารณาไดวา

2 A ( อานวา 2 เปนสมาชกของเซต A ) 10 A ( อานวา 10 ไมเปนสมาชกของเซต A )

ตวอยาง 1 1. เซตของจ านบทมากกวา 5 แตนอยกวา 10 2. เซตของจงหวดทขนตนดวยพยญชนะ “ข” 3. เซตของพยญชนะของค าวา “วทยาลย”

วธท า 1. เซตของจ านวนเตมทมากกวา 5 แตนอยกวา 10 สมาชกของเซตคอ 6, 7, 8, และ 9 2. เซตของจงหวดทขนตนดวยพยญชนะ “ข” สมาชกเซตคอ ขอนแกน 3. เซตของพยญชนะของค าวา “วทยาลย” สมาชกของเซตคอ ท, ย, ล และ ว ขอสงเกต

R แทนเซตของจ านวนจรง R+ แทนเซตของจ านวนจรงบวก R- แทนเซตของจ านวนจรงลบ Q แทนเซตของจ านวนตรรกยะ Q+ แทนเซตของจ านวนตรรกยะบวก Q- แทนเซตของจ านวนตรรกยะลบ I แทนเซตของจ านวนเตม I+ แทนเซตของจ านวนเตมบวก I- แทนเซตของจ านวนเตมลบ I0 แทนเซตของจ านวนเตมศนย

N แทนเซตของจ านวนธรรมชาตหรอจ านวนนบ

1.2 การเขยนเซต การเขยนเซตใดๆ เมอ ก าหนดเซตโดยค าบอกเซต เราตองก าหนดชอเซตแลวจงเขยนเซตเชน ก าหนดเซต A เปนเซตใดๆ จะเขยนเซต A ดงน A = {(สมาชกเซต)} อานวาเซต A เปนเซตซงประกอบดวยสมาชก... ส าหรบการเขยนสมาชกเซตนยมเขยนสมาชกเซต 2 แบบดงน 1) การเขยนสมาชกเซตแบบแจกแจงสมาชกเซต

การเขยนสมาชกเซตวธนจะเขยนแจงสมาชกเซตในวงเลบปกกาโดยใชเครองหมายจลภาคคนระหวางสมาชกทกสมาชก เชน A = { 2, 4, 6, 8 } อานวาเซต A เปนเซตซงประกอบดวยสมาชก 2, 4, 6 และ 8 (จ านวน 4 สมาชก)

1.1) ในกรณทเซตมจ านวนสมาชกมาก แตทราบสมาชกตวเรมตน ตวสดทายและสมาชกเซตเปนระเบยบจะใชสญลกษณ ... แทนสมาชกทจะละไวในฐานทเขาใจ เชน เซตของจ านวนนบตงแต 1 ถง 100 สมมตใหคอ B จะได B = { 1, 2, 3…, 100 } อานวา เซต B เปนซงประกอบดวยสมาชก 1, 2, 3 แตตอไปเรอย ๆ โดยละไวในฐานทเขาใจจนถง 100 (จ านวนสมาชก 100 สมาชก)

1.2) ในกรณเซตมจ านวนสมาชกเซตมากไมจ ากด แตรตวเรมตน เชน เซตของจ านวนคบวก สมมตให คอ C จะได C = { 2, 4, 6, 8, … } อานวาเซต C เปนเซตซงประกอบดวยสมาชก 2, 4, 6, 8 และตอไปเรอยๆ ไมสนสด 1.3) เซตทมจ านวนสมาชกไมจ ากด ไมทราบตวเรมตนและตวสดทาย เชน เซตของจ านวนเตมทหารดวย 5 ลงตว สมมตใหคอ D จะได D = { …, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, … } อานวาเซต D เปนเซตของจ านวนเตมลบทหารดวย 5 ลงตวจนถง -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15 และตอไปเรอยๆ ไมสนสด ตวอยางท 2 จงเขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสมาชกเซต 1. เซตของสระในภาษาองกฤษ 2. เซตของจ านวนนบคทนอยกวา 10 3. เซตของจ านวนเตมทมากกวา 5 แตนอยกวา 10 4. เซตของจงหวดทขนตนดวยพยญชนะ “ข”

5. เซตของพยญชนะของค าวา “ วทยาลย” 6. เซตของจ านวนเตมบวกทเปนเลขค 7. เซตของจ านวนเตมทหารดวย 5 ลงตว วธท า 1. สมมตให A คอเซตของสระในภาษาองกฤษ จะได A = { a, e, i, o, u } 2. สมมตให B คอเซตของจ านวนนบคทนอยกวา 10 จะได B = { 2, 4, 6, 8, 10 } 3. สมมตให C คอเซตของจ านวนเตมทมากกวา 5 แตนอยกวา 10 จะได C = { 6, 7, 8, 9 } 4. สมมตให D คอเซตของจงหวดทขนตนดวยพยญชนะ “ข” จะได D = { ขอนแกน } 5. สมมตให E เปนเซตของพยญชนะของค าวา “วทยาลย” จะได E = { ท, ย, ล, ว } 6. สมมตให F เปนเซตของจ านวนเตมบวกทเปนเลขค จะได F = { 1, 3, 5, 7, 9 } 7. สมมตให G เปนเซตของจ านวนเตมทหารดวย 5 ลงตว จะได G = { …, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, … } 2) การเขยนเซตแบบบอกเงอนไขสมาชกเซต การเขยนเซตแบบบอกเงอนไขสมาชกนจะตองสมมตตวแปรอยางนอย 1 ตวใหแทนสมาชกของเซตทกสมาชกแลวใชสญลกษณเครองหมาย “ / ” แลวตามดวยเงอนไขของสมาชก เชน สมมตให A แทนเซตซงประกอบดวยสมาชกเซต x โดยท x เปนจ านวนนบคตงแต 1-100 หมายเหต เมอนกเรยนมความเขาใจเรองระบบจ านวนมากขน อาจเขยน A ไดดงน A = { x / x = 2y ; y I 1 ≤ y ≤ 50 } อานวาเซต A เปนเซตซงประกอบดวยสมาชดเซต x โดยท x เทากบ 2y เมอ y เปนจ านวนเตม และ y มคามากกวาหรอเทากบ1 และนอยกวาหรอเทากบ 50

ขอสงเกต 1. เซตทมจ านวนสมาชกไมมากนยมเขยนสมาชกเซตแบบแจกแจงสมาชกเซต 2. เซตทมจ านวนสมาชกเซตไมเปนระเบยบ เชนเซตทไมใชตวเลขจะไมนยมเขยนแบบแจกแจงสมาชก โดยจะเขยนสมาชกแบบบอกเงอนไขสมาชกแทน 3. เงอนไขสมาชกเซตตองเปนขอความกระชบสนสามารถระบสมาชกไดครบถวนไมขาดหรอเกนแมแตตวเดยว 4. ในกรณเขยนสมาชกแบบบอกเงอนไขสมาชกเซตทเกยวกบจ านวนคว รเขยนในรปแบบสญลกษณโดยไมใชภาษาไทยชวยบรรยาย 5. เซตบางเซตไมสามารถเขยนแบบแจกแจงสมาชกได (เขยนไดยาก) ควรเขยนแบบบอกสมาชกเงอนไขสมาชกจะสะดวกกวา ตวอยางท 3 จากตวอยาง 2 จงเขยนเซตแบบบอกเงอนไขสมาชกเซต 1. A = { x / x คอสระในภาษาองกฤษ } 2. B = { y / y คอจ านวนนบคทนอยกวา 10 } หรอ B = { x / x = 2y ; y I+ y < 5 } 3. C = { z / z คอจ านวนเตมทมากกวา 5 แตนอยกวา 10 } หรอ C = { z / z I 5 < z < 10 } 4. D = { x / x คอจงหวดทขนตนดวยพยญชนะ “ ข” } 5. E = { x / x คอพยญชนะของค าวา “วทยาลย” } 6. F = { x / x = 2y - 1 ; y I+} หรอF = { x / x เปนจ านวนเตมบวกทเปนเลขค } 7. G = { x / x = 5y ; y I } หรอ G = { x / x เปนจ านวนเตมทหารดวย 5 ลงตว } ขอสงเกต สมาชกเซตทเปนตวอกษรภาษาองกฤษจะเขยนดวยตวพมพเลก เชน a, b, c, …

1.3 ชนดของเซต 1.3.1 เซตวาง Empty Set หรอ Null Set บทนยาม เซตวางหมายถงเซตทไมมสมาชกหรออาจกลาวไดวาเซตวางมสมาชก 0 สมาชก

ซงสญลกษณใชแทนเซตวางคอ { } หรอ เชน A = { } หรอ A = เซต A เปนเซตวาง B = { x / x I+ x < 1 } จะได เซต B เปนเซตวาง C = { x / x เปนจ านวนคทหารดวย 2 ลงตว } จะได เซต C เปนเซตวาง 1.3.2 เซตจ ากด ( Finite Set ) บทนยาม เซตจ ากดหมายถงเซตทสามารถนบจ านวนสมาชกไดครบถวน สามารถบอกไดวามจ านวนสมาชกเทาใด เปนจ านวนเตมบวกหรอศนย ตวอยาง A = { a, e, i, o, u } A เปนเซตจ ากดมสมาชก 5 สมาชก B = { 2, 5 } B เปนเซตจ ากดมสมาชก 2 สมาชก C = { 0 } C เปนเซตจ ากดมสมาชก 1 สมาชก D = { } D เปนเซตจ ากดมสมาชก 0 สมาชก 1.3.3 เซตอนนต (Infinite Set) บทนยาม เซตอนนต หมายถง เซตทมจ านวนสมาชกมากมายนบไมถวนไมสามารถบอกไดวามจ านวนเทาใด ตวอยาง A = {1, 2, 3, … } B = { 3, 5, 7, 9, … } C = { . . . , -3, -1, 1, 3, 5, . . . } D = { x / x R 1 ≤ x ≤ 2 } จะได A, B, C, D เปนเซตอนนต

ตวอยาง 4 จงพจารณาวาเซตตอไปน ขอใดเปนเซตจ ากด เซตอนนต หรอเซตวางและจงใหเหตผล 1.4 เซตเทากน ( Equal Set ) เมอ A และ B เปนเซตใดๆ A จะเรยกวาเทากบ B กตอเมอเซตทงสองมจ านวนสมาชกเทากนและเหมอนกนทกสมาชก ซงจะเขยนแทนดวยสญลกษณ A = B หรอ อาจกลาวไดวาเซตสองเซตใดๆ จะเทากนกตอเมอสมาชกของ A ทกสมาชกเปนสมาชกของ B และสมาชกทกสมาชกของ B เปนสมาชกของ A

นนคอ A = B กตอเมอ ถา x A แลว X B และ ถา X B แลว X A

ตวอยาง ก าหนดให A = { 1, 2, 3 } B = { 2, 1, 3 } C = { 3, 2, 1 } จะได A = B = C เพราะวาทง 3 เซตมจ านวนสมาชก 3 สมาชกเทากนและเหมอนกนทง 3 ตว ตวอยาง ก าหนดให D = { 1, 2 } E = { 1, 3 } จะได D ≠ E ( เซต D ไมเทากบเซต E ) 1.5 เซตเสมอเหมอนกน (Equivalent Set) เซต 2 เซตใดๆ ทมจ านวนสมาชกเทากนแตไมเหมอนกนทก ตวเรยกวา เซตเสมอเหมอน

A เสมอเหมอน B จะเขยนแทนดวย A ≡ B นนคอ เซต 2 เซตทเทากนเสมอเหมอนกนแตเซต 2 เซตทเสมอเหมอนกนอาจจะเทากนหรอไมเทากนกได ตวอยาง I- = { x / x I และมคาเปนลบ } I+ = { x / x I และมคาเปนบวก } F = { 1, 2, 3, 4, … } จะได F ≡ I+ / F ≡ I+ ≡ I- 1.6 สบเซต (Sub Set) บทนยาม ก าหนด A และ B เปนเซตใดๆ A จะเรยกเปนสบเซตของ B ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ A B กตอเมอ X A แลว X B ตวอยาง ก าหนดให A = { 1, 2, 3 } B = { x / x I+ x < 5 } C = { 2, 3, 4 } D = { x / x I 1 ≤ X ≤ 3 } จะไดวา A B เพราะวา 1 A และ 1 B 2 A และ 2 B 3 A และ 3 B ซงแสดงวา สมาชกของ A ทกตวเปนสมาชก B C B เพราะวา สมาชกทกตวทกตวของ C เปนสมาชกของ B B A เพราะวา 4 B แต 4 A B C เพราะวา 1 B แต 1 C A C เพราะวา 1 A แต 1 C C A เพราะวา 4 C แต 4 A A B เพราะวา สมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ D D A เพราะวา สมาชกทกตวของ D เปนสมาชกของ A

ขอสงเกต 1. A = B กตอเมอ A B และ B A 2. เซตใดๆ จะเปนสบเซตของตวเองเสมอ 3. เซตวางเปนสบเซตของทกๆ เซต 4. ถา A เปนเซตใดๆ ทมสมาชก n ตว ( n (A) = n ) แลวจะสามารถหาสบเซตทเปนสบเซตของ A ไดเทากบ 2n เซตแลวจะเรยกเซตทประกอบดานเซตทงหมดทเปนสบเซตของ A วาเซตก าลงของ A ( Power set of A )ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ P(A) นนคอ P(A ) = { x / x A } และ n ( P ( A ) ) = 2n สมาชก ค าอธบาย

1. A = B กตอเมอ A B และ B A นนคอ ถา A = B แลว A B และ B A และ ถา A B และ B A แลว A = B หรออาจกลาวไดวา เซต 2 เซตใดๆ เทากนกตอเมอเซตทงสองเปนสบเซตของกนและกน เพราะวา จากบทนยามของการเทากนดงน ถา A และ B เปนเซตใดๆ A จะเรยกวาเทากบ B กตอเมอสมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B ( A B ) และสมาชกทกตวของ B เปนสมาชกของ A ( B A )

2. เซตทกๆ เซตจะเปนสบเซตของตวเอง นนคอ ถา A เปนเซตใดๆ แลว A A เพราะวา A = A ดงนนจากขอสงเกต 1 จะได A A

3. เซตวางเปนสบเซตของทกเซต นนคอ ถา A เปนเซต เปนเซตใดๆ

แลว A เพราะวา สมาชกทกตวของ เปนสมาชกของ A ซงเราไมสามารถแยงเหตผลนได เนองจากเราไมสามารถบอกไดวา มสมาชกตวใดทเปนสมาชกของ แลวไมเปนสมาชกของ A

4. ถา A เปนสมาชกใดๆ ทมสมาชก n ตว เซตทเปนสบเซตของ A จะมแนๆ แลว 2 เซต คอ กบ A เซตอนๆ จะเปนสบเซตของ A จะตองมสมาชกนอยกวา n ตว ซงเกดจากน าสมาชกของ A มาสรางเซตใหม ซงจะตองมสมาชกตงแต 0-n ตว ตามทฤษฎการเรยงสบเปลยน จะสามารถสบเซตของ A ไดทงหมด 2n เซต ตวอยางเชน

4.1 A= A มสมาชก 0 ตว ดงนนเซต A จะมสบเซต 20 เซต = 1 เซต ซงกคอเซตวางนนเองเพราะ P(A) = {{}} หรอ { }

4.2 A = {1} A มสมาชก 1 ตว ดงนนสบเซตของเซต A จะม 21 = 2 เซต คอ

กบ {1} และ P (A) = { , {1} } 4.3 ถา A ={1,2} นนคอ A มสมาชก 2 ตว สบเซตของเซต A จะม 22 = 4 เซต

คอ ,{1},{2},{1,2} และ P(A) = { , {1}, {2}, {1,2} } 4.4 ถา A = {1,2,3} นนคอ A มสมาชก 3 ตว ดงนน สบเซตทงหมดของ A จะม

23 = 8 เซต คอ , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3} และ {1,2,3} และ P(A) = { , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3} ,4 }

เอกภพสมพนธ (Relative Universe set) บทนยาม เอกภพสมพนธ หมายถง กงเขตทก าหนดของเขตของเขตทงหมดทกลาวถง

เมอก าหนดเขตของเอกภพแลวมขอตกลงวาจะไมมสมาชกของเขตใดๆ ทอยนอกเขตเอกภพนน โดยทวไปจะก าหนดให ใชสญลกษณ U แทน เอกภพสมพนธ และเขตทกลาวถงทกๆเขต จะเปนสบเชตของ U ตวอยาง ก าหนดให U = { 1, 2, 3, . . . , 10 } A = { x / x < 5 } B = { x / x เปนเลขค } C = { x / x < 7 } จะได A = { 1, 2, 3, 4, } B = { 2, 4, 6, 8, 10 } C = { 8, 9, 10 } ขอสงเกต 1. สมาชกของ A, B, C จะตองเปนสมาชกใน U

2. A, B, C จะตองเปนสบเชตของ U

ตวอยาง ก าหนดให A = { x / -3 < x < 5 } จงเขยน A แบบแจกแจงสมาชกเมอก าหนดเอกภพสมพนธ ดงน ก. U = {1, 2, 3, 4………. 12} ข. U = { x / x I+ } ค. U = { x / x I }

วธท า ก. สมาชกของ A ตองเปนจ านวนทมากกวา -3 แตตองนอยกวา 5

และตองเปนสมาชกของ U = { 1, 2, 3, 4, . . . , 12 } ดงนน A = {1, 2, 3, 4,} ข. สมาชกของ A ตองเปนจ านวนทมากกวา -3 แตนอยกวา 5 และตอง

เปนสมาชกของ U= { X / X I+ } ดงนน A = {1, 2, 3, 4,} ค. สมาชกของ A ตองเปนจ านวนทมากกวา -3 แตนอยกวา 5 และ

ตองเปนสมาชกของ U = { x / x I } ดงนน A = { -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 }

แผนภาพของเวนน และออยเลอร (Venn-Euler Diagram)

นกคณตศาสตรชาวองกฤษ ชอนายจอหนเวนน ( John Venn ) และนกคณตศาสตรชาวสวสเซอรแลนด ชอนายเลยวนารดออลเลอร ( Leonard Euler ) ไดคดคนวธการเขยนแผนภาพแทนเซตโดยก าหนดทจะใชรปสเหลยมผนผาแทนขอบเขต U และวงกลม หรอวงรแทนแทนเซตตางๆ ทกลาวถง จะเหนไดวา เชตอนๆ ทกลาวถงจะเขยนเปนวงกลมอยภายในสเหลยม นน เชน ถาก าหนด U, A, จะเขยนแผนภาพได ดงน

ถาก าหนด U, A , B จะสามารถเขยนแผนภาพได 4 แบบ ดงน 1. กรณ A และ B มสมาชกบางตวเหมอนกน ( Meeting Set) จะเขยนแผนภาพได ดงน

2. กรณ A และ B ไมมสมาชกเหมอนกนเลยแมแตตวเดยว ( Disjoint Set ) จะเขยนแผนภาพได ดงน

3. กรณท A B หรอ B A จะเขยนแผนภาพได ดงน U

A A B

B U A

กรณ A B

B

4. กรณท A = B (Equal Set) จะเขยนได ดงน

U A

การด าเนนการของเขต หรอการปฏบตของเชต (Operation on Set)

การปฏบตของเชตเปนวธการสรางเชตใหม โดยการใชเครองหมายทางเชตกบเขตทก าหนดใหซงเครองหมายของเชตทเสนอในทนม 4 แบบ คอ

1. ยเนยน (Union) บทนยาม ก าหนดให A และ B เปนเซตใดๆ ยเนยนของ A และ B ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ A U B (อานวา เซตA ยเนยน เซต B ) ซงหมายถงเซตทประกอบดวยสมาชกของทงหมดเชต นนคอ A U B = { X / X A หรอ X B } การแสดงบรเวณนนทแรเงาของ A U B ในแผนภาพของเวนทออยเลอร อาจแสดงไดตามกรณตางๆ ดงน 1. กรณเปน Meeting Set

A U B ตวอยาง เชน ก าหนด A = {1, 2, 3,} B = {3, 4,} A U B = {1, 2, 3, 4,}

2. กรณเปน Disjoint U

A U B ตวอยาง เชน ก าหนด A = {1, 2, 3,} B = {7, 8,} A U B = {1, 2, 7, 8,} 3. กรณเปน Sub Set U U A B หรอ B A A U B ตวอยาง เชน ก าหนด A = {1, 2, 3,} B = {2} A U B = {1, 2, 3} 4. กรณทเปน Equal Set A U B ตวอยาง เชน ก าหนด A = {1, 2, 3,} B = {2, 1, 3} A U B = { 1, 2, 3 }

2. อนเตอรเซคชน (Intersection) บทนยาม ก าหนด A และ B เปนเชตใดๆ อนเตอรเซคชนของ A และ B ซงเขยนแทนสญลกษณ A B (อานวาเชต A อนเตอรเซกชน เชต B) หมายถงเขตซงประกอบดวยสมาชกทเปนสมาชกของ A และเปนสมาชกของ B นนคอ A B = {x/x єA x єB} การแสดงพนทแรกของ A B ในรป ของ เวนน และออยเลอร อาจแสดงไดตามกรณตางๆ ดงน

1. กรณเปน Mating Set

2. กรณเปน Disjoint 3. กรณเปน Sub Set A 1 B 2 3

ตวอยาง เชน ก าหนด A = {1, 2, 3,} B = {3, 4,} A B = {3}

ตวอยาง เชน ก าหนด A = {1, 2, 3,} B = {4, 5,} A B =

ตวอยาง เชน ก าหนด A = {1, 2, 3,} B = {2} A B = {2}

1

2 4

5 3

3. คอมพลเมนต (Complement) บทนยาม ก าหนดให A เปนเชตใดๆ ในขอบเขตเอกภพสมพนธ U ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ A (อานวา คอมพลเมนตของ A) หมายถง เซตซงประกอบดวยสมาชกซงเปนสมาชกของ U แตไมเปนสมาชกของ A นนคอ A = {x/x є U x A} การแสดงพนทแรเงาของ A แสดงได ดงน

U A

A 4 5 U A 1 2 9 6 3 8 7 จะได A= { 4,5,6,7, 8, 9} และ A U A= {1, 2, 3 ….9} = U

ก าหนด U และ A เมอเขยนแผนภาพจะพบวา เชต A แยกพนของ U ออกเปน 2 สวนคอ สมาชกของ Aจะอยในวงกลม เชต A สมาชกทอยใน U และไมอยใน A จะเรยกวา A และจะได A U A = U ตวอยาง เชน ก าหนด U = {1, 2, 3 ….9} A = { 1, 2, 3 } จะเขยนแผนภาพ ได ดงน

ผลตาง (Difference) บทนยาม ก าหนด A, B เปนเชตใดๆ ในเอกภพสมพนธ U ผลตางของ A กบ B ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ A - B ( อานวาผลตางของเซต A กบเซต B หรอ A Difference B ) หมายถงเชตซงประกอบดวยสมาชกทเปนสมาชกของ A แตไมปนสมาชกของ B นน คอ A - B = { x / x є A x є B } การแสดงพนทแรเงาของ A-B ในรปแผนภาพของเวนน และออยเลอร สามารถแสดงได ดงน

1. กรณท A กบ B เปน Meeting Set

1 2 A-B

2. กรณท A กบ B เปน Disjoint

3. กรณ A กบ B เปน Sub Set กน

B - A

U= {1, 2, 3, 4,5,6,7, 8,} ตวอยาง เชน ก าหนด A = {1, 2, 3,} B = {3, 4} ดงนน A - B = {1, 2} B – A = {4}

U= {1, 2, 3 … 8,} ตวอยาง เชน ก าหนด A = {1, 2, 3,} B = {7, 8} ดงนน A - B = {1, 2, 3} B – A = {7, 8}

U= { 1, 2, 3 … 8,} ตวอยาง เชน ก าหนด A = {1, 2, 3,} B = {7, 8} ดงนน A - B = {1, 2, 3} B – A = {7, 8}

4.กรณ A กบ B เทากน

ตวอยาง ก าหนด U = {1, 2, 3 … 9} A = { 2, 3, 4,5} B = {2, 4, 6, 8,} C = {4, 5, 6, 7,} จงเขยนแผนภาพของเวนนและออยเลอรแสดงเซต U, A, B, C และจงหา 1. A B 2. A B 3. A 4. U - A 5. B 6. U - B 7. C 8. U - C 9. (A B ) C 10. A ( B C ) 11. A – ( B – C ) 12. ( A – B ) - C 13. A ( B C ) 14. A ( B C ) 15. A B 16. ( A B ) 17. A B 18. ( A B ) 19. A – ( B C ) 20. B - ( A C ) 21. C - ( A B ) 22. A - ( B C ) 23. B - ( C A ) 24. C - ( A B )

U= {1, 2, 3 … 8,} ตวอยาง เชน ก าหนด A = {1, 2, 3,} B = {1, 2, 3} ดงนน A - B = B – A = จะได A - B = { } และ B – A = { }

วธท า

1. A B = { 2, 3, 4,5,6,7, 8,} 2. C = { 4 } 3. A = {1,6,7, 8, 9} 4. U – A = {1,6,7, 8, 9} 5. B = {1,3,5, 7, 9} 6. U – B = {1,3,5, 7, 9} 7. C = {1, 2, 3, 8, 9} 8. U – C = {1, 2, 3, 8,9} 9. ( A ( B C ) = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } ( ใหหา A Bกอน ) 10. ( A B ) C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } ( ใหหา A Bกอน )

ขอสงเกต จะเหนไดวา A ( B C ) = ( A B ) C และสามารถสรปไดวาจะเทากน ทกกรณไมวา A, B, C จะเปนเซตใดๆ

11. A – ( B – C ) = A - {2, 6, 8} ( ใหหา B – C กอน ) = { 3, 4,5} 12. ( A – B ) - C = {3, 5} – C ( ใหหา A – B กอน ) = { 3 } ขอสงเกต จะเหนไดวา A – ( B – C ) ( A – B ) – C บางกรณทอาจเทากนดงนน ไมสามารถสรปไดวา A – ( B – C ) = ( A – B ) – C

13. A ( B C ) = A {4} ( ใหหา B C กอน ) = {4}

14. ( A B ) C = {2, 4} C ( ใหหา A B กอน )

= {4} ขอสงเกต จะเหนไดวา A ( B C ) = ( A B ) C และสามารถสรปไดวาจะเทากน ทกกรณไมวา A, B, C จะเปนเชตใดๆ

15. A B = {1, 6, 7, 8, 9} {1, 3 , 5, 7, 9} ( ใหหา A และ Bกอน )

= {1, 3, 5,6,7, 8, 9} 16. ( A B ) = ( {2, 4} ) ( ใหหา A B กอน ) = {1, 3,5,6,7, 8, 9} 17. A B = {1,6,7, 8, 9} { 1,3,5,7,9 }

= {1, 7, 9} 18. ( A B ) = ( {2, 3, 4, 5, 6, 8} ) ( ใหหา A Bกอน ) = {1, 7, 9} ขอสงเกต จะเหนไดวา A B ( A B ) และ A B ( A B ) แต A B= ( A B ) และ A B = ( A B ) ซงจะเปนอยางนทกกรณไมวา A, B จะเปนเซตใดๆ

19. A – ( C ) = { 2, 3, 5 } ( ใหหา C กอน )

และขอควรระวง A-( C ) ( A – B ) C

20. B – ( A C ) = { 2, 6, 8 } 21. C – ( A B ) = { 5, 6, 7 }

22. A – ( B C ) = { 3 } ( ใหหา B C กอน ) และขอควรระวง A- ( B C ) ( A – B ) C 23. B – ( A C ) = { 8 } 24. C – ( A C ) = { 7 }

สมบตของเซตทนาสนใจ 1. A A = A 2. A A = A

3. A = A 4. A = A 5. A U = A 6. A U = A 7. A - U = 8. U - A = A 9. A B = B A 10. A B = A 11. ( A B ) C =A ( B C ) 12. ( A B ) C = A ( B C ) 13. A ( B C ) = (A B ) ( A C ) 14. A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) 15. A A = U 16. A A = 17. ( U ) = A 18. () = U 19. ( A ) = A 20. A B = ( A B ) 21. A B = ( A B ) 22. A- B = A B 23. ถา A B = และ A - B = A และ B - A = B การหาจ านวนสมาชกของเซตจ ากด ถาก าหนด A เปนเซตใดๆ แลว n ( A ) ตอไปนใชแทนจ านวนสมาชกของ A ตวอยาง เชน ถาก าหนด A = {1, 2, 3} แลว n ( A ) =3 สมาชก ถาก าหนด B = { x / x є٨1 < x < 10 } แลว n ( A ) ( B ) = 10 ตวอยาง ก าหนดให U = { 1, 2, 3.....9 } A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 2, 4, 6, 8 }

จะไดวา n ( U ) = 9 สมาชก ( A ) = 5 สมาชก n ( B ) = 4 สมาชก เราสามารถสรางเซตใหมโดยการน าเซตทก าหนดใหโดยการปฎบตการทางเซต และหาจ านวนสมาชกของเซตได ดงน

1) AB = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 } และ n ( AB ) = 7 2) AB = { 1, 4, } และ n ( A B ) = 2

จะเหนไดวา 5 < n ( A B ) < 9 นนคอสมาชกของ A B อยางนอยตองมเทากนเซตทมสมาชก และมสมาชกมากทสดเทากน สมาชกของเซตรวมกน และ O n ( A B ) 5 นนคอ สมาชกของ n ( A B ) จะมนอยสดเทากน O มมากสดไมเกน 5 โดยสมาชกสามารถสรปจ านวนเกยวของของจ านวนสมาชกของ AB และ AB ได ดงน ถา n ( A B ) = 5 แลว n ( AB ) = 4 นนคอ B A ถา n ( AB ) = 6 แลว n ( AB ) =3 นนคอ A และ B มสมาชกเหมอนกน 3 ตว ถา n ( AB ) = 7 แลว n ( AB ) =2 นนคอ A และ B มสมาชกเหมอนกน 2 ตว ถา n ( AB ) = 8 แลว n ( AB ) =1 นนคอ A และ B มสมาชกเหมอนกนตวเดยว ถา n ( AB ) = 9 แลว n ( AB ) =0 นนคอ A B =

จากการวเคราะห ดงกลาวจะสรปไดวา

1. n (AB ) + n ( AB ) = 4 = n ( A ) + n ( B ) หรอ n ( AB ) = n ( A ) + n ( B ) - n ( A B ) หรอ n ( AB ) = n ( A ) + n ( B ) - n ( A B )

หมายเหต การหาจ านวนสมาชกของเซตจ ากดถาใหแผนภาพของเวนน – ออยเลอร ปรากฏจะท าใหการหาจ านวนสมาชกไดงาย เพราะมองเหนชดเปนรปธรรมมากขน

2. 2. n ( AB C ) = n ( A ) + n ( B )+ n ( A + n ( C ) - n ( A B ) - n n ( AC ) – ( B C ) + n ( A B C )

3. A – B = {1, 2, 3, 5} และ n ( A – B ) = 3 4. B – A = {6, 8} และ n ( A – B ) = 2 5. A = {6, 7, 8, 9} และ n (A) = 4 6. B = {1, 3, 5, 7, 9,} และ n ( B) = 5 7. ( A B ) = {7, 9) และ และ n ( A B ) = 2 8. n ( AB ) {1, 2,3,4,5, 6, 7, 8, 9} และ =3 ( A B ) = 7

จากตวอยางท 1 สามารถเขยนแผนภาพได ดงน 5 1.

2.

3.

6 8

7

9

B

U

A 1 3

5

ดงนน A B = {1, 2,3,4,5, 6, 7, 8} ซง n (AB ) = 7 สมาชก

ดงนน A B = {2, 4,} ซง n (AB ) = 2 สมาชก

ดงนน A - B = {1, 3,5, } ซง n (A - B ) = 3 สมาชก

4. 5. 6. หมายเหต

nco + nc1 +nc2 + …+ncn =2n เลอก 0 + เลอก 1 + เลอก 2 + ... + เลอก n

เชน n = 6 เลอก 0 ตว 6c0 = 1 เลอก 1 ตว 6c1 = 6 เลอก 2 ตว 6c2 = 15 เลอก 3 ตว 6c3 = 20 เลอก 4 ตว 6c4 = 15 เลอก 5 ตว 6c5 = 6 เลอก 6 ตว 6c6 = 1 รวม 64 = 26

ดงนน B-A= {6, 8} ซง n (B+A )= 2 สมาชก

ดงนน A = {6, 7, 8,9} ซง n (A ) = 4 สมาชก

ดงนน B= {1, 3, 5, 7, 9} ซง n (B) = 5 สมาชก

7. (A U B )’ จะได (A U B ) = { 7, 9 } ซง N ( A U B ) = 2 สมาชก 8. จะได (A ∩ B ) = { 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9 } ซง N ( A ∩ B ) = 7 สมาชก ตวอยางท 2 นกศกษาชมรมกฬาของวทยาลยแหงหนงม 40 คน จากการส ารวจพบวาเลนวอลเลยบอลเปน 25 คน เลนฟตบอลเปน 23 คน เลนเปนทงสองชนด 15 คน จงหา

1. นกศกษาทเลนไมเปนทงสองชนด 2. นกศกษาเลนวอลเลยบอลเปนชนดเดยว 3. นกศกษาทเลนฟตบอลเปนชนดเดยว

วธท า จากโจทยสามารถสรปและเขยนแผนภาพไดดงน n ( U ) = 40 คน n ( A ) = 25 คน n ( B ) = 23 คน n ( A ∩ B ) = 15 คน

n ( U ) = 1 + 2 + 3 + 4 = 40 คน n ( A ) = 1 + 2 = 25 คน n ( B ) = 1 + 3 = 23 คน

n ( A ∩ B ) = 1 = 15 คน ดงนนสามารถค านวณสมาชกของเซตจ ากดอนไดดงน

1. นกศกษาทเลนไมเปนทง 2 ชนด เขยนเปนสญลกษณได n ( A U B ) ซง n ( A U B ) = 4 = 7 คน

A U

B

A U

2 1 3 B

4^

A U

B

2. นกศกษาทเลนวอลเลยบอลบอลเปนชนดเดยวเขยนเปนสญลกษณได n ( A - B ) ซง n ( A – B ) = 10 คน

ตวอยาง 3 ก าหนดให U, A, B, และ A U B มสมาชก 100, 60, 45, และ 80 สมาชกตามล าดบ จงเตมสมาชกของเซตตางๆ ใหครบตามตาราง

เซต A ∩ B A - B B - A A’ B’ ( A U B )’ (A ∩ B )’ จ านวนสมาชก 1 2 3 4 5 6 7

วธท า จากโจทยสามารถเขยนแผนภาพไดดงน n ( U ) = 100 = 1 + 2 + 3 + 4 n ( A ) = 60 = 1 + 2 n ( B ) = 45 = 1 + 3 n ( A U B ) = 80 = 1 + 2 + 3

ดงนนสามารถค านวณสมาชกเซตตางๆ ดงน n (A ∩ B ) = n ( A ) + n ( B ) – n ( A U B ) = 60 + 45- 80 = 25 ตอบ 1 n ( A – B ) = n ( A ) – n ( A ∩ B ) = 60 – 25 = 35 ตอบ 2 n ( B – A ) = n ( B ) – n ( A ∩ B ) = 45 – 25 = 10 ตอบ 3

A U

2 1 3 B

4^

n ( A ) = n ( U ) – n ( A ) = 100 – 60 = 40 ตอบ 4 n ( B ) = n ( U ) – n ( B ) = 100 – 80 = 20 ตอบ 6 n (A ∩ B )’ = n ( U ) – n ( A U B ) = 100 – 25 = 75 ตอบ 7

ใบงานท1 ตวอยางท 1 ค าบอกเซต เซตของจงหวดในประเทศไทยทเปนเกาะ

ค าตอบ สมมตใหเปน A (เซต A) จะสามารถเขยน A แบบแจกแจงสมาชกไดเปน

A =

ตวอยางท 2 ค าบอกเซต เซตของพยญชนะ ค าวา “โรงเรยน” ค าตอบ สมมตใหคอ B จะสามารถเขยน B แบบแจกแจงสมาชกไดเปน

B = {น, ย, ร}

ตวอยางท 3 จงเขยนเซตของจ านวนนบทนอยกวา 10 แบบแจกแจงสมาชก ค าตอบ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} แบบฝกหด 1 จงเขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสมาชก

1. เซตของจงหวดในประเทศไทยทเปนเกาะ ค าตอบ A =

2. เซตของพยญชนะ ค าวา “โรงเรยน” ค าตอบ B = {น, ย, ร}

3. เซตของจ านวนนบทนอยกวา 10 ค าตอบ C = {1, 2, 3, … , 9}

4. เซตของพยญชนะค าวา “กรรมการ” ค าตอบ D = { }

5. เซตของจงหวดในประเทศไทยทขนตนดวย “นคร” ค าตอบ E =

1. จงเขยนเซตตอไปน แบบแจกแจงสมาชก

1.1. เซตของจงหวดทเปนเกาะในประเทศไทย A =

1.2 เซตของพยญชนะของค าวา “กรรมการ” 1.3 เซตของจงหวดในประเทศไทยทขนตนวา “นคร” 1.4 เซตของเดอนทลงทายวา “ยน” 1.5 เซตของจ านวนเฉพาะทนอยกวา 20 1.6 เซตของจ านวนทหารดวย 3 แลวลงตว ทอยระหวาง 50 – 100 1.7 เซตของจ านวนเตมทสอดคลองกบสมการ + 1.8 เซตของเลขคบวก 1.9 เซตของจ านวนเตมทหารดวย 5 ลงตว 1.10 1.11 1.12

ตวอยางท 4 จงเขยนเซตตอไปนแบบบอกเงอนไขสมาชก

(1) ค าตอบ

(2) ค าตอบ

(3) ค าตอบ หรอ

(4)

ค าตอบ

หรอ แบบฝก 2 จงเขยนตอไปนแบบบอกเงอนไขสมาชก

1. ค าตอบ

จงเขยนเซตตอไปนแบบบอกเงอนไขสมาชก

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

จงพจารณาวาเซตในขอใดเปนเซตจ ากด เซตอนนตหรอเซตวาง และในแตละเซตมจ านวนสมาชกเทาใด Ex A = {1, 3, 5, 7} เซตจ ากด มสมาชก 4 สมาชก Ex B = {1, 3, 5, 7, …} เซตอนนต มสมาชก มากมายไมจ ากด Ex C = เซตวาง/เซตจ ากด มสมาชก 0 สมาชก 1. D = 2. E เซตของจ านวนเตมลบทนอยกวา -3 3. เซตของจ านวนเตมบวกทนอยกวา 100 4. เซตของจ านวนจรงทมากกวา 1 นอยกวา 2 5. E = {1, {234, 56}, 789} 6. F = 7. G = 8. H = 9. J = {0} 10. K = 11. L =

4. ก าหนดให A = {1, {2, 3}, 4, 5} จงพจารณาวาขอความตอไปนเปนจรงหรอเทจ 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

5. จงพจารณาวาเซตตอไปน เซตใดทเทากน

6. จงหาจ านวนสบเซตทงหมดและเซตก าลงของเซตตอไปน Ex

…………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. ก าหนดให จงพจารณาวาเซตใดตอไปน เซตใดเปนเอกภพสมพนธของ A ได และเซตใดเปนเอกภพสมพนธของ A ไมได

.......ได..... ก.

....ไมได... ข.

................. ค.

................. ง.

.................จ.

.................ช. จงเขยนแผนภาพแสดงเซตตอไปน

1)

2)

1 3

5 7

4 6

B

8

A

9

2 U

3)

4)

5) จากแผนภาพทก าหนดให จงบอกเซตตามพนททแรเงา

พนทแรเงาคอ B-A พนทแรเงาคอ....................

พนทแรเงาคอ.................... พนทแรเงาคอ....................

พนทแรเงาคอ.................... พนทแรเงาคอ....................

พนทแรเงาคอ.................... พนทแรเงาคอ....................

พนทแรเงาคอ.................... พนทแรเงาคอ....................

พนทแรเงาคอ.................... พนทแรเงาคอ....................

พนทแรเงาคอ .................... พนทแรเงาคอ....................

พนทแรเงาคอ .................... พนทแรเงาคอ....................

พนทแรเงาคอ.................... พนทแรเงาคอ....................

พนทแรเงาคอ.................... พนทแรเงาคอ....................

จากแผนภาพ จงเขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสมาชก

1. 9. 2. 10. 3. 11. 4. 12. 5. 13.

A B

C

5 2 6 3 1 4 7

U

6. 14. 7. 15. 8. 16.

ก าหนดให

1. จงเขยนแผนภาพของเวนน แสดงความสมพนธของเซตทก าหนดให

2. จงเขยนเซตตอไปน แบบแจกแจงสมาชก

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11

2.12 2.13 2.14 2.15

จากภาพจงแรเงาพนทการด าเนนการของเซตแทนเซตทก าหนดให A U B A U B

A U B A U B

A U B

A B A B A B

A B A B

A

B

A

B

A B A B

A B A B A

B

A B A B A B A – B A – B A – B ( A´ B´) ( A´ U´ B´) ( A´ U B ´) (A B )

A B

A B

A

B

A B

A B

A B

A B

บทท 2 ตรรกศาสตร

หลกทางคณตศาสตรจ าเปนตองยดเหตและผลเพอใหไดขอเทจจรงและมล าดบขนตอนท

แนนอน ซงสงเหลานตองอาศยความรทางตรรกศาสตรเปนพนฐานในการก าหนดนยาม

อนยามและสจพจน เพอสรางเปนทฤษฎบท และใหสอดคลองกบแนวทางการเรยนร

คณตศาสตร

ในบทนจะกลาวถงตรรกศาสตรทจะเปนแนวทางไปสความเขาใจในวชาคณตศาสตร

1. ประพจน ประพจน (propositions or statements) คอประโยคบอกเลาหรอประโยคปฏเสธท

เปนจรงหรอเปนเทจอยางใดอยางหนงเทานน คาความจรงของประพจน (truth value) หมายถงประโยคบอกเลาหรอประโยคปฏเสธทบอกวาค านนเปนจรงหรอเทจ ตวอยางเชน - “0 เปนจ านวนเตม” เปนประพจน เพราะเปนประโยคบอกเลาและมคาความจรงเปนจรง - “ภเกตเปนเมองหลวงของไทย” เปนประพจน เพราะเปนประโยคบอกเลาและมคาความจรงเปนเทจ - “3 ไมใชจ านวนค” เปนประพจน เพราะเปนประโยคปฏเสธและมคาความจรงเปนจรง - “ปนคณอายเทาไร” ไมเปนประพจน เพราะเปนประโยคค าถาม - “ไดโปรดเถดอยาท าฉน” ไมเปนประพจน เพราะเปนประโยคขอรอง - “x 2 0” ไมเปนประพจน เพราะไมรคา x ท าใหทราบคาความจรงวา เปนจรงหรอเทจ - “คนจนเปนคนเลว” ไมเปนประพจน เพราะไมทราบคาความจรงวา เปนจรงหรอเทจ

2. การเชอมประพจน ในชวตประจ าวนจะพบวา การน าประโยคบอกเลาหรอประโยคปฏเสธ 2 ประโยคมา

เชอมกนเพอใหไดประโยคใหม ซงใชค าวา “และ” “หรอ” “ถา...แลว...” “กตอเมอ” เชน ฉน

กนขาวและเธอกนขนม จะเรยนเกงกตอเมออานหนงสอ ถาประหยดแลวจะร ารวย เปนตน

นอกจากนยงมประโยคซงเปลยนแปลงมาจากประโยคเดมโดยเตมวา “ไม” เพอแสดง

ในสงทตรงขามกบประโยคเดม ซงจะกลาวตอไปในหวขอน

ในทางตรรกศาสตรจะใชตวเชอมประพจนและสญลกษณดงน

ตวเชอม (connectives) สญลกษณ

1. และ (and) 2. หรอ (or) 3. ถา...แลว... (if…then…) 4. กตอเมอ (if and only if)

การเชอมประพจนจะใชตวอกษรภาษาองกฤษ เชน p, q, r, s แทนประพจน เพอ

สะดวกในการเชอมประพจน และจะตองพจารณาคาความจรงของประพจนนน เชน

- ถาประพจนเดยว คอ p จะมคาความจรง 2 กรณ คอ “จรงและเทจ”

“จรง” เขยนแทนดวย T

“เทจ” เขยนแทนดวย F

- ถาม 2 ประพจน คอ p และ q จะมคาความจรงทอาจเกดขนได 4 กรณ ดงตาราง

ขอสงเกต ประโยคทอยในรปค าถาม ค าสง หาม ขอรอง อทาน ปรารถนา ทไมใชประโยคบอกเลาหรอปฏเสธ และประโยคทมตวแปร (ไมรคาความจรง) ไมเปนประพจน

p q T T T F F T F F

2.1 การเชอมประพจนดวยตวเชอม “และ” ( )

ถาให p และ q เปนประพจน

P แทน 2 + 4 = 6 q แทน 2 x 4 = 8 จะไดประพจนใหม p q แทน 2 + 4 = 6 และ 2 x 4 = 8

ตารางแสดงคาความจรงของ p q เปนดงน

p q p q T T * T T F F F T F F F F

ตวอยางท 1 ก าหนดให

p แทน แมวเปนสตว (T) q แทน สนขเปนสตว (T)

ขอสงเกต จะเหนวาการเชอมประพจนดวยตวเชอม “และ” จะมกรณเดยวคอ p เปนจรงและ q เปนจรง ทประพจนใหม p q เปนจรง สวนกรณอน p q เปนเทจทกกรณ

r แทน ปลาเปนพช (F) s แทน งเปนพช (F)

ดงนน p q แทน แมวเปนสตวและสนขเปนสตว มคาความจรงเปนจรง

TT (T)

p r แทน แมวเปนสตวและปลาเปนพช มคาความจรงเปนเทจ

TF (F)

r q แทน ปลาเปนพชและสนขเปนสตว มคาความจรงเปนเทจ

FT

(F)

r s แทน ปลาเปนพชและงเปนพช มคาความจรงเปนเทจ

FF (F)

2.2 การเชอมประพจนดวยตวเชอม “หรอ” ( ) ถาให p และ q เปนประพจน

p แทน สองเปนจ านวนค

q แทน จ านวนคเปนจ านวนเตม

จะไดประพจนใหม p q แทน สองเปนจ านวนคหรอจ านวนคเปนจ านวนเตม

ตารางแสดงคาความจรงของ p q เปนดงน

p q p q T T T T F F F T F

ตวอยางท 2 ก าหนดให p แทน กรงเทพเปนเมองหลวง (T) q แทน เชยงใหมอยในภาคเหนอ (T)

r แทน สพรรณบรอยในภาคใต (F) s แทน ยะลาเปนจงหวดตดทะเล (F)

ดงนน p q แทน กรงเทพเปนเมองหลวงหรอเชยงใหมอยในภาคเหนอ มคาความจรงเปน

จรง

TT (T)

p r แทน กรงเทพเปนเมองหลวงหรอสพรรณบรอยในภาคใต มคาความจรงเปนจรง

T F (T)

s q แทน ยะลาเปนจงหวดตดทะเลหรอเชยงใหมอยในภาคใต มคาความจรงเปนจรง

FT (T)

r s แทน สพรรณบรอยในภาคใตหรอยะลาเปนจงหวดตดทะเล มคาความจรงเปน

เทจ

F F (F)

2.3 การเชอมประพจนดวยตวเชอม “ถา...แลว...” ( )

ถาให p และ q เปนประพจน

p แทน 2 4

F F * F

ขอสงเกต จะเหนวาการเชอมประพจนดวยตวเชอม “หรอ” จะมกรณเดยวถา p เปนเทจและ q เปนเทจ ทประพจนใหม p q เปนเทจ สวนกรณอน p q เปนจรงทกกรณ

q แทน 4 เปนจ านวนค

จะไดประพจนใหม pq แทน ถา 2 4 แลว 4 เปนจ านวนค

ตารางแสดงคาความจรงของ pq เปนดงน

ตวอยางท 3 ก าหนดให p แทน 2 4 (T) q แทน 4 เปนจ านวนค (T)

r แทน 4 + 2 = 5 (F) s แทน 4 x 2 = 5 (F)

ดงนน p q แทน ถา 2 4 แลว 4 เปนจ านวนค มคาความจรงเปนจรง

TT (T)

p r แทน ถา 2 4 แลว 4 + 2 = 5 มคาความจรงเปนเทจ

TF (F)

s q แทน 4 x 2 = 5 แลว 4 เปนจ านวนค มคาความจรงเปนจรง

FT (T)

rs แทน ถา 4 + 2 = 5 แลว 4 x 2 = 5 มคาความจรงเปนจรง

FF (T)

2.4 การเชอมประพจนดวยตวเชอม “กตอเมอ” ( )

p q p q T T T T F * F F T T F F T

ขอสงเกต จะเหนวาการเชอมประพจนดวยตวเชอม “ถา...แลว...” จะมกรณเดยวถา p

เปนจรงและ q เปนเทจ ทประพจนใหม pq เปนเทจ สวนกรณอน pq เปนจรงทกกรณ

ถาให p และ q เปนประพจน

p แทน เสอกนเนอ

q แทน ววกนหญา

จะไดประพจนใหม p q แทน เสอกนเนอกตอเมอววกนหญา

ตารางแสดงคาความจรงของ pq เปนดงน

ตวอยางท 4 ก าหนดให p แทน 5 เปนจ านวนค (T) q แทน 5 + 2 = 7 (T)

r แทน 4 เปนจ านวนค (F) s แทน 4 + 2 = 7 (F)

ดงนน p q แทน 5 เปนจ านวนคกตอเมอ 5 + 2 = 7 มคาความจรงเปนจรง

TT (T)

p r แทน 5 เปนจ านวนคกตอเมอ 4 เปนจ านวนค มคาความจรงเปนเทจ

TF (F)

s q แทน 4 + 2 = 7 กตอเมอ 5 + 2 = 7 มคาความจรงเปนเทจ

FT (F)

rs แทน 4 เปนจ านวนคกตอเมอ 4 + 2 = 7 มคาความจรงเปนจรง

p q p q T T * T T F F F T F

F F * T

ขอสงเกต จะเหนวาการเชอมประพจนดวยตวเชอม “กตอเมอ” pq จะเปนจรง เมอประพจนทงคเปนจรงเหมอนกน หรอเปนเทจเหมอนกน กรณอนประพจนมคาความจรงตางกน เปนเทจ

FF (T)

2.5 นเสธของประพจน ถาให p แทน 5 เปน

จ านวนค

จะไดประพจนใหม p (นเสธของ p) แทน 5 ไมเปนจ านวนค

ตารางแสดงคาความจรง p เปนดงน

3. การหาคาความจรงของประพจน ประพจนเชงประกอบ (compound statement) หมายถง ประพจนทเกดจากการเชอม

ประพจนยอย ๆ ดวยตวเชอมตาง ๆ มากกวา 1 ตว

p P T F F T

ขอสงเกต ถาประพจน p เปนจรง จะได นเสธของประพจน p เปนเทจ ถาประพจน p เปนเทจ จะได นเสธของประพจน p เปนจรง

ในการหาคาความจรงของประพจนเชงประกอบ จะตองอาศยหลกจากตารางคาความ

จรงของตวเชอมทไดศกษามาแลว โดยก าหนดคาความจรงของประพจนยอยแตละตว และ

ด าเนนการตามขนตอนตอไปน

ขนท 1 ด าเนนการเชอมประพจนในวงเลบกอน

ขนท 2 ด าเนนการท านเสธของประพจน

ขนท 3 ด าเนนการท าตวเชอม “และ “หรอ” (ด าเนนการพรอมกนได)

ขนท 4 ด าเนนการท าตวเชอม “ถา...แลว...”

ขนท 5 ด าเนนการท าตวเชอม “กตอเมอ”

ตวอยางท 1 ก าหนดให p, q เปนจรง และ r, s เปนเทจ จงหาคาความจรงของ

ประพจน

(p q) r วธท า แบบท 1 (p q) r แบบท 2 (p q) r T T F (T T) F T F T F ดงนน (p q) r มคาความจรงเปนเทจ ตอบ ดงอยางท 2 ก าหนดให p, q เปนจรง และ r ,s เปนเทจ จงหาคาความจรงของประพจน

~ ( p q) [r (~sp)]

วธท า แบบท 1 ~ ( p q) [r (~sp)] แบบท 2 ~ ( p q) [r (~sp)] T T F F T ~ (T T) [F (~FT)] ~T [F (TT)] T T F [FT]

F F

F T T F T ดงนน ~ ( p q) [r (~s p)] มคาความจรงเปนจรง ตอบ ตวอยางท 3 จงพจารณาวาประโยคตอไปนเปนจรงหรอเทจ

“ภเกตและหาดใหญเปนจงหวดกตอเมอกรงเทพฯ เปนเมองหลวง” วธท า ก าหนดให p แทน ภเกตเปนจงหวด (T) q แทน หาดใหญเปนจงหวด (F) r แทน กรงเทพ ฯ เปนเมองหลวง (T) เปลยนประโยคทก าหนดใหเปนสญญาลกษณ จะได (p q) r

แบบท 1 (p q) r แบบท 2 (p q) r

T F T (p q)T

F F T

F

F

ดงนน ภเกตและหาดใหญเปนจงหวดกตอเมอกรงเทพฯ เปนเมองหลวง มคาความ

จรงเปนเทจ ตอบ

4. การสรางตารางคาความจรง การหาคาความจรงของประพจนเชงประกอบโดยอาศยตวเชอม เชน p q, p q, P q, p q, เปนตน เมอไมก าหนดคาของประพจนยอยแตละตวมาให จ าเปนตองอาศย การสรางตารางคาความจรงทกกรณทเปนไปได โดยพจารณาดงน - ถามประพจนเดยว จะมคาความจรงทพจารณา 2 กรณ - ถามประพจนยอย 2 ประพจน จะมคาความจรงทพจารณา 4 กรณ - ถามประพจนยอย 3 ประพจน จะมคาความจรงทพจารณา 8 กรณ - ถามประพจนยอย n ประพจน จะมคาความจรงทพจารณา 2 n กรณ หนงประพจน สองประพจน สามประพจน p q r T T F T T F F T T F F T F F

4.1 การสรางตารางคาความจรงเมอมประพจนเดยวคอ p ตวอยางท 1 จงสรางตารางคาความจรงของ p ~q

~p p p ~p

F

T

T

F

T

T

คาความจรงเกดขนได 2 กรณ คอ

ถา p มคาความจรงเปนจรง จะท าไห p ~ p มคาความจรงเปนจรง

ถา p มคาความจรงเปนเทจ จะท าไห p ~ p มคาความจรงเปนจรง

4.2 การสรางตารางคาความจรงเมอมประพจนยอย 2 ประพจน คอ p,q ตวอยางท 2 จงสรางตารางคาความจรงของ p,q

p q ~q p ~q

T

T

F

F

T

F

T

F

F

T

F

T

T

T

F

T

คาความจรงเกดขนได 4 กรณ คอ

ถา p เปนจรง q เปนจรง จะท าให p ~q มคาความจรงเปนจรง

ถา p เปนจรง q เปนเทจ จะท าให p ~q มคาความจรงเปนจรง

ถา p เปนเทจ q เปนจรง จะท าให p ~q มคาความจรงเปนเทจ

ถา p เปนเทจ q เปนเทจ จะท าให p ~q มคาความจรงเปนจรง

4.3 การสรางตารางคาความจรงเมอมประพจนยอย 3 ประพจน คอ p, q, r ตวอยางท 3 จงสรางตารางคาความจรงของ (p q) r

P q r p q (p q) r T T T T F F F F

T T F F T T F F

T F T F T F T F

T T F F F F F F

T F T T T T T T

จะมคาความจรงทเกดขนได 8 กรณ คอ ถา p เปนจรง q เปนจรง r เปนจรง จะท าให ( p q) r มคาความจรงเปนจรง

ถา p เปนจรง q เปนจรง r เปนเทจ จะท าให ( p q) r มคาความจรงเปนเทจ ถา p เปนจรง q เปนเทจ r เปนจรง จะท าให ( p q) r มคาความจรงเปนจรง ถา p เปนจรง q เปนเทจ r เปนเทจ จะท าให ( p q) r มคาความจรงเปนจรง ถา p เปนเทจ q เปนจรง r เปนจรง จะท าให ( p q) r มคาความจรงเปนจรง ถา p เปนเทจ q เปนจรง r เปนเทจ จะท าให ( p q) r มคาความจรงเปนจรง ถา p เปนเทจ q เปนเทจ r เปนจรง จะท าให ( p q) r มคาความจรงเปนจรง ถา p เปนเทจ q เปนเทจ r เปนเทจ จะท าให ( p q) r มคาความจรงเปนจรง

หมายเหต 1. การสรางตารางคาความจรงใชหลกวธด าเนนการตาม 5 ขนตอนทกลาว มาแลว 2. ประพจนเชงประกอบ ถามคาความจรงเปนจรงทกกรณ จะเรยกวา สจนรนดร (tautology)

4. ประพจนเชงประกอบทสมมลกน ประพจนเชงประกอบ 2 ประพจน ทมคาความจรงเหมอนกนกรณตอกรณ จะเรยกวา

ประพจนเชงประกอบทงสองสมมลกน เชน ~(p q) กบ ~p ~q ประพจนเชงประกอบทง สองสมมลกน และตรวจสอบความสมมลไดดงน

P q (p q) ~(p q) ~q ~p~q T T F F F F T F F F T F F T F T F F F F T T T T

แสดงวา ~(p q) กบ ~ p ~q มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ ดงนน ~(p q) สมมลกบ ~ p ~q ตวอยางท 1 จงตรวจสอบวา p q สมมลกบ q p หรอไม

p q p q q p T T T T

T F F T F T T F F F T T

แสดงวา pq กบ qp มคาความจรงไมเหมอนกนทกกรณ ดงนน pq ไมสมมลกบ qp

ตวอยางท 2 จงตรวจสอบวา pq สมมลกบ ~q ~p หรอไม

p q p q ~p ~q ~q ~p T T T F F T T F F F T F F T T T F T F F T T T T

แสดงวา p q กบ ~q ~p มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ ดงนน p q สมมลกบ ~q ~p

ตวอยางท 3 จงพจารณาวาขอความทงสองสมมลกนหรอไม “ถาสมชายเรยนเกงแลวสมชายไดเกรด A” “ถาสมชายไมไดเกรด A แลวสมชายเรยนไมเกง” P แทน สมชายเรยนเกง

q แทนสมชายไดเกรด A p q แทนถาสมชายเรยนเกงแลวสมชายไดเกรด A ~q ~p แทนถาสมชายไมไดเกรด A แลวสมชายเรยนไมเกง จากตวอยางท 2 ไดตรวจสอบแลววา p q สมมลกบ ~ q ดงนน ขอความทงสองจงสมบรณกน

6. ประโยคเปด พจารณาประโยคตอไปน 1. X > 0 ไมทราบวามคาความจรงเปนจรงหรอเทจ เพราะไมทราบวา X มคาเทาไหร 2. X > 0 เมอ x = 1 มคาความจรงเปนจรงเพราะ X = 1 มคามากกวา 0 จะเรยกประโยคทหนงวา ประโยคเปด สวนประโยคทสอง เรยกวา ประพจน ประโยคเปด (open sentence) หมายถง ประโยคบอกเลาหรอประโยคปฏเสธทไมทราบคาความเปนจรง (มตวแปร) แตเมอแทนทตวแปรดวยคาทก าหนดใหแลวจะทราบคาความจรง และประโยคเปดนนจะเปนประพจน

ตวอยาง เขาเปนนกวทยาศาสตร เปนประโยคเปด เพราะไมทราบวาเขาเปนใคร และไมสามารถทราบไดวาประโยคนมคาความจรงเปนจรงหรอเทจ ซง ”เขา” เปนตวแปร แตถาแทนเขาดวย หลย ปาสเตอร ประโยคเปดนจะเปนประพจน และมคาความจรงเปนจรง สญลกษณแทนประโยคเปดทม X เปนตวแปร เขยนแทนดวย P(X) ตวอยาง P(x) แทน x > 0 P(y) แทน y + 1 = 5 การเขยนประโยคเปดดวยตวเชอม สามารถท าไดเชนเดยวกบการเชอมประพจน 7. ประโยคทมตวบงชปรมาณ ส าหรบ X ทกตว และส าหรบ X บางตว ซงมกจะใชในคณตศาสตรทเปนตวบงปรมาณใหทราบปรมาณของตวแปรนนๆ ตวอยาง ส าหรบ X ทกตว X . X = เมอ X เปนจ านวนเตม ส าหรบX บางตว X . X = 2x เมอ X เปนจ านวนนบ ตวบงปรมาณใชสญลกษณแทนดงน

แทนส าหรบ X ทกตว หรออาจเขยนแทนดวยวลอน เชน ส าหรบ แตละตว,ส าหรบทกๆ X เปนตน

แทน ส าหรบ X บางตว หรออาจเขยนแทนดวยวลอน เชน ส าหรบ X อยางนอยหนงตว, ม X, จะม X เปนตน

ตวอยาง จงเขยนขอความตอไปนใหเปนประโยคสญลกษณ เมอก าหนดให P(X) แทน X เปนจ านวนเตม Q(X) แทน X เปนจ านวนบวก R(X) แทน X เปนจ านวนเตมลบ Y(X) แทน X เปนจ านวนเตมศนย 1.จ านวนเตมบวกทกจ านวนเปนจ านวนเตม 2.จ านวนเตมบางจ านวนเปนจ านวนเตมศนย 3.จ านวนเตมบางจ านวนไมเปนจ านวนเตมบวก 4.จ านวนเตมทกจ านวนตองเปนจ านวนเตมบวกหรอจ านวนเตมลบ วธท า 1. 2. x[P(X)^Y(X)] 3. x[P(X)^~Q(X)] 4. x[P(X) (Q(X)vR(X) )] พจารณาประโยคเปด P(X) = > 4 เมอเพมตวบง

ปรมาณ

จะไดดงน หมายถง ทกๆตวของ X เมอ > 4 หมายถง บางตวของ X เมอ > 4 และเมอแทนคาตวแปร X ใน P(X) ดวยคาทก าหนดทกคาจะไดเปน 4 กรณ ดงน

1. มคาความจรง กตอเมอ แทนคาตวแปร X ใน P(X) ทกๆ คาทก าหนด จะได

ประพจนทมคาความจรงเปนจรงทงหมด ตวอยาง เมอก าหนดให X = 3, 4, 5 P(3) = > 4 (T)

P(3) = > 4 (T) P(4) = > 4 (T) ความจรงเปนจรงทงหมด ซงท าให x[P(x)] มคาความจรงเปนจรง

2. x[P(x)] มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนคาตวแปร x ใน P(x) ทกๆ คาท

ก าหนด จะไดประพจนทมคาความจรงเปนเทจอยางนอย 1 ประพจน

ตวอยาง เมอก าหนดให X = 2, 3, 4 P(2) = > 4 (F) P(3) = > 4 (T) P(4) = > 4 (T) แสดงวา เมอแทนคาตวแปร X = 2, 3, 4 ในประโยคเปด [ > 4 ] จะมตวแปร x=2 ตวเดยวทแทนคาในประโยคเปด [ > 4 ] จะไดประพจนทมคาความจรงเปนเทจ ซงท าให x[P(x)] มคาความจรงเปนเทจ 3. มตาความจรงเปนจรง กตอเมอแทนคาตวแปร X ใน P(X) ทกๆ คาทก าหนด จะไดประพจนทมคาความจรงเปนจรงอยางนอย 1 ประพจน ตวอยาง เมอก าหนดให X = 1, 2, 3 (F) (F) (T) แสดงวา เมอแทนคาตวแปร X = 1, 2, 3 ในประโยคเปด จะมตวแปร X = 3 ตวเดยวทแทนคาในประโยคเปด จะไดประพจนทมคาความจรงเปนจรง ซงท าให มคาความจรงเปนจรง

4. มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอแทนคาตวแปร X ใน P(X) ทกๆ คาทก าหนด จะไดประพจนทมคาความจรงเปนเทจทงหมด ตวอยาง เมอก าหนดให X = 0, 1, 2 (F) (F) (F) แสดงวา เมอแทนคาตวแปร X = 0, 1, 2 ในประโยคเปด จะท าใหประพจนทกประพจนมคาความจรงเปนเทจทงหมด ซงท าให มคาความจรงเปนเทจ ตวอยาง จงหาคาความจรงของประโยคเปดทมตวบงปรมาณตอไปน

1. ส าหรบ X บางตวทนอยกวา 5 เมอ X = 6, 7, 8 X เปนจ านวนนบ

2. จ านวนเตมทกจ านวนมากกวา 0

3. ส าหรบ X บางตว X < 5

4. ส าหรบ X ทกตว X + X = 2x เมอ กตอเมอ < 5 เมอ X = 3, 4

5. ถาม X บางตว ซง < 5 แลวจะม X ทกตวซง X < 5 เมอ X = 3, 4

วธท า 1. เมอ X = เมอแทน X =6, 7, 8 จะไดประพจนทกตวมคาความจรงเปนเทจ แสดงวา มคาความจรงเปนเทจ 2. เมอแทนX = 1, 2, 3, ... จะไดประพจนทกตวมคาความจรงเปนจรง

แสดงวา 3. เมอแทน X = 0 จะไดประพจนมคาความจรงเปนจรง

แสดงวา มคาความจรงเปนเทจ

4. เมอ X = 3, 4 แทนคา X = 3 จะได [3 < 5 9 < 5] เปนเทจ T F (F) แทนคา X = 4 จะได [4 < 5 16 < 5] เปนเทจ T F (F) ดงนน แทนคา X = 3, 4 จะไดประพจนเชงประกอบทมคาความจรงเปน เทจ แสดงวา มคาความจรงเปนเทจ

5. เมอ X = 3, 4 แทนคา X = 3, 4 ใน P(X) = < 5 จะไดประพจนทกตวมคาความจรงเปนเทจ แสดงวา มคาความจรงเปนเทจ แทนคา X = 3, 4 ใน P(X) = < 5 จะไดประพจนทกตวมคาความ จรงเปนจรง แสดงวา มคาความจรงเปนจรง

จะมคาความจรง

9.การอางเหตผล การอางเหตผลเปนการอางขอความทเปนเหต อาจจะมหลายๆ เหต ซงก าหนดให P เปน

ขอความของเหต เชน ขอความ , ,..., เปนเหต แลวสรปวาขอความ A ซงเปนผสมเหตสมผลกนหรอไม โดยเชอมเหตแตละตวดวยตวเชอม “และ” (^) สวนเหตกบผลเชอมดวยตวเชอม “ถา...แลว...”

ดงนน [ถาเปนสจนรนดรถอวาการอางเหตผลสมเหตสมผล ถาไมเปนสจนรนดรถอวาการอางเหตผลไมสมเหตสมผล การอางเหตผลจะอยในรปของตวเชอม “ถา...แลว...” คอ เหต — > ผล การอางเหตผลจะสมเหตสมผลหรอไมสมเหตสมผลกได มเพยงกรณเดยวทเหตเปนจรงและผลเปนเทจ จะท าใหการอางเหตผลไมสมเหตสมผล

9.ขนตอนในการด าเนนการตรวจสอบการอางเหตผล 1. เหตตอเหตเชอมดวย "และ" (^)

2. เหตตอผลเชอมดวย "ถา...และ..." คอเหต —> ผล

3. ตรวจสอบโดยสรางตารางคาความจรงวาเปนสจนรนดรหรอไม ถาเปนสจน

รนดรถอวาสมเหตสสมผล และถาไมปนสจนรนดรถอวาไมสมเหตสมผล

ตวอยางท1 จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม เหต 1 p ^ q

2 q

ผล p วธท า ขนท 1 เหตตอเหตเชอมดวย “และ” ( ^ ) ( p ^ q ) ^ q

ขนท 2 เหตตอผลเชอมดวย " ถา...แลว..." [( p ^ q ) ^ q ] p

ขนท 3 ตรวจสอบวาเปนสจนรนดรหรอไม p q p^q (p^q)^q [(p^q)^q] —>p T T T T T

T F F F T F T F F T F F F F T

จะเหนวา[( p ^ q ) ^ q] —> p เปนสจนรนดร ดงนน สรปไดวา [( p ^ q ) ^ q] —> p เปนการอางเหตผลทสมเหตสมผล ตวอยางท 2 จงพจารณาวาขอความการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม เหต 1 ถาสมศรดมนมแลวสมศรแขงแรง 2 สมศรแขงแรง ผล สมศรดมนม วธท า ก า หนดให p แทน สมศรดมนม q แทน สมศรแขงแรง จะได เหต 1. p —> q 2. q ผล p จากเหตและผล จะได [( p —> q ) ^ q ] —> p

p q p q (p q)^q [(p —>q)^q] —>p

T T T T T T F F F T F T T T F F F F F T

จะเหนวา [ ( p —> q ) ^ q ] —> p ไมเปนสจนรนดร ดงนน ขอความการอางเหตผลดงกลาวไมสมเหตสมผล

การอางเหตผลสามารถใชไดกบประโยคเปด โดยแทนคา X ในประโยคเปด จะไดประพจนเชงประกอบ แลวตรวจสอบเชนเดยวกบประพจนทวๆ ไป เชน ประโยคเปด { [ p ( x ) —> q ( x ) ] ^ q ( x ) } —> p ( x ) เมอแทนคา X จะไดประพจนเชงประกอบ [ ( p —> q ) ^ q ] —> p แลวจงตรวจสอบการอางเหตผล ตวอยางท3 จงพจารณาวาขอความการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลหรอไม เหต 1. เขากนขาว 2. เขาเจรญเตบโต ผล เขาเจรญเตบโต วธท า ก าหนดให p(x) แทน เขากนขาว q(x) แทน เขาเจรญเตบโต เหต 1. p(x) 2. q(x) ผล q(x) จะไดประโยคเปด [p(x) ^ q(x)] —> q(x) แทนคา X จะไดประพจน (p ^ q) —> q ตรวจสอบประพจนแลวพบวาเปนสจนรนดร สรปไดวา ประโยคเปดดงกลาวสมเหตสมผลกน

บทท 3 ความนาจะเปน ในชวตประจ าวนของเราจะใชค าวา “โอกาส” อยเสมอ เชน โอกาสทฝนจะตกม 80% บาสเกตบอลทม A มโอกาสทจะชนะทม B สงมาก โอกาสทจะไปเทยวชายทะเลนอยมาก เพราะก าลงมพาย เปนตน ค าวา โอกาส มความหมายเชนเดยวกบค าวา ความนาจะเปน เปนการคาดการณลวงหนาวาสงตาง ๆ ทจะเกดขนมมากนอยเพยงใด ในอดตทผานมา มนษยรจกท านายเหตการณทเกดขนไดโดยอาศยวงทเกดขนซ า ๆ เปนตวก าหนด เชน ฝนตก น าปา ภเขาไประเบด ฯลฯ ในปจจบนมนษยน าความนาจะเปนหรอโอกาสมาใชในการท านายสงตาง ๆ เชน การแขงขน การพนน เศรษฐกจของบานเมอง การทดลองทางวทยาศาสตร ฯลฯ โดยใชตวเลขเปนตววดหรอพยากรณวาสงตาง ๆ นน มโอกาสเกดขนมากหรอนอยอยางไร 4.1 การทดลองสมและแซมเปลสเปซ (Random Experiment and Sample Space) การทดลองสม หมายถง การทดลองซงทราบวาจะมผลลพธอะไรบาง แตไมสามารถบอกผลลพธไดถกตองแนนอนวาจะเปนอะไรในการทดลองแตละครง เชน โยนเหรยญ 1 อน 1 ครง * ในการโยนเหรยญรผลลพธวาตองออกหวหรอกอย แตถาก าลงจะโยนเหรยญจะไมสามารถบอกไดวาจะไดหวแนนอน หรอไดกอยแนนอน เปนการทดลองสม กลองทบใ บหนงมลกแกวสแดง 1 ลก สฟา 1 ลก สเหลอง 1 ลก หยบมา 1 ลก รผลลพธวาตองไดสแดง หรอสฟา หรอสเหลอง แตก าลงจะหยบไมสามารถบอกไดแนนอนวาตองไดสแดง หรอไดสเหลอง หรอไดสฟา เปนการทดลองสม การออกรางวลเขทาย 2 ตว รผลลพธวาจะออกเลขอะไรบาง แตในงวดนไมสามารถบอกไดแนนอนวาเปนเลขอะไร เปนการทดลองสม

กลองทบใบหนงมลกแกวสแดง 10 ลก หยบมา 1 ลก สามารถบอกไดวา ไดสแดงแนนอน ไมใชการทดลองสม การแขงขนฟตบอลระหวางวทยาลย 2 แหง ซงมความสามารถเทาเทยมกน ร ผลลพธวาตองมผแกและผชนะ แตไมสามารถบอกไดลวงหนาไดวาใครแพใครชนะ เปนการทดลองสม แซมเปลสเปซ หมายถง ผลลพธทงหมดทเกดขนของผลการทดลองสมจะใช S แทนแซมเปลสเปซ ตวอยาง การเขยนผลลพธทงหมดของการทดลองสม 1) โยนเหรยญ 1 อน 1 ครง S = {H, T} มผลลพธเกดขน 2 กรณ คอ เหรยญออกหวใช H แทน กบเหรยญ ออกกอยใช T แทน 2) โยนเหรยญ 2 อน 1 ครง S = {HH, HT, TH, TT} มสมาชก 4 สมาชก 3) โยนเหรยญ 3 อน 1 ครง S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} มสมาชก 8 สมาชก 4) ครอบครวหนงมบตร 2 คน S = {ชช, ชญ, ญช, ญญ} มสมาชก 4 สมาชก 5) โยนลกเตา 1 ลก 1 ครง S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} มสมาชก 6 สมาชก 6) โยนลกเตา 2 ลก 1 ครง S = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5),(6,6)} มสมาชก 36 สมาชก 7) กลองใบหนงมลกแกวสแดง 1 ลก สขาว 1 ลก สฟา 1 ลก 7.1 หยบมา 2 ลก พรอมกน

S = 2C3 = ! 2 ! 1

3! = 3 วธ

S = {ดข, ดฟ, ขฟ} ม 3 สมาชก 7.2 หยบมา 2 ลก โดยหยบทละลก S = 1C3 . 1C2 = 6 วธ S = {ดข, ดฟ, ขด, ขฟ, ฟด, ฟข} ม 6 สมาชก 7.3 หยบมา 2 ลก โดยหยบทละลกเมอดสแลวใสคน S = 1C3 . 1C3 = 9 วธ S = {ดด, ดข, ดฟ, ขด, ขข, ขฟ, ฟด, ฟข, ฟฟ} ม 9 สมาชก 8) หยบไผ 1 ใบ จากไพ 1 ส ารบ ซงม 52 ใบ S = {A โพด า, 2 โพด า, 3 โพด า, … , 10 โพด า, J โพด า, Q โพด า, K โพด า, A โพแดง, 2 โพแดง, 3 โพแดง, … , 10 โพแดง, J โพแดง, Q โพแดง, K โพแดง, A ขาวหลามตด, 2 ขาวหลามตด, 3 ขาวหลามตด, … , 10 ขาวหลามตด, J ขาวหลามตด, Q ขาวหลามตด, K ขาวหลามตด, A ดอกจก, 2 ดอกจก, 3 ดอกจก, … , 10 ดอกจก, J ดอกจก, Q ดอกจก, K ดอกจก} มสมาชก 52 สมาชก 9) ในการลงทนท าการคา ผลการลงทนมก าไร ขาดทน เทาทน ถาท าการคา 2 ป S = {กก, กข, กท, ขก, ขข, ขท, ทก, ทข, ทท}, n(S) = 9 10) เลอกภาพ 3 ภาพ จากภาพทงหมด 5 ภาพ คอภาพ A, B, C, D, E

N(S) = 3C5 = ! 3 ! 2

5! = 2

4 . 5 = 10 วธ

S = {ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCD, BCE, BDE, CDE}, n(S) = 10 4.2 เหตการณ (Event) เหตการณ หมายถง สบเซตของแซมเปลสเปซ หรอสงทเราสนใจในผลการทดลองสมแทนดวย E ตวอยาง การเขยนแซมเปลสเปซและเหตการณทเราสนใจในผลการทดลองสม

1) ในการโยนลกเตา 1 ลก 1 ครง S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6 1E = สนใจไดแตมมากกวา 4 = {5, 6}, n( 1E ) = 2 2E = สนใจไดแตมเปนจ านวนเฉพาะ = {2, 3, 5}, n( 2E ) = 3 2) ในการโยนลกเตา 2 ลก 1 ครง S = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66}, n(S) = 36 1E = สนใจไดผลรวมของแตมมากกวา 8 1E = {36, 45, 46, 54, 55, 56, 63, 64, 65, 66} n( 1E ) = 10 2E = สนใจไดผลรวมของแตมหารดวย 3 ลงตว = {12, 15, 21, 24, 33, 36, 42, 45, 51, 54, 63, 66} n( 2E ) = 12 3E = สนใจไดแตมเปนเลขคทง 2 ลก = {11, 13, 15, 31, 33, 35, 51, 53, 55} n( 3E ) = 9 3) ครอบครวหนงมบตร 3 ลก N(S) = 2 x 2 x 2 = 8 S = {ชชช, ชชญ, ชญช, ชญญ, ญชช, ญชญ, ญญช, ญญญ} E = สนใจไดลกชายมากกวา 1 คน E = {ชชช, ชชญ, ชญช, ญชช}, n(E) = 4 4) กลองทบใบหนงมลกแกวสแดง 4 ลก สฟา 3 ลก สเหลอง 2 ลก สมหยบ 3 ลก

พรอมกน

N(S) = 3C9 = ! 3 ! 6

9! = 1 . 2 . 3

7 . 8 . 9 = 84

1E = สนใจไดสละ 1 ลก n( 1E ) = 1C4 . 1C3 . 1C2 = 24 2E = สนใจไดสเดยวกน n( 2E ) = 3C4 + 3C3 = 4 + 1 = 5

3E = สนใจไดสแดง 2 ลกเสมอ n( 3E ) = 2C4 . 1C5 = 6 . 5 = 30 4E = สนใจไดสด า 1 ลก 4E = n( 4E ) = 0 5) จากตวเลขโดด 0, 2, 1, 3, 4, 5, 6 น ามาจดเปนเลข 3 หลก โดยใชเลขไมซ ากน N(S) = 5 x 5 x 4 = 100 1E = สนใจไดเลข 3 หลกเปนเลขค n( 1E ) = 4 x 4 x 3 = 48 2E = สนใจไดเลข 3 หลกทหารดวย 5 ลงตว n( 2E ) = (5 x 4 x 1) + (4 x 4 x 1) = 20 + 16 = 36 6) นกเรยนชาย 6 คน หญง 4 คน สมเลอกมา 2 คน เพอเปนตวแทนในการตอบปญหาทางวชาการ (นกเรยนทกคนมความสามารถเทากน)

N(S) = 2C10 = ! 2 ! 8

10 ! = 2

9 . 10 = 45

1E = สนใจไดนกเรยนชาย 1 คน หญง 1 คน n( 1E ) = 1C6 . 1C4 = 24 2E = สนใจไดนกเรยนหญงทง 2 คน

n( 2E ) = 2C4 = 6 4.2.1 ยเนยนของเหตการณ (Union of events) ให S เปนแซมเปลสเปซในการทดลองสม 1E และ 2E คอ เหตการณสองเหตการณ โดยท 1E S และ 2E S ยเนยนของเหตการณ 1E และ 2E เขยนแทนดวย 1E 2E เปนเหตการณทประกอบดวยสมาชกของ 1E หรอของ 2E หรอของทงสองเหตการณ ตวอยาง 1) ครอบครวหนงมบตร 4 คน S = {ชชชช, ชชชญ, ชชญช, ชชญญ, ชญชช, ชญชญ, ชญญช, ชญญญ, ญชชช, ญชชญ, ญชญช, ญชญญ, ญญชช, ญญชญ, ญญญช, ญญญญ} เหตการณทสนใจไดลกสาวคนแรกหรอคนสดทาย 1E = สนใจไดลกสาวคนแรก 1E = {ญชชช, ญชชญ, ญชญช, ญชญญ, ญญชช, ญญชญ, ญญญช, ญญญญ}

2E = สนใจไดลกสาวคนสดทาย 2E = {ชชชญ, ชชญญ, ชญชญ, ชญญญ, ญชชญ, ญชญญ, ญญชญ, ญญญญ} ( 1E 2E ) = {ญชชช, ญชชญ, ญชญช, ญชญญ, ญญชช, ญญชญ, ญญชช, ญญญญ, ชชชญ, ชชญญ, ชญชญ, ชญญญ}, n( 1E 2E ) = 12 2) โยนลกเตา 2 ลก 1 ครง ผลลพธทตองการคอผลรวมของแตมของลกเตาทงสองลก S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} เหตการณทสนใจผลรวมของแตมเปนเลขจ านวนเฉพาะ หรอนอยกวา 6 1E = สนใจผลรวมของแตมเปนจ านวนเฉพาะ 1E = {2, 3, 5, 7, 11} 2E = สนใจไดผลรวมของแตมนอยกวา 6 2E = {2, 3, 4, 5} ( 1E 2E ) = {2, 3, 4, 5, 7, 11}, n( 1E 2E ) = 6 4.2.2 อนเตอรเซกชนของเหตการณ (Intersection of events) ให S เปนแซมเปลสเปซในการทดลองสม 1E และ 2E คอ เหตการณสองเหตการณ โดยท 1E S และ 2E S อนเตอรเซกชนของเหตการณ 1E และ 2E เขยนแทนดวย 1E 2E เปนเหตการณทประกอบดวยสมาชกของ 1E หรอของ 2E หรอของทงสองเหตการณ

ตวอยาง 1) มตวอกษร A, B, C, D น ามาเรยงคราวละ 3 ตว S = {ABC, ABD, ACB, ACD, ADB, ADC, BAC, BAD, BCA, BCD, BDA, BDC, CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB, DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB} สนใจเหตการณท A และ C ถกเลอกมา 1E = สนใจ A ถกเลอกมา 1E = {ABC, ABD, ACB, ACD, ADB, ADC, BAC, BAD, BCA, CAB, CAD, CBA, CDA, DAB, DAC, DBA, DCA, BDA} 2E = สนใจ C ถกเลอกมา 2E = {ABC, ACB, ACD, ADC, BAC, BCA, BCD, BDC, CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB, DAC, DBC, DCA, DCB} ( 1E 2E ) = {ABC, ACB, ACD, ADC, BAC, BCA, CAB, CAD, CBA, CDA, DAC, DCA} 2) โยนลกเตา 1 ลก 2 ครง S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ในไดแตมมากกวา 3 และเปนเลขค 1E = สนใจไดแตมมากวา 3 = {4, 5, 6} 2E = สนใจไดแตมเปนเลขค = {2, 4, 6} ( 1E 2E ) = {4, 6} 4.2.3 คอมพลเมนตของเหตการณ (Complement of events) ให S เปนแซมเปลสเปซในการทดลองสม E เปนเหตการณณใด ๆ คอมพลเมนตของเหตการณ E’ คอ เหตการณทประกอบดวยสมาชกทอยใน S แตไมอยในเหตการณ E

ตวอยาง 1) กลองใบหนงมลกแกวสแดง สขาว สฟา สเหลอง อยางละ 1 ลก หยบมา 2 ลก โดยหยบทละลก แลวไมใสคน S = {ดข, ดฟ, ดล, ขด, ขฟ, ขล, ฟด, ฟข, ฟล, ลด, ลข, ลฟ} E = สนใจไดสขาวเสมอ = {ดข, ขด, ขฟ, ขล, ฟข, ลข} E’ = {ดฟ, ดข, ฟด, ฟข, ขด, ขฟ} 2) มบตรแขง 10 ใบ เปนหมายเลข 1, 2, 3, ..., 10 หยบมา 1 ใบ S = {1, 2, 3, …, 10} E = สนใจไดบตรทหมายเลขเปนจ านวนเฉพาะ = {2, 3, 5, 7} E’ = {1, 4, 6, 8, 9, 10} ขอสงเกต

1. E และ E’ เปนเหตการณทไมเกดรวมกน เพราะ E E’ = 2. E E’ = S 4.2.4 ผลตางของเหตการณ (Difference of events)

ให S เปนแซมเปลสเปซในการทดลองสม 1E และ 2E เปนเหตการณสองเหตการณ ผลตางของเหตการณ 1E และเหตการณ 2E แทนดวย 1E - 2E คอ เหตการณทประกอบดวยสมาชกในเหตการณ 1E แตไมเปนสมาชกในเหตการณ 2E ตวอยาง 1) โยนเหรยญ 3 อน 1 ครง S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} 1E = สนใจเหรยญออกหวมากกวา 1 ครง = {HHH, HHT, HTH, THH} 2E = สนใจเหรยญออกกอยอยางนอย 1 ครง = {HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} 1E - 2E = {HHH} 2E - 1E = {HTT, THT, TTH, TTT} 2) โยนลกเตา 1 ลก และเหรยญ 1 เหรยญ S = {(1, H)} (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T)} (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T)} 1E = สนใจไดเหรยญออกหว = {(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H)} 2E = สนใจไดลกเตาออกแตมค = {(2, H), (4, H), (6, H), (2, T), (4, T), (6, H)} 1E - 2E = {(1, H), (3, H), (5, H)} 2E - 1E = {(2, T), (4, T), (6, T)}

ขอสงเกต 1. ( 1E - 2E ) และ ( 2E - 1E ) เปนเหตการณทไมเกดรวมกน เพราะ ( 1E - 2E ) ( 2E - 1E ) = 4.3 ความนาจะเปนของเหตการณ (Probability of an event) ความนาจะเปนของเหตการณ หมายถง อตราสวนระหวางจ านวนสมาชกของเหตการณทเราสนใจกบจ านวนสมาชกของแซมเปลสปซของการทดลองสม ซงมโอกาสเกดขนไดเทา ๆ กน S คอ แซมเปลสเปซของการทดลองสม n(S) คอ จ านวนสมาชกของแซมเปลสเปซ E คอ เหตการณทสนใจ n(E) คอ จ านวนสมาชกของเหตการณ P(E) คอ ความนาจะเปนของเหตการณ E

ความนาจะเปนของเหตการณ = ลสเปซกของแซมเปจ านวนสมาช

รณทสนใจกของเหตกาจ านวนสมาช

P(E) = n(S)n(E)

ความนาจะเปนของเหตการณเปนตวเลขทบงบอกใหเราทราบวาเหตการณนน ๆ มโอกาสเกดขนมากนอยเพยงไร เชน

P(E) = 31 แสดงวาเหตการณ E มโอกาสเกดขนเพยง 1 ใน 3

P(E) = 21 แสดงวาเหตการณ E มโอกาสเกดหรอไมเกดเทา ๆ กน

P(E) = 54 แสดงวาเหตการณ E มโอกาสเกดมาก 4 ใน 5

P(E) = 0 แสดงวาเหตการณ E ไมมโอกาสเกดขนเลย P(E) = 1 แสดงวาเหตการณ E มโอกาสเกดขน 100%

ตวอยางท 1 โยนเหรยญ 3 อน 1 ครง จงหาความคาความนาจะเปนทเหรยญออกหว 1 ครง วธท า โยนเหรยญ 3 อน 1 ครง S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} n(S) = 8 E = เหรยญออกหว 1 ครง n(E) = {HTT, THT, TTH} n(E) = 3

P(E) = 83 ตอบ

ตวอยางท 2 มนกเรยน 6 คน ตองการเลอกมา 3 คน เพอเปนตวแทน ถาแดงเปนเดกอยในกลมน จงหาความนาจะเปนทแดงถกเลอกมาเสมอ วธท า นกเรยน 6 คน สมเลอกมา 3 คน

n(S) = 3C6 = ! 3 ! 3

6 ! = 1 . 2 . 3 4 . 5 . 6 = 20

E = สนใจแดงถกเลอกมาเสมอ n(E) = 1 . 2C5 = 10

P(E) = 2010 =

21 ตอบ

ตวอยางท 3 เลอกจ านวน 1 จ านวน ทอยระหวาง 400 กบ 500 จงหาความนาจะเปนทจ านวน ทเลอกมา หารดวย 11 ลงตว

วธท า จ านวนทอยระหวาง 400 กบ 500 S = {401, 402, 403, ..., 499} n(S) = 99 E = สนใจจ านวนทหารดวย 11 ลงตว = {407, 418, 429, 440, 451, 462, 473, 484, 495} n(E) = 9

P( 1E ) = 999 =

111 ตอบ

ตวอยางท 4 โยนลกเตา 2 ลก 1 ครง จงหาความนาจะเปนท 1) ไดผลรวมของแตมหารดวย 4 ลงตว 2) ไดผลรวมของแตมเปนจ านวนเฉพาะ 3) ไดผลรวมของแตมมากกวา 9 4) ไดหนาของลกเตาทง 2 ลกเปนเลขค วธท า โยนลกเตา 2 ลก 1 ครง S = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66} n(S) = 36 1) ไดผลรวมของแตมหารดวย 5 ลงตว E = {14, 23, 32, 41, 46, 55, 64} n(E) = 7

P(E) = 367

2) ไดผลรวมของแตมเปนจ านวนเฉพาะ E = {11, 12, 14, 16, 21, 23, 25, 32, 34, 41, 43, 52, 56, 61, 65} n(E) = 15

P(E) = 3615 =

125

3) ไดผลรวมของแตมมากกวา 9 E = {46, 55, 56, 64, 65, 66} n(E) = 6

P(E) = 366 =

61

4) ไดหนาของลกเตาทง 2 เปนเลขค E = {11, 15, 31, 33, 35, 51, 53, 55} n(E) = 9

P(E) = 369 =

41 ตอบ

ตวอยางท 5 มหลอดไฟ 15 หลอด เปนหลอดเสย 4 หลอด วางปนกนอย สมหยบมา 4 หลอด พรอมกน จงหาความนาจะเปนท 1) ไดหลอดเสย 2 หลอดเสมอ 2) ไดหลอดดอยางนอย 3 หลอด 3) ไดหลอดด 1 หลอด วธท า มหลอดไฟ 15 หลอด เปนหลอดเสย 4 หลอด เปนหลอดด 11 หลอด หยบมา 4 หลอดพรอมกน

n(S) = 4C15 = !4 ! 11

15 ! = 1 . 2 . 3 .4 12 . 13 .14 . 15 = 1,365

1) ไดหลอดเสย 2 หลอดเสมอ n(E) = 2C4 . 2C11 = 330

P(E) = 1,365330 =

9122

2) ไดหลอดดอยางนอย 3 หลอด n(E) = 3C11 . 1C4 . 4C11 = 660 + 330 = 990

P(E) = 1,365990 =

9166

3) ไดหลอดด 1 หลอด n(E) = 1C11 . 3C4 = 11 . 4 = 44

P(E) = 1,365

44 ตอบ

สมบตบางประการของความนาจะเปน

1. 0 P(E) 1

2. P(E) = 0 เมอ E = 3. P(E) = 1 เมอ E = S 4. ถา 1E และ 2E เปนเหตการณใด ๆ ในแซมเปลสเปซ S แลว P( 1E 2E ) = P( 1E ) + P( 2E ) - P( 1E 2E ) พสจน ให n( 1E ) แทนสมาชกของเหตการณ 1E n( 2E ) แทนสมาชกของเหตการณ 2E

n( 1E 2E ) แทนสมาชกของเหตการณ ( 1E 2E ) n( 1E 2E ) แทนสมาชกของเหตการณ ( 1E 2E ) n(S) แทนสมาชกของแซมเปลสเปซ S จากความรเรองเซต n( 1E 2E ) = n( 1E ) + n( 2E ) + n( 1E 2E )

n(S)

)2E1n(En(S)

)2n(En(S)

)1n(En(S)

)2E1n(E

P( 1E 2E ) = P ( 1E ) + P( 2E ) - P( 1E 2E )

5. ถา 1E และ 2E เปนเหตการณใด ๆ ในแซมเปลสปซ S และ 1E กบ 2E ไมมสมาชกรวมกน หรอ 1E 2E = P( 1E 2E ) = P( 1E ) + P( 2E ) ( 1E 2E ) = ( 1E 2E ) = 0 พสจน P( 1E 2E ) = P ( 1E ) + P( 2E ) - P( 1E 2E ) = P ( 1E ) + P( 2E ) - 0 P( 1E 2E ) = P ( 1E ) + P( 2E ) 6. ถา 1E , 2E และ 3E เปนเหตการณใด ๆ ในแซมเปลสเปซ S แลว P( 1E 2E 3E )

= P ( 1E ) + P( 2E ) + P ( 3E ) - P( 1E 2E ) - P( 2E 3E ) - P( 1E 3E ) + P( 1E

2E 3E )

พสจน P( 1E 2E 3E ) = P (( 1E ) 2E ) 3E ) = P( 1E 2E ) + P ( 3E ) - P(( 1E 2E ) 3E )

= P( 1E 2E ) + P ( 3E ) - P(( 1E 3E ) 3E ) ( 2E 3E ))

= P( 1E ) + P( 2E ) - P( 1E 2E ) + P( 3E ) - [P( 1E 3E ) + P( 2E 3E ) - P( 1E 2E )

( 2E 3E ))] = P( 1E ) + P( 2E ) + P( 3E ) - P( 1E 2E ) - P( 1E 3E ) - P( 2E 3E ) + P( 1E 2E 3E ) 7. ถา 1E , 2E เปนเหตการณใด ๆ ในแซมเปลสเปซ S แลว P( 1E - 2E ) = P( 1E ) - P( 1E 2E ) 1E = ( 1E - 2E ) ( 1E 2E ) P( 1E ) = P( 1E - 2E ) + P( 1E 2E ) - P(( 1E - 2E ) ( 1E 2E )) แต ( 1E - 2E ) ( 1E 2E ) =

P( 1E ) = P( 1E - 2E ) + P( 1E 2E ) - 0 P( 1E ) = P( 1E - 2E ) + P( 1E 2E ) P( 1E - 2E ) = P( 1E ) - P( 1E 2E ) 8. ถา E คอ เหตการณใด ๆ ในแซมเปลสเปซ S P(E’) = 1 - P(E) E E’ = S E E’ = P(S) = P(E) + p(E’) แต P(S) = 1 1 = P(E) + P(E’) P(E’) = 1 - P(E)

ตวอยางท 6 ก าหนดให A และ B เปนเหตการณใดๆ และ P(A B) = 54 , P(A B) =

101 , P(A) =

21 จงหา

1) P(B) 2) P(A’ B’) 3) P(A - B) วธท า 1) P(B) P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

54 =

21 + P(B) -

101

P(B) = 54 -

21 +

101 =

52

2) P(A’ B’)

P(A’) = 1 - P(A) = 1 - 21 =

21

P(B’) = 1 - P(B) = 1 - 52 =

53

P(A’ B’) = P(A’ B’) = 1 - 54 =

51

P(A’ B’) = P(A’) + P(B’) - P(A’ B’) 3) P(A - B) P(A - B) = P(A) - P(A B)

= 21 -

101 =

52 ตอบ

ตวอยางท 7 จากการสอบถามนกเรยน 60 คน พบวา ม 32 คน ชอบเลนฟตบอลม 5 คน ชอบเลนฟตบอลและวอลเลยบอล ม 17 คน ไมชอบเลนกฬา 2 ประเภทน สมนกเรยนมา 1 คน จงหาความนาจะเปนทนกเรยนคนน 1) ชอบเลนฟตบอลหรอวอลเลยบอล 2) ชอบเลนวอลเลยบอล 3) ชอบเลนวอลเลยอยางเดยว

วธท า ให S แทนนกเรยนทงหมด n(S) = 60 A แทนนกเรยนทชอบเลนฟตบอล, n(A) = 32 B แทนนกเรยนทชอบเลนวอลเลยบอล A B แทนนกเรยนทชอบเลนฟตบอลและวอลเลยบอล, n(A B) = 5, n(A B)’ = 17 1) ความนาจะเปนของนกเรยนทชอบเลนฟตบอลหรอวอลเลยบอล

P(A B)’ = 6017

P(A B) = 1 - 6017 =

6043

2) ความนาจะเปนของนกเรยนทชอบเลนวอลเลยบอล P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

6043 =

6032 + P(B) -

605

P(B) = 6043 -

6032 +

605 =

6016 =

154

3) ความนาจะเปนของนกเรยนทชอบเลนวอลเลยบอลอยางเดยว P(B - A) = P(B) - P(A B)

= 154 -

605 =

6011 ตอบ

ตวอยางท 8 โรงเรยนแหงหนงตองการตงชมรมภาษาตางประเทศเพอเสรมความร จงส ารวจความตองการของนกเรยน จ านวน 150 คน โดยททกคนอาจชอบมากกวา 1 วชากได พบวา มนกเรยน 71 คน ชอบภาษาฝรงเศส

มนกเรยน 80 คน ชอบภาษาองกฤษ มนกเรยน 64 คน ชอบภาษาจน มนกเรยน 36น ชอบภาษาฝรงเศสและจน มนกเรยน 34น ชอบภาษาฝรงเศสและองกฤษ มนกเรยน 23 คน ชอบภาษาจนและองกฤษ มนกเรยน 15 คน ชอบทง 3 วชา สมนกเรยนมา 1 คน จงหาความนาจะเปนทนกเรยนคนนนชอบวชา 1) ฝรงเศสหรอองกฤษหรอจน 2) องกฤษและจนแตไมชอบฝรงเศส 3) จนเพยงวชาเดยว 4) ชอบภาษาอนยกเวน ฝรงเศสหรอองกฤษหรอจน วธท า n(S) = 150

A = นกเรยนทชอบภาษาฝรงเศส, n(A) = 71, P(A) = 18071

B = นกเรยนทชอบภาษาองกฤษ, n(B) = 80, P(B) = 15080

C = นกเรยนทชอบภาษาจน, n(C) = 64, P(C) = 15064

n(A B) = 34, n(B C) = 23, n(A C) = 36, n(A B C) = 15 และแสดงไดดงแผนภาพ

1) ความนาจะเปนทเดกทสมมา 1 คน ชอบฝรงเศส หรอองกฤษหรอจน P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(B C) - P(A C) + P(A B C)

= 15071 +

15080 +

15064 -

15034 -

15023

- 15036 +

15015

= 150137

2) ความนาจะเปนทเดกทสมมาชอบภาษาองกฤษและจนแตไมชอบฝรงเศส P(B A A’) = P(B C) - P(A B C)

= 15023 -

15015 =

1508

3) ความนาจะเปนทเดกทสมมาชอบภาษาจนเพยงวชาเดยว P(C’ A’ B’) = P(C) - P(C B) – P(A C) + P(A B C)

= 15064 -

15023 -

15036 +

15015 =

15020

4) ชอบภาษาอนยกเวนฝรงเศสหรอองกฤษหรอจน P(A B C)’ = 1 - P(A B C)

= 1 - 150137 =

15013 ตอบ

4.4 ความนาจะเปนของเหตการณแบบมเงอนไข (Conditional Probability) ในการทดลองสมใด ๆ บางครงเราตองการหาความนาจะเปนของเหตการณหนง ซงเกดหลงจากเกดเหตการณหนงแลว เรยกความนาจะเปนในลกษณะเชนนวา “ความนาจะเปนแบบมเงอนไข” ก าหนดให A และ B เปนเหตการณใด ๆ ความนาจะเปนของเหตการณ A ทเกดขนเมอเหตการณ B เกดขนกอน เขยนแทนดวยสญลกษณ P(A I B) อานวา “ความนาจะเปนของเหตการณ A เมอเหตการณ B เกดขนกอน” หรอ “ความนาจะเปนของเหตการณ A เมอก าหนดเหตการณ B” โจทยปญหาในลกษณะเชนน ไดแก 1) โยนลกเตา 1 ลก 1 ครง ถาทราบวาลกเตาขนเลขค จงหาคาความนาจะเปนทลกเตาไดแตมมากกวา 2 2) กลองใบหนงมลกแกวสแดง 3 ลก สขาว 4 ลก สมหยบมา 2 ลก โดยหยบทละลกและไมใสคน ถาหยบครงแรกไดสขาว จงหาความนาจะเปนทครงทสองยงคงไดสขาว 3) ครอบครวหนงมบตร 3 คน ถาทราบวาบตรคนแรกเปนชาย จงหาความนาจะเปนทบตรคนสดทายเปนชายดวย 4) โยนเหรยญ 1 อน 2 ครง ถาครงแรกขนหว จงหาความนาจะเปนทครงท 2 ขนกอย ก าหนดให A และ B เปนเหตการณใด ๆ ในแซมเปลสเปซ S ความนาจะเปนของ เหตการณ A เมอก าหนดเหตการณ B เขยนแทนดวย P(A I B) และนยามได ดงน

P(A I B) = P(B)

B)P(A หรอ P(A I B) = n(B)

B)n(A

ตวอยางท 9 โยนลกเตา 1 ลก 1 ครง จงหาความนาจะเปนทลกเตาขนแตมมากวา 2 ถาทราบแลววาลกเตาขนแตมค วธท า S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = ลกเตาขนแตมมากกวา 2 = {3, 4, 5, 6}

B = ลกเตาขนแตมค = {1, 3, 5} A B = {3, 5}

P(A I B) = P(B)

B)P(A

= 6362

= 62 x

36 =

32 ตอบ

ตวอยางท 10 ครอบครวหนงมบตร 3 คน จงหาความนาจะเปนทครอบครวนมบตรชาย 2 คน หลงจากทราบแลววา บตรคนแรกเปนชาย วธท า S = {ชชช, ชชญ, ชญช, ชญญ, ญชช, ญชญ, ญญช, ญญญ} A = ไดบตรชายคนแรกเปนชาย = {ชชช, ชชญ, ชญช, ชญญ} B = ไดบตรชาย 2 คน = {ชชญ, ชญช, ญชช} A B = {ชชญ, ชญช}

P(A B) = 82 , P(A) =

84

P(A I B) = P(A)

B)P(A = 8482

= 82 x

48 =

21 ตอบ

ตวอยางท 11 ไพส ารบหนงม 52 ใบ หยบมา 2 ใบ โดยหยบทละใบแลวไมใสคน จงหาความนาจะเปนทจะหยบไพใบท 2 เปนสด า เมอทราบแลววา ใบแรกกเปนสด า (ไดสด าทง 2 ใบ) วธท า A คอ เหตการณทไดไพใบแรกเปนสด า (โพด า, ดอกจก) n(A) = 1C26 = 26

P(A) = 5226

B คอ เหตการณทไดไพใบท 2 เปนสด า หลงจากทราบแลววาใบแรกเปนสด า n (B I A) = 1C25 = 25

P(B I A) = 5125

A B คอ เหตการณทไดไพทง 2 ใบ เปนสด า

P(B I A) = P(A)

B)P(A

P(A B) = P(A) . P(B I A) = 5225 .

5125 =

10225 ตอบ

4.5 เหตการณทเปนอสระตอกน (Independent events) เหตการณสองเหตการณใดทเปนอสระตอกน หมายถง เมอเกดเหตการณหนงขนแลว จะไมมผลกระทบกบอกเหตการณหนง เชน โยนลกเตา 1 ลก 2 ครง ซงในการโยนครงแรกจะไดแตมขนหนาอะไรกตาม จะไมมผลกระทบตอการโยนครงทสองซงสามารถเกดไดทกหนาเชนกน ให A และ B คอ เหตการณสองเหตการณใด ๆ เหตการณ A และเหตการณ B เปนอสระตอกนกตอเมอ P(A B) = P(A) . P(B) ตวอยางท 12 โยนลกเตา 1 ลก 2 ครง ให A เปนเหตการณทครงแรกไดแตมค B เปนเหตการณทครงท 2 ไดแตม 3 จงแสดงวาเหตการณ A และเหตการณ B เปนอสระตอกน วธท า A = เหตการณทครงแรกไดแตมค = {21, 22, 23, 24, 25, 26, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 61, 62, 63, 64, 65, 66}

B = เหตการณทครงท 2 ไดแตม 3 = {13, 23, 33, 43, 53, 63} (A B) = {23, 43, 63}

P(A) = 3618 =

21

P(B) = 366 =

61

P(A B) = 363 =

121

P(A) . P(B) = 21 .

61 =

121

ดงนน P(A B) = P(A) . P(B) นนคอ เหตการณ A และเหตการณ B เปนอสระตอกน ตวอยางท 13 กลองใบท 1 มลกแกวสแดง 4 ลก สขาว 5 ลก กลองใบท 2 มลกแกวสแดง 3 ลก สขาว 4 ลก สมหยบมา 2 ลก กลองละ 1 ลก จงหาความนาจะเปนท 1) ไดลกแกวสแดงทง 2 ลก 2) ไดลกแกวสขาวทง 2 ลก 3) ไดสแดงกลองท 1 และสขาวกลองท 2 4) ไดสแดง 1 ลก และสขาว 1 ลก

วธท า ให A = เหตการณทไดลกแกวสแดงกลองท 1, P(A) = 94

A’ = เหตการณทไดลกแกวสขาวกลองท 1, P(A’) = 95

B = เหตการณทไดลกแกวสแดงกลองท 2, P(B) = 73

B’ = เหตการณทไดลกแกวสขาวกลองท 2, P(B’) = 74

1) ความนาจะเปนทไดลกแกวสแดงทง 2 ลก

P(A B) = P(A) . P(B) = 34 .

73 =

214

2) ความนาจะเปนทไดลกแกวสขาวทง 2 ลก

P(A’ B’) = P(A’) . P(B’) = 95 .

74 =

6320

3) ความนาจะเปนทจะไดสแดงกลองท 1 และสขาวกลองท 2

P(A B’) = P(A) . P(B’) = 94 .

74 =

6316

4) ความนาจะเปนทไดสแดง 1 ลก และสขาว 1 ลก P(A B’) + P(A’ B) = P(A) . P(B’) + P(A’) . P(B)

= 94 .

74 +

95 .

73 =

6316 +

6316 =

6331

ตวอยางท 14 จากการส ารวจครอบครวทมบตร 3 คน สมมา 1 ครอบครว จงหาความนาจะเปนท 1) ไดลกสาวทง 3 คน 2) ไดลกสาวคนแรก ลกชายคนท 2 คนสดทายชายหรอหญงกได 3) ไดลกสาวคนเดยว วธท า ให A เปนเหตการณทไดลกสาวคนแรก, A’ เปนเหตการณทไดลกชายคนแรก B เปนเหตการณทไดลกสาวคนท 2, B’ เปนเหตการณทไดลกชายคนท 2 C เปนเหตการณทไดลกสาวคนท 3, C’ เปนเหตการณทไดลกชายคนท 3 1) ความนาจะเปนทไดลกสาวทง 3 คน

P(A B C) = 21 .

21 .

21 =

81

2) ความนาจะเปนทไดลกสาวคนท 2 P(A B C) + P(A B C’) + P(A’ B C) + P(A’ B C’)

= 21 .

21 .

21 +

21 .

21 .

21 +

21 .

21 .

21 +

21 .

21 .

21

= 81 +

81 +

81 +

81 =

84 =

21

3) ความนาจะเปนทไดลกสาวคนเดยว P(A B’ C’) + P(A’ B C’) + P(A’ B’ C)

= 81 +

81 +

81 =

83 ตอบ

บทท 4 พนทใตเสนโคงปกต ในการศกษาขอมลทางสถตวาดวยการน าเสนอขอมลโดยใชกราฟแสดงการแจกแจง

ความถของขอมล อนไดแก ฮสโตแกรม (Histogram) รปหลายเหลยมของความถ ( Feqieney Polygon ) และเสนโคงของความถ (F) ซงแตละวธเปนการแสดงใหเหนการกระจาย

ของขอมลชดเจนขนและลกษณะของกราฟจะแสดงใหเหนจ านวนขอมลทอยภายใตเสนกราฟอยเหนอแกนนอนท าใหผสนใจศกษาทราบคาของขอมล ส าหรบเสนโคงแสดงความถของขอมลอาจมลกษณะตางๆ แตกตางกนตามการแจกแจงหาขอมลโดยอาจแบงออกเปนลกษณะใหญ 3 ลกษณะดงน 1. เสนโคงปกต หรอเสนโคงระฆงคว า (Normal curve) เปนเสนโคงทไดจากขอมลทม

คาเฉลยเลขคณต ( u หรอ x ) คามธยฐาน ( Median ) เพราะคาฐานนยม ( Mode ) มคาเทากนเพราะอยทจดเดยวกน ณ จดทมคาความถสงสด คอจดสงสดของเสนโคงฉากมาตงฉากกบแกนนอนตามรป ก.

( µ ) Median Mode

2. เสนโคงเบทางบวก (positively skewed curve) เปนเสนโคงของขอมลทม > mediam > mode ( บางทเรยกวาเสนโคงลาดทางบวก ) แสดงเสนโคงดงรป ข.

3. เสนโคงเบทางซาย (Negatively skewed curve) เปนเสนโคงของขอมลทม mode > mediam > x (บางทเรยกวาเสนโคงลาดทางลบ) แสดงเสนโคงไดดงรป ค.

1. เสนโคงปกต ( Normal curve ) ในการศกษาดงขอมลตางๆทเราสนใจ เชน คะแนนสอบ สวนสง น าหนก รายไดของ

ครอบครว อายการใชงานของเครองใชไฟฟา, เครองจกร ฯลฯ โดยทวไปเขาจะสนนษฐานวาการแจกแจงของสงเหลานในธรรมชาตจะมการแจกแจงของกราฟเปนเสนโคงปกต นนคอ มคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยมเทากน โดยมคาเฉลยเลขคณต ( µ ) และสวนเบยงเบนมาตรฐาน ( ) ของขอมลแตละจด แสดงไดตามตวอยางเปนรปภาพดงน

กรณท 1 ขอมล 2 ชดใดๆทมคาเฉลยเลขคณตไมเทากน (µ1≠µ2) แตมคาสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากน ( 1 = 2) จะสามารถแสดงสญลกษณของกราฟเสนโคงไดดงน

จากภาพจะเหนไดวา กราฟทง 2 เสนจะมขนาดความสง ความกวางของเสนกราฟขนาด

เดยวกนแตต าแหนงของจดสงสดของกราฟจะอยคนละต าแหนงกน ซงตามรป µ2 อยทางขวาของ µ1 แสดงวา µ1<µ2

กรณท 2 ขอมลสองชดใดๆ ทมคาเฉลยเลขคณตเทากน ( µ1 = µ2 ) แตสวนเบยงเบนมาตรฐานไมเทากน ( 1 ≠ 2 ) จะสามารถแสดงสญลกษณของกราฟเสนโคงไดดงน

µ1 µ2

จากภาพจะเหนไดวา เสนกราฟ 2 เสนจะมจดสงสดของกราฟอย ณ จดเดยวกนแสดงดงน µ1 = µ2 แตเสนกราฟ µ1 มสวนเบยงเบน ๑1 จะผอม สง ฐานแคบ สวนเสนกราฟ µ2 มสวนเบยงเบน ๑2 จะต าแตฐานกวาง แสดงใหเหนวา 1 ≠ 2 และ 1 < 2 กรณท 3 ขอมล 2 ชดใดๆ ทมคาเฉลยเลขคณตไมเทากบ ( µ1 ≠ µ2 ) และสวนเบยงเบนมาตรฐานกไมเทากบ ( 1 ≠ 2 ) จะสามารถเขยนกราฟแสดงลกษณะของโคงไดดงน

µ1 µ2 จากรป แสดงใหเหนวาเสนกราฟทง 2 เสนกอยคนละต าแหนงกน และมความสงต าไม

เทากน ความกวางของบานกราฟกไมเทากน สรปไดวา µ1 ≠ µ2 โดย µ1 < µ2 และ 1 ≠ 2

สมบตทส าคญของเสนโคงปกตมดงน 1. คาเฉลยเลขคณต มธยฐานและฐานนยมจะมคาเทากนและอย ณ จดทลากเสนตรงจาก

สงสดของโคงไปตงฉากกบแกนนอน 2. ลกษณะของเสนโคงเปนรปสมการโดยมเสนตรงทลากจากจดสงสดของโคงไปต งฉาก

กบแกนนอน เปนแกนสมมาตร 3. ปลายทงสองดานของกราฟเสนโคงจะคอยๆ ลาดเขาสแกนนอนแตไมสมผสแกนนอน

ซงตามทฤษฏแลวปลายโคงทงสองจะพบแกนนอนทจด α และ –α 4. พนทหรอความนาจะเปนภายใตเสนโคงทงหมดมคาเทากบ 1 หรอ 100% โดยแบงอย

ทางซาย 0.5% หรอ 50% และทางขวา 0.5% หรอ 50% และจะแบงเปนสดสวนโดยประมาณไดดงน

1. อยระหวาง µ ± ประมาณ 68.3% 2. อยระหวาง µ ± 2 ประมาณ 95.4% 3. อยระหวาง µ ± 3 ประมาณ 99.7%

ดงแสดงพนทดงรป

จากรปจะเหนไดวา พนทในสวนทบอกอาณาเขต µ + 3๙ และ µ - 3๙ จะนอยมาก ( ประมาณ 0.3% ) ซงทางปฏบตจะตด

2. การหาพนทภายใตเสนโคงปกต ในการหาพนทภายใตเสนโคงปกตระหวางคา x ใดๆ 2 คา สามารถค านวณไดจากการ ใชความรจากวชาแคลคลส เกยวกบเรองอนทเกรด หาพนทจาก x1 ถง x2 ในสมการของเสนโคงปกตซงสมการของเสนโคงปกตมรปสมการทวไปดงน

y = f ( x ) = *e - ; -α< x < α

เมอ y หรอ f ( x ) คอความสงของเสนโคงปกต ณ จด x ใดๆ x คอคาของขอมลทมการแจกแจงปกต -α< x < α µ คอคาเฉลยเลขคณตของประชากร คอคาสวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร มคาประมาณ 22/7 หรอประมาณ 3.14 e มคาประมาณ 2.718 พนทภายใตเสนโคงจาก x1 ถง x2 ซงคอพนทแรงเงาดงรป

ซงพนทจาก x1 ถง x2 สามารถค านวณไดจาก

* e - dx

จะเหนไดวา เมอทราบคา x1, x2, และ จะสามารถค านวณหาคาพนทใตโคงได แตทงนตองมความรเกยวกบการอนทเกรดดวย ซงคอนขางจะยงยากและเสยเวลา โดยเฉพาะกบผทไมมความรหรอไมชอบคณตศาสตร จงมผคดคนตารางส าเรจรปในการค านวณหาคาหาคาพนทภายใตเสนโคงปกตขน เพอใชห าพนทภายใตเสนโคงปกตไวอยางงายๆ โดยไมตองใชความรคณตศาสตรชนสงมาใช จากพนฐานทวาพนทภายใตเสนโคงปกตมคาเทากบ 1 หรอ 100% ดงนนพนทภายใตเสนโคงปกตอยระหวา x1เพราะ x2 ใดๆ คอคาความนาจะเปนของเหตการณทสมได ขอมล ทมคาอยระหวางคา x1 คอ x2 นน นนคอพนทภายใตเสนโคงจาก x1 ถง x2 = P ( x1 < x < x2 ) 2.1 การหาพนทภายใตเสนโคงปกตโดยใชตารางส าเรจรป กรณขอมลทก าหนดใหมการแจกแจงปกตแบบมาตรฐาน ขอมลทมการแจกแจงเสนโคงปกตโดยมคาเฉลย (µ) เทากบ 0 11-2

มสวนเบยงเบนมาตรฐาน ( ) เทากบ 1 เราจะเรยกเสนโคงปกตนวาเปนเสนโคงปกตมาตรฐาน ( Standard normal cuser ) และเรยกการแจกแจงของขอมลวาการแจกแจงปกตมาตรฐาน () ซงจะมนกสถตและนกคณตศาสตรสรางตารางส าเรจรป z ใชส าหรบหาพนทใตโคง สามารถหาพนทจาก z = 0 ( คาเฉลยเลขคณต ) ดง z = 3.90 ( คาของขอมลทเปนบวก ) แตเนองจากเสนโคงปกตเปนรปสมมาตรดงนน การหาคาของพนทในสวนของขอมลทมคาเปนลบ สามารถหาไดโดยใชตารางดานบวกแทน เชน พนทจาก z = 0 ถง z = 1 จะเทากบ 0.3413 ซงจะเทากบพนทจาก z = -1 ถง z = 0 ซงแสดงไดรป 0.3413 Z = 0 ถง Z = 1

Z = -1 Z = 0 Z = 1 ตวอยางท 1 จงหาพนทภายใตเสนโคงปกตมาตรฐานแสดงความนาจะเปนของเหตการณตามเงอนไขตอไปน

1.1 พนทระหวาง z = 0 ถง z = 1.25 1.2 พนทระหวาง -1.5 ≤ z ≤ 0 1.3 พนทระหวาง -0.72 ≤ z ≤ 2.50 1.4 พนทระหวาง 1.00 ≤ z ≤ 2.00 1.5 พนทระหวาง -2.12 ≤ z ≤ -0.70 1.6 พนทระหวาง z ≥ 1.37 1.7 พนทระหวาง z ≤ -0.45 1.8 พนทระหวาง z ≥ -1.52 1.9 พนทระหวาง z ≤ 2.48 1.10 พนทระหวาง z ≥ 1.00 และ z ≤ -2.00

ตวอยางท 2 จงหาคา z เมอก าหนดพนทภายใตเสนโคงปกตมาตรฐานตามเงอนไขตอไปน

2.1 พนทระหวาง z = 0 ถง z1 เทากบ 0.2995

จากการเปดตารางจะไดเทากบ 0.3413 ดงนนพนทจาก Z = -1 ถง Z = 0 จะไดพนทเทากบ 0.3413

2.2 พนทระหวาง z = -1.05 ถง z1 เทากบ 0.8506 2.3 พนทระหวาง z = 1.23 ถง z1 เทากบ 0.1066 2.4 พนททมากกวา z1 เทากบ 0.1685 2.5 พนททนอยกวา z1 เทากบ 0.0129 2.6 จากรปพนทแรงเงาทงหมด เทากบ 0.0261

Z1 Z2 วธท า 1.1 พนทภายใตเสนโคงปกตมาตรฐานระหวาง z = 0 ถง z = 1.25 คอพนททแรงเงาดงรป จากตารางพนทภายใตเสนโคงปกตมาตรฐานจะได = 0.3944 นนคอ พนทภายใตเสนโคงระหวาง 0 ≤ Z ≤ 1.25 = 0.3944 หรอ ความนาจะเปนของเหตการณทสมหยบขอมลมา 1 ตว แลวจะไดขอมลทอยระหวาง Z = 0 ถง Z = 1.25 คอ 0.3994 ดงนนพนทใตโคงระหวาง 0 ≤ Z ≤ 1.25 = P ( 0 ≤ Z ≤ 1.25 ) = 0.3944 หรอ 39.44% วธท า 1.2

พท. = A พท. = 2A

1.50 Z = 0 พนทแรงเงา คอพนทระหวาง Z = -1.50 ถง Z = 0 จากตารางหาพนทใตโคงส าเรจรปจะไดพนทใตโคง

-1.50 ≤ Z ≤ 0 = P ( -1.50 ≤ Z ≤ 0 ) = P (0 ≤ Z ≤ 1.50 ) = 0.4332 = 43.32% ดงนนพนทภายใตเสนโคงระหวาง -1.50 ≤ Z ≤ 0 = P ( -1.50 ≤ Z ≤ 0 ) = 0.4332 หรอ 43.32% วธท า 1.3 พนทระหวาง -0.72 ≤ z ≤ 2.50

-0.72 Z = 0 2.50 พนท -0.72 ≤ z ≤ 2.50 = P ( -0.72 ≤ z ≤ 2.50 ) = P ( -0.72 ≤ z ≤ 2.50 ) + P ( 0 ≤ z ≤ 2.50 ) = 0.2642 + 0.4938 = 0.7580 ดงนนพนทใตโคงปกตมาตรฐานระหวาง -0.72 ≤ z ≤ 2.50 มคาเทากบ 0.7580 หรอ 75.80% หรอ P ( -0.72 ≤ z ≤ 2.50 ) = 0.7580 หรอ 75.80%

วธท า 1.4 พนทระหวาง 1.00 ≤ z ≤ 2.00

Z = 0 1.00 2.00 พนท 1.00 ≤ z ≤ 2.00 = P (1.00 ≤ z ≤ 2.00 ) = P ( 0 ≤ z ≤ 2.00 ) + P ( 0 ≤ z ≤ 1.00 ) = 0.4772 + 0.3413 = 0.1359 ดงนนพนท 1.00 ≤ z ≤ 2.00 = P (1.00 ≤ z ≤ 2.00 ) = 0.1359 หรอ 13.59% วธท า 1.5 พนทระหวาง -2.12 ≤ Z ≤ -0.70

-2.12 -0.70 พนท -2.12 ≤ Z ≤ -0.70 = P ( -2.12 ≤ Z ≤ -0.70 ) = P ( -2.12 ≤ Z ≤ 0 ) - P ( 0.70 ≤ Z ≤ 0 ) = 0.4830 – 0.2580 = 0.2250 ดงนนพนท -2.12 ≤ Z ≤ -0.70 = P ( -2.12 ≤ Z ≤ -0.70 ) = 0.2250 = 22.50% วธท า 1.6 พนทใตโคงปกตมาตรฐานท Z = 1.37

Z = 0 1.37 พนท Z ≥ 1.37 = P ( Z ≥ 1.37 ) = 0.5000 - P ( 0 ≤ Z ≤ 1.37 ) = 0.5000 – 0.4147 = 0.0853 ดงนนพนทท Z = 1.37 = P ( Z ≥ 1.37 ) = 0.0853 = 8.53% วธท า 1.7 พนทใตโคงปกตมาตรฐานท Z ≤ -0.45

-0.45 Z = 0 พนท Z ≤ -0.45 = P ( Z ≤ -0.45 ) = 0.5000 - P ( -0.45 ≤ Z ≤ 0 ) = 0.5000 – 0.1736 = 0.3264 ดงนนพนท Z ≤ -0.45 = P ( Z ≤ -0.45 ) = 0.3264 = 32.64%

วธท า 1.8 พนทใตโคงปกตมาตรฐาน Z ≥ -1.52

พนท Z ≤ -0.45 = P ( Z ≥ -1.52 ) = P ( -1.50 ≤ Z ≤ 0 ) + ( 0 ≤ Z ≤ α ) = 0.4332 + 0.5 = 0.9332 ดงนนพนท Z ≤ -1.50 = P (Z ≥ -1.50 ) = 0.9332 = 93.32%

วธท า 1.9 พนทใตโคงปกตมาตรฐาน Z ≤ 2.48

Z = 0 2.48

พนท Z ≤ -0.45 = P ( Z ≥ 2.48 ) = 0.5000 + P ( 0 ≤ Z ≤ 2.48 ) = 0.5000 + 0.4934 = 0.9934 ดงนนพนท Z ≤ 2.48 = P ( Z ≤ 2.48 ) = 0.9934 = 99.34%

วธท า 1.10 พนทใตโคงปกตมาตรฐาน Z ≥ 1.00 และ z ≤ -2.00

-2.00 Z = 0 1.00

พนท Z ≥ 1.00 และ z ≤ -2.00 = P ( Z ≥ 1.00 ) + P ( 0 ≤ Z ≤ -2.00 ) = -0.5 - P ( 0 ≤ Z ≤ 1.00 ) + 0.5 - P (-2.00 ≤ Z ≤ 1.00 ) = ( 0.5 – 0.3413 ) + ( 0.5 – 0.4772 )

= 0.1587 + 0.0228 = 0.1815

ดงนนพนท Z ≥ 1.00 และ z ≤ -2.00 = P ( Z ≥ 1.00 และ ≤ Z ≤ -2.00 ) = 0.1815 = 18.15%

วธท า 2.1 ก าหนดพนทระหวาง Z = 0 ถง Z1 เทากบ 0.2995 จะเขยนรปไดดงน Z = 0 Z1 จากรปพนทแรงเงาจาก Z = 0 ถง Z = Z1 เทากบ 0.2995 นนคอ P ( 0 ≤ Z ≤ Z1 ) = 0.2995 จากตารางหาพนทใตโคงปกตมาตรฐาน = P ( 0 ≤ Z ≤ 0.84 ) นนคอ Z1 = 0.84 ดงนน เมอก าหนดพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานจาก Z = 0 ถง Z เทากบ 0.2995 จะสามารถค านวณคา Z1 จากตารางไดเทากบ 0.84

วธท า 2.2 ก าหนดพนทระหวาง Z = -1.05 ถง Z1 เทากบ 0.8506 จะเขยนรปไดดงน -1.05 Z = 0 Z1 จากรปพนทแรงเงาจาก Z = -1.05 ถง Z1 เทากบ 0.8506 นนคอ P ( -1.05 ≤ Z ≤ Z1 ) = 0.8506 แต P ( -1.05 ≤ Z ≤ Z1) = P (-1.05 ≤ Z ≤ 0) + P ( 0 ≤ Z ≤ Z1) จากตารางเปดหาพนทจะได = 0.3531 + P ( 0 ≤ Z ≤ Z1) ดงนน 0.3531 + P ( 0 ≤ Z ≤ Z1 ) = 0.8506 P ( 0 ≤ Z ≤ Z1 ) = 0.8506 – 0.3531 P ( 0 ≤ Z ≤ Z1 ) = 0.4975 จากตารางจะได = P ( 0 ≤ Z ≤ 2.81 ) นนคอ Z1 = 2.81

ดงนน เมอก าหนดพนทภายใตเสนโคงปกตมาตรฐานจาก Z ≥ -1.05 ถง Z1 เทากบ 0.8506 จะสามารถค านวณคา Z1 ไดเทากบ 2.81 วธท า 2.3 ก าหนดพนทระหวาง Z = 1.23 ถง Z1 เทากบ 0.1066 จะเขยนรปไดดงน

Z = 0 1.23 Z1 นนคอ P ( 1.23 ≤ Z ≤ Z1 ) = 0.1066 แต P ( 1.23≤ Z ≤ Z1 ) = P ( 0 ≤ Z ≤ Z1 ) - P ( 0 ≤ Z ≤ 1.23 ) ดงนน P ( 0 ≤ Z ≤ Z1 ) - 0.3907 = 0.1066 P ( 0 ≤ Z ≤ Z1 ) = 0.1066 + 0.3907 = 0.4973 จากตารางจะได = P ( 0 ≤ Z ≤ 2.78 ) นนคอ Z1 = 2.78 ดงนนเมอก าหนดพนทใตโคงปกตมาตรฐานระหวาง Z = 1.23 ถง Z1 เทากบ 0.1066 จะสามารถค านวณคา Z1 ไดเทากบ 2.78 วธท า 2.4 ก าหนดพนทมากกวา Z1 เทากบ 0.1685 จะเขยนรปไดดงน

Z1 จากรปพนทแรงเงาคอพนทท Z ≥ Z1 เทากบ 0.1685 นนคอ P ( Z ≥ Z1 ) = 0.1685 P ( Z ≥ Z1 ) = 0.5 - P ( 0 ≤ Z ≤ Z1 ) ดงนน 0.5- P ( 0 ≤ Z ≤ Z1 ) = 0.1685 ดงนน ( 0 ≤ Z ≤ Z1 ) = 0.5 – 0.1685 = 0.3315 จากตารางจะได P ( 0 ≤ Z ≤ Z1 ) = P ( 0 ≤ Z ≤ 0.96 ) นนคอ Z1 = 0.96

ดงนนเมอก าหนดพนททมากกวา Z1 มคาเทากบ 0.1685 จะสามารถค านวณคา Z1 ไดเทากบ 0.96 วธท า 2.5 ก าหนดพนทนอยกวา Z1 เทากบ 0.0129 จะเขยนรปไดดงน

Z1 Z = 0 จากรปพนทแรงเงาคอ Z ≤ Z1 เทากบ 0.0129 นนคอ P ( 0 ≤ Z ≤ Z1 ) = 0.0129 = 0.5 - P ( Z1 ≤ Z ≤ 0 ) ดงนน 0.0129 = 0.5 - P ( Z1 ≤ Z ≤ 0 ) P ( Z1 ≤ Z ≤ 0 ) = 0.5 – 0.0129 = 0.4871 จากตารางจะได = P ( -2.71 ≤ Z ≤ 0 ) นนคอ Z1 = -2.71

ดงนนเมอก าหนดพนททนอยกวา Z1 มคาเทากบ 0.0129 จะสามารถค านวณคา Z1 ไดเทากบ -2.71 วธท า 2.6 ก าหนดพนทแรงเงาดงรป มพนทเทากบ 0.0261 จะเขยนรปไดดงน Z1 Z2

จากรปพนทแรงเงา 2A + A = 0.0261 3A = 0.0261 ดงนน 2A = 0.0174 และ A = 0.0087 นนคอ P ( ≤ Z ≤ Z1 ) = 0.0174 = 0.5 - P ( Z1 ≤ Z ≤ 0 ) P ( Z1 ≤ Z ≤ 0 ) = 0.4826 = P ( -2.11 ≤ Z ≤ 0 ) นนคอ Z1 = -2.11 และ P ( Z ≥ Z2 ) = 0.0087 = 0.5 - P ( 0 ≤ Z ≤ Z2 ) ดงนน P ( 0 ≤ Z ≤ Z2 ) = 0.4913 นนคอ Z2 = 2.38

2.2 การหาพนทภายใตเสนโคงปกต โดยใชตารางส าเรจรป Z กรณขอมลทก าหนดใหมการแจกแจงปกตไมใชการแจกแจงปกตแบบมาตรฐาน

ในกรณนคาเฉลยเลขคณตของขอมลจะไมเทากบ 0 ( µ ≠ 0 ) และสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลจะไมเทากบ 1 ( ) ซงไมสามารถค านวณหาพนทจากตารางส าเรจรป Z ได จ าเปนจะตองเปลยนขอมลดงกลาวใหเปนขอมลมาตรฐานกอน (Standard curve) โดยใชสตร

=

โดยท คอ คามาตรฐานของขอมลตวท i คอ คาของขอมลตวท i µ คอ คาเฉลยของขอมล คอ คาสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมล

หมายเหต เพราะขอสงเกต 1. ขอมลทน ามาเปลยนเปนคามาตรฐานเปนขอมลทมการแจกแจงปกต 2. คามาตรฐานไมมหนวย

3. คามาตรฐานทไดจะม µ = 0 ; = 1 4. คามาตรฐานจะเปนบวกเมอขอมลเดมมคามากกวาคาเฉลยและจะเปนลบเมอขอมลเดมม

คานอยกวาคาเฉลย 5. การหาจ านวนขอมลทอยระหวาง x1 ถง x2 จะมจ านวนขอมลเทากบพนทจาก Z1 ถง Z2 6. ขนตอนการหาจ านวนขอมลทอยระหวาง x1 – x2 มดงน

1. เปลยนคาขอมล x1 และ x2 เปนคามาตรฐาน Z1 และ Z2 ตามล าดบ 2. ค านวณหาคาพนทจาก Z1 ถง Z2 โดยเปดจากตารางส าเรจรปในเปอรเซนต ( คอ

เทยบกบจ านวนขอมล 100 ขอมล ) 3. พนทภายใตโคงปกตระหวาง x1 ถง x2 จะเมากบพนทใตโคงปกตมาตรฐาน

ระหวาง Z1 ถง Z2 4. เปลยนรอยละของพนททค านวณไดในขอ 3 เปนจ านวนขอมล

7. โดยทวไปคามาตรฐานจะมคาประมาณ -3.9 ถง 3.9 ตวอยางท 3 ขอมลชดหนงมการแจกแจงปกตมนวน 500 ขอมล ไดมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 20 และคาสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 4 จงหาวาขอมลทมคาระหวาง 16 ถง 22 มจ านวนกขอมล วธท า จากโจทย µ = 20, = 4, X1 = 16, X2 = 22

ขนท 1 จากสตร =

ดงนน = = = -1

= = = 0.5

ขนท 2 พนทจาก X1 = 16 ถง X2 = 22 เปรยบเทยบไดกบการหาพนทไดจาก Z1 = 1.00 ถง Z2 = 0.5 ดงน 16 Z = 0 22 -1.00 Z = 0 0.50 จากรป พนทจาก Z1 = 1.00 ถง Z2 = 0.5 คอ P (-1.00 ≤ Z ≤ 0.5 ) = P (-1.00 ≤ Z ≤ 0 ) + P (0 ≤ Z ≤ 0.5 ) = 0.3413 + 0.1915 = 0.5328 = 53.28% ขนท 3 นนคอพนทของขอมลทอยระหวาง X1 = 16 ถง X2 = 22 เทากบ 53.28% ขนท 4 ดงนนจ านวนขอมลทมคาระหวาง 16 ถง 22 คอ = 53.28% * 500

= * 500

= 266.40 = 266 ขอมล ดงนนขอมลทมคาระหวาง 16 -22 ม 266 ขอมล ตวอยางท 4 คาใชจายตอวนของนกศกษาวทยาลยแหงหนงมการแจกแจงปกต โดยมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 50 บาท และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 5 บาท จงหาความนาจะเปนทสมนกศกษามาหนงคนแลวจะมคาใชจายตอวนนอยกวา 48 บาท วธท า จากโจทย µ = 50 = 5 บาท X1 = 48 บาท เปลยนคาใชจายตอวนของนกศกษา ( X1 ) ใหเปนคามาตรฐาน Z1 จากสตร

=

ดงนน =

=

= -0.40 นกศกษาทมคาใชจายจายนอยกวา 48 คอพนทใตโคงปกตท X ≤ 48 ซงจะมพนทเทากบ พนทใตโคงปกตมาตรฐานท Z ≤ -0.40 ซงสามารถเขยนรปประกอบตามพนทแรงเงาดงน

4850 -0.4 Z = 0 จากรปจะไดความนาจะเปนของการสมนกศกษาแลวไดนกศกษามคาใชจายนอยกวา 48 บาทจะเทากบความนาจะเปนของเหตการณสมขอมลแลวไดคามาตรฐานนอยกวา -0.4 นนคอ P ( X ≤ 48 ) = P ( Z ≤ -0.4 ) จากตารางส าเรจรป Z จะได P ( Z ≤ -0.4 ) = 0.5 - P ( -0.4 ≤ Z ≤ 0 ) = 0.5 – 0.1554 = 0.3446 = 34.46% ดงนนความนาจะเปนทสมเลอกนกศกษามา 1 คนแลวมคาใชจายนอยกวา 48 บาท คอ 34.46% ตวอยางท 5 จากการศกษาอายการใชงานของแบตเตอรรถยนตยหอหนงพบวามการแจกแจงปกต มคาเฉลยเลขคณตของอายการใชงานเทากบ 24 เดอน สวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 3 เดอน อยากทราบวาแบตเตอรรทมอายการใชงานระหวาง 18 เดอน ถง 30 เดอนมกเปอรเซนต วธท า จากโจทย µ = 24 เดอน = 3 เดอน X1 = 18 เดอน X2 = 30 เดอน เปลยนคาของขอมล X1 และ X2 เปนคามาตรฐาน Z1, Z2

จากสตร =

ดงนน =

=

= -2.00

=

= + 2.00 จากขอมลเขยนแสดงพนททตองการแรงเงาไดดงน 18 24 30 -2.00 0 + 2.00

P ( 18 ≤ X ≤ 30 ) = P ( -2.00 ≤ Z ≤ +2.00 )

= P ( -2.00 ≤ Z ≤ 0 ) + P ( 0 ≤ Z ≤ 2.00 ) = 0.4772 + 0.4772 = 0.9544 = 95.44% นนคอ P ( 18 ≤ X ≤ 30 ) = 95.44% ดงนนแบตเตอรรทมอายการใชงานระหวาง 18 เดอน ถง 30 เดอน มคาเทากบ 95.44%

บทท 5 การสมตวอยาง ในการพจารณาลกษณะตางๆ ของขอมล ไมวาขอมลนนจะเปนขอมลทเกยวของกบกลมของคนหรอกลมของสงของตางๆ เพอตองการทจะไดผลสรป ของลกษณะของขอมลทถกตองจะตองศกษาจากขอมลทงหมด แตถาขอมลทงหมดนนมขนาดใหญหรอมจ านวนมาก จะท าใหไมสะดวกตอการเกบรวบรวมขอมล เสยเวลา และเสยคาใชจายสงเปนตน ดงนน จงจ าเปนตองเลอกขอมลมาเปนบางสวนเพอเปนตวแทนของขอมลทงหมดทจะศกษา และผลสรปจะถกตองมากนอยเพยงไร ขนอยกบขอมลทเลอกมาเปนตวแทนทดของขอมลทงหมดหรอไม เรยกวธการทจะเลอกขอมลมาเพอศกษาวา การสมตวอยาง (Random sampling) 6.1 ประชากรและตวอยาง

ประชากร ( population) คอขอมลทงหมดทตองการจะศกษา ไมวาขอมลนน จะเกยวของกบคน สตว หรอสงของตางๆ เชน ตองการศกษาเกยวกบรายไดทงหมดของคนทมภมล าเนาในจงหวดนนทบร ดงนน ประชากรคอ จ านวนคนทงหมดในจงหวดนนทบร ถาตองการศกษาเกยวกบคะแนนสอบวชาคณตศาสตร ระดบ ปวส . ของวทยาลยแหงหนง ดงนนประชากรคอคะแนนสอบวชาคณตศาสตร ระดบ ปวส. ทงหมด ของนกศกษาระดบ ปวส. ในวทยาลยนน ประชากรแบงเปน 2 ชนดคอ

1) ประชากรทมจ านวนจ ากด (finite population) คอประชากรทสามารถนบจ านวนไดอยางแนนอน เช น เครองพมพดดทงหมดของวทยาลยแหงหนง คะแนนสอบปลายภาควชาคณตศาสตรของนกเรยนระดบ ม .3 ของโรงเรยนแหงหนง อายของพนกงานในโรงงานโชคด ความสงของนกเรยนระดบ ป .6 ของโรงเรยนแหงหนง เปนตน จ านวนหนวยของประชากร แหนดวยสญลกษณ N เชน ตองการศ กษาอายของพนกงานในโรงงานโชคด ซงม 315 คนดงนน ขนาดของประชากร (N) เทากบ 315

2) ประชากรทมจ านวนอนนต (infinite population) คอประชากรทมขนาดใหญมาก จนไมสามารถนบจ านวนได เชน จ านวนเตม เมลดขาวเปลอก 1 กระสอบ เปนตน

ตวอยาง (sample) คอสวนหนงของประชากรทเลอกมา เชน ถาตองการศกษารายไดของผทอยในจงหวดนนทบร จ าไมสามารถน ารายไดของทกคนในจงหวดนนทบรมาศกษาได เพราะเสยเวลาในการหา จงเลอกสมหารายไดแตละอ าเภอมาท าการทดสอบ 300 คนจ านวนหนวยของตวอยางเรยกวา ขนาดของตวอย างแทนดวยสญลกษณตว n ดงนนขนาดของตวอยาง (n) เทากบ 300 6.2 คาพารามเตอรและคาสถต

คาพารามเตอร ( parameter) คอคาทแสดงลกษณะหรอผลสรปของประชากร ซงเปนคาคงทเชนคาเฉลยเลขคณต ( µ ),สวนเบยงเบนมาตรฐาน ( ) , ความแปรปรวน ( 2 )เปนตน สตรทใชในการค านวณคาพารามเตอรไดแก

ขอมลทไมไดแจกแจงความถ ขอมลทแจกแจงความถ

µ =

N

ii

x

N

2 =

n

ii

( xi ) 2

N

= 2

N

iiix

N

= xf ii

k

ii

N

2 = xf i

k

iii

( ) 2

N

2)( xf i

k

iii

N เมอ xi

แทนคาของขอมลทจะศกษาคาท i N แทนจ านวนขอมลทงหมดของประชากร f

i แทนความถของขอมล อตราภาคชนท i

k แทนจ านวนอตราภาคชน

คาสถต(statistics) คอคาทแสดงลกษณะหรอผลสรปของตวอยางทสมมา ซงเปนคาทไมคงท ซงแปรเปลยนไปตามขอมลของตวอยางการสมมา เชน คาเฉลยเลขคณต ( x ) สวนเบยงเบนมาตรฐาน (s) ความแปรปรวน ( s

2 )สตรทใชค านวณคาสถตไดแก

ขอมลทไมไดแจกแจงความถ ขอมลทแจกแจงความถ

x =

n

iiix

n

s2 =

2

n

iii

xx

n – l

s = 2

n

iii

xx

n – l

x = xf i

k

iii

n

s2 = 2)( xxf i

k

iii

n – l

s = 2)( xxf i

k

iii

n – l

เมอ xi

แทนคาของขอมลจากตวอยางคาท i n แทนจ านวนขอมลทงหมดของตวอยาง f

i แทนความถของขอมลของอนตรภาคชนท i

k แทนจ านวนอนภาคชน ตวอยางท 1 คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของเดกกลมหนง จ านวน 12 คน เปนดงน 15, 18, 16, 12, 9, 14, 17, 19, 8, 10, 13, 14 จงหาคาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบของเดกกลมน

วธท า จากสตร

n

iiix

N = 15 + 18 +16 + 12 + 9 + 14 + 17 + 19 + 8 + 10 + 13 + 14 12 = 13.75

ดงนนคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของเดกกลมนคอ 13.75 คะแนน

จากสตร = 2

N

iiix

N

= 12

)25.0(.....)75.4()75.1()25.2()25.4()25.1( 222222

= 4.312

25.135

ดงนนสวนเบยงเบนแบบมาตรฐานของคะแนนสอบของเดกกลมน = 3.4 คะแนน ตวอยางท 2 เลอกกลมเดกกลมหนงมา 10 คน ปรากฏวามน าหนก 45, 42, 50, 41,43, 47, 54, 49, 44 และ 45 กโลกรม จงหาคาเฉลยเลขคณต สวนเบยงเบนแบบมาตรฐาน และความแปรปรวนของน าหนกของเดกกลมน

วธท า จากสตร x =

n

iiix

N = 45 + 42 + 50 + 41 + 43 + 47 + 54 + 49 + 44 + 45 10 = 46 ดบนนคาเฉลยเลขคณตของน าหนกเดกกลมน = 46 กโลกรม จากสตร s

2 = = (-1) 2 +(-4) 2 +(4) 2 +(-5) 2 +(-3) 2 +(1) 2 +(8) 2 +(3) 2 +(-2) 2 +(-1) 2 10 -1 = 16.2 ความแปรปรวนของน าหนกของเดกกลมน = 16.2 กโลกรม สวนเบยงเบนมาตรฐาน = s = 2.16 = 4.03 กโลกรม ตวอยางท 3 จากตารางแจกแจงความถเปนคะแนนสอบวชาภาษาองกฤษของนกศกษาระดบชน ปวส.2 ของวทยาลยแหงหนงจ านวน 1,200 คน ดงน

คะแนนสอบ จ านวนนกศกษา 12-15 16-19 20-23 24-27 28-31 32-35 36-39

16 52

108 290 412 226 96

1) จงหาความแปรปรวนของคะแนนสอบวชาภาษาองกฤษของนกศกษาระดบชน ปวส.2

ของวทยาลยน

2) ถาสมเลอกตวอยางคะแนนสอบของนกศกษามา 100 คนดง

จงหาความแปรปรวนของคะแนนสอบวชาภาษาองกฤษของนกศกษาทเลอกมาเปนตวอยางน วธท า 1)

คะแนน จ านวนนกศกษา

fi

xi

xf ii xi

xi

2 fi( xi

) 2

12-15 16-19 20-23 24-27 28-31 32-35 36-39

16 52

108 290 412 226 96

13.5 17.5 21.5 25.5 29.5 33.5 37.5

216 910

2,322 7,395

12,154 7,571 3,600

-15 -11 -7 -3 1 5 9

225 121 49 9 1

25 81

3,600 6,292 5,292 2,610 412

5,650 7,776

1,200 34,168 31,632

คะแนนสอบ จ านวนนกศกษา 12-15 16-19 20-23 24-27 28-31 32-35 36-39

2 5

10 22 35 18 8

จากสตร = xf i

k

iii

N =

200,1

168,34

= 28.5

=

k

iii

f ( xi-µ ) 2

N =

200,1

623,31

= 26.36 ดงนน ความแปรปรวนของคะแนนสอบวชาภาษาองกฤษ ของนกศกษาวทยาลแหงหนง เทากบ 26.36 คะแนน 2) จากตวอยางคะแนนสอบทสมเลอกมา

คะแนนสอบ จ านวนนกศกษา

fi

xi xf ii

( xi - x ) ( xi

- x ) 2 fi( xi

- x ) 2

12-15 16-19 20-23 24-27 28-31 32-35 36-39

2 5 10 22 35 18 8

13.5 17.5 21.5 25.5 29.5 33.5 37.5

27 87.5 215 561

1,032.5 603 300

-14.8 -10.8 -6.8 -2.8 1.2 5.2 9.2

219.04 116.64 46.24 7.84 1.44

27.04 84.64

438.08 583.2 462.4 172.48 50.4

486.72 677.12

100 2,826 2,870.4

จากสตร x = xf i

k

iii

n

= 100

826,2

= 28.3

s2 =

k

iii

f ( xi- x ) 2

n – l

= 99

4.870,2

= 22.99 29 ดงนน ความแปรปรวนของคะแนนสอบวชาภาษาองกฤษ ของนกศกษาทเลอกสมมาคอ 29 คะแนน

6.3 การสมตวอยาง

ในการเลอกตวอยางบางสวนออกมาจากประชากร เพอจะศกษาลกษณะตางๆ นน จะตองม การก าหนดขนตอนในการสม และเลอกใชวธการสมตวอยางใหเหมาะสม เพราะขอมลทเปนตวอยางจะใหคาสถตทไมคงท คาสถตทดจะเปนคาสถตทมคาใกลเคยงกบคาพารามเตอรมากทสด 6.4 ขนตนการสมตวอยาง

การสมตวอยาง เพอใหไดตวอยางทดทสด ควรปฏบตตามขนตอนตอไปน 1) ก าหนดจดประสงคของการส ารวจ เพอจะไดทราบวาก าลงส ารวจเกยวกบเรองอะไร และ

ท าเพออะไร 2) ก าหนดค าจ ากดความของประชากรทจะเลอกตวอยางทจะศกษาทจะชดเจนได ประชากร

ทจะศกษามลกษณะครอบคลมไปถงไหน เพอไมใหมความตความทแตกตางกนออกไป เพราะจะไมตรงกบวตถประสงคทตงไว

3) ก าหนดขอมลสถตทจะท าการรวบรวม วาจะเกบขอมลอะไรบาง โดยสอดคลองกบจดประสงคของการส ารวจ และค าจ ากดความของประชากรทตงไว แลวเกบรวบรวมเฉพาะสงทตองการ

4) ก าหนดวธการวด และการเกบรวบรวมขอมลสถตทแนนอน เพราะวธการวดและเกบรวบรวมมหลายวธซงจะท าใหการสรปผลอาจแตกตางกนไป จงควรเลอกวธการจดและเกบรวบรวมขอมลใหเหมาะสมและชดเจน

5) เลอกตวอยางขนมาเพอท าการส ารวจ โดยก าหนดวาควรเลอกตวอยาง ขนาดเทาไร และใชวธการเลอกตวอยางโดยวธใดจงจะเปนตวแทนทดของประชากร โดยตองค านงถงคาใชจายและและเวลาทมมาประกอบดวย

6) เตรยมงานส าหรบออกแบบส ารวจ โดยการอบรมพนกงานหรอเจาหนาททจะออกส ารวจเสยกอน เพอใหทราบถงวตถประสงค ความหมายของค าตางๆ ทจะใช ระยะเวลาของการส ารวจวธการบนทกขอมล เปนตน

7) วเคราะหและสรปผลการส ารวจ เมอไดท าการส ารวจและน าขอมลทไดมาตรวจสอบดวาถกตองครบถวนตามทตองการจงน าขอมลนนมาวเคราะหและสรปผล ตามหลกวธการทางสถตเพอจะน าไปใชใหเกดประโยชนตอไป

8) น าขอบกพรองทเกดขนในแตละจด ไปใชปรบปรงแกไข เพอการส ารวจในครงตอไป

6.5 วธการสมตวอยาง วธการสมตวอยาง จากประชากรทนยมใชม 2 วธคอ

6.5.1 การสมตวอยางชนดไมทราบโอกาสหรอความนาจะเปนทแตละหนวยจะถกเลอกขนมาเปนตวอยาง การเลอกตวอยางโดยวธน แตละหนวยของประชากรมโอกาสถกเลอกไมเทากน หรอ

บางหนวยอาจไมมโอกาสถกเลอกเลย การสมตวอยางลกษณะน เชน 1) การสมตวอยางแบบบงเอญ (accidental sampling) เปนการเลอกตวอยางทพบหนวยของประชากรทตองการเกบขอมลทนท เชน ตองการสอบถามความคดเหนเกยวกบการขนราคาคาโดยสารรถประจ าทาง เมอผานพบใครกสอบถามทนท 2) การสมตวอยางแบบเจาะจง หนวยความทตองการ(purposive sampling)เปนการเลอกตวอยางบางหนวยของประชากรทตองการศกษา เชน ตองการสอบถามถงยา

สระผมทกลมวยรนใชเปนประจ าวาใชยหอใด กเลอกตวอยางเฉพาะกลมวยรนเทานน 3) การสมตวอยางก าหนดลกษณะของหนวยทเลอกหรอก าหนดโควตา (puotasampling) เปนการเลอกตวอยางโดยใหขอมลมการกระจายมากขน เชน ตองการเลอกตวอยางพนกงานในโรงงานแหงหนงทมอายมากกวา 40 ป โดยแยกเพศชายและเพศหญง

การเลอกตวอยางโดยวธดงกลาวน เปนทนยมใชกนมาก เพราะสะดวก ประหยดเวลา และเสยคาใชจาย แตขอมลทไดมกจะไมใชตวอยางทดส าหรบเปนตวแทนของประชาชน 6.5.2 การสมตวอยางชนดทราบโอกาสหรอความนาจะเปนทแตละหนวยจะถกเลอกขนมาเปน

ตวอยาง การเลอกตวอยางวธนโอกาสทแตละหนวยของประชากรจะถกเลอกขนมาเปนตวอยางมเทาๆ กน การเลอกมหลายวธทนยมใชกน เชน 1) การสมตวอยางอยางงาย (simple random sampling) อาจท าไดดงน ก. วธจบฉลาก วธนใชกบประชากรทมจ านวนไมมากนก เพราะตองเขยนชอหรอหมายเลขทใชแทนหนวยของประชากรทงหมดลงในฉลาก แลวท าการสมหยบขนมา ใหมจ านวนเทากบ จ านวนของตวอยางทตองการ ข. โดยใชตวรางเลขสม (table of random number) การสมโดยใชตารางเลอกสม ท าไดโดยก าหนดหมายเลขใหกบคาสงเกตทกๆคาในประชากร แลวเลอกตวเลขตวแรกอยางสมจากตารางเลขสมซงจะเรมจากจ านวนใดกได อาจจะหลบตว ใชปลายดนสอทมลงไปทใดทหนงโดยไมเจาะจงจากตาราง แลวอานตวเลขไปตามล าดบ อาจอานจากซายไปขวา ขวาไปซาย ขางลางไปขางบน ขางบนไปขางลาง หรอการอานตามเสนทแยงกได ตารางเลขสมมหลายตาราง เชน ตารางเลขสมของทปเบต (tippet) ตารางเลขสมของฟชเชอร(fisher) และเยทส(Yates) ตารางเลขสมของ kandall และ bakington smith เปนตน เชน ถามประชากร 500 หนวย ตองการเลอกมา 50 ตวอยาง ไดก าหนดหมายเลขของประชากรดวย 001-499 แลวสมตาราง 1 ตาราง เมอไดตารางแลว หลบตาใชปลายดนสอจมหมายเลข เชนได

09188 20097 32825 39527 04220 86304 ... กจะใชหนวยท

091 009 395 270 422 086 304 ... ถาไดตวเลขไมอยในขอบเขตทตองการใหผานไป ใชตวเลขใหมจนครบ ถามตวซ ากน เลอกเพยงตวเดยว จนไดครบ 50 ตวอยาง 2) การสมตวอยางแบบมระบบ (systematic random sampling) การเลอกตวอยางโดยมวธน เปนวธเลอกทก าหนดหมายเลขของประชากรไวแลวสมเลอกเฉพาะหนวยแรก หนวยตอ ๆ ไปจะหางจากหนวยเลขเปนระยะเทา ๆ กน ตามอตราสวนของขนาดประชากรกบขนาดของตวอยาง สรปไดดงน

(1) ให N แทนสมาชกทงหมดของประชากร n แทนสมาชกของกลมตวอยางทตองการหา อตราสวนของขนาดประชากรกบขนาดของตวอยางแทนดวย k

n

N = k

(2) สมหมายเลขระหวาง 1 ถง k มา 1 หมายเลข หมายเลขทไดจะเปนสมาชกตวแรก

(สมมตวาเปนตวเลข a ) สมาชกตวตอไปจะเพมทละ k ดงน a, a + k, a + 3k , … จนครบตามตองการ เชน มประชากร 1,200 หนวย (N = 1,200) ตองการสมตวอยางมา 100 หนวย

( n = 100 ) ดงนน k = 100

200,1 = 12

ตอไปสมหมายเลข 1 ถง 12 มาหนงหมาเลข สมมตไดเลข 8 ดงนนกลมตวอยาง 100 หนวยไดแก 8, 20, 32, 44, 56, 68, 80, …, 1, 196 3) การสมตวอยางแบบชนภม (stratified random sampling)

การสมตวอยางแบบชนภม ท าไดโดยการแบงประชากรออกเปนชนภมยอย ๆ ตาม ลกษณะของประชากรโดยใหแตละหนวยของประชากรทเหมอนกนอยในชนภมเดยวกน แลวท าการสมตวอยางมาแตละชนภม ก าหนดให ขนาดของประชากรทงหมด แทนดวย N ขนาดของตวอยางทตองการ แทนดวย n แบงประชากรออกเปนชนภม แตละชนประกอบดวย N 1 , N 2 , N 3 , …, N k เมอ k

คอจ านวนชนภม และ N 1 + N 2 + N 3 + … + N k = N เลอกตวอยางโดยทขนาดของตวอยางแตละชนภมเทากบ n 1 , n 2 , n 3 , … n k และ

n 1 + n 2 + n 3 + … + n k = n c]t

N

n = 1

1

N

n = 2

2

N

n = 3

3

N

n = … = k

k

N

n

เชนประชากรมขนาด 300 คน แบงชนภมไดเปนผมวฒ ปวช. 40 คน ปวส. 60 คน ปรญญาตร 150 คน ปรญญาโท 50 คน ตองการสมตวอยางมา 60 คน

ดงนน 300

60 = 40

1n = 60

2n = 150

3n = 50

4n

จะได n 1 แทนผมวฒ ปวช. ในกลมตวอยาง คดเปน 8 คน n 2 แทนผมวฒ ปวส. ในกลมตวอยาง คดเปน 12 คน n 3 แทนผมวฒปรญญาตร ในกลมตวอยาง คดเปน 30 คน n 4 แทนผมวฒปรญญาโท ในกลมตวอยาง คดเปน 10 คน

แสดงไดดงแผนภม

8 คน 12 คน 30 คน 10 คน

4) การสมตวอยางแบบแบงกลม ( cluster random sampling ) การเลอดตวอยางโดยวธน จะตองแบงประชากรออกเปนกลม ๆ กอน โดยแตละหนวยในกลมเดยวกนมประชากรลกษณะตาง ๆ กน สวนแตละกลมจะคลายกนมากทสด การสมตวอยางจะสมเลอกมา 1 กลม เชน มประชากรขนาด 500 คน ประกอบดวย

ทหาร 120 คน ต ารวจ 100 คน ขาราชการคร 200 คน พนกงานรฐวสาหกจ 80 คน ตองการตวอยางขนาด 50 คน

แสดงแผนภมการสมตวอยางแบบแบงกลม

แบงเปนกลม ๆละ 50 คน

กลมตวอยาง 60 คน

สมเลอกมา 1 กลม เพอเปนตวอยาง

5) การสมตงอยางแบบหลายขน ( multi – stage random sapling ) เปนการสมตวอยางทท าเปนขน ๆ หลายขนดวยกนโดยทสมตวอยางในแตละขนนน

อาจใชวธใดกได กลมตวอยางทไดในขนสดทายจะเปนตวแทนของประชากร นอกจากนการสมตงอยางโดยวธการตาง ๆ นน ถาการเลอกตวอยางแรกแลวตวอยางทถกเลอกมานนถกกลบใสคนไปกอนทจะเลอกหนวยตอ ๆ ไปหนายนนอาจถกเลอกขนมาอก นนคอตวอยางทถกเลอกมาแลวมโอกาสทจะถกเลอกซ าไดอก เรยนการสมแบบนวา การสมตวอยางแบบแทนท ( sampling with replacement ) แตถาตวอยางทสมขนมาแลวไมน ากลบคนไป ท าใหการสมครงตอ ๆ ไป ไมมโอกาสถกเลอกซ าขนมาอก เรยกการสมแบบนวา การสมตวอยางแบบแทนท ( sampling without replacement )

6.6 การแจกแจงคาเฉลยทไดจากตวอยาง

จากประชากรขนาด N หนาย เมอสมตวอยางขนาด n หนายแบบแทนท จ านวนกลมทงหมดทไดจะเทากบ N n กลม และถาสมแบบไมแทนท จ านานกลมตวอยางทงหมดจะไดเทากบ

)!(

!

nN

N

กลม และเมอน ากลมตวอยางมาหาคาเฉลยเลขคณต ( x ) คาเฉลยทไดจะ

แตกตางกนไป ซง

กลมท 1

ทหาร 12 คน

ต ารวจ 10 คน

คร 20 คน

รฐวสาหกจ 8 คน

กลมท 2

ทหาร 12 คน

ต ารวจ 10 คน

คร 20 คน

รฐวสาหกจ 8 คน

กลมท 3

ทหาร 12 คน

ต ารวจ 10 คน

คร 20 คน

รฐวสาหกจ 8 คน

กลมท 4

ทหาร 12 คน

ต ารวจ 10 คน

คร 20 คน

รฐวสาหกจ 8 คน

ทหาร 12 คน

ต ารวจ 10 คน

คร 20 คน

รฐวสาหกจ 8 คน

x = n

n

iiix

เมอ x แทนคาเฉลยเลขคณตของตวอยาง

X i แทนคาของขอมลจากตวอยางคาท i N แทนขนาดของตวอยาง คาเฉลยเลขคณตของตวอยาง ( x ) ของแตละกลมทค านวณไดสามารถแจกจงความถได 1) การแจกแจงคาเฉลยของตวอยางแบบแทนท ตวอยางท 3 ก าหนดประชากรชดทหนงประกอบดวย 2, 3, 5, 7 และสมตวอยางขนาดเทากบ 2 แบบแทนท จงน าคาเฉลยของตวอยาง ( x ) ทเปนไปไดทงหมด มาแจกแจงความถในรปตาราง วธท า ประชากรประกอบดวย 2, 3, 5, 7 มขนาดเทากบ 4 N = 4 สมตวอยางขนาดเทากบ 2 แบบแทนท n = 2 ดงนนจ านวนกลมตวอยางทงหมดทเปนไปได = N n = 4 2 = 16 กลม

น ากลมตวอยางแตละกลมมาหาคาเฉลย ( X ) จากสตร X = n

xin

li

กลมตวอยาง 16 กลม คอ (2, 2,), (2, 7), (2, 5), (2, 7), (3, 2), (3, 3), (3, 5), (3, 7), (5, 2), (5, 3), (5, 5), (5, 7), (7, 2), (7, 3), (7, 5), (7, 7) ตามล าดบและคาเฉลย ( x ) ของกลมตวอยางคอ 2, 2.5, 3.5, 4.5, 2.5, 3, 4, 5, 3.5, 4, 5, 6, 4.5, 5, 6, 7 และน าคาเฉลย ( x ) ของกลมตวอยางมาสรางตารางแจกแจงความถไดดงน ตารางแจกแจงความถของคาเฉลยของตวอยาง

คาเฉลยของตวอยาง ( x )

ความถ ( f )

2 2.5 3

3.5 4

4.5 5 6 7

1 2 1 2 2 2 3 2 1

16 2) การแจกแจงคาเฉลยของตวอยางแบบไมแทนท ตวอยางท 4 ก าหนดใหประชากรชดหนงประกอบดวย 1, 3, 5, 9 และสมตวอยางขนาดเทากบ 2 แบบไมแทนท จงน าคาเฉลยของตวอยาง ( x ) ทเปนไปไดทงหมด มาแจกแจงความถในรปตาราง วธท า ประชากรประกอบดวย 1, 3, 5, 9 มขนาดเทากบ 4 N = 4 สมตวอยางขนาดเทากบ 2 แบบ ไมแทนท n = 2 ดงนนจ านวนกลมตวอยางทงหมดทเปนไปได =

)!24(

!4

= 12 กลม

กลมตวอยาง 123 กลม คอ (1, 3), (1, 5 ), (1, 9), (3, 1), (3, 5), (3, 9), (5, 1), (5, 3), (5, 9), (9, 1), (9, 3), (9, 5) และหาคาเฉลย (X) ของตวอยางไดดงน 2, 3, 5, 2, 4, 6, 3, 4, 7, 5, 6, 7 ตามล าดบ และน ามาสรางตารางแจกแจงความถ ตารางแจกแจงความถของคาเฉลยของตวอยาง

คาเฉลยของตวอยาง (X) ความถ (f ) 2 3

2 2

4 5 6 7

2 2 2 2 12

6.7 การหาคาเฉลยและสวนเบยงเบนมาตรฐานของคาเฉลยของตวอยาง

สตรทใชในการค านวณ ไดแก

คาเฉลยของประชากร ( ) = N

N

iiix

สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร ( ) = N

N

iiix

2)(

หรอ

( ) = N

N

iiix

22)(

คาเฉลยของคาเฉลยของตวอยาง (»

) =

k

lii

k

iiii

f

xf (ขอมลแจกแจง)

สวนเบยงเบนมาตรฐานของคาเฉลยของตวอยาง = ( x

)

( x ) =

2

)(

k

iii

k

iixii

f

xf หรอ 2

2

)(

)(

xk

iii

k

iiii

f

xf

(ขอมลแจกแจง) หมายเหต สวนเบยงเบนมาตรฐานของคาเฉลยของตวอยาง หรอเรยกวาความคลาดเคลอน มาตรฐานของคาเฉลยของตวอยาง

1) การหาคาเฉลยและสวนเบยงเบนมาตรฐานของคาเฉลยของตวอยางทสม ตวอยางแบบแทนท ตวอยางท 5 การก าหนดใหประชากรประกอบดวย 3,4,7,8 สมตวอยางขนาดเทากบ2 แบบแทนท จงหา

1) คาเฉลยของประชากร ( ) 2) สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร ( )

3) คาเฉลยของคาเฉลยของตวอยาง ( x ) 4) สวนเบยงเบนมาตรฐานของคาเฉลยของตวอยาง ( x )

วธท า 1) คาเฉลยของประชากร ( )

= N

xn

i

i1 =

4

8743 = 5.5

ดงนนคาเฉลยของประชากร เทากบ 5.5 2) สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร ( )

= N

xN

i

ii

1

)(

=4

)5.58()5.57()5.54()5.53( 2222

= 4

17 = 2

17

ดงนนสวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร ( ) = 2

17 = 2.06

3) คาเฉลยของคาเฉลยของตวอยาง ( x ) ประชากรประกอบดวย 3,4,7,8 มขนาดเทากบ 4(N=4) สมตวอยางขนาดเทากบ 2 ( n =2) แบบแทนท กลมตวอยางทเปนไปได = N n =4 2 = 16 กลม คอ (3,3), (3,4), (3,7), (3,8), (4,3) , (4,4) , (4,7) , (4,8) , (7,3) , (7,4), (7,7), (7,8), (8,3), (8,4), (8,7), (8,8) และคาเฉลยของกลมตวอยาง ( x ) ไดแก 3, 3.5, 5, 5.5, 3.5, 4, 5.5, 6, 5, 5.5, 7 , 7.5, 5.5, 6, 7.5, 8 ตามล าดบและสรางตารางอจกแจงความถไดดงน

x fi xf

ii ( )

xix 2)xix 2)(

xii xf

3 3.5 4 5

5.5 6 7

7.5 8

1 2 1 2 4 2 1 2 1

3 7 4

10 22 12 7

15 8

-2.5 -2

-1.5 -0.5

0 0.5 1.5 2

2.5

6.25 4

2.25 0.25

0 0.25 2.25

4 6.25

6.25 8

2.25 0.5 0

0.5 2.25

8 6.25

16 88 34

x

=

k

i

i

k

i

ii

f

xf

1

1 = 16

88 = 5.5

คาเฉลยของคาเฉลยตวอยาง ( x ) = 5.5 4) สวนเบยงเบนมาตรฐานของคาเฉลยของตวอยาง (

x )

x

= f

xf

i

k

li

xi

k

lii

2)( =

16

34 = 4

34 1.46

สวนเบยงเบนมาตรฐานของคาเฉลยของตวอยาง (x

) = 4

34 1.46

จากตวอยางจะพบวา

x = 5.5 =

x

= 4

34 = n

นนคอ ถาประชากรขนาด N มคาเฉลยเทากบ สวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ สมตวอยางขนาด n แบบแทนท จะได

1) คาเฉลยของคาเฉลยของตวอยาง x

= 2) สวนเบยงเบนมาตรฐานของคาเฉลยของตวอยาง

x =

n

3) ความแปรปรวนของคาเฉลยของตวอยาง x2 =

n

2

2) การหาคาเฉลยและสวนเบยงเบนมาตรฐานของคาเฉลยของตวอยางทสม ตวอยางแบบไมแทนท ตวอยางท 6 การก าหนดประชากรประกอบดวย 2, 3, 5, 7, 8 และสมตวอยางขนาดเทากบ 2 แบบ ไมแทนท จงหา

1) คาเฉลยของประชากร ( ) 2) สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร ( ) 3) คาเฉลยของคาเฉลยของตวอยาง (

x )

4) สวนเบยงเบนมาตรฐานของคาเฉลยของตวอยาง ( x

)

วธท า ประชากรประกอบดวย 2,3, 5, 7, 8 1) คาเฉลยของประชากร ( )

= N

xN

i

i1 =

5

87532 = 5

ดงนนคาเฉลยของประชากรเทากบ 5 2) สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร ( )

=

2

1

)(

N

xN

i

i

=5

)58()57()55()53()52( 22222

= 5

26 2.28

สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร ( ) = 5

26 2.28

3) คาเฉลยของคาเฉลยของตวอยาง ( x

) ประชากรประกอบดวย 2, 3, 5, 7, 8 และสมตวอยางขนาดเทากบ 2 แบบไมแทนท ( N = 5, n = 2) กลมตวอยางทเปนไปได =

)!(

!

nN

N

=

)!25(

!5

กลมคอ (2,3), (2,5), (2,7),

(2,8),(3,2), (3,5), (3,7), (3,8), (5,2), (5,3), (5,7), (5,8), (7,2), (7,3), (7,5), (7,8), (8,2), (8,3), (8,5), (8,7) ตามล าดบและคาเฉลย ( x ) ของกลมตวอยางไดแก 2.5, 3.5, 4.5, 5,

2.5, 4, 5, 5.5, 3.5, 4, 6, 6.5, 4.5, 5, 6, 7.5, 5, 5.5, 6.5, 7.5 ตามล าดบ และสรางตารางแจกแจงความถของคาเฉลย ( x ) ของกลมตวอยาง ไดดงน

x fi

xfi

)( xix )(

xix 2 2)(

xii xf

2.5 3.5 4

4.5

2 2 2 2

5 7 8 9

-2.5 -1.5 -1

-0.5

6.25 2.25

1 0.25

12.5 4.5 2

0.5

5 5.5 6

6.5 7.5

4 2 2 2 2

20 11 12 13 15

0 0.5 1

1.5 2.5

0 0.25

1 2.25 6.25

0 0.5 2

4.5 12.5

20 100 39

x

=

k

i

i

k

i

ii

f

xf

1

1 = 20

100 = 5

คาเฉลยของคาเฉลยของตวอยาง (x

) = 5 4) สวนเบยงเบนมาตรฐานของคาเฉลยของตวอยาง (

x )

x

=

k

i

i

xi

k

i

i

f

xf

1

2

1

)(

= 20

39 1.396

สวนเบยงเบนมาตรฐานของคาเฉลยของตวอยาง ( x

) เทากบ 20

39

จากตวอยางจะพบวา

x = 5 =

และ x

= 20

39 = n

= 1

N

nN

นนคอ ประชากรขนาด N มคาเฉลยเทากบ สวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ สมตวอยาง

ขนาด n แบบไมแทนท จะได 1) คาเฉลยของคาเฉลยของตวอยาง

x =

2) สวนเบยงเบนมาตรฐานของคาเฉลยของตวอยาง x

= n

1

N

nN

3) ความแปรปรวนของคาเฉลยของตวอยาง n

2 [1

N

nN

หมายเหต การสมตวอยางแบบแทนทหรอไมแทนท คาเฉลยของคาเฉลยของตวอยาง (x

)จะเทากบคาเฉลยของประชากร ( ) เสมอ แตสวนเบยงเบนมาตรฐานของคาเฉลยของตวอยาง

(x

) จะแตกตางกนทคาของ 1

N

nN และถา N มขนาดใหญหรอ n จะมคานอย

กวา 5% ของ N จะท าได 1

N

nN มคาใกลเคยง 1 และจะท าใหสวนเบยงเบนมาตรฐานของ

คาเฉลยของตวอยาง ( x

) = n

ถาประชากรมการแจกแจงปกตโดยทคาเฉลยของประชากรเทากบ µ และเบยงเบนมาตรฐานเทากบ แลว คาเฉลยของตวอยาง ( ) จะมการแจกแจงปกตดวยและสามารถเปลยนคาเฉลยของตวอยาง ( ) ใหเปนคามาตรฐาน (Z) โดยใชสตร

จาก z =

x เปน z = x

xx

หรอ z = n

x

และสามารถค านวณหาความนาจะเปนของคาเฉลยของตวอยาง ( x ) ไดโดยใชวธการ

เดยวกบการหาพนทภายใตเสนโคงปกต ดงตวอยาง

ตวอยางท 7 รานอาหารไทยแหงหนงไดท าการบนทกถงจ านวนลกคาทเขามารบประทานอาหารพบวา จ านวนลกคามการแจกแจงปกตโดยเฉลยแลววนละ 400 คน สวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 80 คน ถาสมจ านวนลกคามา 12 วน จงหาความนาจะเปนทจ านวนลกคาของวนทสมตวอยางมา โดยเฉลยแลวนอยกวา 250 คน วธท า ให x แทนจ านวนลกคาโดยเฉลยจากตวอยางทสม เมอคาเฉลยของลกคาทเขามารบประทานอาหาร ( ) วนละ 400 คน สวนเบยงเบนมาตรฐาน ( ) ของลกคาเทากบ 80 คน จ านวนทสมมา 12 วน n = 12

n

= 12

80 = 23.09

จ านวนลกคาทเขามารบประทานอาหารตอวนมการแจกแจงปกต ดงนนคาเฉลยของลกคาจาก ตวอยาง ( x ) ยอมมการแจกแจงปกตดวย ถา x = 350 คน

Z =

n

x

= 09.23

400350 = - 2.17

แสดงไดดงรป

350 400 -2.17 0 จากตารางท 1 (ภาคผนวก) P( x < 350) = P(z < -2.17) = P(z < 0) - P ( -2.17 < z < 0) = 0.5 – 0.4850 = 0.015 ความนาจะเปนทจ านวนลกคาเฉลยของวนทสมตวอยางมามจ านวนนอยกวา 350 คน คดเปน 0.015 หรอ 1.5 %

ตวอยางท 8 รานคายอยจ าหนายพดลมแหงหนงไดส ารวจยอดขายในเดอนมนาคมของปหนงพบวายอดขายพดลมมการแจกแจงปกตโดยเฉลยขายไดวนละ 60 ตว สวนเบยงเบนมาตรฐาน 15 ตว ถาสมยอดขายพดลมในเดอนมนาคมปนมา 10 ตว จงหาความนาจะเปนทยอดขายเฉลยของพดลมของวนทสมมาทขายไดวนละ 65 ตว ถง 72 ตว วธท า ให x แทนจ านวนพดลมทขายไดเฉลย จากตวอยางทสมมา เมอ = 60 และ = 15, n = 10

n

=

10

15 = 4.75

ยอดขายพดลมในแตละวนมการแจกแจงปกต ดงนนเฉลยของยอดขายพดลม ( x ) ทสมมายอมมการแจกแจงปกตดวย ถายอดขายพดลมเฉลยของวนทสมมาขายไดวนละ 65 ถง 72 ตว

Z 1 =

n

x

= 75.4

6065 = 1.05

Z 2 =

n

x

= 75.4

6072 = 2.53

แสดงไดดงรป 60 65 72 0 1.05 2.53 จากตารางท 1 (ภาคผนวก)

P(65 < x < 72) = P (0 < z < 2.52) - P (0 < z < 1.05) = 0.4941 - 0.3531 = 0.141 ความนาจะเปนทยอดขายเฉลยของพดลมของวนทสมมาขายได 65 ตวถง 72 ตว คดเปน 0.141 หรอ 14.1 % หมายเหต 1. ถาการสมตวอยางขนาด n หนวย จากประชากรขนาด N ทมมการแจกแจงปกต โดยมคาเฉลยเทากบ สวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ ถาขนาดของตวอยางทสมมามขนาดคาเฉลยของคาเฉลยของตวอยาง ( x ) เทากบ และสวนเบยงเบนมาตรฐานของคาเฉลยของตวอยาง ( x ) เทากบ

n

2. ถาประชากรมการแจกแจงปกต แตไมทราบสวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร ( ) และตวอยางมขนาดใหญ ( n 30 ) การค านวณอาจใชสวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยาง ( x ) แทนสวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร ( ) ตวอยางท 9 หลอดไฟชนดหนงผลตโดยโรงงานแหงหนงจ านวน 1,000 หลอด อายการใชงานเฉลย 1,200 ชวโมง สวนเบยงเบนมาตรฐาน 85 ชวโมง ถาสมตวอยางหลอดไฟมา 40 หลอด จงหาความนาจะเปนทอายการใชงานเฉลยของหลอดไฟทสมมามคามากกวา 1,230 ชวโมง วธท า โจทยไมไดก าหนดอายการใชงานของหลอดไฟเปนการแจกแจงปกตแต n = 40 ( n

30 ) มขนาดใหญ จงถอวาอายการใชงานของหลอดไฟมการแจกแจงปกต = 12 ชวโมง, = 85 ชวโมง, n = 40

n

= 40

85 = 13.45

จากหลอดไฟทสมมา 40 หลอด อายการใชงานเฉลยมากกวา 1,230 ชวโมง เปลยนเปนคา z

z =

n

x

= 45.13

200,1230,1

Z = 2.23 แสดงไดดงรป

1,200 1,230 0 2.23

จากตารางท 1 (ภาคผนวก) P( 230,1x ) = P( z > 2.23) = P( z > 0) - P ( 0 < z < 2.23) = 0.5 – 0.4871 = 0.0129 ความนาจะเปนทอายการใชงานเฉลยของหลอดไฟทสมมา ทมคามากกวา 1,230 ชวโมง คดเปน 0.0129