บทที่ 4 การประมาณค่าในช่วง...

01417268:1st 2014 chapterIV:PartI

บทท 4 การประมาณคาในชวง (Interpolation)

มขอมลตวเลขมาชดหนง (อาจมาจากการวดหรอการทดลอง) ตองการทราบคาอนทไมไดท าการวดในชวงทวดขางตน

วดคาแรงดนของ Steam plant ทอณหภมตางๆไดขอมลดงตาราง

Temperature )C( 140 150 160 170

Pressure )cm/kgf( 2 3.685 4.854 6.302 8.076

ตองการหาคาความดนของ Steam plant ทอณหภม C142

แนวคด : สรางฟงกชน (พหนาม) แทนชดขอมลขางตน

เรยกวธในการประมาณคานวา การประมาณคาในชวง (Interpolation) ถาจ านวนขอมลทวดไดมมากพอจะท าใหการประมาณฟงกชนพหนามใกลเคยงกบพฤตกรรมของฟงกชนจรงทเปนตวแทนของขอมล และท าใหการประมาณคาขอมลคาอนทไมไดท าการวดมคาใกลเคยงกบคาทควรจะเกดขนจรงๆ

ทฤษฎบท การประมาณของ Weierstrass ถา f เปนฟงกชนตอเนองบน ba, และให 0 แลว จะมพหนาม )(xP ทนยามบน ba, ทมคณสมบตวา

xPxf ส าหรบทก bax ,


1. การประมาณคาดวยพหนามเทยเลอร และพหนามแมคคลอรน

พหนามเทยเลอร และพหนามแมคคลอรน เปนพหนามทใชประมาณคาในบรเวณใกลๆ กบจดใดจดหนงททราบคาแนนอน ยงถาคาทตองประมาณนนใกลกบจดททราบคาจะท าใหคาทประมาณแมนย าขน

แตถาคาทตองการประมาณอยหางจากจดดงกลาว กจะท าใหความคลาดเคลอนของการประมาณเกดขนไดมาก

ตวอยาง ก าหนดให xexf และให xPi เปนพหนามเทยเลอร i พจนแรก โดยประมาณรอบจด 00 x จะได

คาพหนามเทยเลอร ณ จดตางๆของ x เปนไปดงตาราง

x xexf xP0 xP1 xP2 xP3 xP4 xP5

-2.0 0.13533528 1.00000000 -1.00000000 1.00000000 -0.33333333 0.33333333 0.06666667

-1.5 0.22313016 1.00000000 -0.50000000 0.62500000 0.06250000 0.27343750 0.21015625

-1.0 0.36787944 1.00000000 0.00000000 0.50000000 0.33333333 0.37500000 0.36666667

-0.5 0.60653066 1.00000000 0.50000000 0.62500000 0.60416667 0.60677083 0.60651042

0.0 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000 1.00000000

0.5 1.64872127 1.00000000 1.50000000 1.62500000 1.64583333 1.64843750 1.64869792

1.0 2.71828183 1.00000000 2.00000000 2.50000000 2.66666667 2.70833333 2.71666667

1.5 4.48168907 1.00000000 2.50000000 3.62500000 4.18750000 4.39843750 4.46171875

2.0 7.38905610 1.00000000 3.00000000 5.00000000 6.33333333 7.00000000 7.26666667

สงเกตวาคาประมาณจะดขนเมอใชพหนามดกรสงขน


พหนาม xP1 ผาน

จดทก าหนดหรอไม

ตวอยาง พจารณาฟงกชน x

xf1

ตองการประมาณคาฟงกชนดวยอนกรมเทยเลอรรอบจด 10 x และหา

คาประมาณของ )3(f

วธท า ส าหรบอนกรมเทยเลอรของ x

xf1

รอบจด 10 x

เขยนไดในรปพหนามดกร n คอ

จะไดคาของ )3(3 fPn เปนไปตามตาราง

n 0 1 2 3 4 5 6 7

3nP 1 -1 3 -5 11 -21 43 -85

คาทไดนนแทนทจะเปน 3

13 f แตคาประมาณกลบลออก แมวาจะใชอนกรมทดกรสงๆ

ทงนเพราะเราใชอนกรมเทยเลอรจะใหคาประมาณจะแมนย าเมอประมาณคาทใกลกบจด 0x ในการประมาณคาทวไปจงไมเหมาะ และเราจะใชระเบยบวธทอาศยขอมลจากหลายจด ซงจะใหประสทธภาพสงกวา

2.การประมาณคาดวยพหนามลากรองจ (Lagrange Polynomial)

เมอทราบจดขอมล 2 จดคอ ))(,( 00 xfx และ ))(,( 11 xfx ตองการหาพหนามดกรหนง xP1 (ซงเปนเสนตรง) ทผานทงสองจด

จะไดสมการเสนตรงทผานจดทงสองคอ

)()( 101

00

10

11 xf

xx

xxxf

xx

xxxP


ถาก าหนดให

10

10,1 xx

xxxL

และ

01

11,1 xx

xxxL

จะไดวา

)()()()( 1,100,11 xfxLxfxLxP

ถาทราบขอมลเรมตน 3 จดคอ ))(,()),(,( 1100 xfxxfx และ ))(,( 22 xfx แลวจะสรางพหนามดกร 2 ทผานทงสามจดไดคอ

1

2101

20

0

2010

21

))(())((

))(())((

2 xfxxxxxxxx

xfxxxxxxxx

xP

2

1202

10

))(())((xf

xxxxxxxx

ถาก าหนดให ))((

))((,))((

))((

2101

201,2

2010

210,2 xxxx

xxxxxL

xxxx

xxxxxL

และ

))((

))((

1202

102,2 xxxx

xxxxxL

จะไดวา

)()()()()()( 22,211,200,22 xfxLxfxLxfxLxP

ท านองเดยวกนเมอทราบขอมล 1n จดจะสามารถสรางพหนามดกรn ไดดงน : นยาม xL kn,

ส าหรบทก nk ,,2,1,0 โดย

)())(())((

)())(())((

1110

1110,

nkkkkkkk

nkkkn xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxL

นยาม พหนามลากรองจ (Lagrange Polynomial) อนดบ n คอ

xLxfxLxfxP nnnnn ,0,0 )()(

ถา nxxx ,,, 10 เปน 1n คาทแตกตางกนและ )(xf เปนฟงกชนททราบคา ณ จดเหลาน แลว xPn เปนพหนามทใหคาเหมอน )(xf ณ จด nxxx ,,, 10 โดยทวไปแลว มกจะเขยน xLk แทน xL kn,

เมอทราบ n ชดเจน


ตวอยาง ก าหนดชดขอมลดงตาราง

x 0x 2 1x 2.5 2x 4

f(x) 0.5 0.4 0.25

จงหาพหนามดกร 2 ทใชประมาณคาในชวงของชดขอมลขางตนพรอมทงหาคาประมาณของ )3(f

วธท า เนองจากชดขอมลมทงหมด 3 จดดงนนสามารถสรางพหนามลากรองจไดสงสดดกร 2

เราจะหาพหนามลากรองจไดสงสดอนดบ 2 ซงเราจะตองหา 210 ,, LLL โดย

105.6

425.22

45.2 2

2010

210

xx

xx

xxxx

xxxxxL

3

32244

45.225.2

42 2

2101

201

xxxx

xxxx

xxxxxL

3

55.4

5.2424

5.22 2

1202

102

xxxx

xxxx

xxxxxL

ดงนน )()()()()()()()( 22211100

2

02 xfxLxfxfxLxfxLxfxLxfxP

kkk

3

55.425.0

3

322444.0105.65.0

222 xxxx

xx

15.1425.005.0 2 xx และจะไดวา 325.0)3(3 2 Pf #

ขอสงเกต ชดขอมลจากตวอยางไดจากฟงกชน x

xf1

ดงนนคาจรงของ )3(f คอ 3333.03

13 f และ

จะไดคาคลาดเคลอนคอ 0083.03)3( 2 Pf

เปรยบเทยบกบอนกรมเทยเลอรรอบจด 0x แลวจะเหนวาพหนามลากรองจมพจนเศษเหลอคลายพหนามเทย

เลอรท n รอบจด 0x นนคอ

!1

10

1

n

xxf nn เมอ ),( 0xx แตพหนามลากรองจอนดบ n ใชขอมล

จากจดทตางกน nxxx ,,, 10 นอกนน รปแบบของสตรความคลาดเคลอนจะเหมอนกนพหนามเทยเลอร

สตรคาผดพลาดของพหนามลากรองจ

n

n

n xxxxxxn

fxPxf

10

1

!1

เมอ อยระหวาง x กบ nxxx ,,, 10


3.ผลตางสบเนอง (Divided Difference)

ผลตางสบเนองทศนยของฟงกชน )(xf เทยบกบ ix คอ

ii xfxf

ผลตางสบเนองทเหลอจะถกนยามโดยความสมพนธเวยนบงเกด (Recursive) ผลตางสบเนองทหนงของ )(xf

เทยบกบ ix และ 1ix คอ

ii

iiii xx

xfxfxxf

1

11,

ผลตางสบเนองท k เทยบกบ kiii xxx

,,, 1 คอ

iki

kiikiikiii xx

xxfxxfxxxf

111

,,,,,,,

ถาทราบขอมล 1n จดจะสรางพหนามอนดบ n โดยใชผลตางสบเนองโดยให

102100100 ,,, xxxxxxxfxxxxfxfxPn 11010 ,,,

nn xxxxxxxxxf

n

kkk xxxxxxxxxfxf

1110100 ,,,


สรปสตรการหาผลตางสบเนองจากชดขอมลไดดงตารางตอไปน

x )(xf 1stdivided difference 2nddivided difference

0x 0xf

01

0110

xx

xfxfx,xf

1x 1xf

02

1021210

xx

x,xfx,xfx,x,xf

12

1221

xx

xfxfx,xf

2x 2xf

13

2132321

xx

x,xfx,xfx,x,xf

23

2332

xx

xfxfx,xf

3x 3xf

24

3243432

xx

x,xfx,xfx,x,xf

34

3443

xx

xfxfx,xf

4x 4xf

35

4354543

xx

x,xfx,xfx,x,xf

45

4554

xx

xfxfx,xf

5x 5xf


ตวอยาง ก าหนดคาของฟงกชน ณ หลายจด และตารางผลตางสบเนอง

i ix ixf i1i x,xf i1i2i x,x,xf

i3i x,,xf i4i x,,xf

0 1.0 0.7651977

-0.4837057

1 1.3 0.6200860 -0.1087339

-0.5489460

0.0658784

2 1.6 0.4554022 -0.0494433 0.0018251

-0.5786120

0.0680685

3 1.9 0.2818186 0.0118183

-0.5715210

4 2.2 0.1103623

สงเกตวาสมประสทธของพหนามทใชในการประมาณคาในชวงคอ

n2103210210100 x,...,x,x,xf,...,x,x,x,xf,x,x,xf,x,xf,xf ซงคอแนวทแยงมมบนของตารางผลตางสบเนอง (ขางหนา)

ดงนน 3.111087339.014837057.07651977.04 xxxxP

9.16.13.110018251.06.13.110658784.0 xxxxxxx

จะได 5118200.05.14 P


ตวอยาง ก าหนดคาของชดขอมลดงน x 1 5 7 10 12

f(x) 0.6931 1.7918 2.0794 2.3979 2.5649 จงสรางตารางผลตางสบเนองพรอมทงหาคาประมาณของ f(2)

x ixf i1i x,xf i1i2i x,x,xf

i3i x,,xf i4i x,,xf

1 0.6931

5 1.7918

7 2.0794

10 2.3979

12 2.5649


ถาก าหนดให nxxx ,,, 10 หางเทาๆกน รปแบบของสตรผลตางสบเนองในการประมาณคาในชวงของ Newton จะลดรปลงดงน

ให ii xxh 1 ส าหรบทก ni ,,2,1,0 และ )0( 0

0

h

xxsshxx

ดงนน ,)1()()( 0010 hshxxhxxxxshxx

hisxx

hshhshxxhxxxx

i )(

,)2()1()()( 112

สตรจะกลายเปน 102100100 ,,, xxxxxxxfxxxxfxfxPn

11010 ,,,

nn xxxxxxxxxf

hsshxxxfshxxfxf )1(,,, 210100

hnshsshxxxf n )1()1(,,, 10

2102

100 ,,)1(, xxxfhssxxfshxf nn xxxfhnssss ,,,121 10

n

kk

k xxxfhksssxf1

100 ,,,11][

n

kk

kn xxxfhksssxfxP

1100 ,,,11][)(


สตรผลตางสบเนองขางหนาของ Newton

ก าหนดสญลกษณของผลตางสบเนองขางหนาของล าดบ 0nnP ใดๆจะได

n1nn PPP ส าหรบทก 0n

และนยามผลตางสบเนองขางหนาอนดบสงๆ โดย

n1k

nk P)(P ส าหรบทก 2k

ดงนน

001

0110 xf

xx

xfxfx,xf

h

1

01

02

1021210 xfxf

xx

]x,x[f]x,x[fx,x,xf

h

1

h

1

h2

1 0

2 xf2

h2

1

03

2103213210

xx

x,x,xfx,x,xfx,x,x,xf

03

301 xf

xfxf

h6

1

h2h3

12

22

0k

kk10 xfh!k

1x,,x,xf

จาก !k

)1ks()1s(s

k

s

ดงนน )1ks()1s(sk

s!k

จะไดสตรผลตางสบเนองขางหนาของ Newton อกแบบหนงคอ

n

1kk10

k0n x,,x,xfh1ks1ss]x[f)x(P

n

0k0

kn

1k0

k

k

k0 xf

k

s)x(f

h!k

1h

k

s!k]x[f

นนคอ

n

0k0

kn xf

k

s)x(P


ตารางแสดงวธการหาคา fk

จากสตร

n

0k0

kn xf

k

s)x(P จะเหนไดวาสมประสทธหนา

k

sของสตรคอ 0

k xf ซงคอ

สมาชกในแถวทแยงมมบนของตารางขางตน

x ixf f f2 f3 f4

0x

)x(f 0

)x(f)x(ff010

1x )x(f 1 010

2fff

)x(f)x(ff 121 0

21

20

3fff

2x

)x(f 2

1212

fff

0

31

30

4fff

)x(f)x(ff 232

1

22

21

3fff

3x

)x(f 3

232

2fff

)x(f)x(ff 343

4x

)x(f 4


ตวอยาง ก าหนดชดขอมลดงตาราง

x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 f(x) 1.020067 1.185465 1.543081 2.150899 3.107473

จงสรางตาราง fk พรอมทงหาคาประมาณของ )4.0(f

x ixf f f2 f3 f4

0.2 1.020067

0.6 1.185465

1.0 1.543081

1.4 2.150899

1.8 3.107473


สตรผลตางสบเนองยอนหลงของ Newton

เมอสลบจดเปน 01nn x,,x,x

จะไดสตรการประมาณคาในชวงเปน

1nnn1n2nnn1nnn xxxxx,x,xfxxx,xfxfxP

11nnn10 xxxxxxx,,x,xf

เมอใชระยะหางเทากนคอ i1i xxh โดยท )0h

xxs(shxx n

n

,

ดงนน hinsxxhinsxx ii

จะไดวา h)1s(shx,x,xfshx,xfxfxP n1n2nn1nnn

h)1ns(h)1s(shx,,x,xf n10

n1n2n2

n1nn x,x,xfh1ssx,xshfxf

n10n x,,x,xfh1ns1ss

n1nkn

n

1k

knn x,x,...,xfh)1ks()1s(sxf)x(P

เรยกสตรนเรยกวา “สตรผลตางสบเนองยอนหลงของ Newton”

ซงจะใชเมอตองการประมาณคาทอยทายตาราง

S จะมคานอยกวา 0


ให 0nnP เปนล าดบใดๆ นยามผลตางสบเนองยอนหลงโดย

1nnn PPP ส าหรบทก 1n

และนยามผลตางสบเนองยอนหลงอนดบสงๆ โดย

)P(P n1k

nk ส าหรบทก 2k

ท านองเดยวกบผลตางสบเนองขางหนาจะไดวา

nn1n xfh

1x,xf ,

n2

2n1n2n xfh2

1x,x,xf

n

k

kn1nkn xfh!k

1x,x,xf

เมอ 0s จะไดวา !k

1ks1ss1

!k

1ks1ss

k

s k

ดงนน )1ks()1s(sk

s!k)1( k

จะไดสตรผลตางสบเนองยอนหลงคอ

n1nkn

n

jk

knn x,x,...,xfh)1ks()1s(sxf)x(P

n

k

k

n

1k

kkn xf

h!k

1h

k

s!k)1(xf

nk

n

1k

kn xf

k

s)1(xf

ซงจะได “สตรผลตางสบเนองยอนหลงของ Newton” อกรปแบบหนงคอ

n

0kn

kkn xf

k

s1xP


ตวอยาง (Sheet) พจารณาตารางของขอมลในตวอยางกอนหนา

เมอตองการประมาณคาของ 1.1f ควรจะเลอกใชสตรผลตางสบเนองขางหนา เพราะจด 1.1x อยใกลกบจดขอมลสวนบนของตาราง ซงจะใชคาตามลกศรเขยวในตาราง

ใชผลตางสบเนองอนดบท 4 พรอมดวย

3.0h , 3

1

3.0

11.1

h

xxs 0

i ix ixf i1i x,xf i1i2i x,x,xf i3i x,,xf i4i x,,xf

0 1.0 0.7651977

-0.4837057

1 1.3 0.6200860 -0.1087339

-0.5489460 0.0658784

2 1.6 0.4554022 -0.0494433 0.0018251

-0.5786120 0.0680685

3 1.9 0.2818186 0.0118183

-0.5715210

4 2.2 0.1103623

จะไดวา

3.0

3

10.1P1.1P)1.1(f 44

1087339.03.03

2

3

14837057.03.0

3

17651977.0

2

7196480.00018251.03.03

8

3

5

3

2

3

10658784.03.0

3

5

3

2

3

1 43

ถาตองการประมาณคาเมอ x ใกลจดปลายของตาราง เชน 0.2x จะใชสตรผลตางสบเนองยอนหลงของ Newton และใชขอมลตามลกศรสแดง

ใชผลตางสบเนองอนดบท 4 พรอมดวย

3.0h , 3

2

3.0

2.0

3.0

2.20.2

h

xxs 4


จะได

3.0

3

22.2P0.2P 44

0118183.03.0

3

1

3

25715210.03.0

3

21103623.0

2

0018251.03.03

7

3

4

3

1

3

20680685.03.0

3

4

3

1

3

2 43

2238754.0

ขอสงเกต

สตรของนวตนนนจะไมเหมาะกบการประมาณคา x ทอยในชวงกลางของตารางเพราะการใชระเบยบวธขางหนาหรอยอนหลง โดยมผลตางสบเนองอนดบสงๆจะไมท าให 0x อยใกล x

อาจจะเลอกสตรของผลตางสบเนองอนแทนเชน ผลตางสบเนองศนยกลาง (Central difference formula)


การประมาณคาในชวงของ Hermite

ก าหนดคาของ )x(f ทจดขอมล n0 x,,x พรอมทงคาของ )x(f ทจดขอมลเหลานน

สรางตารางผลตางสบเนองโดยใชจดขอมลซ ากนสองครง

จะไดพหนามดกร 1n2 ซงเรยกวา พหนาม Hermite

สตรคาผดพลาดของพหนาม Hermite

ถา b,aCf 2n2 แลว

2n2

0

2n2

1n2 xxxx!2n2

xfxHxf

เมอ b,ax

วธการสรางพหนาม Hermite โดยใชผลตางสบเนอง

สมมตวามชดขอมลเรมตน 1n จดแตกตางกนคอ n0 x,,x พรอมกบคาของ )x(f และ )x(f ทจดดงกลาว

นยามล าดบ 1n2

0kkz

โดย i1i2i2 xzz n,,1,0i

สรางตารางผลตางสบเนองของ 1n210 z,,z,z เนองจาก i1i2i2 xzz ส าหรบทกคา i

ดงนน 1i2i2 z,zf หาไมไดจากสตร

i21i2

i21i21i2i2

zz

zfzfz,zf

ใชทฤษฎบท

ถา b,aCf n และ b,ax,,x n0 แลว ม b,ax ทวา

!n

fx,x,xf

n

n10

เมอใชทฤษฎบทกบจดสองจด จะไดวาจะม , ท f,f

จะไดวา

f,flim นนคอ f,f

ดงนน iii1i2i2 xfx,xfz,zf


นนคอใชขอมล n10 xf,,xf,xf แทนทต าแหนง 1n2n23210 z,zf,,z,zf,z,zf และหาผลตางสบเนองโดยวธเดม

จะไดสตรผลตางสบเนองของพหนาม Hermite คอ

1n2

1k1k0k1001n2 zxzxz,,z,zfzfxH

เมอ k1k2k2 xzz และ k1k2k2 xfz,zf ส าหรบทก n,,2,1k สรปวธการดงตาราง

z f [z] 1st D Diff. 2nd D Diff.

z0= x0 00 xfzf

010 xfz,zf

z1= x0 01 xfzf

02

1021210

zz

z,zfz,zfz,z,zf

12

1221

zz

zfzfz,zf

z2= x1 12 xfzf

13

2132321

zz

z,zfz,zfz,z,zf

132 xfz,zf

z3= x1 13 xfzf

24

3243432

zz

z,zfz,zfz,z,zf

34

3443

zz

zfzfz,zf

z4= x2 24 xfzf

35

4354543

zz

z,zfz,zfz,z,zf

254 xfz,zf

z5= x2 25 xfzf


ตวอยาง (Sheet) ก าหนดชดขอมลดงตาราง

x xf xf 1.3 0.6200860 -0.5220232

1.6 0.4554022 -0.5698959

1.9 0.2818186 -0.5811571

จงสรางตารางผลตางสบเนองเพอใชพหนาม Hermite ประมาณคาของ 5.1f

z f [z] 1st D Diff. 2nd D Diff. 3rd D Diff. 4th D Diff. 5th D Diff.

1.3 0.6200860

-0.5220232

1.3 0.6200860 -0.08977427

-0.5489460 0.0663657

1.6 0.4554022 -0.0698330 0.0026663

-0.5698959 0.0679655 -0.0027738

1.6 0.4554022 -0.0290537 0.0010020

-0.5786120 0.0685667

1.9 0.2818186 -0.0084837

-0.5811571

1.9 0.2818186

จาก

1n2

1k1k0k1001n2 zxzxz,,z,zfzfxH

จะไดคาประมาณทจด 5.1x คอ

0897427.03.15.15220232.03.15.16200860.05.1H2

5

0026663.06.15.13.15.10663657.06.15.13.15.1222

5118277.00027738.09.15.16.15.13.15.122

บทที่ 4 การประมาณค่าในช่วง...

Documents