รายงาน เรอง สถตพนฐานทางการวด

เสนอ อ.ดร.ณชชา มหปญญานนท

จดท าโดย นางสาวศรภสร ไกรเทพ รหสนสต 541031026 นางสาววราภรณ ภาคเพม รหสนสต 541031040 นางสาวอรวรรณ ขนจนทร รหสนสต 541031051

คณะศกษาศาสตร วชาเอก การวดและประเมนทางการศกษา

รายงานนเปนสวนหนงของวชา 0305201 ทฤษฎการวดและประเมน ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2555

มหาวทยาลยทกษณ วทยาเขต สงขลา

ค าน า รายงานนเปนสวนหนงของวชา 0305201 ทฤษฎการวดและประเมน ซงไดจดท าเรองสถตพนฐานทางการวด โดยมเนอหาเกยวกบความหมายของสถต ระเบยบวธการทางสถต สถตบรรยายและสถตอางอง ระดบของการวด การแจกแจงความถ แผนภม กราฟ การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง การวดการกระจายขอมล การวดการกระจายสมพทธ การก าหนดต าแหนงของขอมล คะแนนมาตรฐาน คะแนนซ คะแนนท โดยมจดประสงคเพอใชเปนความรและประกอบการเรยนการสอน ใหแกผทศกษา หวงเปนอยางยงวา รายงานเลมนคงมประโยชนแกผทศกษา หากรายงานเลมนมขอผดพลาดประการใด ตองขออภยไว ณ ทนดวย คณะผจดท า

สารบญ

เรอง หนา ความหมายของสถต 1 ระเบยบวธการทางสถต 1 สถตบรรยายและสถตอางอง 1 ระดบของการวด 3 การแจกแจงความถ 4 แผนภม กราฟ 7 การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง 8 การวดการกระจายขอมล 11 การวดการกระจายสมพทธ 12 การก าหนดต าแหนงของขอมล 13 คะแนนมาตรฐาน 15 คะแนนซ 16 คะแนนท 16 เอกสารอางอง 18

แบบฝกหด 19

เฉลยแบบฝกหด 21

ความหมายของสถต สถต (Statistics) อาจใหความหมายกวาง ๆ ได 2 ประการ คอ 1. สถต หมายถง ขอความจรงหรอตวเลขซงไดรวบรวมไวเพอความหมายทแนนอน เชน สถตพลเมอง สถตจ านวนอบตเหตในรอบป สถตจ านวนผปวยทมารบการรกษาพยาบาลในโรงพยาบาลแหงหนง และดรรชนอนามย เปนตน 2. สถต หมายถง ศาสตรทวาดวยวธการเกบรวบรวมขอความจรงและตวเลขทแสดงขอเทจจรงซงเรยกวา ขอมล การน าเสนอขอมล การวเคราะหขอมล และการตความตลอดจนการสรปผลขอมลเพอใชเปนประโยชนในการตดสนใจทมเหตผล ซงเปนศาสตรแขนงหนงทประยกตมาจากคณตศาสตร ทฤษฎทางสถตจงมความเกยวของกบคณตศาสตรอยางมาก เชน ทฤษฎความนาจะเปน ทฤษฎการแจกแจงทฤษฎการประมาณ ทฤษฎการทดสอบ สมมตฐาน ระเบยบวธการทางสถต ระเบยบวธทางสถต ประกอบดวย 1. การเกบรวบรวมขอมล (data collection) เปนการรวบรวมขอมลจากแหลงขอมลตามทไดมการวางแผนไว ซงอาจเปนไดทงขอมลปฐมภม หรอทตยภม 2. การน าเสนอขอมล (data presentation) เปนการจดท าขอมลทรวบรวมไดใหอยในรปแบบทกะทดรด เชน ตาราง กราฟ แผนภม ขอความ เปนตน เพอความสะดวกในการอานขอมลใหเขาใจงายและเพอประโยชนในการวเคราะหตอไป 3. การวเคราะหขอมล (data analysis) เปนขนตอนการประมวลผลขอมล ซงในการวเคราะหจ าเปนตองใชสตรทางสถตตาง ๆ หรอใชการอางองทางสถตขนกบวตถประสงคของงานนน ๆ 4. การแปลความหมาย (interpretation) เปนขนตอนการน าผลการวเคราะหมาอธบายใหบคคลทวไปเขาใจ อาจ าเปนตองมการขยายความในการอธบาย เพอใหงานทศกษาเปนประโยชนตอคนทวไปได เราสามารถจ าแนกเปนสถตศาสตรทสอดคลองกบขนตอนตาง ๆ ได 2 ลกษณะ คอ สถตบรรยาย (หรอสถตเชงพรรณนา) และสถตอางอง (หรอสถตเชงอนมาน) สถตบรรยายและสถตอางอง 1. สถตบรรยายหรอสถตเชงพรรณนา (descriptive statistics) เปนการอธบายลกษณะของขอมลในรปของการบรรยายลกษณะทว ๆ ไปของขอมล โดยจดน าเสนอเปนบทความ บทความกงตาราง แสดงดวยกราฟ หรอแผนภม มการค านวณหาความหมายของขอมลโดยวธทางสถตอยางงาย ๆ เพอใหเปนรปแบบของขอมลในเบองตนให

สามารถตความหมายของขอมลไดตามความจรง อาจท าการศกษากบขอมลทเปนกลมเลก ๆ หรอกลมใหญ โดยทว ๆ ไปกไดและผลวเคราะหจะใชอธบายเฉพาะกลมทน ามาศกษาเทานน สถตบรรยายทใชในงานวจย เชน การแจกแจงความถ รอยละ การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง การวดการกระจาย เปนตน 2. สถตอางองหรอเชงอนมาน (inferential statistics) เปนเทคนคทน าขอมลเพยงสวนหนงไปอธบายเกยวกบขอมลสวนใหญโดยทว ๆ ไปโดยใชพนฐานความนาจะเปนเปนหลกในการอนมาน การใชสถตอางองท าได 2 ลกษณะ คอ การประมาณคาประชากรและการทดสอบสมมตฐาน เพอใหมองเหนขอแตกตางระหวางสถตบรรยายและสถตอางอง และมองเหนลกษณะสถตอางองไดอยางเดนชดขน 2.1 ประชากร (population) หมายถง ขอบเขตของขอมลท งหมดทเราก าลงท าการศกษา หรออาจหมายถง กลมของสงของทงหมดทใหขอมลตามทเราตองการศกษา เชน ศกษาเกยวกบคนไขสต – นรเวชของโรงพยาบาลมหาราชนครเชยงใหม ในป 2545 ทงหมด ซงอาจดไดจากประวตผปวย คาทประมวลไดจากขอมลท งหมดของประชากร โดยวธการทางสถตจะเรยกวา พารามเตอร (Parameter) และนยมใชสญลกษณอกษรกรกแทน เชน คาเฉลยของประชากร แทนดวย μ อานวา มว (mu) สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร แทนดวย σ อานวา ซกมา (sigma) คาสมประสทธสหสมพนธของประชากร แทนดวย ρ อานวา โร (rho) 2.2 ตวอยาง (sample) หมายถง สวนหนงของประชากรซงถกเลอกมาศกษาเนองจากในบางครง พบวา การศกษาบางอยาง ไมอาจท าทงหมดของประชากรได จงจ าเปนตองเลอกตวอยางมาศกษา คาทประมวลไดจากขอมลของตวอยาง โดยวธการทางสถตจะเรยกวา คาสถต (Statistic) เชน คาเฉลยของตวอยาง แทนดวย X สวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยาง แทนดวย S.D. คาสมประสทธสหสมพนธของตวอยาง แทนดวย xyr สถตส าหรบวเคราะหขอมลเบองตนส าหรบการวดและประเมนผลทควรร ไดแก การแจกแจงความถ การวดแนวโนมเขาสกลาง การวดการกระจาย การวดต าแหนงและการเปรยบเทยบและการน าเสนอขอมลซงมรายละเอยดดงน

ระดบของการวด การวด เปนการก าหนดตวเลขหรอสญลกษณใหกบคน สตว หรอสงของตามกฎเกณฑ (rule) ทก าหนดขน ซงกฎเกณฑทตงขนนเรยกวา มาตรการวด (scale) ม 4 ระบบ ดงน 1. มาตรานามบญญต (nominal sale) เปนการวดระดบต าทสดหรอหยาบทสด โดยก าหนดชอ นาม หรอตวเลข หรอสญลกษณเพอจ าแนกหรอจดกลมสงของตาง ๆ * ตวเลขหรอสญลกษณในระดบนไมไดมความหมายทางคณตศาสตรไมสามารถน าไปบวก ลบ คณ หารกนได แตสถตนสามารถน าไปใชวเคราะหขอมลของความถ รอยละ ฐานนยม เปนตน 2. มาตราเรยงล าดบ (ordinal or ranking sale) เปนการก าหนดตวเลขเพอจดประเภทและยงสามารถเรยงอนดบความมากนอยได แตบอกไมไดวามากนอยกวาเทาไร *** แตสามารถนบจ านวนรวมกนได สถตนใชในการวเคราะหขอมล ความถ รอยละ ฐานนยม มธยฐาน เปอรเซนไทล เปนตน 3. มาตราอนตรภาค (interval scale) เปนการก าหนดตวเลขทบอกล าดบทและชวงหางระหวางสงทวดไดวา หางกนอยมากนอยเพยงใด สถตนใชในการวเคราะหขอมล การวดนามบญญต และเรยงอนดบแลวยงสามารถหาคาเฉลย และสวนเบยงเบนมาตรฐานดวย 4. มาตราอตราสวน (ratio scale) ตวเลขทไดจากการวดในระดบน ถอวาวดไดละเอยดทสด เพราะเปนมาตราทมศนยแท สามารถบอกความแตกตางของสงทวดไดสามารถเปรยบเทยบความมากนอยของสงทวดไดวาตางกนอยเทาไร *** ตวเลขในระดบนสามารถน ามาบวก ลบ คณ หารกนได และสถตนใชวเคราะหขอมล ความถ รอยละ คาเฉลย มธยฐาน ฐานนยมและสวนเบยงเบนมาตรฐาน ระดบการวดเปนผลทไดจากการวดสงของตาง ๆ โดยใชมาตรการวดท เปนไปตามวตถประสงคของการวดนน ๆ เพอชใหเหนวาตวเลขทไดมหลายระดบ และการเลอกใชสถตแตกตางกน นอกจากนนตวเลขแตละระดบยงสามารถแปลงไปยงระดบทตาง ๆ กนได โดยเฉพาะการวดในระดบสงสามารถแปลงไปยงระดบทต ากวาได

การแจกแจงความถ เปนการน าเสนอขอมลทงหมดทรวบรวมไดใหอยในรปแบบทกะทดรด เพอใหเกดความสะดวกและเขาใจงายในการอานขอมล และเพอประโยชนในการวเคราะหขอมลตอไป โดยทวไปการสรางตารางแจกแจงความถขอมลจะแบงเปนตารางแจกแจงความถขอมลเชงคณภาพและตารางแจกแจงความถขอมลเชงปรมาณ 1. รปแบบของขอมล 1.1 ขอมลไมไดแจกแจงความถ คอ ขอมลดบทงหมด 1.2 ขอมลไดมการแจกแจงความถ คอ ขอมลทจดเปนกลมหรอจดเปนหมวดหม 2. ความถ (frequency) หมายถง จ านวนซ ากนของขอมลตวใดตวหนงหรอหมายถงขอมลทตกอยในกลมใดกลมหนง หรอชนใดชนหนงของตาราง 3. ความถสะสม (commutative frequency) ของชนใด ๆ คอ ผลรวมความถของชนทต ากวาตอเนองกนไป จนถงความถทตองการ ความถสะสมแบงออกไดเปน 2 แบบ ไดแก 3.1 ความถสะสมนอยกวา (less – than cumulative frequency) คอ ผลรวมความถของขอมลตงแตชนทมขอมลต าสดจนถงชนนน 3.2 ความถสะสมแบบมากวา (more – than cumulative frequency) คอ ผลรวมความถของขอมลตงแตชนทมขอมลสงสดจนถงชนนน 4. ชน (class) หมายถง จ านวนชนหรอจ านวนกลมของขอมลทถกจดในตารางแจกแจงความถ การก าหนดจ านวนชนของขอมลนนจะพจารณาจากลกษณะการกระจายของขอมลหรอรายละเอยดของขอมลทตองการน าเสนอ 5. ขดจ ากดชน (class limit) หมายถง ตวเลขทแสดงถงชวงหรอบอกใหทราบวามตวเลขอะไรบางทอยในชนหนง ๆ ซงประกอบดวย 5.1 ขดจ ากดลาง (low class limit) คอ ขอมลทต าสดในแตละชน 5.2 ขดจ ากดบน (upper class limit) คอ ขอมลทมคาทสดในแตละชน

ชน คะแนน ความถ 1 1-5 3 2 6-10 2 3 11-15 4 4 16-20 8 5 21-25 7

6. ขอบเขตชน (Class boundary) หมายถง ขดจ ากดชนทแทจรงของขอมล ซงจะเปนคาขยายขดจ ากดชน เพอท าใหขอบเขตในแตละชนตอเนองกน คาขอบเขตชนสามารถหาไดดงน

6.1 คาขอบเขตชนบน = 2

ไปางล าดบตอขดจ ากดล นของชนนขดจ ากดบน

6.2 คาขอบเขตชนลาง = 2

งมาองชนถดลขดจ ากดขข างของชนนขดจ ากดล

7. อนตรภาคชน (Class interval) หมายถง ชวงกวางของขอมลในแตละชน สามารถค านวณไดจาก C = คาขอบเขตของชนนน – คาขอบเขตชนลางของชนนน หรอ C = ผลตางของขดจ ากดชนบนของชนทอยถดไป หรอ C = ผลตางของขดจ ากดลางของชนทอยถดกน การสรางตารางแจกแจงความถขอมลเชงคณภาพ การสรางตารางแจกแจงความถของขอมลเชงคณภาพนน ดไดจากตวอยางตารางดงน ตาราง 7.1 ตวอยางตารางแสดงจ านวนและรอยละของกลมตวอยาง จ าแนกตามระดบ การประเมนภาวะคณภาพโดยรวม

ผลการประเมนภาวะสขภาพโดยรวม จ านวน (ราย) รอยละ

ดมาก 237 34.5 ปานกลาง 443 64.6 นอย 6 0.9 รวม 686 100.0

การสรางตารางแจกแจงความถขอมลเชงปรมาณ ในการสรางตารางแจกแจงความถของขอมลปรมาณ กลมของสงสนใจจะเปนคาสงเกต ซงเรยกวา อนตรภาคชน (Class interval) จะมการค านวณทเกยวของตาง ๆ ไดแก 1. พสย (range) เปนความแตกตางระหวางคาสงเกตสงสดและคาสงเกตต าสด 2. อนตรภาคชน (class interval) เปนความกวางของชนคะแนนของคาสงเกต 3. ขดจ ากดชน (class limit) เปนตวเลขเรมตนและลงทายของแตละอนตรภาคชนเลขทมคานอยกวาเรยกวา ขดจ ากดลาง (lower limit) และเลขทมคามากกวา เรยกวา ขดจ ากดบน (upper limit) 4. ขอบเขตชน (class boundary) เปนคาทแบงแยกอาณาเขตของแตละอนตรภาคชน หาไดโดยเฉลยขดจ ากดบนและขดจ ากดลางของชนทตดกน เรยกเลขทมคานอยกวาวาขอบเขตลาง

หรอขดจ ากดลางจรง (true lower limit) และเลขทมคามากกวาวา ขอบเขตบนหรอขดจ ากดบนจรง (true upper limit) 5. จดกงกลาง (mid point) เปนคาเฉลยของขอบเขตบน และขอบเขตลาง ใชเปนตวแทนของคาสงเกตตาง ๆ ในแตละอนตรภาคชน การแสดงจ านวนชดขอมลหรอความถของขอมลนน สามารถแสดงความถในรปของความถสะสม ความถสมพทธ และความถสะสมพทธ มลกษณะดงน 1. ความถสะสม เปนการรวบรวมความถจากอตราภาคชนทมคาสงเกตนอยไปยงชนทมคาสงเกตมาก 2. ความถสมพทธ เปนสดสวนของความถของอนตรภาคชน กบจ านวนคาสงเกต โดยทวไปนยมน าเสนอในรปรอยละ 3. ความถสะสมสมพทธ เปนการสะสมความถสมพทธ โดยมลกษณะเชนเดยวกนกบความถสะสม ตวอยาง คะแนนจากการสอบ วชา ชววทยา ของนกเรยน จ านวน 35 คน 10.6 9.9 12.6 15.2 12.3 11.7 12.3 12.5 11.8 12.4 10.2 11.3 9.4 11.4 11.0 11.6 12.2 13.4 9.9 9.8 10.6 9.2 15.3 10.9 9.0 11.0 8.6 12.5 11.6 12.6 16.7 7.7 10.9 10.1 8.7

ตาราง 7.2 ตวอยางตารางแสดงคาตาง ๆ ในตารางแจกแจงความถปรมาณ

น าหนกแรกเกด ขอบเขต คากงกลาง จ านวน รอยละ ความถ

สมพทธ สะสม สะสมสมพทธ

1,000 – 1,499 999.5 – 1,499.5 1,249.5 1 4.0 0.04 1 0.04 1,500 – 1,999 1,499.5 – 999.5 1,749.5 4 16.0 0.16 5 0.20 2,000 – 2,499 1,999.5 – 2,499.5 2,249.5 7 28.0 0.28 12 0.48 2,500 – 2,999 2,499.5 – 2,999.5 2,749.5 8 32.0 0.32 20 0.80 3,000 – 3,499 2,999.5 – 3,499.5 3,249.5 3 12.0 0.12 23 0.92 3,500 – 3,999 3,499.5 – 4,999.5 3,749.5 2 8.0 0.08 25 1.00

รวม 25 100.0 1.00

แผนภม กราฟ เปนการน าเสนอขอมลเชงคณภาพในรปแบบแผนภม กราฟ โดยทวไปนยมใชกราฟ วงกลม กราฟแทง สวนน าเสนอขอมลเชงปรมาณ นยมน าเสนอเปน ฮสโตแกรม รปหลายเหลยม ความถ กราฟแสดงความถสมพทธ ตวอยางการสรางแผนภม กราฟ ขอมลจากตารางทแสดงจ านวนและรอยละของกลมตวอยางจ าแนกตามระดบการประเมนภาวะสขภาพโดยรวม

0

100

200

300

400

500

Good Moderate Less

ภาวะสขภาพ

ความถ

ขอมลจากตารางแสดงระดบการประเมนภาวะสขภาพโดยรวมในผปวย 35 ราย

การแจกแจงความถ (Frequency distribution) แบงออกเปน 2 ชนด คอ 1. แบบไมจดหมวดหมขอมล (ungrouped data) วธนมล าดบขนตอนการท าดงน 1.1 เรยงคะแนนจากสงไปต า

1.2 ขดรอยคะแนนและนบรอยคะแนนใสตวเลขในชองความถ 2. แบบจดหมวดหมขอมล (grouped data) มวธท าดงน 2.1 หาพสย คอ ความแตกตางระหวางคะแนนสงสดกบคะแนนต า พสย = คะแนนสงสด – คะแนนต าสด 2.2 ก าหนดจ านวนชนคะแนนทตองการ 2.3 หาอนตรภาคชนจากสตร 2.4 เขยนขดจ ากดของคะแนน โดยขนตนดวยชนของคะแนนสงไปจนถงชนของคะแนนต า 2.5 ขดรอยคะแนนแลวนบจ านวนรอยขดใสในชองความถ การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง (measure of central tendency) ในการน าเสนอขอมลทงหมดขางตน ถามขอมลจ านวนมาก อาจท าใหผอานหรอผใชเขาใจไดยาก จงมการน าเสนอคาตวแทนของขอมล เพอใหเหนลกษณะของขอมลจากคาตวแทนของขอมลคาใดคาหนง คาตวแทนของขอมล หรอการวดแนวโนมเขาสสวนกลางทนยมใช ไดแก คาเฉลยเลขคณต (Arithmetic mean, X ) คามธยฐาน (median) และคาฐานนยม (Mode) 1. คาเฉลยเลขคณต (Arithmetic mean, X )

n

xX

i กรณขอมลไมไดแจกแจงความถ

n

xfX

ii กรณขอมลแจกแจงความถ

* กรณขอมลมการแจกแจงความถแบบจดกลม (อนตรภาคชน) ใหใชจดกงกลาง (mid point) เปนคา Xi คณสมบตของคาเฉลย 1) เปนตวแทนขอมล ทใชขอมลทกคามาท าการค านวณหาขนาดของคาเฉลย 2) เนองจากมการน าขอมลทกคามาค านวณตามหลกคณตศาสตร จงสามารถใชในการวเคราะหสถตชนสงได 3) เนองจากมการใชขอมลทกคามาค านวณ ดงนนหากมขอมลบางตวทมขนาดใหญมาก ๆ หรอเลกมาก ๆ ผดปกต จะมผลตอการค านวณขนาดของคาเฉลยดวย 4) ขอมลทมมาตรวดเปนนามบญญต (nominal scale) และเรยงอนดบ (ordinal scale) ไมสามารถใชค านวณคาเฉลยได 2. คามธยฐาน (median) คามธยฐานเปนคาทอยต าแหนงตรงกลางของขอมล เมอเรยงล าดบตามปรมาณขอมลทงหมด จากนอยไปมากหรอมากไปนอย

ขอมลเปนเลขท มธยฐาน = คาของขอมลล าดบท (n + 1)/2 ขอมลเปนเลขค มธยฐาน = [คาของขอมลล าดบท (n)/2 + คาของขอมลล าดบท (n+1)/2]/2 ตวอยางการค านวณคามธยฐาน จากขอมล คะแนนนกเรยน วชาชววทยา จ านวน 35 คน เมอน าขอมลมาเรยงล าดบจากนอยไปมาก จะไดเปน 7.7 8.6 8.7 9.0 9.2 9.4 9.8 9.9 9.9 10.1 10.2 10.2 10.6 10.9 10.9 11.0 11.0 11.3 11.4 11.6 11.6 11.7 11.8 12.2 12.3 12.3 12.4 12.5 12.5 12.6 12.6 13.4 15.2 15.3 16.7

ขอมลทอยตรงกลาง คอ ล าดบท (n+1)/2 = (35+1)/2 คอ ล าดบท 18 คามธยฐานของขอมลชดน คอ 11.3

คณสมบตของคามธยฐาน 1) มธยฐาน เปนการใชคาของขอมลทอยต าแหนงตรงกลางมาเปนตวแทน 2) มธยฐาน จะเปนคาตวแทนของขอมลไดใกลเคยงกบประชากรสวนใหญมากกวาคาเฉลย หากการแจกแจงขอมลเบไปในทางใดทางหนง 3) ขอมลทมมาตรวดเปนนามบญญต (nominal scale) ไมสามารถค านวณหาคามธยฐานได 4) กรณทมขอมลกระจกอยทต าทสดหรอสงสดมากเกนไป จะไมสามารถหาคามธยฐานได 3. ฐานนยม (Mode) ฐานนยม เปนคาทมความถสงสดในขอมลชดหนง ฐานนยมอาจมคาเดยวในชดขอมลนน หรออาจมหลายคาได กรณทมขอมลทความถสงสดเทากนหลายคา 7.7 8.6 8.7 9.0 9.2 9.4 9.8 9.9 9.9 10.1 10.2 10.2 10.6 10.9 10.9 11.0 11.0 11.3 11.4 11.6 11.6 11.7 11.8 12.2 12.3 12.3 12.4 12.5 12.5 12.6 12.6 13.4 15.2 15.3 16.7

หากพจารณาจากขอมลจรง จะพบวาขอมลทมความสงสดมอยมากกวา 1 รายการ คอ 9.9, 10.2, 10.9, 11.0, 11.6, 12.3, 12.5 และ 12.6 คณสมบตของฐานนยม 1) สามารถค านวณไดงายรวดเรว 2) ใชกบขอมลทมมาตรฐานวดนามบญญต (nominal scale) 3) ขอมลทมคามากหรอนอยผดปกต จะไมมผลกระทบตอคาฐานนยม จะขนกบลกษณะการกระจายของขอมล จดประสงคของการน าไปใชและมาตรวดของขอมลนน ๆ 4. คาเฉลย (mean) คาเฉลยมชอหลายชอ ไดแก คะแนนเฉลย ตวกลางเลขคณต มชฌมเลขคณตและคากลาง ซงหาไดโดยน าขอมลทกคามารวมกน แลวหารดวยจ านวนขอมลทงหมด จะมวธการหาแตละกรณดงน

ใชสตร n

xX

เมอ X แทน คาเฉลย x แทน ผลรวมของขอมล N แทน จ านวนขอมล ตวอยาง จงหาคาเฉลยของอายของนกเรยนดงน 15 16 17 19 14 16 15

แทนคาสตร 7

15161419171615 x

7

15161419171615 x

ดงนน อายเฉลยของนกเรยนกลมน คอ 16 คาเฉลย เปนคาทใชมากทสดโดยเฉพาะการวเคราะหทใชสถตอางอง การเขาใจคณสมบตของคาเฉลย จะเปนพนฐานในการศกษาสถตขนสง คณสมบตของคาเฉลย 1) ผลรวมของคาเบยงเบนของขอมลแตละตวจากคาเฉลยจะมคาเปนศนย 2) ถาบวกคาคงทเขากบขอมลแตละตวของขอมลชดหนง แลวคาเฉลยของขอมลชดใหมจะเทากบคาเฉลยของขอมลชดเดมบวกกบคาคงท 3) ถาเอาคาคงทไปลบขอมลแตละตวของขอมลชดหนง แลวคาเฉลยของขอมลชดใหมจะเทากบคาเฉลยของขอมลชดเดมลบดวยคาคงท 4) ถาเอาคาคงทคณกบขอมลแตละตวของขอมลชดหนงแลว คาเฉลยของขอมลชดใหมจะเทากบคาเฉลยของขอมลเดมคณกบคาคงทนน

5) ถาเอาคาคงทไปหารขอมลแตละตวของขอมลชดหนงแลว คาเฉลยของขอมลชดใหมจะเทากบคาเฉลยของขอมลชดเดมหารดวยคาคงทนน การเปรยบเทยบฐานนยม มธยฐาน และคาเฉลย สรปไดดงน 1. ในกรณทขอมลชดเดยวกน มคาเฉลย = คามธยฐาน = คาฐานนยม จะมการแจกแจงเปนปกต 2. ในกรณ คาเฉลย < มธยฐาน < ฐานนยม จะมการแจกแจงเบซาย 3. ในกรณฐานนยม < มธยฐาน < คาเฉลย จะมการแจกแจงเบขวา 4. กรณมขอมลมาก ๆ ตองการหาคากลางอยางรวดเรว ควรใชฐานนยม แตถาขอมลมความผดปกตหรอแตกตางกนมากควรใชคามธยฐาน 5. ในกรณขอมลมการแจกแจงเปนรปโคงเบ ควรน าเสนอคากลางทกคาดกวาเลอกใชเพยงคาเดยว การวดการกระจายขอมล การกระจายขอมลเปนคณลกษณะอยางหนงทใชวดความแตกตางของคาของขอมลทงหมดขอมลทมการกระจายนอย สวนขอมลทมการกระจายมากแสดงวาขอมลเกาะกลมไมด มคาแตกตางกนมาก เพอใหมองเหนภาพของขอมลไดชดเจน จงควรศกษาการวดแนวโนมเขาสสวนกลางควบคไปกบการวดการกระจายขอมล วธวดการกระจาย มทงหมด 4 วธ ไดแก พสย สวนเบยงเบนควอรไตล สวนเบยงเบนเฉลยและสวนเบยงเบนมาตรฐาน 1. พสย (range) เปนความแตกตางระหวางขอมลทมคาสงสดกบขอมลทมคาต าสด

พสย = คาสงสด – คาต าสด ตวอยาง

ขอมลชดท 1 10 20 30 40 50 ขอมลชดท 2 10 15 18 20 50

ตอบ พสย เทากบ 50 – 10 = 40 2. สวนเบยงเบนเฉลย (Mean deviation : MD) เปนคาเฉลยความแตกตางระหวางขอมลทกตวกบคาเฉลย

n

xxfMD

ii

สวนเบยงเบนเฉลย คอ ผลเฉลยของความเบยงเบนของคะแนนแตละตวจากคาเฉลยของขอมลชดเดยวกนมสตร คอ กรณทขอมลไมมการแจกแจงความถ

N

xxDA

..

เมอ A.D แทน สวนเบยงเบนเฉลย x แทน คาเฉลย x แทน ขอมลแตละขอ N แทน จ านวนขอมลทงหมด 3. สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard deviation : S.D.) เปนรากท 2 ของคาเฉลยของก าลงสองของผลตางระหวางขอมลทกตวกบคาเฉลยสวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร

n

xi

2)(

หรอ

2

2

n

xi

และเรยกก าลงสองของสวนเบยงเบนมาตรฐานวา ความแปรปรวน (Variance) สญลกษณเปน 2 หรอ 2S.D. การวดการกระจายสมพทธ การวดลกษณะนใชในการเปรยบเทยบการกระจายของขอมลหลายชด เนองจากขอมลทตางชดกนอาจมธรรมชาตทแตกตางกน ดงนนในการเปรยบเทยบการกระจายจงไมสามารถใชการวดการกระจายมาเปรยบเทยบกนได จะตองใชการกระจายสมพทธ ไดแก สมประสทธพสย สมประสทธสวนเบยงเบนควอรไทล สมประสทธสวนเบยงเบนเฉลย และสมประสทธสวนเบยงเบนมาตรฐาน ซงรายละเอยดมดงน 1. สมประสทธพสย (Coefficient of range, Coef.R) สมประสทธพสย = [คาสงสด – คาต าสด] / [คาสงสด + คาต าสด] 2. สมประสทธสวนเบยงเบนควอรไตล (Coefficient of quartile deviation, Coef.QD) 3. สมประสทธสวนเบยงเบนเฉลย (Coefficient of mean deviation, Coef.MD)

Coef.MD = MD / x

4. สมประสทธสวนเบยงเบนมาตรฐาน (Coefficient of mean deviation, Coef.S) Coef.S = S / x

เปนการศกษาขอมลดวยโคงความถของขอมล คาทใชในการวดการแจกแจงขอมลแบงเปน ความเบของขอมล (skewness) และความโดงของขอมล (kurtosis) โคงปกต (normal curve) เปนการแจกแจงความถของขอมลตอเนอง โดยเมอน าเสนอในรปโคงความถ จะไดโคงสามาตรมลกษณะเปนรประฆงคว า คาสมประสทธความเบ

< 0 0 > 0 เบซาย สมมาตร เบขวา ความโดงของขอมล เปนลกษณะความสงของโคงความถ จ าแนกไดเปน 3 แบบ คอ 1. โดงปกต (msokurtic) เปนลกษณะความสงของโคงสมมาตรทมความสงในระดบปานกลาง มคาสมประสทธความโดง = 0.263 2. โดงสง (leptokurtic) ความสงของโคงอยในระดบสง มคาสมประสทธความโดง > 0.263 3. โดงต า (platykurtic) ความสงของโคงอยในระดบต า มคาสมประสทธความโดง > 0.263 การก าหนดต าแหนงของขอมล นอกจากการศกษาการวดแนวโนมเขาสสวนกลาง ซงเปนคณลกษณะอยางหนงของขอมลแลว ยงอาจศกษาลกษณะเฉพาะเจาะจงของคาของขอมลบางคาได เราเรยกวาการก าหนดต าแหนงของขอมล โดยทวไปม 3 แบบ คอ การก าหนดต าแหนงของขอมลเปน ควอรไทล (quartile) เดไซล (decile) และเปอรเซนตไทล (percentile) ซงมรายละเอยดดงน 1. ควอไทล (Quartile) เปนการแบงขอมลออกเปน 4 สวนเทา ๆ กน เมอเรยงขอมลตามคาของขอมลแลว เรยกคาของขอมลทตรงกบจดแบงขอมลดงกลาววา ควอรไทลท 1, 2 และ 3

- กรณทขอมลไมไดแจกแจงความถ ขอมลในต าแหนงควอรไทลท r (Qr) จะอยในต าแหนงท r (n+1) / 4

- กรณทขอมลแจกแจงความถ

ขอมลในต าแหนงควอรไตลท r (Qr) จะอยในต าแหนงท r n / 4 2. เดไซล (Decile) เปนการแบงขอมลออกเปน 10 สวนเทา ๆ กน เมอเรยงขอมลตามคาของขอมลแลวเรยกวาของขอมลทตรงกบจดแบงขอมลดงกลาววา เดไซลท 1, 2, 3, ... , 9

- กรณทขอมลไมไดแจกแจงความถ ขอมลในต าแหนงเดไซลท r (Dr) จะอยในต าแหนงท r(n+1) / 10

- กรณทขอมลแจกแจงความถ ขอมลในต าแหนงเดไซลท r (Dr) จะอยในต าแหนงท rn / 10

3. เปอรเซนไทล (Percentile) เปนการแบงขอมลออกเปน 100 สวนเทา ๆ กน เมอเรยงขอมลตามคาของขอมลแลวเรยกคาของขอมลทตรงกบจดแบงขอมลดงกลาววา เปอรเซนไตล ท 1, 2, 3, ... , 99

- กรณทขอมลไมไดแจกแจงความถ ขอมลในต าแหนงเปอรเซนไตล ท r (Qr) จะอยในต าแหนงท r(n+1) / 100

- กรณทขอมลแจกแจงความถ ขอมลในต าแหนงเปอรเซนไตล ท r(Qr) จะอยในต าแหนงท rn / 10

การค านวณหาคาของขอมลต าแหนงท r ของควอรไตล เดไซล และเปอรเซนไตล กรณทขอมลแจกแจงความถใหใชสตรการค านวณ ดงน

f

fLrn

ILQr4

f

fLrn

ILDr10

f

fLrn

ILPr100

โดย L แทน ขอบเขตลางของชนทขอมลอย I แทนความกวางของชน n แทน จ านวนขอมลทงหมด f แทนความถของชนทขอมลอย Lf แทน แทนความถของชนทมคาสงเกตต ากวาชนทขอมลอย ตวอยางการค านวณ จากขอมลคะแนนนกเรยน จ านวน 35 คน เมอน าขอมลมาเรยงล าดบจากนอยไปมาก จะไดเหน

7.7 8.6 8.7 9.0 9.2 9.4 9.8 9.9 9.9 10.1 10.2 10.2 10.6 10.9 10.9 11.0 11.0 11.3 11.4 11.6 11.6 11.7 11.8 12.2 12.3 12.3 12.4 12.5 12.5 12.6 12.6 13.4 15.2 15.3 16.7

หา 1Q เปนขอมลต าแหนงท r(n+1)/4 = 1(35+1)/4 = 9 ดงนน ขอมลต าแหนงท Q1 คอ 9.9 หา 7D เปนขอมลต าแหนงท r(n+1)/4 = 7(35+1)/10 = 25.2 เนองจากขอมลต าแหนงท 25 คอ 12.3 ดงนน ขอมลต าแหนง 7D คอ 12.3 หา 90P เปนขอมลต าแหนงท r(n+1)/100 = 90(35+1)/100 = 32.4 เนองจากไมมขอมลต าแหนงท 32.4 และขอมลต าแหนงท 32 คอ 13.4 กบต าแหนงท 33 คอ 15.2 มคาไมเทากน การหาขอมลต าแหนงท 32.4 จะตองใชการเทยบบญญตไตรยางศดงน ต าแหนงตางกน 33-32 = 1 คาของขอมลตางกน 15.2 – 13.4 = 1.8 ต าแหนงตางกน 0.4 คาของขอมลตางกน (1.8 x 0.4) / 1 = 0.72 ดงนน ขอมลต าแหนง 90P เทากบ 13.4 + 0.72 = 14.12 คะแนนมาตรฐาน คะแนนดบเปนคะแนนทไดจากการสอบ หรอการท ากจกรรมใด ๆ ซงเปนคะแนนทบงถงปรมาณทท าไดจากทงหมดของผเรยน ไมสามารถตความหมายไดแนชดวามสภาพการเรยนรมากนอยเพยงไร จงไมสามารถน ามาเปรยบเทยบหรอค านวณได คะแนนมาตรฐาน (standard sore) เปนคาคะแนนทไดจากการแปลงขอมลทมหนวยวด เชน นาท เมตร กโลกรม ฯลฯ ใหเปนคาคะแนนทมคณสมบต คอไมมหนวยวด ทงนเพอใหสามารถน าขอมลทมหนวยวดทแตกตางกนมาเปรยบเทยบกนได เชน คะแนนทแปลงคาแลว (derived score) ไดแก คะแนนรอยละ คะแนนอนดบท คะแนนมาตรฐาน คะแนนซ (Z-Score) ลกษณะการกระจายของคะแนนซ

หาไดจากสตร S

xxZ i

i

เมอ iZ แทน คะแนนซ ix แทน คะแนนดบ x แทน คาเฉลย S แทน สวนเบยงเบนมาตรฐาน ตวอยาง ศกษาความวตกกงวลของนกศกษาระดบบณฑตศกษาในสาขาหนง จ านวน 50 คน โดยใชแบบประเมนความวตกกงวล แบบวดดงกลาวม 2 สวน สวนท 1 คะแนนเตม 50 คะแนน สวนท 2 คะแนนเตม 80 คะแนน ผลการวดคะแนนเปนดงน สวนท 1 คะแนนเตม 50 คะแนน คาเฉลย 30 สวนเบยงเบนมาตรฐาน 5 สวนท 2 คะแนนเตม 80 คะแนน คาเฉลย 54 สวนเบยงเบนมาตรฐาน 9 นาย ก. ไดคะแนนแบบวดสวนท 1 เทากบ 40 คะแนน และสวนท 2 เทากบ 65 คะแนน อยากทราบวา นาย ก. มความวตกกงวลในสวนใดสงกวากน

จาก S

xxZ i

i

สวนท 1 Z = [40-30]/5 = 2.0 สวนท 2 Z = [65-54]/9 = 1.22 แสดงวา นาย ก. มความวตกกงวลในสวนท 1 สงกวาสวนท 2 คะแนนท (Linear T – Score) ลกษณะการกระจายของคะแนนท หาไดจากสตร T = 10Z + 50 นนคอตองหาคา Z กอน แลวจงไดคาคะแนน T (ทงนเพอแกปญหาในการตความคะแนน Z ซงบางสวนมคะแนนนอยกวา 10 จงเปนคาตดลบ) คะแนนท – ปกต (Normalized T – Score) เปนคะแนนมาตรฐานเชนเดยวกบคะแนนท แตท-ปกตน จะมการแจกแจงเปนโคงปกต ซงปกตคะแนนดบทเราไดมานนมกจะไมเปนโคงปกตถาหากเราแปลงเปนคะแนนท โดยใชสตร T = 10Z + 50 การแจกแจงของคะแนนกยงเปนรปเดม การกระจายสตปญญาของมนษยนน ควรจะเปนโคงปกต แตทไมเปนเนองมาจากขอสอบ หรอเครองมอวดของคณภาพไมดพอ ดงนนจงท าการปรบคะแนนใหเปนโคงปกตเสย โดยการคดเปนคะแนนท – ปกต (T-Score)

คะแนนมาตรฐาน (standard score) หรอ Z – score มคาเฉลย = 0, สวนเบยงเบนมาตรฐาน S.D. = 1

คะแนนท (Linear T-Score) มคาเฉลย = 50, สวนเบยงเบนมาตรฐาน S.D. = 10

ความหมายของคะแนนท – ปกต ใครได T30 หมายความวา คะแนนสงกวาเพอนประมาณ 2 ใน 100 คน ใครได T40 หมายความวา คะแนนสงกวาเพอนประมาณ 16 ใน 100 คน ใครได T50 หมายความวา คะแนนสงกวาเพอนประมาณ 50 ใน 100 คน ใครได T60 หมายความวา คะแนนสงกวาเพอนประมาณ 84 ใน 100 คน ใครได T70 หมายความวา คะแนนสงกวาเพอนประมาณ 89 ใน 100 คน ล าพงคะแนนดบเราไมสามารถหาความหมายอะไรไดเลย เพราะไมไดน าไปเปรยบเทยบกบอะไร

เอกสารอางอง กลยา วานชยบญชา. (2536). หลกสถต. จฬาลงกรณมหาวทยาลย. กรงเทพฯ : ส านกพมพ

จฬาลงกรณ. กลยา วานชยบญชา. (2536). การวเคราะหสถต. จฬาลงกรณมหาวทยาลย. กรงเทพฯ : ส านกพมพ

จฬาลงกรณ. ดวงใจ วสกล และคณะ (2533). สถตธรกจ. จฬาลงกรณมหาวทยาลย. พมพครงท 3. บญชม ศรสะอาด. วธการทางสถตส าหรบการวจย. มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒมหาสารคาม.

พมพครงท 2. 2538

แบบฝกหด 1.ขอใด ไมได จดอยในระเบยบวธการทางสถต ก. การเกบรวบรวมขอมล ข. การน าเสนอขอมล ค. การน าไปใช ง. การแปลความหมาย 2. เราสามารถจ าแนกเปนสถตศาสตรทสอดคลองกบขนตอนตางๆไดมลกษณะอะไรบาง ก. 2 ลกษณะ คอ สถตบรรยาย และ สถตเชงพรรณนา ข. 2 ลกษณะคอ สถตอางอง และสถตเชงอนมาน ค. 2 ลกษณะ คอ สถตอางอง และสถต เชง บรรยาย ง. ถกทกขอ 3. การวดเปนการก าหนดตวเลขหรอสญลกษณ ใหกบคน สงของตามกฎเกณฑทก าหนดขนกฎเกณฑทตงขนนเรยกวา ก. มาตรานามบญญต ข. มาตราเรยงล าดบ ค. มาตราอนตรภาค ง. มาตราอตราสวน 4. มาตรการวดในระดบใด มความระเอยดมากทสด ก. มาตราอนตรภาค ข. มาตราเรยงล าดบ ค. มาตราอตราสวน ง. มาตรานามบญญต 5. ความถ (frequency) หมายถง ก. ผลรวมความถของชนทต ากวาตอเนองกนไปจนถงความถทตองการ ข. จ านวนซ ากนของตวใดตวหนง ค. ขอมลชนทมขอมลต าสด ง. ขอมลชนทมขอมลสงสด 6.การแสดงชดขอมลหรอความถขอมลนน สามารถแสดงความถในรปแบบของความถ

ใดบาง ก. ความถสระสม ข. ความถสมพทธ ค. ความถสะสมสมพทธ ง. ถกทกขอ 7. การจดขอมลใหอยในรปแบบกราฟ แผนภม และตาราง จดอยในระเบยบวธในขอใดทางสถต ก. การน าเสนอขอมล ข. การเกบรวบรวมขอมล ค. การน าขอมลไปใช ง. การวเคราะหขอมล 8. ขอใดจดเปนการวดแนวโนมเขาสสวนกลาง ก. คาฐานนยม ข. พสย ค. สวนเบยงเบนเฉลย ง. สวนเบยงเบนมาตรฐาน 9. คณสมบตของคาเฉลย คออะไร ก. ผลรวมของคาเบยงเบนของขอมลแตละตวจากคาเฉลยจะมคาเปนศนย ข. ถาบวกคาคงทเขากบขอมลแตละตวของขอมลชดหนง แลวคาเฉลยของขอมลชดใหมจะเทากบคาเฉลยของขอมลชดเดมบวกกบคาคงท ค. ถาเอาคาคงทไปลบขอมลแตละตวของขอมลชดหนง แลวคาเฉลยของขอมลชดใหมจะเทากบคาเฉลยของขอมลชดเดมลบดวยคาคงท ง. ถกทกขอ 10. เราเรยกการก าหนดต าแหนงขอมลโดยทวไปม 3 แบบขอใด ไมใช ก. ควอรไทล ข. การแจกแจงความถ ค. เดไซล ง. เปอรเซนไทล

เฉลยแบบฝกหด 1.) ค. การน าไปใช 2.) ง. ถกทกขอ 3.) ก. มาตรานามบญญต 4.) ค. มาตราอตราสวน 5.) ข. จ านวนซ ากนของตวใดตวหนง 6.) ง. ถกทกขอ 7.) ก. การน าเสนอขอมล 8.) ก. คาฐานนยม 9.) ง. ถกทกขอ 10.) ข. การแจกแจงความถ