เอกสารประกอบการบรรยาย...

เอกสารประกอบการบรรยาย

คณตศาสตรเสรม หลกสตร EP ◙ โรงเรยนสตรศกษา จงหวดรอยเอด

◙ ภาควชาคณตศาสตร

มหาวทยาลยขอนแกน

อ.วฒนา เถาวทพย

9 ◙ สอบเขา ม. 4

( Calculus )

แคลคลส

◙ สรปเนอหา Calculus ◙ ระดบ ม.ปลาย

คณตศาสตรเสรม หลกสตร EP โรงเรยนสตรศกษา จงหวดรอยเอด ระดบมธยมศกษาปท 5 หนา 1

เรอง แคลคลส ( Calculus) ดร.วฒนา เถาวทพย ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน

แคลคลส ( Calculus)

◙ สรปเนอหา

1. ลมต และ ความตอเนองของฟงกชน ( Limit and Continuity of functions) ●ลมต (Limit) ให ( )f x เปนฟงกชนคาจรงใดๆ เราตองการพจารณาวา ถา x เขาใกลจ านวนจรง a ทงทางซาย และ ทางขวา แลว ( )f x จะ เขาใกล จ านวนจรง L เพยงคาเดยวหรอไม

สญลกษณ: x เขาใกล a เขยนแทนดวย x a x เขาใกล a ทางซาย เขยนแทนดวย x a x เขาใกล a ทางขวา เขยนแทนดวย x a “ ถา x เขาใกลจ านวนจรง a ทงทางซาย และ ทางขวา แลว ( )f x จะ เขาใกล จ านวนจรง L เพยงคาเดยว “ เขยนแทนดวย lim ( )

x af x L

จากความหมายของลมตดงกลาว เราสามารถเขยนนยามของลมตใหชดเจนไดดงน บทนยาม: ก าหนดให f เปนฟงกชนคาจรงใดๆ จะกลาววา lim ( )

x af x L

กตอเมอ ก าหนด 0 ใดๆ จะม 0 ซงมสมบตวา ถา 0 x a แลว ท าให ( )f x L

Note

Many of the ideas of calculus originated with the following two geometric problems:

1. The Tangent Line Problem:

2. The Area Problem: ………………… Limit is the fundamental concept of Calculus.

9



การตรวจสอบลมต : โดยทวไปลมตของฟงกชน อาจจะมหรอไมมกได จะตองมการตรวจสอบตามเงอนไขตอไปน lim ( )

x af x L

กตอเมอ lim ( )

x af x L

และ lim ( )

x af x L

Ex.1 จงหาลมตของฟงกชนตอไปน (1)

5lim ( )x

f x

เมอ 2( ) 3 10f x x x

(2) 1

lim ( )x

f x

เมอ 2, 1

( )1, 1

x xf x

x

(3) 1

lim ( )x

f x

เมอ 2, 1

( )3, 1

x xf x

x

(4) 0

lim ( )x

f x

เมอ ( )x

f xx

(5) 5

lim ( )x

f x

เมอ 2 3 10

( )5

x xf x

x

ทฤษฏบทเกยวกบการหาลมตของฟงกชน ก าหนดให , ,a L M เปนจ านวนจรงใดๆ ,f g เปนฟงกชนทมโดเมน และ เรนจเปนสบเซตของจ านวนจรง โดยท lim ( )

x af x L

และ lim ( )

x ag x M

จะไดวา (1) lim

x ac c

เมอ c เปนคาคงตวใดๆ

(2) limx a

x a

(3) lim n n

x ax a

เมอ n I

(4) lim ( ) lim ( )x a x a

cf x c f x cL

เมอ c เปนคาคงตวใดๆ

(5) lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x g x f x g x L M

(6) lim[ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x g x f x g x L M

(7) lim[ ( ). ( )] lim ( ).lim ( ) .x a x a x a

f x g x f x g x L M

(8) lim ( )( )

lim( ) lim ( )

x a

x a

x a

f xf x L

g x g x M

เมอ 0M

(9) lim ( ) lim ( ) nn nx a x a

f x f x L

เมอ n L R

Note



Ex.2 จงหาลมตของฟงกชนตอไปน (1) 2

2lim(5 4 3)x

x x

(2) 2

3

2 15lim

3x

x x

x

(3) 2

3

2 15lim

3x

x x

x

(4) 0

4 2limx

x

x

(5) 2

3

2 15lim

3x

x x

x

เทคนคในการการหาลมตของฟงกชน การหา lim ( )

x af x

พจารณาจาก คาของ ( )f a ตามกรณตางๆดงน

(1) ถา ( )f a L และ L เปนจ านวนจรง แลว lim ( )x a

f x L

(2) ถา ( )f a อยในรป 0

C เมอ 0C แลว lim ( ) 0

x af x


C เมอ 0C แลว lim ( )x a

f x

หาคาไมได


0 แลว lim ( )

x af x

อาจหาคาได โดยอาศยเทคนค

ดงตอไปน 1) การแยกตวประกอบ (Factor) 2) การใชสงยค (Conjugate) คณทงเศษและสวน 3) การคณดวยตวประกอบ 4) การใชกฎ L’Hospital Rule 5) การใช Real Analysis ในระดบอดมศกษา Ex.3 จงหาลมตของฟงกชนตอไปน

(1) 2

4lim

2x

x

x

(2) 2

2lim

2x

x

x

(3) 2

2lim

2x

x

x

(4) 2

2

4lim

2x

x

x

(5) 2

2

2 10lim

2x

x x

x

Note



(6) 1

3 2lim

1x

x

x

(7) 3

0

1 1limx

x

x

(8) 0

sinlimx

x

x

(9) ถา 3( )f x x จงหา 0

( ) ( )limh

f x h f x

h

(10) ถา ( )f x x จงหา 0

( ) ( )limh

f x h f x

h

●ความตอเนอง (Continuity) ถาพจารณาในเชงกราฟ เราจะกลาววา ฟงกชน ( )f x จะตอเนองบนชวงหนง กตอเมอ กราฟของฟงกชนไมขาดตอนในชวงนน และเราสามารถก าหนดนยามการตอเนองของฟงกชนในเชงลมต ดงน บทนยาม: ก าหนดให a เปนจ านวนจรงใด f เปนฟงกชนตอเนองท x a กตอเมอ lim ( ) ( )

x af x f a

จากบทนยามดงกลาวสามารถตรวจสอบความตอเนองของฟงกชนไดดงน การตรวจสอบความตอเนองของฟงกชน : ม 3 ขนตอน 1) หาคา ( )f a ( ถาไมม แสดงวาไมตอเนองท x a ) 2) หาคา lim ( )

x af x

( ถาไมม แสดงวาไมตอเนองท x a )

3) พจารณาวา lim ( ) ( )x a

f x f a

หรอไม

Ex.4 จงตรวจสอบความตอเนองของฟงกชนตอไปนทจดทก าหนด

(1) 2 2, 0

( )2, 0

x xf x

x

ทจด 0x

(2)

2 4, 2

( ) 2

2, 2

xx

f x x

x

ทจด 2x

(3)

2 9, 3

( ) 3

5, 3

xx

f x x

x

ทจด 3x

Note



2 . อนพนธของฟงกชน (Derivative of functions) โดยทวไป ถา ( )f x เปนฟงกชนทไมคงตว ถา x เปลยนไป แลวจะท าให ( )f x เปลยนแปลงตามไปดวย และเราสามารถหาอตราการเปลยนแปลงไดดงน ●อตราการเปลยนแปลง (Rate of Change) ก าหนดให ( )f x เปนฟงกชนคาจรง อตราการเปลยนแปลงเฉลย ของ f

เทยบกบ x ในชวงจาก x ถง x h คอ ( ) ( )f x h f x

h

ขอสงเกต ความหมายทางเรขาคณตของ ( ) ( )f x h f x

h

คอความ

ชนของเสนตรงทผานจด ( , ( ))x f x กบจด ( , ( ))x h f x h ●อนพนธของฟงกชน (Derivative of function)

ก าหนดให ( )f x เปนฟงกชนคาจรง อนพนธของ f เทยบกบ x ทจด x

ใดๆ เขยนแทนดวย dy

dx หรอ ( )f x

โดยท 0

( ) ( )( ) lim

h

dy f x h f xf x

dx h

Note



ขอสงเกต

(1) ถา 0

( ) ( )limh

f x h f x

h

หาคาไมได เราจะกลาววา ฟงกชน f

ไมมอนพนธทจด x

(2) ความหมายทางเรขาคณตของ dy

dx หรอ ( )f x คอความชนของ

เสนสมผสกราฟของ ( )y f x ทจด x ●การอนพนธของฟงกชน โดยใชนยาม ในเบองตนเราจะตองสามารถหาอนพนธของฟงกชนโดยใชนยามใหได จากนนเราจงจะใชนยามดงกลาวเพอหาสตร หรอ กฎในการหาอนพนธตอไป

Ex.5 จงอนพนธของฟงกชนตอไปนโดยใชนยามของอนพนธของฟงกชน (1) ( ) 3f x (2) ( )f x x (3) 2( ) 3 4f x x x (4) ก าหนด 3( )f x x จงหา (4)f และ ( 4)f (5) ( )f x x (6) ก าหนด ( )f x x จงหา (0)f (2)f และ ( 3)f ● สตร หรอ กฎ ในการหาอนพนธของฟงกชน สตร หรอ กฎ ตอไปนสามารถหาไดโดยใชนยาม ก าหนดให ,c n เปนคาคงตว ( )u f x และ ( )v g x จะไดวา

สตรท 1 0dc

dx

สตรท 2 1dx

dx

สตรท 3 ( )d cxc

dx

สตรท 4 1n

ndxnx

dx

สตรท 5 ( ).

d cu duc

dx dx

สตรท 6 ( )d u v du dv

dx dx dx

สตรท 7 ( )d uv dv duu v

dx dx dx

สตรท 8 2

( )

( )

u du dvd v u

v dx dx

dx v

Note



Ex.6 จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปนทจด x ใดๆ (1) 3 2( ) 3 4 5f x x x x (2) 3( )f x x x

(3) 3

4( ) 2f x x (4) 2( ) (4 3)(2 1)f x x x

(5) 24 3

( )2 1

xf x

x

(6) ( )f x x (7) 2( ) 4f x x

(8) 2( ) 4f x x

● อนพนธอนดบสง (Higher Order Derivative) ก าหนดให ( )y f x เปนฟงกชนใดๆทหาอนพนธได

จะเรยก ( )dy

y f xdx

วา อนพนธอนดบหนง

2

2( )

d yy f x

dx วา อนพนธอนดบสอง

3

3( )

d yy f x

dx วา อนพนธอนดบสาม

.................................................................................

( ) ( ) ( )n

n n

n

d yy f x

dx วา อนพนธอนดบ n

Ex.7 จงตรวจสอบความตอเนองของฟงกชนตอไปนทจดทก าหนด (1) ก าหนด 2( ) 3f x x จงหา ( )f x และ ( )f x (2) ก าหนด 5 2( ) 3 4f x x x จงหา ( )f x และ (10) ( )f x

(3) ก าหนด 4 2( ) 3 2 5f x x x x จงหา 5

5

d y

dx

Note



● กฎลกโซ (Chain Rule) ส าหรบการหาอนพนธ ถา ( )y f u และ ( )u g x จะเหนวา y เปนฟงกชนประกอบ

(Composite function) โดยท ( ( ))y f g x จะไดวา .dy dy du

dx du dx

เรยกการหาอนพนธของฟงกชนประกอบวา กฎลกโซ (Chain Rule)

Ex.8 จงตรวจสอบความตอเนองของฟงกชนตอไปนทจดทก าหนด (1) 2

2lim(5 4 3)x

x x

(2) 2

2lim(5 4 3)x

x x

(3) 2

2lim(5 4 3)x

x x

(4) 2

2lim(5 4 3)x

x x

● อนพนธของฟงกชนโดยแฝง (Implicit Function)

( )y f x เรยกวา ฟงกชนเดนขด ( Explicit Function )

( , ) 0F x y โดยท ( )y f x เรยกวา ฟงกชนแฝง ( Implicit Function ) เราสามารถหาอนพนธของฟงกชนแฝงไดโดยตรงจากกฎลกโซ ดงตวอยาง Ex.9 จงตรวจสอบความตอเนองของฟงกชนตอไปนทจดทก าหนด (1) 2

2lim(5 4 3)x

x x

(2) 2

2lim(5 4 3)x

x x

(3) 2

2lim(5 4 3)x

x x

(4) 2

2lim(5 4 3)x

x x

● ความชน และ เสนสมผสเสนโคง (Slope and Tangent Line)

จากบทนยามของอนพนธของฟงกชน จะเหนวา ความหมายทาง

เรขาคณตของ dy

dx หรอ ( )f x คอความชนของเสนสมผสกราฟของ

( )y f x ทจด x



ดงนนเราสามารถหาสมการของเสนสมผสเสนโคงของ ฟงกชนไดโดยใชอนพนธของฟงกชน ดงตวอยางตอไปน Ex.9 จงตรวจสอบความตอเนองของฟงกชนตอไปนทจดทก าหนด (1) 2

2lim(5 4 3)x

x x

(2) 2

2lim(5 4 3)x

x x

(3) 2

2lim(5 4 3)x

x x

(4) 2

2lim(5 4 3)x

x x

● ความเรว และ ความเรง (Velocity and Acceleration)

ก าหนดให ( )s f t เปนฟงกชนในรปของ สมการการเคลอนท ความหมายทางฟสกส ของอนพนธฟงกชน คอความเรว และ ความหมายของอนพนธอนดบสอง คอ ความเรง ดงน:

dsv

dt หมายถง ความเรว ขณะเวลา t ใดๆ

2

2

dv d sa

dt dt หมายถง ความเรง ขณะเวลา t ใดๆ

Ex.10 จงตรวจสอบความตอเนองของฟงกชนตอไปนทจดทก าหนด (1) 2

2lim(5 4 3)x

x x

(2) 2

2lim(5 4 3)x

x x

(3) 2

2lim(5 4 3)x

x x

(4) 2

2lim(5 4 3)x

x x

● การประยกตอนพนธเพอหาคาสงสด หรอ คาต าสดของฟ งกชน



3. การอนทเกรต (Integrations) ในหวขอนจะกลาวถง ความสมพนธระหวางการหาอนพนธ และ การ

ด าเนนการทตรงขามกบการหาอนพนธ ซงเรยกวาการอนทเกรต และทฤษฎบททมชอเสยงอนหนงกคอ ทฤษฎบททแสดงถงความสมพนธของการด าเนนการทงสองซงเรยกวา ทฤษฎบท หลกมลของแคลคลส (the fundamental theorem of calculus) พจารณาความสมพนธของอนพนธ (Derivative) ปฏยานพนธ (Anti-derivative) ■ เรยกการด าเนนการทตรงขามกบการหาอนพนธวา ปฏยานพนธ (Anti-derivative) อนทกรลไมจ ากดเขต (Indefinite Integral) ปฏยานพนธของ f ทงหมด เรยกวา อนทกรลไมจ ากดเขต (indefinite integral) ของ f เทยบกบ x และเขยนแทนดวย ( )f x dx

■ นนคอ ถา ( ) ( )F x f x แลว ( ) ( )f x dx F x C

ตวอยางเชน

1) 2x dx

2) 2x dx

3) 3x dx

■ สตรการหาอนทกรลไมจ ากดเขต

Indefinite Integral Reversed Derivative formula

1) 1du du u C

2) 1

, 11

nn u

u du C nn

( )f x ( )f x

Derivative

Anti derivative



Ex.1 6x dx

Ex.2 5(3 4)x dx

Ex.3 2 4( 3)x x dx

■ กฎของอนทกรลไมจ ากดเขต (Rules for Indefinite Integral) 1) Constant Multiple Rule: ( ) ( )kf x dx k f x dx

2) Rules for Negatives: ( ) ( )f x dx f x dx

3) Sum and Difference Rule: ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

Ex1. 3 2(2 3 5 6)x x x dx

Ex2. 2 4x x dx

Ex3. 2( 3)x x dx

Ex4. 2 3( 4)x x dx

Ex5. 3 4 5x x dx

อนทกรลจ ากดเขต (Definite Integral) ■ เครองหมายซกมา (Sigma Notation)

1 2

1

...n

k n

k

a a a a

.

Example 5

1

2k

k

4

1 1k

k

k

■ ผลบวกจ ากด (Finite Sum) สตรการหาผลบวกทมชอเสยงสตรหนง ซงคนพบโดย Gauss ตอนทเขามอายเพยง 5 ขวบ คอการหาผลบวกของจ านวนเตมบวก n จ านวนแรก และในตอนหลงกมการคนพบสตรการหาผลบวกของก าลงสอง และ ก าลงสาม ของจ านวนเตมบวก n จ านวนแรก ดงตอไปน

1

( 1)1 2 3 ...

2

n

k

n nk n

2 2 2 2 2

1

( 1)(2 1)1 2 3 ...

6

n

k

n n nk n



2

3 3 3 3 3

1

( 1)1 2 3 ...

2

n

k

n nk n

Example 4

2

1

( 3 2)k

k k

■ ผลบวกรมนน (Riemann Sum ) ให ( )y f x เปนฟงกชนตอเนองบน [ , ]a b ทถกแบงออกเปน n ชวงยอย ดงน

0 1 2 1... n na x x x x x b ก าหนด 1k k kx x x ในแตละชวงยอย 1,k kx x

เราเลอกจด kc แลว

สรางสเหลยมผนผาทสง ( )kf c บนเสนโคงของ ( )y f x ดงรป ผลบวกรมนน (Riemann sum) ของฟงกชน ( )y f x บนชวง [ , ]a b จะเขยนแทนดวย

nS โดยท

1

( ).n

n k k

k

S f c x

■ Note that the Riemann sum is the approximate area of the region between X-axis and the curve of ( )y f x on the interval [ , ]a b Example Find the Riemann sum for the function y x on the interval [0,1] using the partition of 10 subintervals. ■ พนท และลมตของผลบวกรมนน (Area and Limit of Riemann Sum) ให ( )y f x เปนฟงกชนโดยท ( ) 0f x บนชวง [ , ]a b และ

nS เปน ผลบวกรมนน (Riemann sum) โดยท



1

( ).n

n k k

k

S f c x

ถา A เปนพนทใตโคงของ ( )y f x บนชวง [ , ]a b และ lim nn

S

หาคาได

แลว

1

lim lim ( ).n

n k kn n

k

A S f c x

Example Find the area of the region bounded by X-axis and the curve of the function y x on the interval [0,1] by calculating the limit of Riemann sum.

Example Find the area of the region bounded by X-axis and the curve of the function

2y x on the interval [0,1] by calculating the limit of Riemann sum. ■ ทฤษฎบทหลกมลของ แคลคสส

(Fundamental Theorem of Calculus ) ถา f เปนฟงกชนตอเนองทกจดบน ,a b และ F เปนปฎยานพนธของ f โดยท F f แลว

( ) ( ) ( )

b

a

f x dx F b F a

■ เพอความสะดวก เราจะเขยนอนทกรลจ ากดเขตในรป

( ) ( ) ( ) ( )

bb

a

a

f x dx F x F b F a

or

( ) ( ) ( ) ( )

bb

a

a

f x dx F x F b F a



Example Find the area of the region bounded by X-axis and the curve of the function y x on the interval [0,1] using the fundamental theorem of calculus.

Example Find the area of the region bounded by X-axis and the curve of the function

2y x on the interval [ 1,1] using the fundamental theorem of calculus. Example Find the area of the region bounded by X-axis and the curve of the function

3 2 1y x x on the interval [1,3]using the fundamental theorem of calculus. ■ สมบตของอนทกรลจ ากดเชต (Properties of Definite Integral)

1. ( ) 0

a

a

f x dx

2. ( ) ( )

b b

a a

kf x dx k f x dx

3. ( ( ) ( )) ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

4. ( )

b

a

kdx k b a

5. ( ) ( )

b a

a b

f x dx f x dx

6. ( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx , where a c b

Example Evaluate 1

2

1

(3 4 5)x x dx

Example Evaluate 1

2 4

0

(2 3 )x xdx

AAAAAAAAAAAAAAAAAAA



ตวอยางขอสอบ

1. ก าหนดให 1x

2xx2x f(x) 223

ถาตองการให f เปนฟงกชนตอเนองบนเซตของ

จ านวนจรง แลว จะตองนยามเพมตามขอใดตอไปน

1. f(–1) = 1 และ f(1) = –1 2. f(–1) = –3 และ f(1) = –1

3. f(–1) = –1 และ f(1) = –3 4. f(–1) = –3 และ f(1) = 3

2. ให f (x) = 2 – |3x | 3 , g (x) =

3x และ F(x) = f (1g (x)) พจารณาขอความ

ตอไปน

ก. )x(Flim )x(Flim3x3x

ข. 3x)3(F)x(Flim 3x

)3(F)x(Flim3x3x

ขอใดตอไปนถก

1. ทง ก. แล ข. ถก 2. ก. ถก ข. ผด

3. ก. ผด ข. ถก 4. ทง ก. และ ข. ผด

3. ให f(x) =

1 x เมอ x1|x1|

1 x เมอ x11|x|


1. )x(flim1x

และ )x(flim1x

หาคาไมได 2. )x(flim1x

0 และ )x(flim1x

0

3. )x(flim1x

+ )x(flim1x

= 2 4. )x(flim1x

+ )x(flim1x

= –2

4. คาของ 2x)2x(lim2

2x

เทากบขอใดตอไปน

1. –1 2. 0

3. 1 4. หาคาไมได

5. ให

2x เมอx 3

2x1 เมอ 1x1

1x เมอ 0

)x(f ขอใดตอไปนถกตอง

1. f ไมตอเนองท x = 1 แตตอเนองท x = 2

2. f ไมตอเนองท x = 1 และไมตอเนองท x = 2

3. f ตอเนองท x = 1 และตอเนองท x = 2

4. f ตอเนองท x = 1 และไมตอเนองท x = 2



6. ก าหนดให

0 x เมอ 1

0 x เมอ x2x4

)x(f ขอใดเปนจรง

1. 41 )x(flim

0x

2. )x(flim

0x

และ )x(flim0x

หาคาไมไดทงค

3. 1 )x(flim 0x

4. )x(flim0x

และ )x(flim0x

หาคาได แตไมเทากน

7. ก าหนดให

1x ,

1x1x

1x, )x(g )x(f

23

ถา f ตอเนองท x = 1 แลวคาของ 3)g(x)(xlim1x

มคาเทาใด

1. 0 2. 3

3. 6 4. 9

8. ให 3x|9x|)x(f

2

ขอใดตอไปนถกตอง

1. หาคาไมได )x(flim และ 0)x(flim3x3x

2. 6 )x(flim และ 0 )x(flim 3x3x

3. 6 )x(flim และ 0 )x(flim 3x3x

4. 0 )x(flim และ หาคาไมได )x(flim3x3x

9. ถา f (x) =

3 x เมอ 23

3 x 1 เมอ 21x

1 x เมอ 1x1


1. f เปนฟงกชนตอเนองททกจดใน R

2. f เปนฟงกชนตอเนองททกจดใน R ยกเวนทจด x = 3

3. f เปนฟงกชนตอเนองททกจดใน R ยกเวนทจด x = –1

4. f เปนฟงกชนตอเนองททกจดใน R ยกเวนทจด x = –1 และ x = 3

10. ให

1x เมอ 1xx52

1 x เมอ 1

1x0 เมอ 1x31

)x(f พจารณาขอความตอไปน

ก. )x(flim1x

= )x(flim1x

ข. f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1

ขอใดถกตอง 1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด

3. ก ผด และ ข ถก 4. ก ผด และ ข ผด



11. ก าหนดให f(x) = )x(g)1x( 32

โดยท g(2) = ) 2 (f = 3 แลว )2(g มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 11 2. 12

3. 13 4. 14

12. ถา f(x) = x+1 และ g(x) = x และ F(x) = (fog) (x) เมอ x 1 แลว )2()F( 1 มคาเทากบขอใด

1. 0 2. 1

3. 2 4. 4

13. ก าหนด f เปนฟงกชนทมอนพนธ และ F(x) = 15))x(f( 3

ถา F(1) = ) 1 (f = 4 แลว ) 1 (F มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 21

2. 23

3. 8 4. 24

14. ให f(x) = 8x – 6x และ f คออนพนธของ f ถา { na } เปนล าดบซงม nnalim

= 1

แลว limn

(fo f ) ( na ) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 68 2. 92

3. 150 4. 192

15. ให f เปนฟงกชนทหาอนพนธได และให f(3) = –2 , ) 3 (f = 5 ถา g(x) = 1x

)x(f2

แลว ) 3 (g มคาเทาใด

16. ก าหนดให a , b , c , d เปนจ านวนจรง และ f(x) = a 3x + b 2x + cx + d

โดยท f มคาสงสดสมพทธเปน 2 ท x = 1 แลว ) 1 (f = – 4 ถา f(0) = 1 แลว

f มคาต าสดสมพทธทจดในขอใดตอไปน

1. x = – 3 2. x = 31

3. x = 31

4. x = 3

17. ให u และ v เปนฟงกชนของ x โดยท v(x) = 2x – 2x ถา f(x) = )x(v)x(u และ

u(3) = – 9 , ) 3 (u = 3 แลคาของ ) 3 (f เทากบเทาใด

18. ก าหนดให f (x) = a 3x + 2x + x + b เมอ a , b เปนจ านวนจรง และ f(1) = 3 , f(1)

= 0 ถา g(x) = )x(f แลว (gof) (–1) มคาเทากบขอใด

1. –16 2. – 4

3. 4 4. 16

19. ก าหนดให f(x) = 3x + c 2x – 9x เมอ c เปนจ านวนจรง ถาคาวกฤตคาหนงของ f คอ

1 แลว f เปนฟงกชนลดของเซตใดตอไปน

1. (–3 , 1) 2. (– , –3) (1 , )



3. (–1 , 4) 4. (– , –1) (4 , )

20. ให f(x) = 3x – 2x + g(x) และ f (2) = f(2) = 2 แลว )2()fg( มคาเทากบขอใด

ตอไปน

1. –2 2. 21

3. 0 4. 2

21. ก าหนดให f(x) = a 3x – 4 2x + 1 เมอ a เปนคาคงตว และ

1x เมอ 01 x เมอ (x)f1 x เมอ f(x)

)x(g

ถา g(x) มลมตท 1 แลว a เทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 25

3. 38

4. 3

22. ถาเสนสมผสเสนโคง y = )161 ,2

1( ทจด )45x2()1x( 2 ท ามม กบแกน X

โดยท 0 2

แลว 2sin2 มคาเทากบเทาใด

23. ก าหนดให f(x) = bxax3 เมอ a และ b เปนจ านวนจรง และ f มคาต าสดสมพทธ

เทากบ – 2 ทจด x = 1 ถา g(x) = )x(fx 3 แลว g เปนฟงกชนลดในชวงใดตอไปน

1. (0 , 2) 2. (–3 , –1) 3. (–1 , 1) 4. (–2 , 0)

24. ก าหนดให g เปนฟงกชนซงมอนพนธททกจด x 0 และ g(3) = 3 จ านวนเตมบวก n ท

ท าให g( nx + 2x) = 3x4 + 2x6 + 31 คอจ านวนในขอใดตอไปน

1. 5 2. 6

3. 7 4. 8

25. ให f เปนฟงกชนพหนามก าลงสาม ซงมคาสงสดสมพทธเทากบสามเทาของคาต า สดสมพทธ และ f(0) = 2 ถา f มคาสงสดสมพทธท x = –1 และมคาต าสดสมพทธท x = 1 แลว f(4) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. –28 2. –24

3. 24 4. 28

26. ถา f เปนฟงชน ซงมกราฟผานจด (0, 2) และ f (x) = 3 2x – 12x + 9 แลวคาสงสด

สมพทธของ f เทากบขอใดตอไปน

1. 2 2. 3

3. 6 4. 8



27. ให F(x) = f(g(x)) ถา g(x) = 3x + 2x + 2 และ dx )x(F = 5 3x + 2x + c แลว

คา ของ f (5) เทากบขอใดตอไปน

1. 6 2. 5

3. 4 4. 3

28. ให F เปนปฏยานพนธของ f โดยท f(x) = 3 2x – 6x + 3 ถา F (0) = –1 และ

F มคาสงสดสมบรณในชวง [0 , 2] ทจด x = c แลว F(c) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. –1 2. 0

3. 1 4. 2

29. ก าหนดให f เปนฟงชนทมอนพนธ และ g(x) = (x + 1) f(x)

ถา )x(g dx = 2x – x + C แลว f (1) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 43

2. 45

3. 23

4. 25

30. ถาเสนโคง y = f(x) ผานจด (0 , 1) และ (4 , c) เมอ c เปนจ านวนจรงและความชนของเสน

โคงนทจด (x , y) ใดๆ มคาเทากบ x – 1 แลว c มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 34

2. 37

3. 8 4. 9

31. ให f(x) = 2x – c โดยท c เปนคาคงตวซง c 4 ถาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = f(x) จาก x = –2 ถง x = 1 เทากบ 24 ตารางหนวย แลว c มคาเทาใด

32. ก าหนดให 2x2bxax )x(f 23 เมอ a, b เปนจ านวนจรง ถา f (1) = 5 และ

) 0 (f = –12 แลว dx ))x(f)x(f( เทากบขอใดตอไปน

1. cx10x95x 23 2. cx10x95x 23

3. cx10x95x 23 4. cx10x95x 23

33. ให f เปนฟงกชน ซงอนพนธของ f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [0 , 1] และ

g(x) = 1x

)x(f 4

ถา f(1) = f (1) = 1 และ f(0) = f (0) = –2 แลว 1

0dx )x(g

เทากบขอ

ใดตอไปน

1. 25

2. 21

3. 23

4. 27

34. ถาเสนตรง x = a แบงครงพนททปดลอมดวยเสนโคง y = 2x จาก x = 0 ถง x = 8

แลว 3a มคาเทาใด



35. ก าหนดใหเสนโคง y = f(x) ผานจด (1 , 0) และมความชนทจด (x , y) ใดๆ เปน

2x3 – 4x + 2x2

ถา (a , b) เปนจดตดกนระหวางเสนโคงนกบเสนตรง x – 2 = 0 แลว

a + b มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 23

2. 2

3. 27

4. 4

36. ถา a คอจ านวนจรงทท าใหพนททปดลอมดวยเสนโคง y = 22xa + 4ax + 10 จาก x =

0 ถง x = 1 มคานอยทสด แลวพนททไดเทากบเทาใด

37. ก าหนดให g(x) = )x(fx2 ถา f (x) = 2x + 3 และ ) 1 (g = 0 แลว f(4)

มคา เทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 11

3. 13 4. 28

38 ก าหนดใหกราฟของ y = f(x) เปนเสนโคงทอยเหนอแกน X และมความชนของเสนสมผส

เสนโคงทจด (x , y) ใดๆ เทากบ 6x + 2b เมอ b เปนจ านวนจรง ถาพนททปดลอมดวย เสนโคงนจาก x = 0 ถง x = 2 เทากบสองเทาของพนททปดลอมดวยเสนโคงนจาก x = 0

ถง x = 1 แลว f มคาต าสดสมพทธทจด x ในขอใดตอไปน

1. x = 2 2. x = 1

3. x = 0 4. x = –1

39. ให b เปนจ านวนจรง และก าหนดให f(x) =

0 x , 1 bx 0 , 1x3 2

ถา 12 f(x)dx b

2

แลว b มคาเทากบเทาใด

40. ก าหนดให )x(f = ax เมอ a เปนคาคงตว ถาเสนตรง 2x + y – 6 = 0 สมผสกบกราฟ

ของ f ทจด (1 , 4) และ f(0) = 8 แลว 1

0 dx)x(f เทากบขอใดตอไปน

1. 422

2. 423

3. 442

4. 443

41. ก าหนดให f เปนฟงกชน ซง )x(f = 2x + 1 ถาคาสงสดสมพทธของ f เทากบ 21

ท x = –1

แลวคาต าสดสมพทธของ f เทากบขอใดตอไปน

1. –1 2. – 31

2. 0 4. 31

======================

เอกสารประกอบการบรรยาย...

Documents