1. leyes de exponentes
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Leyes de Exponentes
E.A.P.
INGENIERÍ
A
AMBIENTA
Lic. ROBERTO RUIZ YENGLE
Objetivos
1.Conocer cuáles son y cómo se aplican
las leyes de exponentes
2.Aplicar las leyes de exponentes
Definiciones de Potencias
Definición de una Potencia
an = a . a . a . … . a
n veces
Recuerda que si elevamos un número a (la base) a
una potencia n (el exponente) significa que se
multiplica ese número a tantas veces como indique
el exponente n.
Ejemplos
3 2 = 3 . 3 = 9
(-3) 2 = -3 . -3 = 9
5 3 = 5 . 5 . 5 = 125
(-5) 3 = -5 . -5 . -5 = -125
x 6 = x . x . x . x . x . x = x 6
(-x) 6 = -x . -x . -x . -x . -x . -x = x 6
-x 6 = - (x . x . x . x . x . x) = - x 6
Recuerda que no
se multiplica la base
por el exponente.
Si la base es negativa
hay que encerrarla en
paréntesis.
Si no se ve paréntesis, la base es positiva y si
tuviera signo delante, el signo no le pertenece a la
base. Hay que considerarlo como el opuesto de lo
que sea el resultado de elevar la base a la potencia
indicada.
Ejemplos
3 2 = 3 . 3 = 9
(-3) 2 = -3 . -3 = 9
5 3 = 5 . 5 . 5 = 125
(-5) 3 = -5 . -5 . -5 = -125
x 6 = x . x . x . x . x . x = x 6
(-x) 6 = -x . -x . -x . -x . -x . -x = x 6
-x 6 = - (x . x . x . x . x . x) = - x 6
Recuerda que:
-Si elevamos una base negativa a una potencia par, el resultado es positivo.
-Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado es negativo.
-Si la base es positiva el resultado es positivo siempre.
Definición de Potencia Cero
a0 =
Cualquier base que se eleva a la potencia 0, el
resultado es 1, o sea, equivale al número1.
1
Ejemplos
3 0 = 1
(-3) 0 = 1
135 0 = 1
(-275) 0 = 1
x 0 = 1
(-x) 0 = 1
(x2y3) 0 = 1
Cualquier número ó expresión que se eleva a la potencia
cero, el resultado es uno.
Ejemplos
Simplifica la expresión:
3 0 + 8 0 = 1 + 1 = 2
Definición de Potencia Negativa
a - n =
-Un exponente negativo equivale a un
recíproco.
-Observa que el que es negativo es el exponente,
no la base.
-Observa que cuando se convierte al recíproco,
pierde el exponente negativo y se convierte en
exponente positivo.
1
an
Ejemplos
3 -2 =
(-3) -2 =
2 -3 =
(-2) -3 =
x -5 =
(x2y3) -7 =
-Observa bien cuál es la expresión
que se eleva al exponente negativo
y cuál es el resultado que se
obtiene.
-Observa cómo son los signos de
las bases, los signos de los
exponentes y los signos del
resultado.
1 1
=
32 9
1 1
=
(-3)2 9
1 1
=
23 8
1 1
=
(-2)3 - 81
x5 1
(x2y3)7
x -3 =
y
y 3
x
Ejemplos
3 -2 =
(-3) -2 =
2 -3 =
(-2) -3 =
x -5 =
(x2y3) -7 =
1 1
=
32 9
1 1
=
(-3)2 9
1 1
=
23 8
1 1
=
(-2)3 - 81
x5 1
(x2y3)7
x -3 =
y
y 3
x
-En el último ejemplo se obtiene el
recíproco invirtiendo la fracción.
-Para obtener el recíproco de una
fracción se invierte la posición del
numerador y denominador.
-Después de cambiar al recíproco,
se convierte el exponente a
positivo.
Ejercicios de Práctica
Ejercicios 1: Simplifica
(-3)3 x0 y3 =
-42 x2 y0 z3 =
42 x y2 =
3x3 z2 =
2y0
-27y3
16xy2
-16x2z3
3x3 z2
2
Ejercicios 2: Simplifica
2 -1 =
3 -3 =
x -2 =
2 -2 =
3
5 =
y -5
x -2 =
y -5
1
2
1
27
1
x 2
9
4
y 5
x 2
5y5
-Como y-5 está en el denominador,
su recíproco aparece en el
numerador y pierde el exponente
negativo. En este caso
desaparece el denominador ya
que no queda ningún término en
el denominador.
3 2 =
2
Ejercicios 3: Simplifica
-5 2 x 2 y -3 =
(-4) 2 x -2 y 0 z -3 =
4 -2 x -1 y 2 =
8 x -3 z 2 =
y - 4
-25x2
y3
16
x2z3
y2
16x
8y4z2
x3
-Recuerda que solo se cambia
al recíproco los términos que
están elevados a una potencia
negativa.
-En este caso, la base 5 es
positiva ya que no está
encerrada en paréntesis. El
signo de negativo hay que
considerarlo como el opuesto
del resultado de elevar el 5 al
cuadrado.
Leyes de Exponentes
Ley 1: Multiplicación de Potencias con
Bases Igualesa n . a m = a n + m
Ejemplos:
4 5 . 4 2 = 4 7
x 2 . x -3 . x -1 . x 8 = x 6
x 2 . x . x 4 = x 7
x + x 3 =
Al multiplicar bases iguales se suman los
exponentes
No se puede aplicar esta ley ya que las potencias
no se están multiplicando. La ley aplica cuando
tenemos una multiplicación, no aplica en suma.
Ley 2: Potencia elevada a otra potencia
(a n ) m = a n m
Ejemplos:
(x 2 ) 3 = x 6
(5 3 ) 4 = 5 12
(6 2 ) –1 = 6 -2 = 1 = 1
6 2 36
(y 7 ) 0 = 1
Cuando se eleva una potencia a otra potencia, se
multiplican los exponentes
Ley 3: Producto elevado a una potencia
(a b) n = a n b n
Ejemplos:
( x y ) 3 = x3y3
( 2 x ) 5 = 25 x5 = 32 x5
( 3 x 2 y 4 ) -3 = 1 = 1
( 3 x 2 y 4 ) 3 27 x6 y12
(x + y ) 2 =
Cuando hay una multiplicación de dos o más términos
elevados a una potencia, se multiplican los exponentes de
cada uno de los términos.
No se puede aplicar esta ley ya que no
hay una multiplicación, hay una suma.
Ley 4: División de Bases Iguales
7 3 = 1 = 1
7 5 72 49
7 5 = 7 2 = 49
7 3
7 5 = 7 0 = 1
7 5
x 3 = x
x 2
a m = a m - n
a n (si m > n)
Ejemplos:
Al dividir bases iguales se
restan los exponentes. Se
resta el exponente mayor
menos el exponente menor y
se coloca el resultado donde
esté el exponente mayor.
Ley 5: Fracción elevada a una potencia
a n = a n
b b n
2
5
3
y
Se eleva cada término de la
fracción a la misma potencia n.
2
y
x
3
5z
y
3
2
3
y
x2
2
y
x
9
10y
6
9
y
x
3
15
y
z
Práctica de Leyes de Exponentes
Simplifica aplicando leyes de exponentes:
9 15 . 9 3 =
x -2 . x -3 . x -1 . x 5 =
x 3 . x 12 . x =
x 2 + x 5 =
918
x16
No aplican las leyes de
exponentes. Se queda igual.
1
x
Haz clic para ver resultados
(m 4 ) 5 =
(3 12 ) 3 =
(4 3 ) –1 =
(x 9 ) 0 =
Haz clic para ver resultados
m 20
3 36
1
4 -3 = 1 = 1
43 64
Simplifica aplicando leyes de exponentes:
( x y ) 3 =
( 2 x ) 5 =
( 3 x 4 y 5 ) -3 =
(x + y ) 2 =
x3y3
25 x5 = 32 x5
1 = 1
( 3 x 4y 5 ) 3 27 x12y15
No aplican las leyes de
exponentes
Simplifica aplicando leyes de exponentes:
m 13 =
m 23
x 4 =
x 2
y 19 =
y 18
x 63 =
x 63
x 2
y
1
m10
x 0 = 1
Simplifica aplicando leyes de exponentes:
m 5 = x -8 =
n y 4
x 6 3 = x 7 -3 =
2 y 5
m5
n5
x18
8
y32
x8
y15
x21
Simplifica aplicando leyes de exponentes:
Fin de la Lección
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