การประมาณพื้นที่ gaussian และ...
Post on 26-Dec-2019
1 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข
การประมาณค่าอินทิกรัลจ ากัดเขตและการหาอนุพนัธ์เชิงตัวเลข
การประมาณพืน้ที่ Gaussian
พิจารณาการหาพ้ืนท่ีโดยกฎส่ีเหล่ียมคางหมู ดงัรูป
แนวคดิของการประมาณพืน้ที่ Gaussian
การประมาณพ้ืนท่ี Gaussian แทนท่ีจะเลือกจุดปลาย หรือจุดท่ีห่างเท่าๆกนั ในช่วง b,a แต่กลบัเลอืกจุดใดๆที่เหมาะสมที่สุด n21 x,,x,x ในช่วง b,a และสมัประสิทธ์ิ n21 c,,c,c ท่ีท าใหค้่าผิดพลาดจากการประมาณ
n
1iii
b
axfcdxxf
มค่ีาต า่สุด
y
x o a b 1x
2x
y
x o a b 1x
2x
y
x o a b 1x
2x
y
x o 1xa bx 2
y
x o 1xa bx 2
y
x o 1xa bx 2
ค่าคลาดเคลื่อน
ต้องการหา
2 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข
ตวัอย่าง (Sheet) จงหาค่า 1c , 2c , 1x และ 2x ท่ีท าให ้
2211
1
1xfcxfcdxxf -------- (*)
ใหผ้ลลพัธ์แม่นตรงเม่ือ xf เป็นพหุนามดีกรีนอ้ยกวา่หรือเท่ากบั 3
วธีิท า สมมติให ้ 33
2210 xaxaxaaxf ส าหรับค่าคงตวั 210 a,a,a และ 3a
จะไดว้า่
dxxadxxaxdxadx1adx)xaxaxaa( 33
2210
33
2210
ซ่ึงฟังก์ชนัท่ีเป็นผลเฉลยแม่นตรงของ (*) มีเพียงเม่ือ xf คือ 1, x , 2x และ 3x
ดงันั้นตอ้งการ 1c , 2c , 1x และ 2x ท่ีท าให ้
2dx11c1c1
121 ]1xf[
0xdxxcxc1
12211 ]xxf[
3
2dxxxcxc
1
1
2222
211 ]xxf[ 2
0dxxxcxc1
1
3322
311 ]xxf[ 3
แกร้ะบบสมการจะได ้ 1c1 , 1c2 , 3
3x1 และ
3
3x 2
ดงันั้นสูตรการประมาณอินทิกรัลเป็น
3
3f
3
3fdxxf
1
1
ให้ค่าแม่นตรง ส าหรับทุกพหุนามดกีรีน้อยกว่าหรือเท่ากบั 3
3 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข
เทคนิคในตวัอยา่งขา้งตน้สามารถใชใ้นการหาจุดและสมัประสิทธ์ิส าหรับสูตรท่ีใหผ้ลลพัธ์แม่นตรงของพหุนามอนัดบัสูงข้ึน แต่อีกวธีิหน่ึงท่ีท าไดง่้ายกวา่คือการใชพ้หุนามเชิงตั้งฉากซ่ึงเซตท่ีเหมาะสม
กบัโจทยปั์ญหาในท่ีน้ีคือ เซตของพหุนาม Legendre ,P,,P,P n10 โดยมีคุณสมบติัดงัน้ี
1. nP เป็นพหุนามดีกรี n (เม่ือ n เป็นจ านวนเตม็บวก) 2. 0dxxPxP
1
1 ji ( ji )
พหุนาม Legendre อนัดบัแรกๆไดแ้ก่
1xP0 , xxP1 , 3
1xxP 2
2 ,
x5
3xxP 3
3 , x5
3xxP 3
3
รากของพหุนามเหล่าน้ีมีค่าแตกต่างกนัทั้งหมดอยูใ่นช่วง 1,1 และเป็นตวัเลือกท่ีดีท่ีสุดในการหาจุด n21 x,,x,x ท่ีใชใ้นสูตรการประมาณค่าอนิทิกรัลที่ให้ผลลพัธ์แม่นตรงส าหรับพหุนามดีกรีนอ้ยกวา่หรือเท่ากบั 1n2 นอกจากน้ีสมัประสิทธ์ิท่ีเหมาะสมส าหรับการหาค่าฟังก์ชนัท่ีจุดขา้งตน้คือ
1
1
n
ji1i ij
ij dx
xx
xxc n,,2,1j
4 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข
อยา่งไรก็ตามสมัประสิทธ์ิและรากของพหุนาม Legendre ไดมี้การท าตารางไว ้ไม่จ าเป็นตอ้งไปหาอีก
n ราก i,nr สมัประสิทธ์ิ i,nc 2 0.5773502692 1.0000000000
-0.5773502692 1.0000000000
3 0.7745966692 0.5555555556
0.0000000000 0.8888888889
-0.7745966692 0.5555555556
4 0.8611363116 0.3478548451
0.3399810436 0.6521451549
-0.3399810436 0.6521451549
-0.8611363116 0.3478548451
5 0.9061798459 0.2369268850
0.5384693101 0.4786286705
0.0000000000 0.5688888889
-0.5384693101 0.4786286705
-0.9061798459 0.2369268850
ตวัอย่าง จงหาค่าประมาณของ
1
1
x dx2x โดยใชก้ารประมาณของ Gaussian
5 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข
โดยทัว่ไปแลว้ช่วงท่ีอินทิเกรตไม่ไดถู้กจ ากดัขอบเขตเพียงแค่ 1,1 เท่านั้น ดงันั้นในการอินทิเกรต
b
adxxf จะท าการเปล่ียนตวัแปรเพ่ือท าใหช่้วงการ
อินทิเกรตเป็น 1,1 โดยให ้
ab
bax2t
และ
dxab
2dt
หรือ dt
2
abdx
เม่ือแทนค่าอินทิกรัลจะได ้
1
1
b
adt
2
ab
2
abtabfdxxf
ซ่ึงสามารถหาค่าโดยใชร้าก n,n2,n1,n r,r,r และ n,n2,n1,n c,c,c จากตาราง
สูตรการประมาณพืน้ที่ Gaussian
n
1j
j,nj,n
b
a 2
abrabfc
2
abdxxf
6 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข
ตวัอย่าง (Sheet) จงประมาณค่าของ 5.1
1
x dxe2 ใหใ้กลเ้คียง 0.1093643
ใชก้ารประมาณพ้ืนท่ี Gaussian โดยการแปลงช่วงการอินทิเกรตเป็น 1,1
4
5t
2
5.2t5.0
2
15.1t15.1
2
abtabx
1
1
5t16
15.1
1
x dte4
1dxe
2
2
ใชค้่าจากตาราง ไดค้่าประมาณจากการหาพ้ืนท่ี Gaussian ดงัน้ี
2n :
1094003.0ee4
1dxe 16
5773502692.05
16
5773502692.055.1
1
x
22
2
3n :
16
5
16
7745966692.055.1
1
x
22
2
e8888888889.0e5555555556.04
1dxe
1093642.0e5555555556.0 16
7745966692.052
สงัเกตวา่โดยวธีิการประมาณพ้ืนท่ี Gaussian เม่ือใช ้ 3n ตอ้งหาค่าฟังก์ชนั 3 แห่งและใหค้่าประมาณแม่นย าถึง 7 D.P. ในขณะท่ีถา้ใชก้ฎประกอบ Simpson พร้อมดว้ย 25.015.1
2
1h ใหค้่า
1093104.0ee4e3
25.0dxe
222 5.125.15.1
1
x
ซ่ึงใหค้่าถูกตอ้ง 4105.0
7 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข
การหาอนุพนัธ์เชิงตัวเลข
ต้องการประมาณค่าอนุพนัธ์ของฟังก์ชัน
พจิารณาสูตรอนุพนัธ์จากจุดสองจุด
ก าหนดให ้ b,ax0 และ b,aCf 2
และให ้ hxx 01 ส าหรับบาง 0h ท่ีท าให ้ b,ax1
สร้างพหุนามลากรองจ ์ )x(P1 ส าหรับ f โดยใชจุ้ด 0x และ 1x
1
01
00
10
11 xf
xx
xxxf
xx
xxxP
พร้อมดว้ยพจน์ค่าผิดพลาดคือ xf
!2
xxxx 10 ส าหรับบาง b,ax
นัน่คือ
xf!2
xxxxxPxf 10
1
xf!2
xxxxxf
xx
xxxf
xx
xx 101
01
00
10
1
xf
2
hxxxx
h
xxhxf
h
hxxxf 000000
หาอนุพนัธ์ของสมการจะได ้
xf2
hxx2
h
xfhxfxf 000
b hxx 01 0x a
h
8 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข
xfD2
hxxxxx
00
เพราะฉะนั้น
h
xfhxfxf 00
โดยมีเทอมค่าผิดพลาดคือ xf
2
hxx2 0
xfD2
hxxxxx
00
สูตรสองจุด
ณ 0xx พบวา่สมัประสิทธ์ิของ xfDx เป็นศูนยท์ าใหไ้ดสู้ตร
สูตรสองจุด
f2
h
h
xfhxfxf 00
0 เม่ือ )hx,x( 00
กรณี 0h สูตรสองจุดจะเรียกวา่ “สูตรผลต่างขา้งหนา้ (Forward-difference Formula)”
กรณี 0h เรียกวา่ “สูตรผลต่างยอ้นหลงั (backward-difference Formula)”
9 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข
ตวัอย่าง (Sheet) ก าหนดให ้ xlnxf , 8.1x0
ตอ้งการประมาณค่า 8.1f ดว้ยสูตรสองจุดเม่ือ 0h พร้อมดว้ยค่าผิดพลาด
228.12
h
2
h
2
fh
( h8.18.1 )
ตารางต่อไปน้ี แสดงผลเม่ือ 001.0,01.0,1.0h h h8.1f
h
8.1xfh8.1f 28.12
h
0.1 0.64185389 0.5406722 0.0154321
0.01 0.59332685 0.5540180 0.0015432
0.001 0.58834207 0.5554013 0.0001543
เน่ืองจาก x
1xf ค่าแทจ้ริงจริงของอนุพนัธ์คือ 5.08.1f
ดงันั้นถา้เลือก h ใหม้ค่ีาน้อยๆจะไดค่้าประมาณที่ใกล้เคยีงค่าจริงมากข้ึน
10 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข
พจิารณาสูตรอนุพนัธ์จากจุดสามจุด สร้างพหุนามลากรองจดี์กรี 2 คือ )x(P2 ส าหรับ f โดยใชจุ้ด 10 x,x และ 2x
)x(Lxf)x(Lxf)x(LxfxP 2211002
มีพจน์ค่าผิดพลาดคือ xf
!3
)xx(xxxx 210 ส าหรับบาง b,ax
หาอนุพนัธ์ของตวัประมาณจะได ้
xf
!3
xxxxxxDxL)x(fxf 310
xj
2
0jj
xfD
!3
xxxxxxx
310
ถา้ )2,1,0k(,xx k จะลดทอนสูตรไดเ้ป็น
2
kj0j
jkk
kj
2
0jjk xx
!3
xfxL)x(fxf
สูตรสามจุด
ใชสู้ตรขา้งตน้โดยใชจุ้ดสามจุดคือ h2x,hx,x 000 จะได ้
สูตรจุดปลายสามจุด
f3
hh2xfhxf4xf3
h2
1xf
2
000
เม่ือ h2x,x 00
0x hx0 h2x0
h h
11 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข
สูตรน้ีมีประโยชน์เม่ือประมาณค่าอนุพนัธ์ ณ จุดปลายช่วง เช่นกรณีอนุพนัธ์ท่ีใชส้ าหรับ splines ก าลงัสามขอบยดึ ใช ้ 0h เม่ือประมาณท่ีปลายดา้นซา้ย และใช ้ 0h เม่ือประมาณท่ีปลายดา้นขวา
ใชสู้ตรขา้งตน้โดยใชจุ้ดสามจุดคือ hx,x,hx 000 จะได ้
สูตรจุดกึง่กลางสามจุด
f6
hhxfhxf
h2
1xf
2
000 เม่ือ hx,hx 00
ค่าผิดพลาดในสูตรจุดก่ึงกลางมีค่าประมาณคร่ึงหน่ึงของค่าผิดพลาดท่ีไดจ้ากสูตรจุดปลาย และการค านวณค่า f ท าเพียงสองจุด เทียบกบัสามจุดในสูตรจุดปลาย จึงท าใหก้ารค านวณดว้ยสูตรจุดก่ึงกลางไดเ้ปรียบมากกวา่สูตรจุดปลาย
ท านองเดียวกนัสามาตรสร้างสูตรหา้จุดไดจ้ากพหุนามลากรองจดี์กรี 4 โดยใชจุ้ดหา้จุดคือ h2x,hx,x,hx,h2x 00000 จะไดสู้ตร
สูตรจุดก่ึงกลางหา้จุด
54
0000 f30
hh2xfhxf8hxf8h2xf
h12
1xf
เม่ือ h2x,h2x 00
hx0 0x hx0
h h
12 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข
13 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข
สูตรจุดปลายหา้จุด ใชจุ้ดหา้จุดคือ h4x,h3x,h2x,hx,x 00000
h4xf3h3xf16h2xf36hxf48xf25h12
1xf 00000
54
f30
h
เม่ือ h4x,x 00
(การประมาณท่ีจุดปลายซา้ยใช ้ 0h และปลายขวาใช ้ 0h )
ตวัอย่าง จากตารางคือค่าของ xxexf จงประมาณค่า 0.2f
x xf 1.8 10.889365
1.9 12.703199
2.0 14.778112
2.1 17.148957
2.2 19.855030
เน่ืองจาก xe1xxf , 167168.220.2f
เม่ือใชสู้ตรสามจุดและหา้จุดจะไดผ้ลดงัน้ี
สูตรสามจุด
จุดปลาย ( 1.0h ) 032310.222.2f1.2f40.2f32.0
1
จุดปลาย ( 1.0h ) 054525.228.1f9.1f40.2f32.0
1
จุดก่ึงกลาง ( 1.0h ) 228790.229.1f1.2f2.0
1
จุดก่ึงกลาง ( 2.0h ) 414163.229.1f2.2f4.0
1
14 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข
สูตรห้าจุด
จุดก่ึงกลาง ( 1.0h ) 166999.222.2f1.2f89.1f88.1f2.1
1
ค่าผิดพลาด มีค่าประมาณ 11035.1 , 11013.1 , 21016.6 , 11047.2 และ 41069.1 ตามล าดบั เห็นไดช้ดัวา่ สูตรหา้จุดใหผ้ลดีกวา่ สงัเกตดว้ยวา่ ค่าผิดพลาดจากสูตรจุดก่ึงกลางพร้อมดว้ย 1.0h มีค่าราวคร่ึงหน่ึงของค่าผิดพลาดจากสูตรจุดปลาย พร้อมดว้ย 1.0h หรือ 1.0h
ส่ิงท่ีควรค านึงถึง ในการหาอนุพนัธ์เชิงตวัเลข คือ ค่าผิดพลาดท่ีเกิดจากการปัดเศษ ในการประมาณค่าพ้ืนท่ีใตก้ราฟจากการอินทิกรัลโดยกฎ Simpson ประกอบ เราพบมาแลว้วา่ การลดขนาดของช่วงย่อย จะลดค่าผิดพลาดจากการตดัปลายได ้แมว้า่ การค านวณจะเพ่ิมมากข้ึน แต่ค่าผิดพลาดจากการปัดเศษไม่ถูกกระทบ ในการหาอนุพนัธ์เชิงตวัเลข ค่าผิดพลาดจากการตดัปลายจะลด ถา้ช่วงยอ่ยแคบคง แต่ค่าผิดพลาดจากการปัดเศษนั้นจะเพ่ิมข้ึน ซ่ึงเห็นไดด้งัน้ี (กรณีสูตรสามจุด)
32
00062
1f
hhxfhxf
hxf
สมมุติวา่ hxe 0 และ hxe 0 เป็นค่าผิดพลาดจากการปัดเศษในการค านวณ hxf 0 และ hxf 0 ตามล าดบั กล่าวคือ
hxehxfhxf 000
~
hxehxfhxf 000
~ เม่ือ hxf 0
~ และ hxf 0
~ เป็นค่าจากการค านวณ ค่าผิดพลาดรวมจากการประมาณคือ
15 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข
3
20000
0622
~~
fh
h
hxehxe
h
hxfhxfxf
ซ่ึงเกิดจากการปัดเศษ และการตดัปลาย หากสมมุติวา่ ค่าผิดพลาดจากการปัดเศษ hxe 0 มีขอบเขตเป็น 0 และสมมุติดว้ยวา่ อนุพนัธ์อนัดบัสามของ f มีขอบเขตเป็น 0M แลว้
M6
h
hh2
hxf~
hxf~
xf2
000
การท่ีจะลดค่าผิดพลาดจากการตดัปลาย 6
Mh2
จะตอ้งลดขนาดของ h ทวา่ขณะท่ี
h ลดลง ค่าผิดพลาดจากการปัดเศษ h
ก็จะเพ่ิมข้ึน ในทางปฏิบติั จะให ้𝒉 มีค่า
นอ้ยเกินไปไม่ได ้เพราะค่าผิดพลาดจากการปัดเศษจะข่มการค านวณ
16 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข
ตวัอย่าง (Sheet) จงพิจารณาการประมาณค่า 900.0f เม่ือ xsinxf โดยใชค้่าในตาราง
x xsin 0.8000 0.71736
0.8500 0.75128
0.8800 0.77074
0.8900 0.77707
0.8950 0.78021
0.8980 0.78208
0.8990 0.78270
x xsin 0.9010 0.78395
0.9020 0.78457
0.9050 0.78643
0.9100 0.78950
0.9200 0.79560
0.9500 0.81342
1.0000 0.84147
ค่าท่ีแทจ้ริงคือ 62161.0900.0cos
ใชสู้ตร
h2
h900.0fh900.0f900.0f
กบัค่า h ต่างๆกนั
ใหค้่าประมาณดงัท่ีแสดงในตาราง h ค่าประมาณของ 900.0f ค่าผดิพลาด
0.001 0.62500 0.00339
0.002 0.62250 0.00089
0.005 0.62200 0.00039
0.010 0.62150 -0.00011
0.020 0.62150 -0.00011
0.050 0.62140 -0.00021
0.100 0.62055 -0.00106
ค่าท่ีเหมาะสมท่ีสุดของ h อยูร่ะหวา่ง 005.0 กบั 05.0
เน่ืองจากคา่ผิดพลาด M6
h
hhe
2
มีค่าต ่าสุดเม่ือ 0he
17 การประมาณพืน้ที่ Gaussian และอนุพนัธ์เชิงตัวเลข
นัน่คือ 2
3
2 h3
Mh3M
3
h
hhe0
ดงันั้น 333
M
3h
M
3hMh30
สงัเกตวา่ 000.1,800.0x;xfmaxM
69671.0000.1,800.0x;xcosmax
ถา้ตอ้งการใชท้ศนิยม 5 หลกันัน่คือสมมุติ 000005.0 จะได้ค่าh ท่ีเหมาะสมคือ
028.069671.0
000005.03h 3
ในทางปฏิบติัจะไม่สามารถหาค่าเหมาะสมท่ีสุดของ h ได ้เพราะเราจะไม่ทราบอนุพนัธ์อนัดบัที่สามของฟังก์ชนั ระเบียบวธีิในการประมาณค่าอนุพนัธ์อนัดบัสูงข้ึนสามารถ
หาไดเ้ช่นเดียวกบัในกรณีของอนุพนัธ์อนัดบัแรก เช่น
สูตรจุดกึง่กลางสามจุดในการประมาณค่า f
42
00020 f12
hhxfxf2hxf
h
1xf
เม่ือ hx,hx 00
top related