calcestruzzo armato - teoria_2 - stati limite a presso-flessione

7/21/2019 CALCESTRUZZO ARMATO - Teoria_2 - Stati Limite a Presso-Flessione

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Progetto e verifica di elementi

il metodo semi robabilistico a li

stati limite

’ ’

1) SICUREZZA STRUTTURALE: nei riguardi di possibili dissesti - o

2) DURABILITÀ: possibili fenomeni di degrado nel tempo degli elementi

strutturali e non strutturali;3) FUNZIONALIT : ’opera eve r spon ere ag scop per qua stata

progettata.

È possibile verificare o dimensionare strutture secondo i due diversimetodi, tensioni ammissibili e stati limite. Nell’analizzare le rescrizioni della normativa italiana occorre tenere presente che essa ha subito negli anni una progressiva evoluzione, dalmetodo delle tensioni ammissibili a quello degli stati limite, non priva di

.Con le tensioni ammissibili si richiede che le azioni di calcolo noncomportino in alcun punto della struttura il superamento della tensione

IL METODO SEMIPROBABILISTICO AGLI STATI LIMITE

Il metodo agli stati limite permette di progettare una struttura considerando

tutte le condizioni del suo comportamento (stati limite di esercizio e ultimi),cons eran o, per quan o poss e, aspe o a ea or o ne a m sura e egrandezze utilizzando criteri probabilistici, ossia basati sul calcolo delle

probabilità che un determinato evento possa verificarsi.

La struttura viene pertanto progettata in modo da: (1) restare idonea, conaccettabile probabilità e con un adeguato grado di sicurezza, all’utilizzo

previsto, ossia per il suo normale uso, senza subire danni e (2) sopportareeventi eccezionali, più gravosi di quelli normali, con adeguata capacità diresistenza senza iun ere al crollo.

Una struttura, o una sua parte, raggiunge uno “stato limite” quando non è

le quali è stata progettata, per cui viene considerata fuori servizio.

Il termine semi-probabilistico sta ad indicare che le aleatorietà comunemente

present ne a e n z one e mo e o struttura e e e e az on vengono parzialmente tenute in conto attraverso l’utilizzo di valori di resistenza e diazioni detti “caratteristici”, ossia corrispondenti a determinate probabilità dioccorrenza, fissate sulla base della probabilità di superamento delcorrispondente stato limite che si vuole ottenere.

• stati limite ultimi: corrispondono al collasso della struttura o altre forme di

Gli stati limite possono essere:

cedimento strutturale che mettono in pericolo l’incolumità delle persone; possono derivare da:a) perdita di equilibrio della struttura, o di una sua parte, considerata come un

corpo rigido;b) rottura localizzata della sezione dovuta ad azioni statiche o per fatica;c instabilità er eccessiva deformazioned ) deformazione elastica o plastica non ammissibile;e) degrado o corrosione;

• stati limite di esercizio: sono quelli che precludono il normale utilizzo dellastruttura, oltre i quali la struttura stessa non possiede più il grado di funzionalità previsto; sono dovuti a:a) deformazioni eccessive;b) fessurazioni premature o eccessive;c de rado o corrosione dei materialid ) spostamenti eccessivi che però non determinano una perdita di equilibrio;e) vibrazioni eccessive.

Oltre questi stati limite, ve ne sono altri legati a eventi eccezionali (uragani,esplosioni, incendi, urti ecc.), nei confronti dei quali non vengonogeneralmente effettuate verifiche salvo casi specifici; ciò non toglie che la

struttura deve essere comun ue ro ettata e realizzata in modo da evitaredanni con gravità sproporzionata all’evento.

Le principali incertezze considerate indirettamente tramite l’utilizzo di opportuni

-relative:

- a va or res stenza e mater a cons erat ne ca co o, oss a erenza ravalori effettivi e quelli assunti dal progettista;

- alla geometria della struttura (per esempio differenze fra la sezione prevista di unelemento e quella realizzata);- ai carichi permanenti e sovraccarichi che difficilmente vengono mantenuti per tutta la vita della struttura;

- alla differenza fra le azioni interne effettive e quelle calcolate (schema di calcolonon perfettamente aderente alla realtà fisica).

Le verifiche devono essere effettuate sia nei confronti degli stati limite ultimi,sia di quelli di esercizio.

Per il calcolo le norme di riferimento attuali sono:- D. M. Min. II. TT. del 14 gennaio 2008 – Norme tecniche per le costruzioni;- uroco c .

Progetto e verifica di elementi strutturali

LIVELLI DI ANALISI

Sono possibili i seguenti livelli di analisi per le strutture in calcestruzzo

I stadio:• comportamento e ast co neare ca cestruzzo e acc a o;• calcestruzzo reagente a trazione.

Stati limite

II stadio:• comportamento elastico lineare di calcestruzzo e acciaio;• calcestruzzo non reagente a trazione.

di esercizio

III stadio:• Stati limite• calcestruzzo non reagente a trazione.

ultimi

2) Calcolo effetti dei carichi Sd (Azioni interne) – risposta della struttura;

3) Calcolo delle resistenze R d;

4) Verifica.

METODO SEMI-PROBABILISTICO O METODO DEI COEFFICIENTI-

(1) Si definiscono le combinazioni di carico di progetto sulla base dei valoricara er s c rea e e az on n e ag o ne segu o :

s.l.s. e del tipo di situazione.

(2) Si calcolano le sollecitazioni di progetto Sd (azioni interne).

(3) Si calcolano i valori di progetto delle resistenze dei materiali sulla base deivalori caratteristici:

Dove il coefficiente parziale γM dipende dal tipo di materiale, ad esempio:

• Calcestruzzo: = 1.5 di norma ,• Acciaio: γs = 1.15,

(5) Si svolge la verifica:

R d > Sd , probabilità di raggiungere una situazione limite molto piccola;

R d = Sd , Stato limite;R d < Sd , probabilità di raggiungere una situazione limite elevata.

Probabilità di crisi (convenzionale) : 10-5÷10-6 (s.l. ultimi), 10-2÷10-3 (s.l.

esrcizio)

Esempio: flessione semplice

Assegnati i Carichi caratteristici

Gk , Qk1 ,Qki

Caratteristiche geometriche della sezione e

Proprietà caratteristiche dei

ck yk yk

Proprietà dei Materiali di

progetto f cd f yd ε yd

Calcolo della struttura

in particolare

Calcolo Resistenzee e az on n erne

(Momento flettente M sd )

in particolare del Mom. Resistente di

progetto M rd

M sd ≤ M rd

STATO LIMITE ULTIMO di RESISTENZA (STR)

IPOTESI ALLA BASE DELLA TEORIA DELLE SEZIONI IN C.A. al III STADIO:

1 Sezioni rette restano iane do o la deformazione2) Perfetta aderenza acciaio-calcestruzzo;3) Trascurabile la resistenza a trazione del calcestruzzo;

II stadio

4) Comportamento non lineare di calcestruzzo ed acciaioara er s c e

degli s.l.u. (IIIstadio)

u v5) Stati limite definiti da prefissati livelli di

deformazione ultime per calcestruzzo ed acciaio.

Come la normativa recepisce le suddette ipotesi:

DIAGRAMMI DI PROGETTO (DESIGN)

CONVERSIONE RESISTENZA SU PROVINI CUBICI IN RESISTENZA SU

f ck = 0.83 Rck ,

CARICHI DI LUNGA DURATA: Un provino soggetto nel tempo ad uno carico

assiale superiore all’85% del carico di rottura PERVIENE A ROTTURA in untempo n to.

RESISTENZA DI PROGETTO PER IL CALCESTRUZZO:

= 0.85 / = 0.85 0.83 R / = 0.47 R er = 1.5 .

ESEMPIO: adottando un Rck = 30 N/mm2 si ha f cd = 14.1 N/mm2 .

Compressione semplice:ro etto e verifica di ilastri

allo stato limite ultimo

Il collasso di una sezione convenzionalmente è determinato dal raggiungimentodella deformazione ultima nel calcestruzzo e/o nell’acciaio.

Cioè la deformazione di:

Calcestruzzo compresso: Acciaio teso:

εcu = 0.0020 (pura compressione); εsu = 0.0675εcu = 0.0035 (flessione).

I pilastri devono essere dimensionati in funzionedi tutti i carichi verticali che gravano su di essi.Un metodo molto sem lice è uello diindividuare per ogni pilastro “i”, ad ogni piano“j”, la sua area d’influenza A

ij e di calcolarne il

permanenti che di quelli variabili. La sezionedel pilastro, quindi, al piano “k”, sarà

calcolato come:

N = A W + P

dove W j è il carico per unità di superficie di

solaio, Pik è il peso del pilastro e n è il numerocomplessivo dei piani sopra la sezione del pilastro che si dimensiona.

Lo stato limite ultimo di una sezione in calcestruzzo armato è raggiunto quando

almeno uno dei due materiali (calcestruzzo e acciaio) ha raggiunto la deformazionelimite. Nel caso di azione assiale centrata la deformazione è u uale su tutta la sezione er cuilo stato limite ultimo coincide in questo caso col raggiungimento della deformazionelimite nel calcestruzzo.

εc = εcu = 0.0020

Per congruenza la deformazione nell’acciaio vale anch’essa:d f 391

s . yd s

s E === .

210000

dello stato di sforzo sulla sezione allo stato limite ultimo:

f ydFS

εcu= 0.002 b f cd

Ne consegue che l’azione assiale allo stato limite ultimo, ovvero la massima azioneassiale che la sezione può sopportare, vale:

} 4 484 476S S C

F F F ′+

' yd s scd d

Per tener conto del fatto che in un pilastro è comunque sempre presente un po’, .

mentre nelle travi si realizza l’ipotesi di compressione parziale della sezione, nei pilastri si verifica sempre una compressione totale della superficie, che in caso di

.opportuno considerare la seguente formula per il calcolo del valore dell’azione assiale

resistente di una sezione in calcestruzzo armato:

yd sTOT cd Rd f Abhf N +⋅= 8.0

Diremo quindi che la sezione è in grado di resistere al carico applicato N Ed

> N Ed

diversamente la sezione non è verificata.

L’attuale normativa (Decreto Ministeriale 2008) impone i seguenti limiti sulquantitativo di armatura da usare:

Il diametro delle barre longitudinali deve essere maggiore od uguale a 12 mm.

Nelle sezioni a spigoli vivi, occorrerà disporre una barra longitudinale incorrispondenza di ciascuno spigolo. Per i tratti a perimetro continuo, le barrelon itudinali non otranno avere interassi minori di 30 cm.

Per avere una formula per il pre-dimensionamento del pilastro si parte dalla formuladella verifica, si tiene conto dei limiti imposti da normativa sul quantitativo minimo

di acciaio e si assume che il pilastro abbia geometria quadrata (h=b):

0 8. bh A N ⋅ + =

2 0 10 8 Ed

cd yd Ed

. N . b f f N

⋅⋅ + =

20 8 0 9cd Ed . b f . N ⋅ = ⋅

Da cui:

0 8 Ed

0 04c Ed

s ,min

⋅= ⎨

≤⎩

Esempio: progetto e verifica di un pilastro caricato allo SLU da una azione assialecentrata pari a NEd =1120kN.

Adottando un calcestruzzo avente f ck =25MPa e un acciaio con f yk =450MPa, segueche le resistenze di progetto dei due materiali valgono:

f ck cd 2.14

85.0 ==

yd 39115.1 ==

Segue che:

0 9 0 9 1120000 Ed . N .⋅ ⋅= = =

0 8 0 8 14 2

0 1 0 1 1120000286 0 003 0 003 300 270

. f . .

. N .mm . A . mm

⋅ ⋅

⋅= = = ≥ ⋅ =

s ,m n c

s ,min2

A mm⎧≥ =⎪

( )2 2

0 04 0 04 300 3600

. A . mm

≤ ⋅ ⋅ =⎪⎩

Una volta che il pilastro è stato progettato si procede alla verifica finale:

0 8= ⋅ + Rd cd sTOT yd N . bhf A f

1199 1120= >

KN KN Ok!

Ora si considerino le staffe: deve essere sempre prevista una staffatura posta adinterasse non maggiore di 12 volte il diametro minimo delle barre per l'armatura

longitudinale, con un massimo di 25 cm. Le staffe devono essere chiuse econtrastare efficacemente, lavorando a trazione, gli spostamenti delle barrelon itudinali erso l'esterno. Il diametro delle staffe non deve essere minore di 6mm e di 1/4 del diametro massimo delle barre longitudinali.

Si ricordi che in prossimità degli estremi del pilastro è buona norma infittire lestaffe, riducendo la distanza a metà passo.

staffa chiusa

Le staffe svolgono importanti funzioni nella loro applicazione strutturale.

- per posizionare i ferri verticali;

- per contrastare il taglio;

- per con er re sta t a err vert ca .

- per confinare il calcestruzzo ed aumentarne quindi la duttilità

Un esempio particolarmente significativo è quello di un ferro verticalesollecitato a compressione. Tale barra tenderebbe a sbandare, ainstabilizzarsi. Le staffe sono utili ro rio er trattenere i ferri verticali e er annullare quindi gli effetti di instabilità provocati da un carico di punta suiferri. Appare quindi evidente che non ha senso utilizzare staffe aperte, perché

Pilastri snelli

Quando un pilastro è sollecitato da una forza di compressione se è snello, ossiase il rapporto tra la dimensione longitudinale e quella trasversale è abbastanza

, .In generale la variazione di configurazione causata dalla deformazione

modifica le sollecitazioni che pertanto vengono a dipendere dalle deformazionin mo o a e c e e equaz on equ r o ven no non near . u av a, poiché normalmente gli spostamenti prodotti dai carichi sono piccoli, si ritieneche l’influenza di questi sulle sollecitazioni sia trascurabile e si assume che lostato di sollecitazione coincida con quello relativo alla configurazione inizialenon deformata. Tale approssimazione, spesso verificata, è detta teoria del

primo ordine e le sollecitazioni relative alla configurazione indeformatasollecitazioni del primo ordine. In alcuni casi però questa semplificazione nonè accettabile in quanto gli effetti delle deformazioni sulle sollecitazioni non

sono trascurabili le ariazioni delle sollecitazioni rodotte da uesti fenomenisono dette effetti del secondo ordine.

Un esempio è l’asta di Eulero; un pilastro sollecitato da una forza dicom ressione N con eccentricità e. La deformazione rodotta dalla flessione

aumenta l’eccentricità del carico e pertanto accresce l’entità della flessione:quando il carico approssima il valore critico euleriano, l’equilibrio diviene

’, .Al carico critico corrisponde una tensione critica:

σcr = cr = π ,

dove λ = l o /i è il rapporto tra la lunghezza libera di inflessione, che per lamensola è il doppio della lunghezza l , ed il raggio di inerzia i = (I/A); λ viene

detta la snellezza della trave. Per elementi con piccola snellezza σcr risultamolto più grande della resistenza del materiale; per questi elementi (tozzi) ilcollasso avviene prima che gli effetti del secondo ordine possano diveniresignificativi e pertanto la teoria del primo ordine risulta soddisfacente.

Al contrario uando λ è molto elevato la tensione critica è molto inferiorealla resistenza; per questi elementi il collasso sopraggiunge a causa deifenomeni del secondo ordine mentre in loro assenza il materiale sarebbe

I fenomeni di instabilità devono essere considerati per snellezze λ = (l o /i)ma iori di 40 essendo l la lun hezza libera di inflessione ed i il corris ondente

raggio d’inerzia.Carico centrato

Scienza e della Tecnica delle Costruzioni mettendo in conto le eccentricità non

volute ed i fenomeni viscosi.n v a cau e a va, per sne ezze , s pu e e uare a ver cautilizzando i coefficienti di carico amplificativi ω indicati nel successivo

prospetto:

Snellezza λ coefficiente di amplificazione ω40 1,0050 1,3060 1,60

70 1 9080 2,30

Flessione semplice:ro etto e verifica di travi

allo stato limite ultimo

Principali tipologie di travi

• Trave portante: porta se stessa, il solaio e, se in posizione perimetrale, letamponature o i parapetti;• Trave erimetrale: orta se stessa le tam onature o i ara etti• Trave portante della scala;• Trave di collegamento: porta solo se stessa.

TRAVI ALTE

TRAVI IN SPESSORE

Le travi in spessore presentano il vantaggio di risultare non visibili e di ridurre

alte (minore momento d’inerzia I = bh3/12) e richiedono più armatura.

INGOMBRI INDICATIVI

La larghezza usuale delle travi emergenti è compresa tra 15 e 40 cm. La

. pari alla larghezza del pilastro oppure è più sottile. Un criterio grossolano per dimensionare l’altezza di una trave portante è: H = L / (10 ÷12).

TRAVI A SPESSORE:

L’altezza di una trave a spessore è pari a quella del solaio. In caso di trave portante una regola grossolana permette di dimensionarne la base come: B

= . ,120 cm (attenzione però alle limitazioni in zona sismica!).

Il collasso di una sezione convenzionalmente è determinato dal raggiungimentodella deformazione ultima nel calcestruzzo e/o nell’acciaio.

Cioè la deformazione di:

Calcestruzzo compresso: Acciaio teso:

εcu = 0.0020, (pura compressione); εsu = 0.0675εcu = 0.0035, (flessione).

P tt ifi di i i tt l i

Progetto e verifica di sezioni rettangolari

Si consideri inizialmente una sezione rettangolare con un solo livello di armaturanel lembo teso e uno nel lembo compresso. Supponendo di conoscere le

mens on e a sez one e e e quan a vo arma ura a o a a ve remodopo le formule di predimensionamento), vogliamo eseguire la verifica

strutturale allo SLU, che consiste nel verificare che:• il valore del momento resistente MRd sia superiore del momento sollecitanteMEd

εs > εyd (= f yd /Es)

e caso so o momen o e en e s vuo e proge are a sez one a nc ostato limite ultimo coincida col raggiungimento della deformazione limite nelcalcestruzzo e contemporaneamente l’acciaio sia snervato.

εc = εcu = 0.0035

Per l’ipotesi di sezione piana (congruenza) risulta:

cu scu s

ε ε ε ε −

cu scu s

xd xε ε

ε ε ′−=′→=

′−

Scrivo ora l’equilibrio orizzontale ipotizzando snervato l’acciaio teso:

00 cd s s s yd x bf A A fσ ′ ′= + −′−

cd s s cu s yd

cd s s cu s d

. xbf A E A f x

. bx f A E x d A f x

′= + −

′ ′= + − −( )20 0 8 cd s s cu s yd s s cu. bf x A E A f x A E d ε ε ′ ′ ′= + − −

Trascurando il contributo dell’acciaio compresso si ottiene un’equazione di primo

yd scd f Abxf . 800 −=

bf .80x =→

N l l ifi h

Noto x calcolo ε s e verifico che:

sia maggiore di ε yd , se così non è (quindi l’acciaio teso non è snervato e la rotturanon è duttile) allargo, se possibile, la base della sezione b e ripeto il calcolo di x (senon è ossibile devo aumentare l’altezza h e ri- redimensionare l’armatura :

391⋅− yd f xd .206000. s

yd s E x

• sia minore di ε su, se così non è (allora la rottura non è lato calcestruzzo, ma lato

− xd .. =<⋅= su s x

Scrivo ora l’equilibrio alla rotazione attorno al punto di applicazione della risultante

Scrivo ora l equilibrio alla rotazione attorno al punto di applicazione della risultante

( )−⋅= d s Rd xd f A M 5.0 0

⋅⋅−⋅= yd s xd f A 8.05.0

⎟ ⎠

⎜⎝

⋅⋅−⋅=cd

yd sbf .80

⎟ ⎠

⎜⎝

−⋅=cd

A questo punto verifico che il valore del momento resistente M Rd sia superiore delmomento sollecitante M Sd . Se così è siamo a posto, altrimenti devo aumentare

’ ’ s .

Vediamo ora come ottenere delle formule che diano dei valori iniziali di tentativo

applicare la procedura appena vista:

’è in spessore h è preso uguale allo spessore del solaio, viceversa se la trave è altasi può assumere circa h = luce / (10-12).

• per quanto riguarda il valore della larghezza della sezione b abbiamo due possibilità: se la trave è alta, la larghezza usuale è compresa tra 15 e 40 cm. Ladimensione più comune è 30 cm. In linea di massima la base della trave è pari

alla larghezza del pilastro oppure è più sottile. Se la trave è in spessore si può porre b = luce / 6. Nella pratica, la larghezza di una trave in spessore varia tra i 60e i 120 cm (limitazioni in zona sismica!).

• Per uanto ri uarda l’armatura al lembo teso si rocede come se ue:

Si parte dalla relazione:

( )28.018.05.018.05.0 ⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −=⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ⋅−=⋅⋅−⋅=

d xd f A

d xd f A xd f A M yd s yd s yd s Rd

5.08.01 ⋅=⎟

⎞⎜⎝

⎛ ⋅−≈ d f A

d d f A yd s yd s

Noto il momento agente M Ed , l’armatura si ottiene quindi risolvendo l’equazione

0 8 Rd s d Ed A f d . M ≈ ⋅ =

seguente semplificata :

e qu n , r cavan o arma ura esa,

Ed M ≈

yd f d .⋅

Un modo iù raffinato er redimensionare l’armatura tesa si basa

sull’introduzione della percentuale meccanica di armatura μ s:

L’asse neutro risulta:

cd .bf . x μ

8080 ==

Il momento resistente è dato quindi anche dalla:

⎟ ⎠

⎜⎝

−=⎟⎟ ⎠

⎜⎜⎝

1 2 scd s

yd s Rd bf d bdf

d f A M μ μ

Noto il momento agente MSd, l’armatura si ottiene risolvendo l’equazione:

Noto il momento agente M Sd , l armatura si ottiene risolvendo l equazione:

2 1 sd b M μ ⎛ ⎞

= − =2 s c

⎝ ⎠

rispetto alla percentuale meccanica di armatura μ s:

2 21 1 2 1 1 2 s yd Ed cd Ed

A f M dbf M Aμ ⎛ ⎞= − − = → = ⋅ − −⎜ ⎟

cd yd cd cd

Il controllo che il momento ultimo della sezione sia raggiunto con l’acciaio snervato

(rottura duttile) può essere fatto nel caso delle flessione semplice tramite la

Per la congruenza, si ha infatti: percentuale meccanica di armatura.

d x sc

Quindi si può scrivere:

c s d .

d ε ε

ε μ ε ε

ε μ +

= 8.0 80

cioè esiste un legame fra la percentuale meccanica di armatura e ledeformazioni del calcestruzzo e dell’acciaio valido nel caso di flessione semplice.

εcuA B

cuA B’

(1)(2) 3/7 h

εsu εyd εc1 b

(5)O f yd /E s =ε yd = 0.0019.

0 0019 0 0675. .ε ≤ ≤

0 00350 80 0035 s

a percen ua e meccan ca armatura μs var a ra:

= 0.8 (0.0035/(0.0035+0.0675) ) ≈ 0.04

μ s = 0.8 (0.0035/(0.0035+0.0019) ) ≈ 0.52

0.52 è la ercentuale meccanica di armatura bilanciata cioè rottura del clsallo snervamento delle barre).

Esempio: progetto e verifica a flessione di una trave di sezione rettangolare alta40cm larga 40cm di luce 5 0m e caricata da un carico permanente g=40kN/m e da

40cm, larga 40cm, di luce 5.0m e caricata da un carico permanente g=40kN/m e daun carico d’esercizio q=10kN/m.

Allo SLU la combinazione di carico risulta essere la se uente:

mkN p 67105.1403.1 =×+×=

Ne consegue che il momento massimo agente nella trave risulta essere:

kNm M Ed 2098

Adottando un calcestruzzo avente f ck =25MPa e un acciaio con f yk =450MPa, segue

f ck cd 2.1485.0 ==

yd 39115.1

Pre-dimensiono l’armatura:

⎞⎛ −−⋅=

M dbf sd cd

2090000002.14400360

⎛ ⋅⋅

⎠⎝ bf d f cd yd

2.14400360391 2 →=⎟ ⎠

⎜⎝ ⋅⋅−−⋅= mm

Una volta predimensionata la sezione procediamo alla verifica della sezione:

f A x yd s 162

2.14400803911885

⋅⋅⋅==

0019.0162360 ⎧>−− xd 0675.0..162.⎩< x

d f A M cd

yd s Rd 21 ⎟⎟ ⎠⎜⎜⎝

−⋅=

Ok! KNm KNm 2092172.143604002

391188513603911885 >=⎟

⎠⎜⎝

⎛ ⋅⋅⋅

⋅−⋅⋅⋅=

Ok! f A yd s 52.036.0

3911885<=

dbf cd

s 2.14400360 ⋅⋅

Regole specifiche per l’armatura longitudinale

Progetto e verifica di elementi presso-inflessi

FILOSOFIA: Assegnato un certo diagramma limite delle deformazioni (cioè tale da

(lineare per ipotesi di sezione piana) si applicano i due legami costitutivi per determinare il corrispondente diagramma dello stato di sforzo (non lineare) per poi- ,

valori limite per la sezione.

Deformazioni tensioni e risultanti

Fccy cyλ F

(1)(2) 3/7 h

hcu =ε 00

εsu εyd εc2

(5)O su

yd E =ε agramma e n sce camp ro ura:

1. Piccola eccentricità (Trazione);2. Sezione debolmente armata;3. Sezione normalmente armata;4. Sezione fortemente armata;5. Piccola eccentricità (Compressione).

rette uscenti dal punto O, corrispondente allo stato limite ultimo per trazione con un allungamento unitario ε su = 67.5‰, e comprese fra le rette

sezione che è totalmente tesa. L’asse neutro è esterno alla sezione, cherisulta quindi soggetta a trazione semplice o tenso-flessione. La crisi dellasez one avv ene per ce mento e ’acc a o teso.

εcuA B

(2) 3/7 h

εsu εyd εc2

rette con origine in O. L’asse neutro è interno alla sezione, per cui la sezione èin parte tesa e in parte compressa e quindi è soggetta a flessione semplice o- .

completamente sfruttata (salvo al limite per εcu = 3.5‰), e la crisi dellasezione avviene per il cedimento dell’acciaio teso (rottura di tipo “duttile”)(rottura ato acc a o con acc a o snervato).

(2) 3/7 h

(3) (4)(5)O

su yd c2 b

di rette uscenti dal punto O’. Questo campo è caratterizzato dalla possibilità diavere la massima deformazione del calcestruzzo (εcu=3.5‰) e la massima’ .

L’asse neutro è interno alla sezione che è in parte tesa e in parte compressa edè quindi sollecitata a flessione semplice o composta (rottura lato calcestruzzocon acc a o snervato).

(2) 3/7 hO’

(3) (4)(5)O

su yd c2 b

Campo 4: Il fascio di rette che individua i vari diagrammi ha origine in O’.

asse neutro nterno a a sez one c e r su ta n parte compressa e n parte

tesa, ed è soggetta a flessione semplice o composta. L’allungamentodell’acciaio è compreso fra ε yd e 0; la tensione dell’acciaio in zona tesa simantiene, in situazione di rottura, inferiore al limite di snervamento, per cuil’acciaio risulta poco utilizzato, mentre il calcestruzzo arriva al suo massimo

accorciamento (ε = 3.5‰), per cui la rottura avviene per schiacciamento delcalcestruzzo (rottura lato calcestruzzo con acciaio non snervato).

3/7 hO’

(3) (4)(5)O

εsu εyd εc2 b

” ’

alla sezione, salvo il caso limite dove l’asse neutro coincide con il lemboinferiore della sezione. La sezione è compressa e l’armatura metallica è

flessione composta. La rottura della sezione avviene per schiacciamento delcalcestruzzo compresso (rottura lato calcestruzzo con acciaio non snervato).

εcuA B

1(2) 3/7 h

h O”

(4)(5)O

L’acciaio teso è sempre snervato (σs = f yd) e quindi la sezione ha rottura.

(3) (4)(5)O

εsu εyd εc1 b

Esempio: sezione rettangolare

FcA’sd’

c y8.0

deformazioni tensioni e risultanti

Equazioni di equilibrio:

1. Traslazione: NEd = Fc + F’s - Fs = 0.8yc b f cd + A’s σ’s - As f yd ,

2. Rotazione attorno al baricentro G :

MRd (NEd) = Fc(0,5h - 0,4 yc) + F’s(0,5h - d’) + Fs(0,5h - d”) ;

MRd (NEd) = 0,8 yc b f cd (0,5h - 0,4 yc) + A’s σ’s (0,5h - d’) + As f yd (0,5h - d”) .

Congruenza:

Ipotesi di sezione piana: date le deformazioni εc e ε s la posizione dell’asse neutro

risulta:

c s d ε ε ε

=→= .c scc y y ε ε +−

ε’ syc

la deformazione nell’acciaio compresso ε’s risulta:

ε ε ε ε ε

ε ε c scc s

⎟⎟ ⎞

⎜⎜⎛ +

−=⎟⎟ ⎞

⎜⎜⎛

−=′→=

δ ε δ ε ε ε sc sc )' 1( ' d ' d

1 −−=−⎟ ⎞

⎜⎛ −=

Legame costitutivo:

E’ possibile così valutare la tensione nell’acciaio compresso σ’s :

se ε’s < εyd allora σ’s = Es ε’s ,

se ε’s ≥ εyd allora σ’s = f yd .

CAMPO 2

εcuA B

(3) (4)(5)O

εsu εyd εc1

b 0675.0== su s ε ε quaz on equ r o:

1. Traslazione: b −′′+= ε 8.0

[ ] yd sc s scd c f A E Adbf −−−′+

+= δ δ ε

ε 01.0)'1(

0675.08.0

A’sF’s

FcA’sd’

c y8.0

2. Rotazione (G) :

( ) ( ) ( ) ( )d h f Ad h E A yhbf y N M yd s s s sccd c Ed Rd ′′−+′−′′+−= 5.05.04.05.08.0 ε

d hdbf c

c +⎟⎟ ⎠

⎜⎜⎝ +

4.05.00675.0

yd sc s s −+−−− ...ε

CAMPO 3

h L’acciaio compresso è

(3) (4)(5)O

sempre snervato essendof yd/Es =εyd= 0.0019.

εsu εyd εc1 b0035.0== cuc ε ε

quaz on equ r o:

1. Traslazione: b −′+= 8.0

0675.0≤≤ s yd ε ε

yd s yd scd f A f Adbf −′++

=ε 0035.0

0035.08.0

A’sF’s

FcA’sd’

c y8.0

2. Rotazione (G) :

( ) ( ) ( ) ( )d h f Ad h f A yhbf y N M yd s yd sccd c Ed Rd ′′−+′−′+−= 5.05.04.05.08.0

d hdbf s

+⎟⎟ ⎠

⎜⎜⎝ +

=0035.0

0035.04.05.00035.0

0035.08.0ε ε

d h f d h f yd s yd s ′′−+′−′+ 5.05.0

DOMINIO DI ROTTURA

Variando εc e ε s , si possono ottenere diverse coppie:

(N Ed , M Rd (N Ed ))

Si possono diagrammare, eventualmente normalizzando:

n = N / bd

m Rd = M Rd / bd 2 f cd

VERIFICA ALLO SLU

Deve risultare:M ≤ M N

Ovvero la coppia (NEd, MEd) deve essere contenuta all’interno del dominio

MEd è il momento prodotto dai carichi di progetto (per la condizione dicarico allo stato limite ultimo esaminata);

Rd momento res stente u t mo e a sez one n unz one e az oneassiale agente NEd (prodotta dai carichi di progetto);

a ver ca e a sez one co nc e qu n con ca co o e suo momen oultimo MRd (capacità) in corrispondenza del collasso.

PRESSOFLESSIONE RETTA: DETERMINAZIONE DEL

dalla quantità di armatura (come succede nella flessione semplice) anchedall’entità dello sforzo normale N . All’aumentare di N si passa da sezioni

utt a sez on rag no a sc acc amento per compress one un orme.E’ utile poter determinare a priori il campo di rottura associato ad unadeterminata armatura e sforzo normale, in maniera tale che la rottura dellasezione sia duttile. Nel caso di flessione semplice ( N=0) abbiamo visto che il

campo di rottura può essere determinato tramite la percentuale meccanica diarmatura.

CAMPO 1

εcuA B

3/7 h(1)

(3) (4)(5)O

εsu εyd εc1

CAMPO 2

εcuA B

(2) 3/7 h(1)

(3) (4)(5)O

εsu εyd εc1

(rottura lato acciaio con acciaio snervato)

CAMPO 3

εcuA B

(2) 3/7 h(1)

(3) (4)(5)O

εsu εyd εc1

(rottura lato calcestruzzo con acciaio snervato)

CAMPO 4

εcuA B

(2) 3/7 h(1)

(3) (4)(5)O

εsu εyd εc1

CAMPO 5

εcuA B

(2) 3/7 h(1)

(3) (4)(5)O

εsu εyd εc1

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