eletromagnetismo aplicado 6 reflexão e transmissão de ondas em interfaces dielétricas planas

Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas

Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre

ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO

Reflexão e Transmissão de Ondas em

Interfaces Dielétricas Planas

Qualquer componente prático, seja um modulador, um guia de ondas, um acoplador

direcional, etc. Deve ter dimensões finitas

Em termos das propriedades eletromagnéticas, pode ser descrito como variações nas

constantes dielétricas ou do índice de refração em função das coordenadas espaciais.

Para entender como um dispositivo opera, devemos entender como a variação

espacial nas constantes dielétricas modificam as propriedades da radiação

propagando-se dentro do dispositivo.

A forma mais simples pode ser a descontinuidade entre dois meios com diferentes

propriedades dielétricas.

As condições de contorno nas interfaces mostradas nas figura 1. são obtidas

diretamente das equações de Maxwell.

Condições de Contorno nas Interfaces

meio 1

meio 2l

E dl B dst

H dl D dst

tan tan1 2

E l E l

H l H l

As componentes tangencias dos campos elétricos e magnéticos devem ser iguais na

interface entre dois meios.

Figura 1. Geometria para obter as condições de contorno

Figura 1. Onda plana incidindo desde a região 1 para a região 2

Reflexão e Transmissão de Ondas

Planas em Interfaces Dielétricas

Região 2

Região 1

Isto implica que,

rk tkik

E r Ae

E r A e

Os vetores de onda são:

tan tan

0 , , 0 , , 0 , ,i r tE y z E y z E y z

tan tan

iy ry tyiz tzrzjk y jk y jk yjk z jk zjk z

i r tAe e A e e Ae e

Condições de continuidade requerem que os campos elétricos e magnéticos sejam

contínuos através da fronteira x = 0

tan tan

iy ry tyiz tzrzjk y jk y jk yjk z jk zjk z

i r tAe e A e e Ae e

Esta equação tem que ser satisfeita em todos os pontos sobre a interface, ou seja para

todos os valores de y e z. Observe que a especificação de um ponto (y,z) resulta numa

equação com as variáveis desconhecidas Ar, At, kry, krz, kty e ktz

Especificando suficientes pontos para ter mais equações do que variáveis, resulta num

sistema inconsistente.

A única solução não trivial requer que as componentes tangenciais dos vetores de onda

sejam iguais:

iy ry ty y

iz rz tz z

k k k k

Estas relações são conhecidas como requerimentos de casamento de fase. Isto significa

que os vetores de onda das ondas incidente, refletida e transmitida estão no mesmo

plano.

Sem perda de generalidade, podemos girar o sistema de coordenadas para que todos os

três vetores de onda estejam no plano xz como mostrado na figura 3.

O plano xz é chamado de plano de incidência e não deve ser confundido com o plano

yz que é o plano de interface e separa as regiões 1 e 2.

Figura 3. Orientação relativa entre os vetores de onda incidente,

refletido e transmitido.

Região 2

Região 1

i ix iz

r rx rz

t tx tz

k xk zk

i ix iz

r rx rz

t tx tz

k xk zk

1 1 1k 2 2 2k

r tiDesta forma as componentes podem ser escritas em função dos ângulos incidente,

refletido e transmitido:

Região 2

Região 1

É importante observar que as componentes x do vetor de onda das ondas incidente e

transmitidasão negativos pois, como mostrado na figura 3, as ondas viajam na direção

x negativa.

Para que as componentes tangenciais ou as componentes z dos vetores de onda sejam

iguais, tem-se:

sen sen i r 1 2sen sen i tk k

Isto significa que o ângulo da onda incidente deve ser igual ao ângulo da onda

refletida e o ângula da onda transmitida pode ser obtido como:

No caso específico de materiais não magnéticos, esta relação é conhecida como a Lei

de Snell.

0 22 2 2

1 0 1 1 1

1 2sen sen i tn n

Exemplo:

Uma onda plana incide desde o espaço livre, região 1, na região 2 que tem = 0 e

= 20.. O vetor de onda incidente é

(a) Escreva a dependência da onda em função de x e z.

(b) Qual é o vetor de onda transmitido?

Solução:

ˆ ˆ2 / 3 4 / 3ik x z

Exemplo:

Uma onda plana incide desde o espaço livre, região 1, na região 2 que tem = 0 e

= 20.. O vetor de onda incidente é

(a) Escreva a dependência da onda em função de x e z.

(b) Qual é o vetor de onda transmitido?

Solução: (a)

ˆ ˆ2 / 3 4 / 3ik x z

ˆ ˆˆ ˆ2 /3 4 /3 . 2 /3 4 /3j x z xx zz j x j ze e e

(b) A componente em z do vetor de onda transmitido é conhecido pois

2 22 2

2 / 3 4 / 3 2 / 3 5

4 / 3 2 2 / 3 10

2 / 3 10 4 / 3 2 / 3 6

4 / 3iz tzk k

ˆ ˆ2 / 3 6 4 / 3tk x z

Plano de incidência: plano formado pelos vetores n e k.

Incidência Oblíqua

Transversal Elétrico(TE)

Senkrecht Polarized(s)

Transversal Magnético(TM)

Plane Polarized(p)

Incidência Oblíqua: Polarização

Incidência Oblíqua: Considerações

1 1 1x zk k k

2 2 2x zk k k

1 2z zk k

Neste caso, percebe-se queindependente do ângulo deincidência, a componentetangencial (z) estará nointervalo [ 0, k1 ] paraincidência normal e rasante,respectivamente.

Todos os vetores de ondaserão reais.

Então sempre haverá ondatransmitida

1 2k k

Incidência Oblíqua: Considerações

1 2k k2 2 2

1 1 1x zk k k

2 2 2x zk k k

1 2z zk k

Neste caso, percebe-se que existiráum ângulo de incidência no qual, acomponente tangencial (z) seráigual ou maior que k2.Assim, a componente k2x seráimaginária

2 2 2 2 2

k k k k k

Quando a componente tangencial é maior do que k2, não existe onda propagante naregião 2, o que se tem é uma onda evanescente (exponencial decrescente).

Incidência Oblíqua: Polarização TE

16meio 2

meio 1

1 1 1k

2 2 2k

• Campo Elétrico Tangencial na Região 1

• Campo Magnético Tangencial na Região 1

1 11 10 0

ˆ cosx xz zjk x jk xjk z jk zi ri r i

E EH H z e e e e

1 11 1

0 0ˆ x xz zjk x jk xjk z jk z

i r i rE E y E e e E e e

0ˆ x zjk x jk z

t tE yE e e

ˆcos cosx zjk x jk ztt t t

EH z e e

• Para determinar as incógnitas Er0 e Et0, devemosaplicar as condições de contorno em x = 0:

Considerando que k1z = k2z

1 2tan tan

E x E x

H x H x

Coeficientes de Reflexão e Transmissão

• Definindo o coeficiente de reflexão como:

• Definindo o coeficiente de transmissão

0 0 0i r tE E E

cos cosi r ti t

0 0 0i i iE RE TE

cos cosi i ii t

E RE TE

0 0 0i i iE RE TE

cos cosi i ii t

E RE TE

cos cos

1 1 1 21

2 2 2 2 1

1 2 2 1 2 1 1

1 2 22 1 2 1

cos coscos

cos cos cos

cos cos

coscos

t t tx

r r tx ix

1 r r tx ix

EXEMPLO

Determine o coeficiente de reflexão para uma onda plana com polarização TE incidindo com um ângulo de 30º desde uma região com μ1=μ0 e ε1= 2ε0 numa região com μ1=μ0 e ε1= ε0

Solução:

2 1 2 1 2

cos 1 sen

como, sen sen sen

1 sen 1 sen

cos cos

sen 1 2 sen 300.577

cos cos30

tx t t

t i r r i

tx r r i

r r i r r itxr r

ix i i

r r itx

1 0,5770,268

1 0,577R

Incidência Oblíqua: Polarização TM

27meio 2

meio 1

1 1 1k

2 2 2k

1 11 1

0 0ˆ x xz zjk x jk xjk z jk z

i r i rH H y H e e H e e

1 11 1

1 0 1 0ˆcos cos cosx xz zjk x jk xjk z jk z

i i r r i r iE E z H e e H e e

2 0ˆcos cosx zjk x jk z

t t t tE z H e e

0ˆ x zjk x jk z

t tH yH e e

Considerando que k1z = k2z

1 2tan tan

E x E x

H x H x

0 0 0i r tH H H

1 0 1 0 2 0cos cosi r i t tH H H

0 0 0i i iH RH TH

1 0 1 0 2 0cos cosi i i i tH RH TH

0 0 0i i iH RH TH

1 0 1 0 2 0cos cosi i i i tH RH TH

cos cos

2 2 2 12

1 1 1 1 2

2 1 2 1 2 1 1

1 2 21 2 2 1

cos coscos

cos cos cos

cos cos

coscos

t t tx

r r tx ix

1 r r tx ix

Coeficientes de Reflexão e Transmissão em função dos vetores de onda

• Polarização TE:

• Polarização TM:

r r tx ix

1 r r tx ix

r r tx ix

1 r r tx ix

Considerando meios não magnéticos temos então:

Desta forma,

Lei de Snell

Considerando o caso,

Observa-se que se existe um ângulo de incidência θi no qual θt = 90

Isto acontece quando: , nesse caso temos reflexão total.

Análise: Polarização TE ou TM

2 1 1 2

cos cos cos cos

i t i t

t t t t

0 0 0 0 0 01 2

1 0 0 1 2 0 0 21 2

1 1 e,

r rr rn n

1 2 t in n

1 2sen seni tn n

Considerando meios não magnéticos temos então:

Desta forma,

Considerando os dois casos,

O numerador de G será nulo se:

Isto acontece quando: , conhecido como ângulo de Brewster

Análise: Polarização TM

cos cos

0 0 0 0 0 01 2

1 0 0 1 2 0 0 21 2

1 1 e,

r rr rn n

1 2cos cost in n

Análise: Polarização TM1 2

cos cos0

cos cos

1 2cos cos 0t in n

1 2cos cost in n 2 2 2 2

1 2cos cost in n

2 2 2 2

1 21 sen cost in n

2 2 2 211 22

1 sen 1 seni i

sen 1 1i

2 2 22 1 1 1

sen 1 1 1i

sen 1 1i

Coeficientes de Reflexão e Transmissão na Reflexão Total Interna

• Polarização TM:

• Polarização TE:

jR R e jT T e

12 tanTE tx

2 tanTM txr

2 1sen

i r rtx

0 30 60 900.0

2/1 2 / 3

2/1 3 / 2

MODOS TM; Paralelo ou p

MODOS TE; Perpendicular ou s

Incidência Normal

meio 2

meio 1

xPlano incidência xz

Plano interface yz1 1,

1 1 1k

2 2 2k

• Onda incidente conhecido

11 1 1 1

Incidência Normal

jk xii

E yE e

EH z e

• Onda refletida

Incidência Normal

desconhecido

jk xrr

E yE e

EH z e

11 1 1 1

• Onda transmitida

jk xtt

E y E e

EH z e

desconhecido

22 2 2 2

Incidência Normal

• Campo Elétrico Total na Região 1

• Campo Magnético Total na Região 1

Incidência Normal

1 10 0

ˆ jk x jk xi ri r

E EH H z e e

0 0ˆ jk x jk x

i r i rE E y E e E e

• Campo Elétrico Total na Região 2

• Campo Magnético Total na Região 2

Incidência Normal

0ˆ jk x

t tE y E e

ˆ jk xtt

EH z e

Da geometria do problema, o campo elétrico e magnéticototal nas duas regiões são tangenciais ao plano yz

1 2tan tan

E x E x

H x H x

Incidência Normal

Incidência Normal• Das condições de contorno, obtem-se:

colocando em evidência Er0 e Et0

2, itir EEEE

• Observar que

• As definições dos Coeficientes de Reflexão e Transmissão se aplicam também no caso de meios com perdas.

• Em meios sem perdas, R e T são reais.

• Em meios com perdas, R e T são complexos.

1 1, 0 2R T

1, 2R T

Ondas Viajantes e Ondas Estacionárias

• O campo total no meio 1 é parcialmente umaonda propagante e parcialmente uma onda

estacionária.

• O campo total no meio 2 é apenas onda

propagante.

• O campo elétrico total no meio 1 é dado por,

ˆ 1 2 se n

jk x jk x

jk x jk x jk x

E E E zE e Re

zE R e Re Re

zE R e j R k x

propaganteonda

estacionária

Ondas Viajantes e Ondas Estacionárias

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