lt33c – eletromagnetismo

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()UTFPR - Campo Mourao
Conteudo
Vetor Unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Algebra vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Sistemas de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Reginaldo N. de Souza 3 LT33C - Eletromagnetismo
Integrais de linha, de superfcie e de volume . . . . . 47
Operador del ou nabla . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Gradiente de um campo escalar . . . . . . . . . . . . 52
Divergente de um campo vetorial . . . . . . . . . . . 54
Rotacional de um campo vetorial . . . . . . . . . . . 56
Laplaciano de um escalar . . . . . . . . . . . . . . . 58
Laplaciano de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Reginaldo N. de Souza 4 LT33C - Eletromagnetismo
Campos Eletrostaticos 61
Princpio da Superposicao de Forcas . . . . . . . . . 67
Campo Eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Campo de uma Linha de Carga . . . . . . . . . . . . 76
Campo de uma Lamina Carregada . . . . . . . . . . 77
Campo de um Volume de Carga . . . . . . . . . . . . 79
Densidade de Fluxo Eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Reginaldo N. de Souza 5 LT33C - Eletromagnetismo
Relacao entre Densidade de Fluxo Eletrico e Campo Eletrico 83
Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Teorema da Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Carga Pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Esfera Carregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Potencial Eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Relacao entre o Campo Eletrico e o Potencial Eletrico . . . 112
Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Energia em Campos Eletrostaticos . . . . . . . . . . 119
Reginaldo N. de Souza 6 LT33C - Eletromagnetismo
Campos Eletricos em Meio Material 127
Corrente e Densidade de Corrente . . . . . . . . . . . . . 128
Corrente de Conveccao . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Corrente de Conducao . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Capacitor Coaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Capacitor Esferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Polarizacao em Dieletricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Reginaldo N. de Souza 7 LT33C - Eletromagnetismo
Campos Magnetostaticos 177
Aplicacao da lei de Ampere . . . . . . . . . . . . . . 186
Densidade de Fluxo Magnetico . . . . . . . . . . . . . . . 189
Equacoes de Maxwell para Campos Eletromagneticos Estaticos195
Potenciais Magneticos Escalar e Vetorial . . . . . . . . . . 197
Reginaldo N. de Souza 8 LT33C - Eletromagnetismo
Forcas, Materiais e Dispositivos Magneticos 201
Forcas Devido aos Campos Magneticos . . . . . . . . . . . 202
Forca Sobre Partculas Carregadas . . . . . . . . . . 203
Forca Sobre Um Elemento de Corrente . . . . . . . . 206
Torque e Momento Magneticos . . . . . . . . . . . . . . . 209
Magnetizacao em Materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Diamagneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Paramagneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Ferromagneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Teoria dos Domnios Magneticos e a Curva de Histerese . . 228
Indutores e Indutancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Reginaldo N. de Souza 10 LT33C - Eletromagnetismo
Equacoes de Maxwell 256
Espira em Movimento em um Campo B Variavel no Tempo267
Corrente de Deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Equacoes de Maxwell nas Formas Finais . . . . . . . . . . 278
Potenciais EM Variaveis no Tempo . . . . . . . . . . . . . 281
Campos Harmonicos no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . 289
Reginaldo N. de Souza 11 LT33C - Eletromagnetismo
Propagacao de Ondas Eletromagneticas 301
Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
Ondas Planas em Dieletricos Sem Perdas . . . . . . . . . . 317
Exerccios – Lista 3 – Equacoes de Maxwell e Ondas . . . . 319
Reginaldo N. de Souza 12 LT33C - Eletromagnetismo
Apresentacao
[email protected]
Datas Importantes
Reginaldo N. de Souza 14 LT33C - Eletromagnetismo
Criterios de Avaliacao
MF = 0, 9MP + 0, 1APS
sendo:
– MP = (P1 + P2 + P3)/3 a media das tres provas realizadas. Esta media corresponde a 90% da nota final;
– APS (Apresentacao das Atividades Praticas Supervisionadas) representa 10% da nota final;
Possveis cenarios:
– Se MF ≥ 6, 0 e frequencia ≥ 75%, o aluno estara APROVADO;
– Se MF ≥ 6, 0 e frequencia < 75%, o aluno estara REPROVADO.
Reginaldo N. de Souza 15 LT33C - Eletromagnetismo
– Se MF < 6, 0 e frequencia ≥ 75%, o aluno estara de RECUPERACAO;
– Se MF < 6, 0 e frequencia < 75%, o aluno estara REPROVADO.
Prova P4 substituira a menor nota entre P1, P2 e P3;
– Para realizar P4 e necessario que MF < 6;
– A MF apos P4 sera no maximo 6,0.
Reginaldo N. de Souza 16 LT33C - Eletromagnetismo
Bibliografias
Referencias basicas:
1. SADIKU, Matthew N. O. Elementos de eletromagnetismo. 5 ed. Porto alegre, RS: Bookman, 2012.
2. HAYT JUNIOR, W. H.; BUCK, J. A. Eletromagnetismo. 8 ed. Porto Alegre, RS: Bookman, 2013.
3. EDMINISTER, J. Eletromagnetismo. 2 ed. Porto Alegre, RS: Bookman, 2006.
Reginaldo N. de Souza 17 LT33C - Eletromagnetismo
Referencias complementares:
1. NOTAROS, B. M. Eletromagnetismo. Sao Paulo: Pearson, 2012.
2. REITZ, J.; MILFORD, F.; CHRISTY, R.; DUARTE, C. Fundamentos da teoria eletromagnetica. Rio de Janeiro, RJ: Campus, 1982.
3. BASTOS, J. P. A. Eletromagnetismo para Engenharia: estatica e quase-estatica. 2 ed. Florianopolis, SC: Editora da UFSC, 2008.
4. HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WLAKER, J. Fundamentos de Fsica. 8 ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2009. Vol.3.
5. BASTOS, J. P. A. Eletromagnetismo e Calculo de Campos. 3 ed. Florianopolis, SC: Editora da UFSC, 1996.
6. KRAUS, J.; CARVER, K. Eletromagnetismo. 2 ed. Rio de Janeiro, RJ: Guanabara Dois, 1978.
Reginaldo N. de Souza 18 LT33C - Eletromagnetismo
Analise Vetorial
Objetivos
1. Algebra Vetorial: adicao, subtracao, produto escalar e produto vetorial;
2. Sistemas Coordenados: cartesiana, cilndrica e esferica;
3. Integrais contendo Funcoes Vetoriais: linha, superfcie e volume;
4. Gradiente de um Campo Escalar;
5. Divergente de um Campo Vetorial;
6. Rotacional de um Campo Vetorial;
Reginaldo N. de Souza 20 LT33C - Eletromagnetismo
Introducao
Os fenomenos fsicos na natureza podem ser matematicamente representados como grandezas escalares ou vetoriais. Dentre estes fenomenos, os eletromagneticos (EM) sao em sua maioria representados por vetores. Desta forma, a analise vetorial torna-se uma importante ferramenta para o entendimento dos conceitos EM apresentados durante esse curso.
Neste captulo primeiramente e apresentada uma breve revisao de vetores (notacao, algebra, etc.). Em seguida sao abordados os sistemas de coordenadas cartesianas, cilndricas e esfericas. Por fim, o calculo vetorial (integracao e diferenciacao de vetores) e apresentado.
Reginaldo N. de Souza 21 LT33C - Eletromagnetismo
Vetores e Escalares
Os vetores sao grandezas que possuem magnitude (modulo) e orientacao (direcao e sentido). Por exemplo, velocidade e forca. Um escalar, por sua vez, e uma grandeza que possui apenas magnitude. Exemplo: massa e temperatura.
Para diferenciar um escalar de um vetor, utiliza-se a seguinte notacao:
Vetor: ~F ou F
Vetor Unitario
A um vetor A pode-se associar um vetor unitario (ou versor) com modulo igual a um. Este versor, representado por aA, possui a mesma orientacao de A e pode ser escrito como:
aA = A
|A| = A
A (1)
ou seja, o versor aA e a relacao do vetor A pelo seu modulo (A).
Da relacao (1) nota-se que o vetor A pode ser reescrito como:
A = AaA (2)
Em coordenadas cartesianas (retangulares), um vetor A pode ser representado como:
A = (Ax, Ay, Az) = Axax + Ayay + Azaz (3)
sendo Ax, Ay e Az as componentes de A em x, y e z, respectivamente; ax, ay e az sao os vetores unitarios no sistema de coordenadas cartesianas e estao direcionados ao longo dos eixos x, y e z, como mostrado na Fig. 1.
A magnitude do vetor A e dada por:
A = √
y + A2 z (4)
Assim, o vetor unitario ao longo de A pode ser escrito como:
aA = Axax + Ayay + Azaz √
Figura 1: Vetores unitarios do sistema cartesiano [WHHB12].
Reginaldo N. de Souza 25 LT33C - Eletromagnetismo
Algebra vetorial
A±B = (Axax + Ayay + Azaz)± (Bxax + Byay + Bzaz)
A±B = (Ax ± Bx) ax + (Ay ±By) ay + (Az ± Bz) az
Figura 2: Soma vetorial.
2. Associativa, distributiva e comutativa:
A + (B +C) = (A +B) +C
k (A +B) = kA + kB
(k1 + k2)A = k1A + k2A
A +B = B +A
sendo θAB o menor angulo entre A e B.
Utilizando os vetores expressos por suas componentes retangulares:
A ·B = AxBx + AyBy + AzBz
Em particular,
A ·A = A2 = |A|2 = A2 x + A2
y + A2 z
Note que as leis associativas, distributivas e comutativas sao validas para o produto escalar.
Observe tambem que:
4. Produto vetorial:
A×B = (AB sin θAB) an
sendo θAB o menor angulo entre A e B, e an o versor normal ao plano definido por A e B. A orientacao de an pode ser obtida pela “regra da mao direita” ou pelo giro do parafuso universal, rodando-se de A para B (Fig. 3).
Utilizando os vetores segundo suas componentes cartesianas:
Reginaldo N. de Souza 28 LT33C - Eletromagnetismo
Figura 3: Direcao e sentido de A × B sao na direcao e sentido do avanco de um parafuso rotacionado de A para B [WHHB12].
Reginaldo N. de Souza 29 LT33C - Eletromagnetismo
A×B = (Axax + Ayay + Azaz)× (Bxax + Byay + Bzaz)
A×B = (AyBz − AzBy) ax+(AzBx − AxBz) ay+(AxBy − AyBx) az
uma vez que:
ax × ay = az ay × az = ax az × ax = ay
A expressao do produto vetorial de A e B tambem pode ser escrita na forma compacta como um determinante:
A×B =
Bx By Bz
Reginaldo N. de Souza 30 LT33C - Eletromagnetismo
Deve-se notar que o produto vetorial nao e comutativo e nem associativo, mas e distributivo:
A×B = −B×A
A×A = 0
Vetor posicao e vetor distancia
Vetor posicao rP de um ponto P e um vetor que comeca na origem O do sistema coordenado e termina no ponto P . Da Fig. 4:
rP = −→ OP = xPax + yPay + zPaz
rQ = −→ OQ = xQax + yQay + zQaz
Vetor distancia RPQ e o deslocamento de um ponto P a um ponto Q. Por exemplo, na Fig. 4 tem-se que:
rP +RPQ = rQ
Portanto, o vetor distancia e dado por:
RPQ = rQ − rP RPQ = (xQ − xP ) ax + (yQ − yP ) ay + (zQ − zP ) az
Reginaldo N. de Souza 32 LT33C - Eletromagnetismo
Figura 4: Vetores posicao rP e rQ, e vetor distancia RPQ
Reginaldo N. de Souza 33 LT33C - Eletromagnetismo
Exerccio: Os ponto P e Q estao localizados em (0, 2, 4) e (−3, 1, 5). Calcule:
a) o vetor posicao P ; rP = 2ay + 4az
b) o vetor distancia de P ate Q; rPQ = −3ax − ay + az
c) a distancia entre P e Q; d = 3, 32
d) um vetor paralelo a PQ com magnitude 10. A = ± (−9, 05ax − 3, 02ay + 3, 02az)
Reginaldo N. de Souza 34 LT33C - Eletromagnetismo
Sistemas de Coordenadas
Os sistemas de coordenadas definem um ponto no espaco como o resultado da interseccao de tres superfcies que podem ser planas ou nao. Vamos nos ater aqui a tres tipos de sistemas de coordenadas: cartesianas, cilndricas e esfericas.
Reginaldo N. de Souza 35 LT33C - Eletromagnetismo
Coordenadas cartesianas
Tambem conhecido por coordenadas retangulares, define um ponto pela interseccao de 3 planos. Neste sistema um ponto P (x, y, z) e definido pela interseccao dos planos x, y e z constantes paralelos respectivamente ao plano yz, ao plano xz e ao plano xy, conforme a Fig. 5. E o sistema (x, y, z).
−∞ < x < ∞ −∞ < y < ∞ −∞ < z < ∞
Figura 5: Sistemas de coordenadas cartesianas (x, y, z) [Edm06]
Reginaldo N. de Souza 37 LT33C - Eletromagnetismo
Coordenadas cilndricas
Neste sistema de coordenadas o ponto P (ρ, φ, z) e determinado pela interseccao de uma superfcie lateral cilndrica de raio ρ constante e altura infinita, pelo semiplano φ constante (que contem o eixo z) e finalmente pelo plano z constante, como pode ser mostrado na Fig. 6. E o sistema (ρ, φ, z).
0 ≤ ρ < ∞ 0 ≤ φ < 2π
−∞ < z < ∞
Figura 6: Sistemas de coordenadas cilndricas (ρ, φ, z)
Reginaldo N. de Souza 39 LT33C - Eletromagnetismo
Coordenadas esfericas
Define um ponto P (r, θ, φ) na superfcie de uma esfera de raio r constante centrada na origem, vinculando-o pela interseccao desta superfcie com uma outra conica θ (angulo formado com o eixo y) constante e um semiplano φ (contendo o eixo z) constante, representado na Fig. 7. E o sistema (r, θ, φ).
0 ≤ r < ∞ 0 ≤ θ < π
0 ≤ φ < 2π
Figura 7: Sistemas de coordenadas esfericas (r, θ, φ)
Reginaldo N. de Souza 41 LT33C - Eletromagnetismo
Versores sistemas coordenados
A Fig. 8 mostra os tres versores aplicados ao ponto P .
Figura 8: Versores: a) Cartesiana; b) Cilndrica; c) Esferica
Note que os versores apontam sempre para o sentido de crescimento da coordenada e sao normais a sua respectiva superfcie coordenada. Por exemplo, aφ e normal a superfcie φ = constante.
Reginaldo N. de Souza 42 LT33C - Eletromagnetismo
Calculo Vetorial
Os elementos diferenciais sao muito importantes em calculo vetorial. Em eletromagnetismo sao muito utilizados em integrais de linha, superfcie e volume.
1. Coordenadas cartesianas:
Deslocamento diferencial : Da Fig. 9 obtem-se que:
dl = dx ax + dy ay + dz az
Area diferencial : O elemento de area diferencial e obtido a partir da Fig. 9 como:
dS = dS an
sendo dS a area do elemento de superfcie e an o versor normal a superfcie dS e orientado para fora do volume
Reginaldo N. de Souza 44 LT33C - Eletromagnetismo
limitado pela superfcie dS. A area dS em uma superfcie e dada pelo produto dos deslocamentos diferenciais que variam nesta superfcie (duas componentes de dl). Por exemplo, para a superfcie ABCD, dS = dy dz e an = ax, resultando em dS = dy dzax. Ja para APSD dS = −dx dzay, pois an = −ay. De maneira geral, os elementos positivos de area diferencial sao dados por:
dS = dy dz ax = dx dz ay = dx dy az
Estas areas diferenciais estao ilustradas na Fig. 10.
Volume diferencial : e obtido da multiplicacao das tres componentes de dl:
dv = dx dy dz
Figura 9: Elementos diferenciais em coordenadas cartesianas [Sad12].
Reginaldo N. de Souza 46 LT33C - Eletromagnetismo
Figura 10: Area diferencial normal: a) dS = dydzax; b) dS = dxdzay; c) dS = dxdyaz
Reginaldo N. de Souza 47 LT33C - Eletromagnetismo
2. Coordenadas cilndricas:
Area diferencial : obtida a partir da Fig. 11, resultando em:
dS = ρdφ dz aρ = dρ dz aφ = ρdφ dρ az
conforme ilustrado na Fig. 12.
Volume diferencial : e obtido da multiplicacao das tres componentes de dl:
dv = dρ ρdφ dz
Reginaldo N. de Souza 48 LT33C - Eletromagnetismo
Figura 11: Elementos diferenciais em coordenadas cilndricas.
Reginaldo N. de Souza 49 LT33C - Eletromagnetismo
Figura 12: Area diferencial normal: a) ρdφdz aρ; b) dρdz aφ; c) ρdφdρ az
Reginaldo N. de Souza 50 LT33C - Eletromagnetismo
3. Coordenadas esfericas:
dl = dr ar + rdθ aθ + r sin θdφ aφ
Area diferencial : obtida a partir da Fig. 13, resultando em:
dS = r2 sin θ dθ dφ ar = r sin θ dr dφ aθ = r dr dθ aφ
conforme ilustrado na Fig. 14.
Volume diferencial : e obtido da multiplicacao das tres componentes de dl:
dv = r2 sin θ dr dθ dφ
E importante observar que os valores de dl, dS e dv para qualquer sistema de coordenadas nao devem ser “decorados” e sim encontrados a partir da analise das Fig. 9, 11 e 13.
Reginaldo N. de Souza 51 LT33C - Eletromagnetismo
Figura 13: Elementos diferenciais em coordenadas esfericas.
Reginaldo N. de Souza 52 LT33C - Eletromagnetismo
Figura 14: Area diferencial normal: a) r2 sin θdθdφ ar; b) r sin θdrdφ aθ; c) rdrdθ aφ
Reginaldo N. de…