eletromagnetismo avanÇado

15/06/2015 ELETROMAGNETISMO AVANADO

https://www.ufpe.br/fontana/ee982/aulas/aula22.html 1/21

ELETROMAGNETISMOAVANADOAULA222013.1PPGEEUFPE

22.1CampoBdeDistribuioLocalizadaConsideradistribuiolocalizadadecorrenteeoefeitomagnticoporelaproduzido

Noregimedecorrenteestacionria:

enainterfaceentremeiosdistintos1e2,Copyrigth19992013byEduardoFontana

Na superfcie de contato entre a distribuio localizada e o espaovazioexteriortemse



Potencialvetor

Defineesferadeconfinamentodadistribuiocomraio , tal que

.Para podefazeraexpanso

Seja

,

,Copyrigth19992013byEduardoFontana

ento

,

,eportanto,atprimeiraordem



Inserindoesseresultadonaexpressointegralobtm

ouequivalentemente

Copyrigth19992013byEduardoFontana

Asimacomponentedopotencialvetordadapor

ou,alternativamente

Asdependnciascomadistnciapermitemidentificar:



Termodemonopolomagntico

TermodedipolomagnticoCopyrigth19992013byEduardoFontana

Anlisedostermos:Consideraasidentidades:edessasduasSeja (notandoque )temse

Oresultadoacimavlido .1.Consideraocaso .Temse:

ealtimaidentidadefornece




UsaoteoremadeGauss

Portanto

eotermodemonopolonulo,comoesperado.2.Paraaanlisedotermpodedipolo,noteseque

,

com com a notao em que ndices repetidosindicamsoma,ouseja,

Considerandoaidentidadevetorialcom ,temse




ouainda

AplicaoteoremadeGaussnaintegraldevolume

Comoempregodaidentidadeanterior,temse

ouequivalentemente

Portanto


donde



ouainda,somandoascomponentes,temse

Paraosegundomembro,consideraaidentidadeouequivalentemente,

Utilizandoaltimarelaodadapor


resultaem

Donde



Opotencialvetor

portanto


Definese o momento de dipolo da distribuio de corrente pelarelao

Adensidadededipolospodeserobtidapelaintegraodevolumedovetormagnetizao,

de forma mais geral, o vetor magnetizao de uma distribuio decorrentemomentodedipolodadistribuiodecorrentepelarelao



Com essas definies, a contribuio de mais baixa ordem de umadistribuiodecorrente localizadacorrespondeaopotencialvetor dodipolomagntico


Para determinar o campo B da distribuio localizada, define umsistemadecoordenadascomoeixozalinhadocomadireodovetormomentodedipolo.Temse

Utilizandoaidentidadevetorial

com e vem

Notandoque




temse

Umavezque ,temse

ouainda

queequivalentea




Notandoque vem

logo

que idntico ao campo eltrico do dipolo eltrico no regimeassinttico.Copyrigth19992013byEduardoFontana

22.2ConexoentremomentodedipoloemomentoangularConsiderasistemadeNpartculasconformefigura



AdensidadedecorrentedadaporDadoqueparapartculasdiscretas

temseCopyrigth19992013byEduardoFontana

Omomentodedipolomagnticodosistema



Considerandoqueaisimapartculatenhamassa ,temse

Dadoqueomomentolineardecadapartculatemse


Omomentoangulardecadaparticuladadopor

eportanto

Parapartculasidnticas,porexemplo,

com



representando o momento angular do sistema como um todo. A

relao a conexo clssica entre momento de dipoloeltrico emomento angular. Essa relao vlida para sistemas departculasanvelatmicoemolecular. Noentanto, essa relaonofunciona para o caso de partculas elementares como o eltron, porexemplo. Isso decorre de efeitos relativsticos e qunticos, noprevistosnateoriaclssica.Paraoeltron,porexemplo,Copyrigth19992013byEduardoFontana

com sendoomomentoangular(spin)doeletronecomofatorgsendoaproximadamente .

22.2 Fora e torque sobre distribuio localizada decorrenteConsidera uma distribuio localizada em uma regio de campo.Admitequeasdimensesdadistribuio sopequenas em relao escaladevariaodocampo,conformeilustradonafigura.



Sobreadistribuio,ocampopodeserexpandidonaformaCopyrigth19992013byEduardoFontana

Ou seja, os termos de ordem zero e um da expanso do campo socalculados na origem, ou no centro da distribuio, i.e., .Utilizandoanotaocompacta,emquendicesrepetidosrepresentamsoma,aforamagnticadadapor

eaforatotaldadapor

Naaproximaodeprimeiraordem,temse



ouequivalentemente,notandoqueosvetores soconstantes,

ouequivalentementeCopyrigth19992013byEduardoFontana

Comomostradoanteriormente

eportanto

Paraessaltimaexpresso,consideraaidentidadevetorialCom eosegundovetorrepresentandoocampoB,temse



Umavezque noatuasobre ,temseCopyrigth19992013byEduardoFontana

Notese tambm que as fontes do camo B so fontes distantes, eportantoAssimeaforasetorna

Sejaagoraaidentidadevetorialcom e vemOsegundotermodosegundomembronulo,umavezqueovetor JnodependedovetorX.PortantoCopyrigth19992013byEduardoFontana



ouequivalentemente

Comomostradoanteriormente

Fazendoportanto ,obtmse

eportantoCopyrigth19992013byEduardoFontana

Equivalentemente,utilizandoasidentidadesvetoriais



com ,obtmDado que independe das coordenadas, e sobre adistriuiodecorrente ,temseeportantoeaforapodeserpostanaformaCopyrigth19992013byEduardoFontana

Oquepermite identificaraenergiadeacoplamento entre campodipolo. Uma vez que da relao clssica entre fora mecnica eenergiapotencial,i.e.,temseaenergiapotencialmagnticadadapor



Observequea tendnciadeumdipoloalinharsecomocampo,deformaaminimizaraenergiadeacoplamento.Otorquedocamposobreadistribuioobtidode

Comovistoanteriormente


Portanto

Paraasegundaintegralnoteseque

Portanto



eotorquesobreadistribuiosimplesmente


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