modélisation tridimensionnelle des écoulements diphasiques c. morel, der/ssth

Modélisation tridimensionnelle des écoulements diphasiques

C. Morel, DER/SSTH

Plan de l’exposé

• Partie I: Etablissement des équations de bilans: masse, quantité de mouvement, enthalpie totale (Eqs. primaires)

• Partie II: Présentation des principales relations de fermetures

• Partie III: Equations de bilans supplémentaires: exemple de l’énergie cinétique turbulente et de l’aire interfaciale volumique en écoulement à bulles.

• Partie IV: Illustrations et références

PARTIE I

ETABLISSEMENT DES EQUATIONS DE BILANS PRIMAIRES:

• Masse

• Quantité de mouvement

• Enthalpie totale

Les équations locales et instantanées pour la phase k (1)

• Masse:

• Quantité de mouvement:

• Enthalpie totale:

G,Lk0v.t kkk

G,Lk.gpvv.t

vkkkkkk

kk

G,LkQv.q.

v.gt

pv

2

vh.

2

vh

t

kkkkk

kkk

k

2k

kk

2k

kk

Les équations locales et instantanées pour la phase k (2)

• Pour un fluide de Stokes et de Fourier:

• Loi d’état pour chaque phase:

• Qk et g sont des données du problème

kkkk

kkkk

h,pTT

h,p

kkk

kT

kkkk

k

Tq

vvIv.3

2

Opérateur de moyenne et règles de Reynolds

• Statistique (opérateur le plus général)

• Temporel (écoulement stationnaire en moyenne)

• Spatial (écoulement homogène en moyenne)

• Linéarité de l’opérateur de moyenne

• Idempotence de l’opérateur <<F>> = <F>

Utilisation des distributions

• Traitement des discontinuités aux interfaces

• Fonction Indicatrice de Phase (FIP):

• Equations vérifiées par la FIP:

contrairecasledans0

tttanins'làkphaseladansestxsi1t,xk

Ikk

kk

n

0.wt

Extension des équations locales-instantanées au diphasique

• Les dérivées de k ne sont non nulles qu’au sens des distributions, et on a:

• Exemple: bilan de masse: k = k

Ikkkkk

kkkk

k

Ikkkkkkkkkk

n.wtttt

n

IkI

m

kkkkkkkk mˆn.wvv.

tk

Quantité de mouvement et enthalpie

• Quantité de mouvement:

• Enthalpie totale Hk = hk + vk.vk/2:

Ikkkkkk

kkkkkkkkkkkkk

n.npvm

.gpvv.t

v

IkkkIkkIkkkkkkkk

kkkk

kkkkkkkkkk

n.v.n.qHmg.vQ

v..t

pq.vH.

t

H

Opérateur de moyenne (1)

• < > = opérateur de moyenne d’ensemble

• Moyenne phasique:

• Taux de présence phase k:

• Moyenne de Favre:

k

kk

kk ˆt,x

kk ˆt,x

kk

kkk

kk

kkkk ˆt,x

Opérateur de moyenne (2)

• Moyenne aux interfaces:

• Aire interfaciale volumique:• Moyenne aux interfaces pondérée par le

changement de phase:

• Taux de production de masse:

I

kI

Ik aˆt,x

II ˆt,xa

Ikk mˆ

k

IkkI

Ik

Ikkk

ma

m

mˆt,x

Equations moyennées

• Masse:

• Quantité de mouvement:

kkkkkkkk V.

t

ynoldsRedetenseur:VVvvˆ

mouvementdequantitéde

erfacialinttransfert:n.npvmˆM

M.gp

VV.t

V

kkkkkkkkT

k

Ikkkkkkk

kT

kkkkkkkkkk

kkkkkkkkk

Décomposition du transfert de quantité de mouvement

• Cas d’un écoulement à bulles:

turbulentedispersionM

)lift(cetanporM

ajoutéemasseM

trainéeMM

reculdeforceVM

MpMM

TDk

Lk

Ak

Dkk

kkk

kkIkkk

Quantité de mouvement: forme non conservative

• En soustrayant Vk*bilan masse:

...)ajoutéemasse,trainée(forcesautresM

reculdeforceVV

)stratifiéssécoulement(pressiondeécartpp

turbulenteetemoléculairdiffusion.

gravitéetpressiongradientgp

kphasemoyenneonaccélératiDt

VD

k

kkk

kkkIk

T

kkkk

kkkkkk

kkkkk

Forme simplifiée dans code NEPTUNE_CFD

• Hypothèse simplificatrices: et

pression unique: d’où:kk VV

PppkkIk

...)ajoutéemasse,trainée(forcesautresM

turbulenteetemoléculairdiffusion.

gravitéetpressiongradientgP

kphasemoyenneonaccélératiDt

VD

k

T

kkkk

kkkk

kkkkk

Bilan moyen d’enthalpie totale

• Hk: enthalpie totale moyenne

tpn.v.n.qHmˆE

Eg.VQ

v..t

pqq.

VH.t

H

kkIkkkIkkIkkk

kkkkkkkkk

kkkkkkkT

kkkk

kkkkkkkkk

Décomposition du transfert d’enthalpie totale

négligéstermest

Ppn.v.

moyennepressionentermet

P

erfaceintkphasechaleurdetransfertaq

phasechangementassociéenthalpie'dtransfertHˆE

kkIkkk

k

Iki

kkk

Enthalpie totale: forme non conservative

chaleuretmasseerfacialinttransfertaqHH

)gravité,chaleur(cetandisàsourcesg.VQ

itécosvisdeetpressiondetermesv..t

P

turbulenteetemoléculairdiffusionqq.

totaleenthalpie'diationvarDt

HD

Ikikkk

kkkkkkkk

kkkkk

T

kkkk

kkkkk

Forme simplifiée dans code NEPTUNE_CFD

chaleuretmasseerfacialinttransfertaqHH

)chauffanteparoi.g.e,chaleur(cetandisàsourceQ

pressiondetermest

P

turbulenteetemoléculairdiffusionqq.

totaleenthalpie'diationvarDt

HD

Ikikkk

kkkk

k

T

kkkk

kkkkk

PARTIE II

PRESENTATION DES PRINCIPALES RELATIONS DE FERMETURES:

• Transferts interfaciaux de masse et de chaleur

• Transfert interfacial de quantité de mouvement

• Transferts turbulents

Transferts interfaciaux de masse et de chaleur

• Forme simplifiée du bilan interfacial d’enthalpie (Ishii, 1975; Ishii & Hibiki, 2005):

• Densité de flux de chaleur:

12

2,1kIki

122,1k

Ikikk HH

aq

0aqH

)ddiamètrebulles.g.e(PTTd

Nuq satk

kkki

Transferts interfaciaux de quantité de mouvement

• Ecoulement à bulles (diamètre d):

• Trainée:

• Masse ajoutée:

• Portance (lift):

• Dispersion turbulente:

LGLGDLiDL

DG VVVVCa

8

1MM

Dt

VD

Dt

VD

1

21CMM LLGG

LAAL

AG

LLGLLLL

LG VVVCMM

LLTDTDL

TDG KCMM

Transferts turbulents

• Tenseur de Reynolds (e.g. phase liquide):

• Viscosité turbulente:

• 2 inconnues à fermer: KL et L

)V.K(I3

2)VV( L

TLLLLL

TL

TLL

T

L

L

2LT

L

KC

Partie III: Equations de bilans supplémentaires

• Moyenne d’un scalaire passif (scalaire convecté et diffusé par l’écoulement)

• Quantités turbulentes liées à l’écoulement (tensions de Reynolds, énergie cinétique turbulente…) ou au scalaire passif (variance et flux turbulent du scalaire passif)

• Quantités géométriques (e.g. aire interfaciale volumique aI, nombre volumique moyen de bulles…)

Méthodes de dérivation des équations

• A partir des équations de bilans primaires (masse, quantité de mouvement, énergie) en gardant le même formalisme général (particulièrement difficile pour les grandeurs géométriques)

• Pour les écoulements DISPERSES, utilisation d’un formalisme particulaire introduisant une fonction de distribution des particules fluides: en taille, en vitesse…

Exemple 1 (méthode 1): Energie Cinétique Turbulente (ECT)

• Intérêt: l’ECT est une des 2 variables principales du modèle K- permettant de fermer la viscosité turbulente.

• Définition: L’ECT est la différence entre la moyenne de l’énergie cinétique du mouvement total (local et instantané) et de l’énergie cinétique du mouvement moyen:

2

V

2

vˆK

2L

L

2L

L

Eq. pour l’ECT (2)

• On suppose que le liquide (phase considérée) est incompressible et indilatable (L = cte).

• La méthode de dérivation suit celle employée en monophasique, et découle directement de la définition de la grandeur (ici KL) et des propriétés de l’opérateur de moyenne.

Eq. pour l’ECT (3)

VI

I

2L

L

V

ILLLILLLL

IV

LLLLL

III

LLLL

L

L

L

2L

LLLLLLLLL

LLLLL

2

vmn.v.n.vp

1

V:vvv:

IIv2

vv.vp.

1

IVK.t

K

Eq. pour l’ECT (4)

• I: transport par vitesse moyenne• II: diffusion turbulente• III: dissipation visqueuse• IV: production par le gradient de vitesse

moyenne• V: production/destruction interfaciale• VI: transfert d’ECT par changement de

phase

Fermeture de l’Eq. d’ECT (1)

• I et IV ne nécessitent aucune modélisation supplémentaire

• III sera donnée par son équation (Eq. d’L)

• II: les 3 termes sont modélisés collectivement par une loi gradient:

LK

TL

L

L

L

2L

LLLLLLL Kv2

vv.vp

Fermeture de l’Eq. d’ECT (2)

• VI est généralement supposé égal à LKL, et disparaît en mettant l’Eq. sous forme non conservative.

• V: terme difficile (production ou destruction de turbulence liquide par les interfaces).

Modèle simple en bulles (e.g. Lance, 1984): LGDG

LILLLILLL

L

VV.M1

n.v.n.vp1

Eq. d’ECT fermée

LLLGDG

LLLLLLLL

LK

TL

LL

LLLLL

KVV.M1

V:vv

K.1

VK.t

K

Equations de bilans géométriques

• Hypothèse d’écoulement à bulles sphériques (diamètre d)

• Introduction d’une fonction de distribution: f(d;x,t) telle que f(d;x,t)d = nombre volumique de bulles de diamètre compris entre d et d + d en (x,t)

• f(d;x,t) vérifie l’équation de Liouville-Bolzmann:

Equation de Liouville-Bolzmann

• Variation du diamètre (bilan masse d’une bulle):

breakup/ecoalescencG fDt

Ddf

dvf.

t

f

oncondensati/névaporatio

G

G

gazdutédilatabili/ilitécompressib

GGG

G

m2.v

t3

d

Dt

Dd

Exemple du nombre volumique

• Définition du nombre volumique de bulles:

• Equation de bilan pour n:

• avec les définitions:

dt,x;dfˆt,xn0

breakup/ecoalescencnG nvn.t

n

dt,x;dft,x;dvn

1ˆvetdfˆn

0 GnG0 breakup/ecoalescencbreakup/ecoalescenc

Aire interfaciale volumique

• Définition de l’aire interfaciale volumique:

• Equation de bilan pour aI:

• avec les définitions:

dt,x;dfdˆa 2I

breakup/ecoalescencI

oncondensati/névaporatio

GG

gazdutédilatabili/ilitécompressib

GIGG

G

IIGI

I adfmd4

.vt3

a2va.

t

a

dt,x;dft,x;dvda

1ˆv

dfdˆa

G2

IIG

breakup/ecoalescenc2

breakup/ecoalescencI

Sur les équations du modèle à deux fluides

• Ishii M., 1975, Thermo-fluid dynamic theory of two-phase flow, Eyrolles, Paris.

• Ishii M., Hibiki T., 2006, Thermo-fluid dynamics of two-phase flow, Ed. Springer.

• Oesterlé B., 2006, Ecoulements multiphasiques, Ed. Hermès, Lavoisier. • Drew D.A., Passman S.L., 1999, Theory of Multicomponent Fluids, Applied

mathematical sciences 135, Ed. Springer. • Ishii M., 1990, Two-fluid model for two-phase flow. Multiphase Science and

Technology, Hewitt G.F., Delhaye J.M., Zuber N. Eds., Vol. 5, pp. 1-58. • Kataoka I., 1986, Local instant formulation of two-phase flow, Int. J.

Multiphase Flow, Vol. 12, No. 5, pp. 745-758. • Kolev, N.I., 2002a, Multiphase Flow Dynamics 1: Fundamentals, Ed.

Springer.• Nigmatulin R.I., 1991, Dynamics of multiphase media, Vol. 1, Hemisphere

Publishing Corporation, New-York, Washington, Philadelphia, London.

Sur la turbulence diphasique

• Kataoka I., Serizawa A., 1989, Basic equations of turbulence in gas-liquid two-phase flow, Int. J. Multiphase Flow Vol. 15, No. 5, pp. 843-855.

• Lance M., Bataille J., 1991, Turbulence in the liquid phase of a uniform bubbly air/water flow, J. Fluid Mech., Vol. 222, pp. 95-118.

• Lance M., Marié J.L., Bataille J., 1984, Modélisation de la turbulence de la phase liquide dans un écoulement à bulles, La Houille Blanche, No. ¾.

• Lance M., Marié J.L., Bataille J., 1991, Homogeneous turbulence in bubbly flows, J. Fluids Engineering, Vol. 113, pp. 295-300.

• Lance M. & Lopez de Bertodano M., 1994, Phase distribution phenomena and wall effects in bubbly two-phase flows, Multiphase Science and Technology, Vol. 8, Hewitt G.F., Kim J.H., Lahey R.T.Jr., Delhaye J.M. & Zuber N., Eds, Begell House, pp. 69-123.

• Lopez de Bertodano M., Lahey R.T., Jones O.C., 1994, Phase distribution in bubbly two-phase flow in vertical ducts, Int. J. Multiphase Flow Vol. 20, No 5, pp 805-818.

• Lopez de Bertodano M., Lahey R.T.Jr., Jones O.C., 1994, Development of a K- model for bubbly two-phase flow, Transactions of the ASME, J. of Fluids Eng., Vol. 116, pp. 128-134.

• Morel C., 1995, An order of magnitude analysis of the two-phase K- model, Int. J. Fluid Mech. Research, Vol. 22, Nos. 3&4, pp. 21-44.

Sur l’aire interfaciale volumique

• Lhuillier D., Morel C., Delhaye J.M., 2000, Bilan d’aire interfaciale dans un mélange diphasique: approche locale vs approche particulaire, C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, Série IIb, pp. 143-149.

• Morel C., Goreaud N., Delhaye J.M., 1999, The local volumetric interfacial area transport equation: derivation and physical significance, Int. J. Multiphase Flow 25, pp. 1099-1128.

• Yao W., Morel C., 2004, Volumetric interfacial area prediction in upward bubbly two-phase flow, Int. J. Heat Mass Transfer 47 (2), pp. 307-328.

• Morel C., 2007, On the surface equations in two-phase flows and reacting single-phase flows, International Journal of Multiphase Flow 33, pp. 1045–1073

• Delhaye J.M., 2001, Some issues related to the modeling of interfacial areas in gas-liquid flows, Part I: The conceptual issues, C.R. Acad. Sci. Paris, t. 329, Série II b, pp. 397-410.

• Delhaye J.M., 2001, Some issues related to the modeling of interfacial areas in gas-liquid flows, Part II : Modeling the source terms for dispersed flows, C.R. Acad. Sci. Paris, t. 329, Série II b, pp. 473-486.