sonlu elemanlar yÖntemİ - insaatmuh.mcbu.edu.tr · yay elemanlar hakkında • kafes sistemlerin...
Post on 30-Nov-2019
76 Views
Preview:
TRANSCRIPT
SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ
Kurs Kapsamı•SONLU ELEMANLAR KAVRAMI
•SONLU ELEMANLAR FORMULASYONU
•UYGULAMALARI
G.A. Mekanik CBÜ
Sonlu Elemanlar Çözümleri
Rijitlik Metodu
Esneklik Metodu
Karışık Kullanımlar
G.A. Mekanik CBÜ
Rijitlik Metodu Kullanılarak Çözüm Yapmanın En Çok Bilinen ve Kolay
Yolu Direkt Rijitlik Metodudur Denilebilir
G.A. Mekanik CBÜ
DİREKT RİJİTLİK METODUNUN AŞAMALARI
Düğüm Noktası
Fiziksel Model
G.A. Mekanik CBÜ
İdealleştirme ve Parçalama
• Çubuk Elemanlara Parçalanacak sistemin Parçalanmadan Önceki Ayrışma Noktalarını Yani düğüm Noktalarının Belirtilmesi
Parçalara Ayrılmış Matematiksel Model
G.A. Mekanik CBÜ
Mesnetlerden ve Kuvvetlerden Kurtarılmış Sistem
Elemanların Düğüm Noktalarından Ayrışması
Üst BaşlıklarDikmeler
DiagonallerAlt Başlıklar
Elemanlar Kendi Lokal EksenlerindeEle Alınması(Lokal eksen Takımında Eleman Matrislerinin Bulunması)
G.A. Mekanik CBÜ
Elemanları Orijinal Konumlarında Bir Araya Getirilmesi (Lokal eksen Takımında Elde Edilmiş Rijitlik Matrislerinin Global eksen takımına Taşınması)
Birleştirme (Global Eksen Takımına Taşınan Eleman Rijitlik Matrislerinin Düğüm noktaları Uylaşımına Bağlı Olarak Birleştirilmesi)
Dış Yüklerin ve Mesnet Koşullarının Uygulanması
Problemin Çözümü ve Düğüm noktalarının Yerdeğiştirmelerinin Bulunması
G.A. Mekanik CBÜ
Sonlu elemanlar Çözümü Sonrası Yapılan Diğer İşlemler
Sonlu Elemanlar Yöntemi Kullanılarak Düğüm Noktası Deplasmanları Bulunmuştur Bu Aşamadan Sonra Dizayn İçin Gerekli Diğer Büyüklükler Olan
• Mesnet Reaksiyonları
• Kesit Tesirleri
Bulunurlar.
Tüm Bu İşlemler Eleman Tipinden Bağımsızdır.
G.A. Mekanik CBÜ
Sonlu Elemanlar Metodunda Kullanılan Bazı Eleman Tipleri
G.A. Mekanik CBÜ
Çeşitli yapılarda Kullanılan ve Malzemelerin Mekanik Özelliklerine ait Basit Bağıntılar Kullanılarak Elde Edilen Basit
Eleman TipleriÇeşitli Yapısal
ElemanlarMatematiksel Modelin Adı
Sonlu Eleman Modeli
Çubuk (Bar)
Kiriş (Beam)
Tüp, Boru (Tube, Pipe)
Perde
Kayma Mukavemetine Sahip PerdeG.A. Mekanik CBÜ
Bazı Sürekli Ortam Elemanları
Sonlu Eleman ModeliSonlu Eleman
Modeli
Fiziksel ElemanFiziksel Eleman
3D Cisimler2D Cisimler
G.A. Mekanik CBÜ
Özel Eleman Tipleri
Çatlakların Modellenmesinde Kullanılan Eleman
Tipi Örneği
2 Nokta Birden Aynı Konumda
Sonsuz Eleman
Elemanın Sınırsız Kısmı
Arı Peteği Panel (Sanwich Panel
G.A. Mekanik CBÜ
Makro Elemanlar
G.A. Mekanik CBÜ
Global Koordinat Sistemi
Lokal Koordinat Sistemi
1DKiriş 2DKiriş ve Kafes 3DKiriş ve Kafes vb.
1DKiriş ve Kafes El. 3DKiriş El.
G.A. Mekanik CBÜ
Kiriş 2D Kafes2D Çerçeve Elemanı Kiriş
Çeşitli elemanların serbestlik dereceleri
3D Kafes 3D Çerçeve Elemanı Kiriş
Kiriş
G.A. Mekanik CBÜ
Unutmuyoruzki Homojen Mesnetlenme Koşullarından Olan
Basit, Ankastre, Serbest Uç, Mafsal, Kayıcı Mafsal Benzeri Yapılar
Deplasman veya Dönme Yapamıyorlarsa Yapılamayan
Hareketin Karşılığı Olan Kuvvet ve Moment Değerini Taşıyor Demektir
G.A. Mekanik CBÜ
Sonlu Elemanlar Metodunu Kullanabilmek İçin
• Denklem takımı çözümlerini herhangi bir bilgisayar programı kullanarak çözebilmek gerekir. Yöntem tamamı ile bilgisayar destekli çözüm gerektirir.
• Temel Matris İşlemlerinin Bilinmesi veya Bilgisayara Uygulamasını Bilmeyi gerektirebilir.
(Denklem Takımı Çözümü, Matris Transpozu vb. manipilasyonları yapabilecek seviyede matematik bilgisi gerektirir.)
G.A. Mekanik CBÜ
Elemanın nokta Sayısı:
Noktalara Ait Yer Değiştirmeler:
Noktalara Oluşan Kuvvetler:
Yay Sabiti (Rijitlik):
Basit Yay Elemanı
Yay Elemanın Herbir Düğüm Noktası Sadece Ötelenme Yapabildiği İçin Bu Elemana Ait Düğüm noktası Serbestlik
Derecesi Bir dir. Degree of Freedom (DOF=1)G.A. Mekanik CBÜ
Yay Elemanına Ait Gerilme Deformasyon İlişkisi
(Yayın Lineer Bölgede Davrandığı Kabul Edilmekte)
Bu Kurs Kapsamında Sadece Lineer Problemler ile İlgilenilecektirG.A. Mekanik CBÜ
i ve j noktalarındaki kuvvet değerleri denge denklemlerinde kolayca bulunur
Noktalara Ait Denklemler Matris Formatında yazılırlarsa
G.A. Mekanik CBÜ
Eleman Matrisi (Eleman Rijitlik Matrisi)Rijitlik Matrisi (Daima Simetriktir)
Eleman Noktasal Yerdeğiştirme Vektörü
Eleman Kuvvet Vektörü
G.A. Mekanik CBÜ
Yay Sistemi (İki veya daha fazla Yay elemanının Birleştirilmesi ve Çözüm
Yaklaşımı
2. Eleman Rijitlik matrisi1. Eleman Rijitlik matrisi
Lokal eksen Takımında m numaralı elemanın i nokta nolu bağlantısına karşılık gelen iç kuvvet değeridir.
G.A. Mekanik CBÜ
Eleman Rijitlik Matrislerinin Bir araya Getirilmesi
Düğüm Noktalarındaki Toplam Kuvvet Değerlerinin açılımları
G.A. Mekanik CBÜ
Eleman Rijitlik Matrislerinin Bir Araya Getirilmesi Matris Formundaki Gösterim
Burada K Tüm sistemin Rijitlik Matrisidir.
G.A. Mekanik CBÜ
Sistem Rijitlik Matrisini Elde Etmenin Bir Diğer Gösterimi Önce Elemanları Tüm sistemin Rijitlik Matrisi İçinde Tek Başlarına
Göstermek Sonra Bir Araya Getirmektir.
G.A. Mekanik CBÜ
Dış Yüklerin Yüklenmesi ve Sınır Koşullarının Uygulanması
Yay sisteminin 1 nolu noktada tutulu olduğu, 2 ve 3 nolu noktalardan ise P değerine sahip iki adet dış yükün sisteme etkidiği kabul edilirse;
Sistem Rijitlik Matrisi Bağlı Olan Eşitlik Aşağıdaki Hali Alır.
G.A. Mekanik CBÜ
u1=0 olması sebebi ile u1
bulunduğu kolondaki tüm terimler sıfır ile çarpılacağı için denklemlere bir şey kazandırmayacaktır bu sebeple ihmal edilirler ve kalan 2 (u2, u3) bilinmeyen sağ alt köşedeki kare matris formundaki katsayılar kullanılarak bulunabilirler.
2 bilinmeyen = 2 denklem olduğu için u2, ve u3
kolaylıkla elde edilir.
G.A. Mekanik CBÜ
F1 sistemdeki mesnet reaksiyonu olarak düşünülebilir. Değer olarak da u2, ve u3 ün hesaplanmasında kullanılmayan 1 nolu denklemden kolaylıkla elde edilebilir.
u2 ‘nin daha önceden bulunan değeride yerine konulursa
G.A. Mekanik CBÜ
Sonuçların Değerlendirilmesi• Deforme Olmuş Şeklin Verilen Yükleme ve Sınır Koşulları ile
Uygun olup olmadığının Kontrol Edilmesi Yapılan Analiz Sonucunda Bir Gerekliliktir. (Kullanıcı Yanlış giriş Yapmış Olabilir Kullanılan Program Hazır Program Değilse Programda Bir Hata olabilir)
•
2 ve 3 nolu noktalara gelen kuvvetler + işaretli olup yayın sağ tarafa doğru uzaması beklenir. Dolayısı ile u2 ve u3
nolu noktalarda kuvvet yönü ile aynı olması beklenir. Bu durum elde edilen sonuçlar ile gerçeklenmiş olup deformasyonlar yükler İle uyumludur.
G.A. Mekanik CBÜ
Sonuçların Değerlendirilmesi• Çözümün doğruluğunu Kontrol etmenin bir diğer yolu dış
kuvvetlerin dengesine bakmaktır. (Kullanıcı Yanlış giriş Yapmış Olabilir Kullanılan Program Hazır Program Değilse Programda Bir Hata olabilir)
•
ΣF=0
G.A. Mekanik CBÜ
Sonuçların Değerlendirilmesi• Sonuçları kontrol etmenin bir diğer yolu ise elde
edilen büyüklüklerin karşılaştırılmasıdır.
Yay sistemi için konuşulacak olunursa 3 nolu noktanın deplasmanının 2 nolu noktadan daha büyük olarak çıkacağı aşikardır. Bu gibi basit sistemlerde basit yükleme durumlarında bu değerler öngörülebilir değerler de olabilir. Ancak sistem ve yük durumu karmaşıklaştıkça bu öngörülerin gerçeklenme olasılığı azalır.
G.A. Mekanik CBÜ
Yay elemanlar Hakkında• Kafes sistemlerin çubuk elemanlarının yerine
kolaylıkla konulup analizlerde kullanılıp deformasyonların bulunmasına yardımcı olabilirler.
• Benzer şekilde yanlızca eksenel yüklemelerin söz konusu olduğu kiriş problemlerinin deplasmanlarının bulunmasında kullanılabilirler.
• Diğer taraftan gerilmelerin bulunmasında doğrudan kullanılamazlar ve bu konuda kullanışlı oldukları söylenemez sadece eksenel yüklü sistemlere ait deplasmanların bulunmasında dolaylı yoldan kullanılabilirler.
G.A. Mekanik CBÜ
Yay Eleman Örneği Sayısal
Veriler
İstenenler•2 ve 3 nolu noktaların yer değiştirmeleri•1 ve 4 nolu noktalarda ortaya çıkacak mesnet reaksiyonları•2 nolu yaydaki kuvvet
G.A. Mekanik CBÜ
ÇÖZÜM Eleman Rijitlik Matrislerinin Bulunması
Hatırla Tek Bir Yay Eleman İçin Rijitlik
Matrisi
G.A. Mekanik CBÜ
ÇÖZÜMSistem Rijitlik Matrisinin Oluşturulması (Eleman
Rijitlik Matrislerinin Birleştirilmesi)
Sıfır
G.A. Mekanik CBÜ
Simetrik ve Bant Matris
G.A. Mekanik CBÜ
Sonlu Elemanlar Denklemi
SıfırG.A. Mekanik CBÜ
Azaltılmış Rijitlik Matrisi ve Sonlu Elemanlar Denklemi
Elde Edilen Bilinmeyen Deplasman Değerleri
G.A. Mekanik CBÜ
Ana Matristeki Bilinmeyen Deplasmanların Bulunmasında Kullanılmayan 1. ve 4. Satırdaki Denklemlerin Kullanılması İle F1 ve F2 mesnet reaksiyonları Bir Önceki aşamada bulunan u2 ve u3 değerlerinin yerine konulması ile Kolaylıkla Bulunur.
G.A. Mekanik CBÜ
2 Nolu Yay Elemanındaki Kuvvetin Bulunması
2 Nolu Eleman Rijitlik Matrisi Burada 2 nolu eleman İçin i ve j
değerleri
Hatırlatma Tek Bir Yay Elemanında Biriken Kuvvet ile İç Kuvvetler arasındaki İlişki
veya
Bu durumda 2 Nolu elemana aitmatristen herhangi bir satırıkullanılarak yay da ki kuvvetkolaylıkla hesaplanabilir.
G.A. Mekanik CBÜ
Yay Örneği 2! Verilen Sistemin Rijitlik Matrisinin Oluşturulması
Elemanların Global Düğüm Noktaları numaralarına Göre Bağlantı Şeması
Eleman
G.A. Mekanik CBÜ
Elemanların Rijitlik Matrisleri
G.A. Mekanik CBÜ
Eleman Rijitlik Matrislerinin Birleştirilmesi İle Oluşturulmuş Sistem Rijitlik Matrisi
G.A. Mekanik CBÜ
1Boyutlu Eksenel Yük Taşıyabilen Çubuk Eleman
Bir boyutlu çubuk elemanlar kullanılarak yay elemanlarına benzer şekilde deplasmanlar ve mesnet reaksiyonları bulunabilir. Yay tipi elemanlardan farklı olarak çubuk elemanlarda eleman alanıda rijitlik matrisine dahil edileceği için yaylardan farklı olarak bu tip elemanların kullanıldığı hesaplamalarda gerilme değerleride kolaylıkla elde edilebilir.
Elemanın Uzunluğu
Elemanın En Kesit Alanı
Eleman Malzemesinin Elastisite (Young) Modülü
Elemanın Düğüm Noktalarının Yer Değiştirmeleri
Elemanın Birim Boy Değişimi
Elemanda Ortaya Çıkan GerilmeG.A. Mekanik CBÜ
1Boyutlu Eksenel Yük Taşıyabilen Çubuk Eleman
Bu Kurs Kapsamında Çubuk elemanlar İle Yapılacak Analizlerde Aşağıdaki Kabuller Kapsamında Yapılacaktır.•Sistemdeki Deformasyonların Küçük Olduğu Kabul Edilecektir. (Geometrik Lineer sistem)•Çubuk Malzemesinin Lineer Elastik Olduğu Kabul Edilecektir.•Yüklemenin Statik Olduğu Kabul Edilecektir.
G.A. Mekanik CBÜ
Eleman Rijitlik Matrisinin Türetilmesi
Yerdeğiştirme ve Deformasyon İlişkisi
Gerilme ve Deformasyon İlişkisi
G.A. Mekanik CBÜ
Eleman Rijitlik Matrisinin Elde Edilmesinde Direkt Metod Kullanılacaktır
u yerdeğiştirme değerinin çubuk ekseni boyunca linner olarak değiştiği kabul edilirse
Gerilme-Deformasyon ve Deformasyon-Deplasman Bağıntılarına Dayanarak Aşağıdaki Çıkarımları kolayca Yapmak Mümkündür.
Burada Δ Çubuğun Toplam Uzama Değeridir.
G.A. Mekanik CBÜ
Eksenel Uzamaya Sahip Bir Çubukta Gerilme Değerinin Kuvvet ve alan Değerlerine Bağlı olarak Yazılması Aşağıdaki gibidir ve gerilme deformasyon ifadesinden bilinen hali ile eşitlenirse
Eşitliği Elde Edilir burada EA/L olarak değerinin bütününü ifade eden k katsayısına kısada elemanın rijitliği adı verilir. Söz konusu k katsayısı daha önce incelenen yaylardaki k katsayısı ile aynı işlevi çubuk eleman için görür!!!!
G.A. Mekanik CBÜ
Yay elemanlara Ait Eleman Rijitlik
• Matrislerindeki k katsayılarının yerine çubuk elemana ait k katsayılarının açılımları yerleştirilirse
• Çubuk Elemana Ait Rijitlik Matrisleri Elde Edilmiş Olur
G.A. Mekanik CBÜ
1 Boyutlu Çubuk Eleman Sonlu Elemanlar Eşitliği
• 1 Boyutlu Çubuk Elemanın Her bir Düğüm Noktası Sadece Ötelenme Yapabildiği İçin Bu Elemana Ait Düğüm noktası Serbestlik Derecesi Bir dir. Degree of Freedom (DOF=1)
G.A. Mekanik CBÜ
1 Boyutlu Çubuk Elemanda gerilme Değerlerinin bulunması
• Bir Boyutlu Çubuk Elemanlarda GerilmeDeğerlerinin Bulunması İçin Yay BenzeşimiKullanılarak Önce elemana Gelen Kuvvet BulunupDaha Sonra Alana Bölünüp Bulunabileceği gibi Buzunluk vektörü kullanılarak Çözümden elde edilenDeplasmanlar Yardımı İle de Çözüme Ulaşılabilir.
G.A. Mekanik CBÜ
1 Boyutlu Çubuk Eleman Örneği
Farklı en kesitte 2 adet çubuk eleman birleştirilmişolup birleşim bölgesinden P kuvveti etkimektedir.Sistemin mesnet reaksiyonlarını ve çubukelemanlarda oluşacak kuvvetleri verilen geometrive yükleme durumu için bulunuz.
G.A. Mekanik CBÜ
Eleman Rijitlik Matrislerinin Bulunması ve Sistem Rijitlik Matrisi Altında Birleştirilmesi
G.A. Mekanik CBÜ
Sınır Koşulları ve Dış Kuvvetlere Bağlı Olarak Sistem Sonlu Elemanlar Eşitliği Oluşturulursa
Sınır Koşulları
Dış yükler
G.A. Mekanik CBÜ
u2 Bilinmeyen Düğüm Noktası Deplasmanının Bulunması
2 Nolu Satırdaki Eşitlikten Bilinmeyen u2
değeri Kolayca Bulunur
G.A. Mekanik CBÜ
u2 Deplasmanının Değeri ve Tüm Deplasmanların Bir Arada
Gösterimi
G.A. Mekanik CBÜ
Çubuk Elemanlardaki Gerilmelerin BulunmasıHatırlanacağı Üzere Gerilme
Yerdeğiştirme Bağıntısı B vektörü Kullanılması durumu
İçin
1 Nolu Elemandaki Gerilme
G.A. Mekanik CBÜ
2 Nolu Elemandaki Gerilme
G.A. Mekanik CBÜ
Elde Edilmiş Sonlu Eleman Denklemi Çözümünü Yay Benzeşimi ile Beraber Kullanarak
Gerilmelerin Bulunması
• Öncelikle Her Bir elemana Gelen Kuvveti bulacağız. Yay İçin İç Kuvvetlerin Bulunduğu Aşağıdaki Denklemler Aynen 1B Çubuklar İçinde geçerlidir.
veya
Yay Denklemlerinde kgörülen yerlere çubukrijitlikleri olan EA/Ldeğerleri konulursa Çubuksistemlere ait iç kuvvetEşitlikleri Elde EdilmişOlurlar
HALA BU SİSTEM DE ÇÖZÜM YAPIYORUZ UNUTMAYALIM
G.A. Mekanik CBÜ
Yay İç Kuvvet Denklemini 1B İç Kuvvet Denklemine Dönüştürelim ve Gerilme
İlişkisini Yazalım
i i i i jF f k u u
i ii i i j
i
E AF f u u
L
i ii
i
E Ak
L
G.A. Mekanik CBÜ
Problemimize Geri Dönüp ui değerlerini kullanarak bir ve iki nolu çubuk iç kuvvetlerini bulacak olursak
1 Nolu Çubuk Kuvveti
1
203
E A PLf
L AE
i ii i j
i
E Af u u
L 1 1
2
3
PF f
2 Nolu Çubuk Kuvveti 2 2 0
3 3
EA PL PF f
L AE
G.A. Mekanik CBÜ
Gerilme Değerlerinin Bulunması
ii
i
fKuvvetGerilme
Alan A
1 Nolu Çubuk Gerilmesi
1
2 3
2 3
P P
A A
2 Nolu Çubuk Gerilmesi
2
3
3
P P
A A
G.A. Mekanik CBÜ
Çubuk ve Yay Elemanlar Hakkında
* Çubuk ve Yay Elemanlar Vasıtası İle Değişken Kesitli Kirişler modellenebilir.* Ne Kadar Çok eleman Kullanılırsa Okadar Çok nokta Hakkında Bilgi Sahibi Olunabilir.
G.A. Mekanik CBÜ
Çubuk veya Yay Elemanlar İle Yapılan Modelleme Örnekleri
G.A. Mekanik CBÜ
1 Boyutlu Çubuk Eleman Örneği
Verilen Yükleme ve Sistem Geometrisi İçin Sistemde Ortaya Çıkacak Mesnet reaksiyonlarını
Bulunuz.
G.A. Mekanik CBÜ
Öncelikle bilinen elastisite bağıntıları yardımı ve uygulanan kuvvetin etkisi ile çubuk uzamasının duvara ulaşıp ulaşmayacağını anlamak çok önemlidir. Çünkü ancak çubuk uzaması duvara kadar erişecekse bu aşamadan sonra mesnet reaksiyonu oluşturur.
Sisteme etkiyen P kuvvetinin değeri çubuğun duvar ile temasından fazlasına yetecek kadar uzamasına sebep olacağı için sonlu elemanlar
eşitliği buna dayanılarak kurulmalıdır.G.A. Mekanik CBÜ
Sistem Global Rijitlik Matrisi
HATIRLATMA Eleman Rijitlik
Matrisi
G.A. Mekanik CBÜ
Yük ve Sınır Koşulları
Sınır Koşulları ve Yük Değerleri sonlu elemanlar Eşitliğine yerleştirilirse eşitlikteki bilinmeyen tek deplasman değeri olan u2 eşitlikten kolaylıkla
elde edilebilir.
G.A. Mekanik CBÜ
Sonlu eleman matris eşitliğindeki tek bilinmeyen olan u2
kolayca elde edilmiştirG.A. Mekanik CBÜ
Sistem global Rijitlik matrisinin 1. ve 3. satırları kullanılarak elde edilmiş deplasmanlar yardımı ile bilinmeyen mesnet reaksiyonları
elde edilir.
G.A. Mekanik CBÜ
Çubuk Elemanda Yayılı Eksenel Yük Olması Durumu
L Boyundaki çubuğa etkiyen qyayılı eksenel yükünün etkisiçubuk uçlarına toplanır venoktasal dış yüklere ilave edilir.
G.A. Mekanik CBÜ
2 ve 3 Boyutlu Eksenel Yük Taşıyabilen Çubuk Eleman
2 ve 3 boyutlu problemlerde elemanın bir düğüm noktası global eksentakımında 2 adet koordinat değeri ile ifade edilebildiği için tek boyutluproblemlerde kullanılan 2x2 boyutundaki eleman rijitlik matrisi,trigonometrik bağıntılar kullanılarak 2 ve 3 boyutlu düzlemlerdekullanılabilecek transforme edilmiş halleri elde edilir.
G.A. Mekanik CBÜ
Lokal Koordinatlar ile Global Koordinatlar arasındaki Bağıntı
Matris Formatında Yazılırlarsa
Tek Bir Düğüm Noktası İçin
Çubuğun Her İki Düğüm Noktası Beraberce Yazılırsa
Lokal Koordinatlar
Global Koordinatlar
G.A. Mekanik CBÜ
Global Eksen Takımındaki 2B Çubuk Elemanın Rijitlik Matrisi
G.A. Mekanik CBÜ
Global Eksen Takımındaki 2B Çubuk Elemanın Gerilmesi
G.A. Mekanik CBÜ
2 Boyutlu Kafes Sistem ÖrneğiYandaki şekildegeometrisi ve yüklemedurumu verilen kafessistemin 2 nolunoktasınındeplasmanını ve herçubuktaki gerilmedeğerlerini bulunuz. (Aenkesit alanı, Eelastisite modülü olupçubukların uzunluğueşit olup Lboyundadırlar.
G.A. Mekanik CBÜ
1 Nolu eleman Rijitlik Matrisi
G.A. Mekanik CBÜ
2 Nolu eleman Rijitlik Matrisi
G.A. Mekanik CBÜ
Tüm Sistemin Sonlu Elemanlar Eşitliği
G.A. Mekanik CBÜ
Sınır Koşulları ve Azaltılmış Rijitlik Matrisi
G.A. Mekanik CBÜ
Azaltılmış Rijitlik Matrisi ve Yer Değiştirmelerin Bulunması
G.A. Mekanik CBÜ
Elemanlarda Oluşacak Gerilmelerin Bulunması
Çubuk Elemanın Gerilme Formulü
G.A. Mekanik CBÜ
2 Boyutlu Kafes Sistem Örneği (Sınır Koşulları Kullanımına Özel Dikkat)
Geometrisi, yükleme durumu ve kesit özellikleri verilen kafes sistemin mesnet reaksiyonlarını ve düğüm noktalarının deplasmanlarını bulunuz.
1. ve 2. Çubuklar
3. Çubuk
G.A. Mekanik CBÜ
1 Nolu Çubuk Eleman Rijitlik Matrisi
G.A. Mekanik CBÜ
2 Nolu Çubuk Eleman Rijitlik Matrisi
G.A. Mekanik CBÜ
3 Nolu Çubuk Eleman Rijitlik Matrisi
G.A. Mekanik CBÜ
Global Rijitlik Matrisi ve Sonlu Eleman Eşitliği
Yükleme Değerleri ve Sınır Koşulları
Lokal Koordinatlarda Verilmiş sınır
Koşulları
G.A. Mekanik CBÜ
Sonlu elemanlar denklemindekullanılan sınır şartı ve kuvvetdeğerleri global koordinatlardatanımlı olmalıdır oysa elimizdekibir yerdeğiştirme sınır koşulu vemesnet reaksiyonu sınır koşulu(kırmızı işaretliler) elemanın lokalkoordinatlarında tanımlanmış olupbu tanımlamaların globalkoordinatlara taşınmasıgerekmektedir.
G.A. Mekanik CBÜ
Yer Değiştirme Sınır Koşulunun Lokalden Globale Taşınması
Daha önceki yer değiştirme sınır koşulların dan farklı olarak iki ayrı koordinata bağlı olarak bulunan tek mesnete ait çoklu tutulu olma şartı!
G.A. Mekanik CBÜ
Mesnetlenme Koşulunun Lokalden Globale Taşınması
Mesnetleme koşuluna ait dönüşüm yer değiştirmelere benzer şekilde yapılır.
Koordinat dönüşümününyapılacağı transformasyonişlemin bu sefer kuvvetterimleri yerleştirilipişlemler yapılırsa.
Global Koordinatlardaki Kuvvet tipi sınır koşuluda yerdeğiştirmede olduğu gibi iki parçalı olarak bulundu.
G.A. Mekanik CBÜ
Yorum: İki yerdeğiştirmenin bir birine bağlı olması veaynı zamanda İki mesnet değerinin bir birine bağlıolması bir birine uygun durumlar olur sonlu elemaneşitliğindeki denklemler bu durumda karesel olarakbir boyut azalır ve denkleme iki değişkendenherhangi birisi yerleştirilerek işleme devam edilir.
G.A. Mekanik CBÜ
Öncelikle Sonlu elemanlarMatrisinin Boyutunu Sıfıra eşitliğiOlan sınır Koşullarını KullanarakAzaltalım.
G.A. Mekanik CBÜ
Eşitliği Kullanılarak v3 yerine -u3 yazılır ve F3Y
yerine de -F3X, son olarak F2X yerinede P dışyük değeri yazılırsa azaltılmış sonlu elemanlardenklemi aşağıdaki hali alır.
G.A. Mekanik CBÜ
Bir denklem takımının çözülebilmesi için bilinenler ile bilinmeyenler arasında bir denge olmalıdır ancak burada denklemin her iki yanında problem vardır bu sebeple denklemi iki bilinmeyen yer değiştirmenin çözülebilmesi için yeniden organize edilmelidir. Bu sebeple 3. Eşitlikten kolayca faydalanılabilir. Bu eşitlik 2. denklemde yerine
konulup işleme devamedilierse sisteminyerdeğiştirmeleri bulunur.
G.A. Mekanik CBÜ
Sonlu elemanlar Denklemine Geri Dönülüp DeğeriSıfır Olmayan Tüm Deplasmanlar Yerlerine KonulursaTüm Mesnet Reaksiyonları Elde Edilmiş Olunur.
G.A. Mekanik CBÜ
top related