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TRIANGOLO ISOSCELE

Il triangolo equilatero ha i tre laticongruenti.

La classificazione dei triangoli può essere fatta o inriferimento ai lati oppure agli angoli.

TRIANGOLO SCALENO

Sulla base dei latiabbiamo:

TIPI DI TRIANGOLO

Il triangolo scaleno ha tutti e tre ilati di differente lunghezza.

Il triangolo isoscele ha almeno duelati congruenti (quindi il triangoloequilatero è a sua volta un tipo ditriangolo isoscele)

TRIANGOLO EQUILATERO

SULLA BASE DEGLI ANGOLI ABBIAMO:

TRIANGOLI ACUTANGOLItutti gli angoli sono minori di 90°

TRIANGOLI RETTANGOLIhanno un angolo di 90° (angolo retto).

TRIANGOLI OTTUSANGOLIhanno un angolo maggiore di 90°(angolo ottuso).

I triangoli rettangoli possono essere scalenioppure isosceli.

I PUNTI NOTEVOLI DELTRIANGOLO

piede dell'altezza

proiezione di AB

A

B CH

alte

zza

rifer

ita a

BC

ALTEZZE DEL TRIANGOLO

proiezione di AC

in un triangolo si chiama ALTEZZA il segmento che partendo da unvertice forma un angolo di 90° (un angolo retto) con il lato opposto. Questa altezza si dice RIFERITA a questo lato opposto.

Il segmento AH, che partendo dal vertice A forma un angolo rettocon il lato opposto BC si dice ALTEZZA RIFERITA AL LATO BC. Ilpunto H si dice PIEDE DELL'ALTEZZA AH, i segmenti BH e HC sidicono rispettivamente proiezioni dei lati AB e AC sul lato BC (basedel triangolo).

In un triangolo ci sono tre lati e tre vertici, per cui abbiamo anche TREaltezze, come mostra la figura qui sotto.

H

KO

S

A

B C

Il triangolo ABC possiede tre altezze:

1) altezza AH riferita al lato BC 2) altezza BK riferita al lato AC3) altezza CS riferita al lato AB

Le tre altezze di un triangolo si incontrano in un unico punto chiamatoORTOCENTRO (O). L'Ortocentro è il punto di incontro delle tre altezze di un triangolo.

OSSERVAZIONI SULLE ALTEZZE ESULL'ORTOCENTRO DEL TRIANGOLO

La posizione dell'ortocentro dipende dal tipo di triangolo.Se disegnamo le tre altezze di un qualunque tipo di triangolo (acutangolo,ottusangolo, rettangolo...) possiamo osservare la posizione dell'ortocentro.

Nei triangoli acutangoli l'ortocentro èSEMPRE INTERNO AL TRIANGOLO.

Nei triangoli ottusangoli le altezzeformano un angolo retto con il latoopposto o con il suoprolungamento. L'ortocentro èsempre esterno al triangolo.

TRIANGOLIOTTUSANGOLI

ALTEZZE E ORTOCENTRO NEI TRIANGOLIRETTANGOLI.

Nei triangoli rettangoli due delle tre altezze coincidono con ilati più piccoli, chiamati cateti, la terza altezza parte da unvertice (quello formato dai due cateti) e forma un angolo rettocon il lato maggiore, chiamato IPOTENUSA.L'ortocentro coincide con il vertice opposto all'ipotenusa, cioèquello che forma un angolo di 90 gradi.

ortocentrocateto

cate

toIpotenusa

altez

za ri

ferit

a

all'ip

oten

usa

ALTEZZE E ORTOCENTRO NEITRIANGOLI RETTANGOLI

CONCLUSIONI

1) L'altezza di un triangolo relativa a un lato è il segmento che partendodal vertice opposto forma un agolo di 90 gradi con lo stesso lato (cioè, ilsegmento perpendicolare al lato di riferimento o al suo prolungamento,che parte dal vertice opposto).

2) Le tre altezze di un triangolo si incontrano in un unico puntochiamato ortocentro (O), che può essere interno (nei triangoliacutangoli), esterno (nei triangoli ottusangoli), oppure coincidente con ilvertice dell'angolo retto nei triangoli rettangoli.

bisettrice

vertice

LA BISETTRICE DIUN ANGOLO

A

B

L'incentro si trova sempre allastessa distanza dai tre lati.

Le tre bisettrici si incontrano in ununico punto chiamato INCENTRO

incentro (I)

LE TRE BISETTRICI DI UNTRIANGOLO

C

1) La bisettrice di un triangolo relativa a un determinato angolo è il segmento dibisettrice che lo divide in due parti uguali.2) Un triangolo ha tre bisettrici, che si incontrano in un solo punto chiamatoINCENTRO.3) l'INCENTRO è sempre interno al triangolo, ed è equidistante dai tre lati.

L'incentro si trovasempre all'internodel triangolo

LE TRE MEDIANE DI UN TRIANGOLO EIL BARICENTROSi dice MEDIANA il segmento che partendo da un vertice raggiunge il puntomedio del lato opposto. Il punto medio di un lato è quello che lo divide in dueparti uguali.

A

B

C

BARICENTRO (B)

In qualunque triangolo ilBARICENTRO divide ciascunamediana in due parti, una delle

quali è la metà dell'altra.

Le tre mediane di un triangolo siincontrano in un punto che si chiamaBARICENTRO, che è sempre INTERNOal triangolo.

Il BARICENTRO è il CENTRO DI GRAVITA' del triangolo, cioè ilsuo PUNTO DI EQUILIBRIO.

GLI ASSI DI UN TRIANGOLO E IL CIRCOCENTRO

Si dice ASSE di un lato la retta che, passando per il suo punto medio,forma un angolo di 90 gradi con il lato stesso.

Poichè un triangolo possiede tre lati, allora presenta ancheTRE ASSI. A

B C

CIRCOCENTRO (C)

I tre assi di un triangolo siincontrano in un punto chiamatoCIRCOCENTRO

OSSERVAZIONI SUGLI ASSI E SUL CIRCOCENTRO

La posizione del circocentro dipende dal tipo ditriangolo.

Nei triangoli acutangoli il circocentroè interno al triangolo

CIl circocentro èsempre equidistantedai vertici

A

B C

Nel triangolo rettangolo la posizione del circocentro coincidecon il punto medio del lato maggiore (ipotenusa)

circocentro

NEI TRIANGOLI OTTUSANGOLI IL CIRCOCENTRO E'SEMPRE ESTERNO AL TRIANGOLO

A

B C

a

b c

In un qualunquetriangolo il circocentro èequidistante dai trevertici.

a = b = c

Nel triangolo equilatero, ortocentro,incentro, baricentro e circocentrocoincidono!

Ortocentro

Incentro

Baricentro

Circocentro

NEL TRIANGOLO ISOSCELEORTOCENTRO, INCENTRO,BARICENTRO E CIRCOCENTRO NONCOINCIDONO MA SI TROVANOALLINEATI.

CRITERI DI CONGRUENZAAbbiamo visto che due angoli si diconocongruenti se sono perfettamentesovrapponibili.

In generale, diremo che due figure geometrichesono congruenti quando sono perfettamentesovrapponibili.

Prendiamo due figure poligonali,F ed F'

DUE FIGURE PIANE F ED F' SONO CONGRUENTI SE, SOVRAPPONENDOLEMEDIANTE UNO O PIU' MOVIMENTI CHE NON LE DEFORMINO, COINCIDONOPERFETTAMENTE.

F F'

A

BC

D

F

E

G

A'

B'C'

D' E'

F'

G'

A

BC

D

F

E

G

A'

B'C'

D' E'

F'

G'

per esempio, due triangoli sono CONGRUENTIse, sovrapposti, coincidono perfettamente.